高中高考专题之数列的方法技巧及应用

高中高考专题之数列的方法技巧及应用

‎ 数列专题 ‎ 一、 证明等差等比数列 1． 等差数列的证明方法：‎ ‎ （1）.定义法：(常数) （2）.等差中项法：‎ ‎2．等比数列的证明方法：‎ ‎（1）.定义法：(常数) ‎ ‎（2）.等比中项法： ‎ 例1.设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛｝的前n项和，求Tn．‎ 解：设等差数列｛an｝的公差为d，则 Sn=na1＋n（n－1）d．∴S7＝7，S15＝75，‎ ‎∴即 解得a1＝－2，d＝1．∴＝a1＋（n－1）d＝－2＋（n－1）．‎ ‎∵，‎ ‎∴数列｛｝是等差数列，其首项为－2，公差为，‎ ‎∴Tn＝n2－n．‎ 例2．设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：‎ ‎3tSn－（2t+3）Sn－1=3t（t>0，n=2，3，4，…）‎ 求证：数列{an}是等比数列；‎ 解：（1）由a1=S1=1，S2=1+a2，得a2=‎ 又3tSn－（2t+3）Sn－1=3t ①‎ ‎3tSn－1－（2t+3）Sn－2=3t ②‎ ‎①－②得3tan－（2t+3）an－1=0‎ ‎∴，（n=2，3，…）‎ 所以{an}是一个首项为1，公比为的等比数列.‎ 练习：(2006年山东卷）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…‎ （1） 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；‎ （2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；‎ 答案.(2) ,;‎ 二．通项的求法 ‎（1）.利用等差等比的通项公式 ‎(2).累加法：‎ 例3．已知数列满足，，求。‎ 解：由条件知：‎ 分别令，代入上式得个等式累加之，即 所以 ‎，‎ ‎（3）.构造等差或等比或 例4．（2006年福建卷）已知数列满足 ‎ 求数列的通项公式；‎ 解：‎ ‎ ‎ ‎ 是以为首项，2为公比的等比数列。‎ ‎ ‎ ‎ 即　‎ 例5．已知数列中，,，求。‎ 解：在两边乘以得：‎ 令，则,解之得：‎ 所以 练习. 已知数列满足，且。‎ ‎ （1）求；‎ ‎ （2）求数列的通项公式。‎ 解： （1）‎ ‎ （2）‎ ‎ ‎ ‎ ∴ ‎ ‎（4）利用 例6．若和分别表示数列和的前项和，对任意正整数 ‎，.求数列的通项公式；‎ 解： ……2分 当 ‎ 当……4分 练习：1. 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an ‎ 解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴‎10a1=a12+‎5a1+6，解之得a1=2或a1=3 ‎ 又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，② ‎ ‎ 由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 ‎ ‎∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2) ‎ 当a1=3时，a3=13，a15=‎73 a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3;‎ 当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a‎1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3 ‎ ‎2．（2006年全国卷I）设数列的前项的和 ‎，‎ ‎（Ⅰ）求首项与通项；‎ ‎（Ⅱ）设，，证明：‎ 解：（I），解得：‎ 所以数列是公比为4的等比数列 所以：‎ 得： （其中n为正整数）‎ ‎（II）‎ 所以： ‎ ‎（5）累积法 转化为，逐商相乘.‎ 例7．已知数列满足，，求。‎ 解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即 又，‎ 练习：1.已知， ，求。‎ 解：‎ ‎ 。‎ ‎2．（2004，全国I,理）已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项 ‎ 解：由已知，得，用此式减去已知式，得 当时，，即，又，‎ ‎，将以上n个式子相乘，得 ‎（6）倒数变形：,两边取倒数后换元转化为。‎ 例8：已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。‎ 解：取倒数：‎ 是等差数列，‎ 练习：已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝‎ 求数列｛an｝的通项公式；‎ 解：将条件变为：1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为 ‎1－＝，公比，从而1－＝，据此得an＝（n³1）‎ 三．数列求和 ‎1、等差数列求和公式： ‎ ‎2、等比数列求和公式：‎ ‎3、错位相减法求和 ‎{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.‎ 例9． 求和：‎ 解：由题可知，设………………………①‎ ‎…②（设制错位）‎ ‎①－②得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：。‎ ‎∴ ‎ 练习： 求数列前n项的和.‎ 解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积 设…………………………………①‎ ‎…………② ①－②得 ‎ ‎∴ ‎ ‎4、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.‎ 例10．求证：‎ 证明： 设………………………….. ①‎ ‎ 把①式右边倒转过来得 ‎ 又由可得：…………. ②‎ ‎①+②得： ‎ ‎∴ ‎ ‎5、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.‎ 例11． 求数列的前n项和：，…‎ 解：设 将其每一项拆开再重新组合得 ‎（分组）‎ 当a＝1时，＝（分组求和）‎ 当时，＝‎ ‎6、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）‎ ‎（1）为等差数列，‎ ‎（2）‎ 例12． 求数列的前n项和.‎ 解：设，则 ‎ ‎＝‎ 例13． 在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.‎ 解： 　 ∵ ‎ ‎ 　 ∴ 数列{bn}的前n项和：‎ ‎ ＝ ＝ ‎ 练习：‎ ‎1．（理）已知数列{}的前项和为，且满足 。‎ ‎（1）求数列{}的通项公式；‎ ‎（2）(理)若，且，数列{}的前项和为，求 ‎ （文）若，且，数列{}的前项和为，求证Tn>3/4‎ 解：（1）数列{}的前项和为，且满足 则 （）‎ 相减得： （） ‎ 又当n=1时，， ， ‎ ‎{}是以为首项，公比的等比数列 ‎ （）‎ ‎（2） ‎ ‎=‎ ‎．‎ ‎2．已知数列：‎ ‎①求证数列为等差数列，并求它的公差 ‎②设，求的和。‎ 解：①由条件，‎ ‎∴；∴‎ 故为等差数列，公差 ‎②‎ 又知 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎3．已知点列在直线l：y = 2x + 1上，P1为直线l与 y轴的交点，等差数列{an}的公差为.‎ ‎ （Ⅰ）求{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）（理）若数列满足：（C2 + C3 + … +Cn）；‎ ‎ （文）求C1+C2+……+Cn 解：∵在直线l:y=2x+1，‎ ‎∴bn=2an+1∵P1为直线l与y轴交点，‎ ‎∴P1=（0，1）‎ ‎∴a1=0又数列的公差为1‎ ‎∴an=n－1（n∈N*）∴‎ ‎ （Ⅱ）∵P1=（0，1），Pn（an,bn）‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎1、等差数列的通项公式： (首项，公差)‎ ‎ ‎ ‎2、等差数列的前项和公式： 或 ‎ ‎3.等差中项：如果成等差数列，那么叫做与的等差中项.‎ 即：是与的等差中项，，成等差数列.‎ ‎4.等差数列的判定方法：‎ ‎⑴定义法：（，是常数）是等差数列；‎ ‎⑵中项法：()是等差数列.‎ ‎5.等差数列的常用性质：‎ ‎⑴数列是等差数列，则数列、（是常数）都是等差数列；‎ ‎⑵在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为.‎ ‎⑶；(,是常数)；(,是常数，)‎ ‎⑷若，则；‎ ‎⑸若等差数列的前项和，则是等差数列；‎ ‎⑹当项数为，则； 当项数为，则.‎ 一、选择题 ‎1．等差数列{an}中，记Sn为前n项和，若a1＋a7＋a13是一确定的常数，下列各式①a21；②a7；③S13；④S14；⑤S8－S5中，也为确定常数的是(　　)‎ A．②③⑤ B．①②⑤‎ C．②③④ D．③④⑤‎ ‎【解析】　∵a1＋a13＝2a7，∴a1＋a7＋a13＝3a7，故a7为确定的常数；‎ 根据性质，在等差数列中，S13＝13·a7，∴S13为确定的常数，S8－S5＝a6＋a7＋a8＝3a7，‎ ‎∴S8－S5为确定的常数. 【答案】　A ‎2.若等差数列的前项和为，且为确定的常数，则下列各式中，也为确定的常数是( ) A. B. C. D.‎ ‎3. 等差数列的前n项和当首项和公差d变化时，若是一个定值，则下列各数中为定值的是―――――――――（ ）‎ ‎ A、 B.S C、 D、‎ 答案 B ‎4.　已知等差数列满足，则有（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎5.在等差数列中，，则的值为 ‎（A）5 （B）6 （C）8 （D）10‎ ‎【答案】 A解析：由角标性质得，所以=5‎ ‎6.已知为等差数列，a1＋a3＋a5=105，a,2＋a4＋a6=99，则a20等于（　　）‎ A. -1 B. ‎1 ‎‎ ‎ C. 3 D.7‎ ‎7.已知等差数列中，的值是 （ ）‎ A．15 B．‎30 ‎C．31 D．64‎ ‎8.己知等比数列满足则=( )‎ A．64 B‎81 ‎‎ C．128 D．243‎ 答案 A ‎9.等差数列中，，，则的值为( )‎ A．15 B．‎23 ‎C．25 D．37‎ 答案 B ‎10. 设等差数列的前项和为，若,则= ‎ ‎11.已知是等差数列，，则该数列前10项和=________‎ 答案 100‎ ‎12.在等差数列中，，，则数列的前9项之和等于 （ ）‎ A.66 B．‎99 ‎‎ C．144 D.．297‎ 答案 B ‎13.设等差数列的前项和为，若，，则（　　）‎ A．63 B．‎45 C．36 D．27‎ 答案 B ‎14.设等差数列的前n项和为 （ ）‎ A．18 B．‎17 ‎C．16 D．15‎ ‎15.已知等差数列的前项和为，若，则 ．‎ 答案 7‎ ‎16.已知等差数列的前项和为，若等于（ ）‎ A．18 B．‎36 C．54 D．72‎ 答案D ‎ ‎17.在等差数列中，，表示数列的前项和，则 A． B． C． D．‎ 答案 B ‎18.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则的值为（ ）‎ ‎ A．2 B．‎4 ‎C．7 D．8‎ 答案 B ‎19.等差数列中，，其前项和为，且（ ）‎ A． B．‎1 C． 0 D． 2 ‎ 答案：C ‎20．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d＝(　　)‎ A．7 B．6‎ C．3 D．2‎ ‎【解析】　设数列{an}的首项为a1，‎ 则，解得.‎ ‎21.已知{an}是等差数列,a4+a6＝6,其前5项和S5＝10,则其公差d＝________.‎ 解析:由a4+a6＝6,得a5＝3,‎ 又,∴a1＝1.∴4d＝a5-a1＝2,.‎ ‎22.等差数列中，且，则公差= ‎ 答案 10‎ ‎23．在等差数列{an}中，其前n项和是Sn，若S15＞0，S16＜0，则在，，…中最大的是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】　由于S15＝＝15a8＞0，S16＝＝8(a8＋a9)＜0，‎ 所以可得a8＞0，a9＜0.这样＞0，＞0，…，＞0，＜0，＜0，…，‎ ＜0，而S1＜S2＜…＜S8，a1＞a2＞…＞a8，所以在，，…，中最大的是.‎ ‎【答案】　B ‎24．等差数列{an}的前n项和满足S20＝S40，下列结论中正确的是(　　)‎ A．S30是Sn中的最大值 B．S30是Sn中的最小值 C．S30＝0 D．S60＝0‎ ‎【解析】　由S20＝S40，得a21＋a22＋…＋a40＝0，即10(a21＋a40)＝0，即a21＋a40＝0，‎ ‎∴a1＋a60＝0，∴S60＝＝0.‎ ‎【答案】　D ‎25．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2∶a4＝7∶6，则S7∶S3等于______．‎ ‎【解析】　∵＝，∴＝，∴＝，∴＝∴＝2.【答案】　2∶1‎ ‎26.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若,则等于______．‎ 解析：.‎ ‎27. 为等差数列的前n项和，若，则= ．‎ 解析： 由，即 ，得．，．故=4．‎ ‎28．等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－2 008，－＝2，则S2 008的值为________．‎ ‎【解析】　－＝－＝a1 004－a1 003＝2，‎ ‎∴d＝2，a2 008＝a1＋(n－1)d＝－2 008＋2 007×2＝2 006，‎ S2 008＝＝＝－2 008.‎ ‎29.等差数列的前项和为，且则 ‎ 解析 ∵Sn＝na1＋n(n－1)d ∴S5＝‎5a1＋10d,S3＝‎3a1＋3d ‎ ∴6S5－5S3＝‎30a1＋60d－(‎15a1＋15d)＝‎15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝‎15a4‎ ‎30．将含有k项的等差数列插入4和67之间，结果仍成一新的等差数列，并且新的等差数列所有项的和是781，则k的值为 ‎ ‎【解析】　由等差数列前n项和公式可得781＝，解得k＝20.‎ ‎31.等差数列{an}中,a1＝-5,它的前11项的平均值是5,若从中抽取1项,余下10项的平均值是4,则抽取的是 ‎ 解析：设抽取的是第n项.‎ ‎∵S11＝55,S11-an＝40,∴an＝15.又S11＝‎11a6,a6＝5,‎ 由a1＝-5,得,令15＝-5+(n-1)×2,∴n＝11.‎ ‎32.在各项均不为零的等差数列{an}中,若an+1-an2+an-1＝0(n≥2),则S2n-1-4n等于 ‎ 解析：此题考查等差数列的等差中项及常数列的求和.由an+1-an2+an-1＝0(n≥2),‎ 可得an+1+an-1＝2an＝an2.又an≠0,∴an＝2.∴S2n-1-4n＝4n-2-4n＝-2.‎ ‎33.等差数列的前n项和为，已知，,则 ‎ ‎【解析】因为是等差数列，所以，，由，得：2－＝0，所以，＝2，又，即＝38，即（‎2m－1）×2＝38，解得m＝10，‎ ‎34.在数列中，，且，_________。答案 2550‎ ‎35.各项不为零的等差数列中，，则的值为_______.答案4 ‎ ‎36.在数列的值为____.答案： ‎4951 ‎ ‎ ‎37.设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3＝15,a‎1a2a3＝80,则a11+a12+a13等于____.‎ 解析：∵a1+a2+a3＝15,,∴a2＝5,a1+a3＝10.又∵a‎1a2a3＝80,∴a1·a3＝16.又知公差为正数,∴a1＝2,a3＝8,公差d＝3.∴a11＝a1+10d＝2+10×3＝32,a12＝a11+d＝35,a13＝a12+d＝38.∴a11+a12+a13＝105.‎ ‎38.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为____ .‎ 解析:S偶-S奇＝5d＝15,∴d＝3.‎ ‎39.等差数列{an}共有2n项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且，则该数列的公差为____.答案:－3 ‎ ‎40．在等差数列中，‎ ‎（1）若，当 9 时，有最 大 值；‎ ‎（2）若，当 8或9 时，有最 小 值；‎ ‎（3）若，且，则当 7 时，有最 大 值；‎ ‎（4）若且，则当 5 时，有最 小 值.‎ ‎41.若数列{an}的前n项和Sn＝n2-10n(n＝1,2,3,…),则此数列的通项公式为_______________;数列{nan}中数值最小的项是第_______项.‎ 解析:当n≥2时,an＝Sn-Sn-1＝n2-10n-［(n-1)2-10(n-1)］＝2n-11;‎ 当n＝1时,a1＝S1＝-9符合上式2n-11＝an,∴an＝2n-11.‎ 设第n项最小,则∴‎ 解得.又n∈N*,∴n＝3.‎ ‎42.已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则的值是_____‎ 解析：因为原方程有四个根，所以方程和各有两个根．‎ 又因为这两个方程的两根之和都等于2，且四个根组成等差数列，记为，所以可设四个根为．所以．设公差为，则有，所以，从而有，．‎ 故．‎ ‎43.设等差数列的前项和为，若，则的最大值为___.答案 4‎ ‎44.在等差数列中，若它的前n项和有最大值，则使取得最小正数的 . 答案19‎