高考新课标1全国卷理科数学试题及答案

高考新课标1全国卷理科数学试题及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试全国新课标1理科数学第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1.已知集合，，则（）.....2.（）.....3.设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（）..是偶函数.是奇函数.是奇函数.是奇函数4.已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（）.....5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（）.....6.如图，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则在上的图像大致为（）. 7.执行下图的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的（）.....8.设，，且，则（）.....9.不等式组的解集记为.有下面四个命题：：，：,：，：.其中真命题是（）..，.，.，.，10.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个焦点，若，则（）.....11.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围为（）.....12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（）.....第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.的展开式中的系数为.（用数字填写答案） 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过，，三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为.15.已知，，是圆上的三点，若，则与的夹角为.16.已知分别为的三个内角的对边，，且，则面积的最大值为.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，，，，其中为常数.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）是否存在，使得为等差数列？并说明理由. 18.（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.（i）利用该正态分布，求；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值为于区间的产品件数，利用（i）的结果，求.附：，若～，则，.19.（本小题满分12分）如图三棱锥中，侧面为菱形，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，，，求二面角的余弦值. 20.（本小题满分12分）已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.21.（本小题满分12分）设函数，曲线在点处的切线方程为.（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：.请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）设不是的直径，的中点为，且，证明：为等边三角形. 23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线：，直线：（为参数）.（Ⅰ）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若，且.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由. 参考答案一、选择题ADCADCDCBBCB二、填空题13.14.15.16.三、解答题17.（1）证明：由题意得所以又因为所以所以（2）解：假设存在，使得为等差数列.由（1）知因为所以因为所以所以故所以是首项为1，公差为4的等差数列，是首项为3，公差为4的等差数列，所以因此存在，使得为等差数列.18.解：（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数（2）（1）由（1）知，，从而 （2）由（1）知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为依题意知，所以19.解：（1）连结，交于，连结.因为侧面为菱形，所以，且为与的中点.又，故（2）因为且为的中点，所以又因为，所以故，从而，，两两互相垂直.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示空间直角坐标系.因为，所以为等边三角形.又，则，，，，，设是平面的法向量，即所以可取设是平面的法向量，则同理可取则所以二面角的余弦值为.20.解：（1）设，由条件知，，得又，所以， 故的方程为.（2）依题意设直线：将代入得当，即时，从而又点到直线的距离，所以的面积设，则，因为，当且仅当，即时等号成立，且满足所以当的面积最大时，的方程为.21.解：（1）函数的定义域为，,由题意可得,故（2）由（1）知，从而等价于.设函数，则.所以当时，;当时,.故在单调递减，在单调递增，从而在的最小值为.设函数，则.所以当时，;当时，.故在单调递增，在单调递减，从而在的最大值为. 综上，当时，,即.22.（1）由题设得，四点共面，所以由已知得，,所以（2）设，连接,则由,知所以在上，又不是的直径，为中点，故即所以,故.又，故由（1）知所以为等边三角形。23.（1）曲线C的参数方程为直线的普通方程为（2）在曲线C上任意取一点到的距离为则其中为锐角。且当时，当24.（1）由得，当且仅当时等号成立。故且当且仅当时等号成立。由于，从而不存在。