甘肃省兰州市中考数学试卷及答案A

甘肃省兰州市中考数学试卷及答案A

甘肃省兰州市2007年初中毕业生学业考试试卷 数学(A)‎ 注意事项：‎ ‎1．全卷共计150分，考试时间120分钟．考生在答题前务必将毕业学校、志愿学校、姓名、准考证号、考场、座位号填写在试卷的相应位置上．‎ ‎2．答题时请用同一颜色(蓝色或黑色)的钢笔、碳素笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，要求字迹工整，卷面整洁．‎ ‎3．不得另加附页，附页上答题不记分．‎ 一．选择题(本题共12个小题，每小题4分，共计48分。在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．)‎ ‎01．下列方程中是一元二次方程的是（ ）．‎ A、2x＋1＝0 B、y2＋x＝‎1 C、x2＋1＝0 D、‎ ‎02．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A’B’C’，那么锐角A、A’的余弦值的关系为（ ）．‎ A、cosA＝cosA’ B、cosA＝3cosA’ C、3cosA＝cosA’ D、不能确定 ‎03．下列函数中，自变量x的取值范围是x＞2的函数是（ ）．‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎04．下列说法正确的是（ ）．‎ A、在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天 B、彩票中奖的机会是1％，买100张一定会中奖 C、天气预报说每天下雨的概率是50％，所以明天将有一半的时间在下雨 D、抛一枚图钉钉尖着地和钉尖朝上的概率一样大 ‎05．下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）．‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎(第05题图)‎ A、①② B、①③ C、②③ D、①②③‎ ‎06．顺次连接等腰梯形四边中点所得到的四边形是（ ）．‎ A、等腰梯形 B、直角梯形 C、矩形 D、菱形 O ‎(第08题图)‎ x y ‎07．“圆柱与球的组合体”如图所示，则它的三视图是（ ）．‎ 主视图 左视图 俯视图 主视图 俯视图 左视图 左视图 俯视图 主视图 主视图 左视图 俯视图 A B C D ‎(第07题图)‎ O ‎(第09题图)‎ A B C D E ‎08．二次函数y＝ax2＋bx＋c图象如图所示，则点A(ac，bc)在（ ）．‎ A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 ‎09．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在劣弧AD上，则∠BEC等于（ ）．‎ A、45° B、60° C、30° D、55°‎ ‎10．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（ ）．‎ A、小明的影子比小强的影子长 B、小明的影子比小强的影子短 C、小明的影子和小强的影子一样长 D、无法判断谁的影子长 x y y y y x x x A B C D ‎11．已知k1＜0＜k2，则函数y＝k1x和的图象大致是（ ）．‎ ‎(第13题图)‎ A ‎(第12题图)‎ ‎12．如图，小丽自己动手做了一顶圆锥形的圣诞帽，母线长是‎30cm，底面半径是‎10cm，她想在帽子上缠一根漂亮的丝带，从A出发绕帽子侧面一周，至少需要丝带（ ）．‎ A、cm B、cm C、cm D、‎‎30cm 二．填空题(本题共8个小题，每小题4分，共32分，请把答案填在题中的横线上．)‎ ‎13．如图是一个小熊的图像，图中反映出圆与圆的四种位置关系，但是其中有一种位置关系没有反映出来，请你写出这种位置关系，它是____________．‎ ‎14．老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质，甲：第一象限内有它的图象；乙：第三象限内有它的图象；丙：在每个象限内，y随下的增大而减小。请你写一个满足上述性质的函数解析式_________________．‎ ‎15．兰州市政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价，由每盒72元调至56元．若每次平均降价的百分率为x，由题意可列方程为_________________．‎ ‎2米 ‎(第17题图)‎ ‎9.6米 ‎16．将抛物线y＝2x2先沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y轴方向向下平移3个单位，所得抛物线的解析式是___________________．‎ ‎17．赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立‎1米长的标杆测得其影长为‎1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为‎9.6米和‎2米，则学校旗杆的高度为___________米．‎ ‎18．抛物线y＝ax2＋2ax＋a2＋2的一部分如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是_____________．‎ ‎19．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，若∠APB＝60°，⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为_____．‎ H H H C C C H H H H H H H C C H H H H H H C H H C2H6‎ C3H8‎ CH4‎ ‎(第20题图)‎ O ‎(第18题图)‎ x y ‎-3‎ ‎20．下列是三种化合物的结构式及分子式，请按其规律，写出后一种化合物的分子式为___________．‎ O ‎(第19题图)‎ A B P 三．作图题(本题满分5分，要求尺规作图，不写作法和证明，但保留作图痕迹．)‎ ‎(第21题图)‎ A C B A C B ‎21．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，用两种方法把它分成两个三角形，且要求一个三角形是等腰三角形．‎ 四．解答题(本大题共9道题，共计65分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)‎ ‎22．(本题满分6分)‎ 计算：0.25•(cos60°)－2－(－1)0＋tan60°‎ ‎23．(本题满分6分)‎ 阅读材料：为解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1看作一个整体，然后设x2－1＝y……①，那么原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2－1＝1，∴x2＝2，∴x＝±；当y＝4时，x2－1＝4，∴x2＝5，∴x＝±，故原方程的解为x1＝，x2＝，x3＝，x4＝．‎ 解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用_________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；‎ ‎(2)请利用以上知识解方程x4－x2－6＝0．‎ ‎24．(本题满分6分)‎ 将背面相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌子上．‎ ‎(1)从中随机抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率；‎ ‎(2)先从中随机抽取一张卡片(不放回)，将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．‎ ‎25．(本题满分7分)‎ 如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H．‎ ‎(1)求证：AH•AB＝AC2；‎ ‎(2)若过A的直线与弦CD(不含端点)相交于点E，与⊙O相交于点F，求证：AE•AF＝AC2；‎ ‎(第25题图)‎ D C B A E F H O ‎(3)若过A的直线与直线CD相交于点P，与⊙O相交于点Q，判断AP•AQ＝AC2是否成立(不必正面)．‎ ‎26．(本题满分7分)‎ 兰州市某校对九年级学生进行“综合素质”评价，评价的结果为A(优)、B(良好)、C(合格)、D(不合格)四个等级．现从中抽测了若干名学生的“综合素质”等级作为样本进行数据处理，并作出如图所示的统计图，已知图中从左到右的四个长方形的高的比为：14∶9∶6∶1，评价结果为D等级的有2人，请你回答以下问题：‎ ‎(1)共抽测了多少人？‎ ‎(2) 样本中B等级的频率是多少？C等级的频率是多少？‎ ‎(3)如果要绘制扇形统计图，A、D两个等级在扇形统计图中所占的圆心角分别是多少度？‎ ‎(第26题图)‎ D C B A 等级 人数 ‎(4)该校九年级的毕业示范性高中生共300人，假如“综合素质”等级为A或B的学生才能报考示范性高中，请你计算该校大约有多少名学生可以报考示范性高中？‎ ‎27．(本题满分7分)‎ 某农场计划建一个养鸡场，为了节约材料，鸡场一边靠着原有的一堵墙(墙足够长)，另外的部分用30米的竹篱笆围成，现有两种方案：①围成一个矩形(如下左图)；②围成一个半圆形(如下右图)．设矩形的面积为S1平方米，宽为x米，半圆形的面积为S2平方米，半径为r米，请你通过计算帮助农场主选择一个围成区域面积最大的方案(π≈3)．‎ ‎(第27题图)‎ x S1‎ S2‎ ‎28．(本题满分8分)‎ 兰州市城市规划期间，欲拆除黄河岸边的一根电线杆AB(如图)，已知距电线杆AB水平距离14米处是河岸，即BD＝14米，该河岸的坡面CD的坡角∠CDF的正切值为2，岸高CF为2米，在坡顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽2米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，为确保安全，是否将此人行道封上？(在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域)‎ ‎(第27题图)‎ C B A D E F G ‎29．(本题满分9分)‎ 如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE、等边△BCF．‎ ‎(1)求证：四边形DAEF是平行四边形；‎ ‎(2)探究下列问题：(只填满足的条件，不需证明)‎ ‎①当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是矩形；‎ ‎②当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是菱形；‎ ‎(第29题图)‎ C B A D F E ‎③当△ABC满足_________________________条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．‎ ‎30．(本题满分10分)‎ 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于点A(x0，0)和点B(2，0)，与y轴的正半轴交于点C，其对称轴是直线x＝－1，tan∠BAC＝2，点A关于y轴的对称点为点D．‎ ‎(1)确定A、C、D三点的坐标；‎ ‎(2)求过B、C、D三点的抛物线的解析式；‎ ‎(3)若过点(0，3)且平行于x轴的直线与(2)小题中所求抛物线交于M、N两点，以MN为一边，抛物线上任意一点P(x，y)为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S，写出S关于P点纵坐标y的函数解析式．‎ ‎(4)当＜x＜4时，(3)小题中平行四边形的面积是否有最大值，若有，请求出，若无，请说明理由．‎ 甘肃省兰州市2007年初中毕业生学业考试试卷 数学参考答案及评分标准(A)‎ 注：对另解情况均酌情给分．‎ 一．选择题(本题共12个小题，每小题4分，共计48分．)‎ ‎01．下列方程中是一元二次方程的是（ C ）．‎ A、2x＋1＝0 B、y2＋x＝‎1 C、x2＋1＝0 D、‎ ‎02．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A’B’C’，那么锐角A、A’的余弦值的关系为（ A ）．‎ A、cosA＝cosA’ B、cosA＝3cosA’ C、3cosA＝cosA’ D、不能确定 ‎03．下列函数中，自变量x的取值范围是x＞2的函数是（ C ）．‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎04．下列说法正确的是（ A ）．‎ A、在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天 B、彩票中奖的机会是1％，买100张一定会中奖 C、天气预报说每天下雨的概率是50％，所以明天将有一半的时间在下雨 D、抛一枚图钉钉尖着地和钉尖朝上的概率一样大 ‎05．下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ B ）．‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎(第05题图)‎ A、①② B、①③ C、②③ D、①②③‎ ‎06．顺次连接等腰梯形四边中点所得到的四边形是（ D ）．‎ A、等腰梯形 B、直角梯形 C、矩形 D、菱形 ‎07．“圆柱与球的组合体”如图所示，则它的三视图是（ A ）．‎ 主视图 左视图 俯视图 主视图 俯视图 左视图 左视图 俯视图 主视图 主视图 左视图 俯视图 A B C D ‎(第07题图)‎ O ‎(第08题图)‎ x y ‎08．二次函数y＝ax2＋bx＋c图象如图所示，则点A(ac，bc)在（ B ）．‎ O ‎(第09题图)‎ A B C D E A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 ‎09．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在劣弧AD上，则∠BEC等于（ A ）．‎ A、45° B、60° C、30° D、55°‎ ‎10．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（ D ）．‎ A、小明的影子比小强的影子长 B、小明的影子比小强的影子短 C、小明的影子和小强的影子一样长 D、无法判断谁的影子长 x y y y y x x x A B C D ‎11．已知k1＜0＜k2，则函数y＝k1x和的图象大致是（ D ）．‎ ‎(第13题图)‎ A ‎(第12题图)‎ ‎12．如图，小丽自己动手做了一顶圆锥形的圣诞帽，母线长是‎30cm，底面半径是‎10cm，她想在帽子上缠一根漂亮的丝带，从A出发绕帽子侧面一周，至少需要丝带（ C ）．‎ A、cm B、cm C、cm D、‎‎30cm 二．填空题(本题共8个小题，每小题4分，共32分．)‎ ‎13．如图是一个小熊的图像，图中反映出圆与圆的四种位置关系，但是其中有一种位置关系没有反映出来，请你写出这种位置关系，它是【相交】．‎ ‎14．老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质，甲：第一象限内有它的图象；乙：第三象限内有它的图象；丙：在每个象限内，y随下的增大而减小。请你写一个满足上述性质的函数解析式【】．(注：只要k＞0即可)‎ ‎15．兰州市政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价，由每盒72元调至56元．若每次平均降价的百分率为x，由题意可列方程为【72(1－x)2＝56】．‎ ‎2米 ‎(第17题图)‎ ‎9.6米 ‎16．将抛物线y＝2x2先沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y轴方向向下平移3个单位，所得抛物线的解析式是【y＝2x2＋8x＋5】．‎ ‎17．赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立‎1米长的标杆测得其影长为‎1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为‎9.6米和‎2米，则学校旗杆的高度为【10】米．‎ ‎18．抛物线y＝ax2＋2ax＋a2＋2的一部分如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是【(1，0)】．‎ ‎19．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，若∠APB＝60°，⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为【9－3π】．‎ H H H C C C H H H H H H H C C H H H H H H C H H C2H6‎ C3H8‎ CH4‎ ‎(第20题图)‎ O ‎(第18题图)‎ x y ‎-3‎ ‎20．下列是三种化合物的结构式及分子式，请按其规律，写出后一种化合物的分子式为【C4H10】．‎ O ‎(第19题图)‎ A B P 三．作图题(本题满分5分．)‎ ‎(第21题图)‎ A C B ‎21．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，用两种方法把它分成两个三角形，且要求一个三角形是等腰三角形．‎ 解：可参考的作法有：‎ ‎(1)作AC的中垂线交AB于D，连接CD，得等腰△DAC；‎ ‎(2)作∠B的平分线交AC于D，得等腰△DAB；‎ ‎(3)在BA上截取BD＝BC，连接CD，得等腰△BCD；‎ ‎(4)在AB上截取AD＝AC，连结CD，得等腰△ACD．‎ ‎(每个作图2分，共4分，答语1分．其它作法正确均可得分)‎ 四．解答题(本大题共9道题，共计65分．)‎ ‎22．(本题满分5分)‎ 计算：0.25•(cos60°)－2－(－1)0＋tan60°‎ 解：原式＝0.25×4－1＋ ……3分 ‎＝ ……5分 ‎23．(本题满分6分)‎ 阅读材料：为解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1看作一个整体，然后设x2－1＝y……①，那么原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2－1＝1，∴x2＝2，∴x＝±；当y＝4时，x2－1＝4，∴x2＝5，∴x＝±，故原方程的解为x1＝，x2＝，x3＝，x4＝．‎ 解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用_________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；‎ ‎(2)请利用以上知识解方程x4－x2－6＝0．‎ 解：(1)换元法 ……1分 ‎(2)设x2＝y，那么原方程可化为y2－y－6＝0 ……2分 解得y1＝3，y2＝－2 ……3分 当y＝3时，x2＝3‎ ‎∴x＝± ……4分 当y＝－2时，x2＝－2不符合题意 舍去 ……5分 ‎∴原方程的解为：x1＝，x2＝ ……6分 ‎24．(本题满分6分)‎ 将背面相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌子上．‎ ‎(1)从中随机抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率；‎ ‎(2)先从中随机抽取一张卡片(不放回)，将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．‎ 解：(1)P偶数＝ ＝ ……2分 ‎(2)树状图或列表略(画树状图或列表正确得3分) ……5分 ‎∴P4的倍数＝ ＝ ……6分 ‎25．(本题满分7分)‎ 如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H．‎ ‎(1)求证：AH•AB＝AC2；‎ ‎(2)若过A的直线与弦CD(不含端点)相交于点E，与⊙O相交于点F，求证：AE•AF＝AC2；‎ ‎(第25题图)‎ D C B A E F H O ‎(3)若过A的直线与直线CD相交于点P，与⊙O相交于点Q，判断AP•AQ＝AC2是否成立(不必正面)．‎ 证明：(1)连结CB ‎∵AB是⊙O的直径 ‎∴∠ACB＝90° ……1分 又∵∠CAH＝∠BAC ‎∴△CAH∽△BAC ……2分 ‎∴‎ 即AH•AB＝AC2 ……3分 ‎(2)连结FB 易证△AHE∽△AFB ……4分 ‎∴AE•AF＝AH•AB ……5分 ‎∴AE•AF＝AC2 ……6分 也可连结CF，证△AEC∽△ACF ‎(3)结论AP•AQ＝AC2成立 ……7分 ‎26．(本题满分7分)‎ 兰州市某校对九年级学生进行“综合素质”评价，评价的结果为A(优)、B(良好)、C(合格)、D(不合格)四个等级．现从中抽测了若干名学生的“综合素质”等级作为样本进行数据处理，并作出如图所示的统计图，已知图中从左到右的四个长方形的高的比为：14∶9∶6∶1，评价结果为D等级的有2人，请你回答以下问题：‎ ‎(1)共抽测了多少人？‎ ‎(2) 样本中B等级的频率是多少？C等级的频率是多少？‎ ‎(3)如果要绘制扇形统计图，A、D两个等级在扇形统计图中所占的圆心角分别是多少度？‎ ‎(第26题图)‎ D C B A 等级 人数 ‎(4)该校九年级的毕业示范性高中生共300人，假如“综合素质”等级为A或B的学生才能报考示范性高中，请你计算该校大约有多少名学生可以报考示范性高中？‎ 解：(1)2÷＝2×20＝60人 ‎∴抽测了60人 ……1分 ‎(2)∵9÷30＝0.3‎ ‎∴样本中B等级的频率是0.3 ……2分 ‎∵6÷30＝0.2‎ ‎∴样本中C等级的频率是0.2 ……3分 ‎(3)A等级在扇形统计图中所占的圆心角为：×360°＝168° ……4分 D等级在扇形统计图中所占的圆心角为：×360°＝12° ……5分 ‎(4)×300＝230名 ‎∴估计该校大约有230名学生可以报考示范性高中 ……7分 ‎27．(本题满分7分)‎ 某农场计划建一个养鸡场，为了节约材料，鸡场一边靠着原有的一堵墙(墙足够长)，另外的部分用30米的竹篱笆围成，现有两种方案：①围成一个矩形(如下左图)；②围成一个半圆形(如下右图)．设矩形的面积为S1平方米，宽为x米，半圆形的面积为S2平方米，半径为r米，请你通过计算帮助农场主选择一个围成区域面积最大的方案(π≈3)．‎ ‎(第27题图)‎ x S1‎ S2‎ 解：S1＝x(30－2x) ……1分 ‎＝－2x2＋30x ‎＝－2(x－)2＋ ……2分 当x＝米时 S1取最大值平方米 ……3分 由30＝πr得r＝10米 ……4分 S2＝πr2＝×3×100＝150平方米 ……5分 ‎∵＜150‎ ‎∴S1＜S2 ……6分 ‎∴应选择方案② ……7分 ‎28．(本题满分8分)‎ ‎(第27题图)‎ C B A D E F G 兰州市城市规划期间，欲拆除黄河岸边的一根电线杆AB(如图)，已知距电线杆AB水平距离‎14米处是河岸，即BD＝‎14米，该河岸的坡面CD的坡角∠CDF的正切值为2，岸高CF为‎2米，在坡顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽‎2米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，为确保安全，是否将此人行道封上？(在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域)‎ 解：由tan∠CDF＝＝2，CF＝2米 ‎∴DF＝1米，BG＝2米 ……1分 ‎∵BD＝14米 ‎∴BF＝GC＝15米 ……2分 在Rt△AGC中，由tan30°＝‎ ‎∴AG＝15×＝‎ ‎≈5×1.732＝8.660米 ……4分 ‎∴AB＝8.660＋2＝10.66米 ……5分 BE＝BD－ED＝‎12米 ……6分 ‎∵BE＞AB ‎∴不需要封人行道 ……8分 ‎29．(本题满分9分)‎ 如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE、等边△BCF．‎ ‎(1)求证：四边形DAEF是平行四边形；‎ ‎(2)探究下列问题：(只填满足的条件，不需证明)‎ ‎①当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是矩形；‎ ‎②当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是菱形；‎ ‎(第29题图)‎ C B A D F E ‎③当△ABC满足_________________________条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．‎ 证明：(1)∵△ABD和△FBC都是等边三角形 ‎∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠FAB＝60°‎ ‎∴∠DBF＝∠ABC 又∵BD＝BA，BF＝BC ‎∴△ABC≌△DBF ……2分 ‎∴AC＝DF＝AE ……3分 同理△ABC≌△EFC ‎∴AB＝EF＝AD ……4分 ‎∴四边形ADFE是平行四边形 ……6分 ‎(2)①∠BAC＝150° ……7分 ‎②AB＝AC≠BC ……8分 ‎③∠BAC＝60° ……9分 ‎30．(本题满分10分)‎ 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于点A(x0，0)和点B(2，0)，与y轴的正半轴交于点C，其对称轴是直线x＝－1，tan∠BAC＝2，点A关于y轴的对称点为点D．‎ ‎(1)确定A、C、D三点的坐标；‎ ‎(2)求过B、C、D三点的抛物线的解析式；‎ ‎(3)若过点(0，3)且平行于x轴的直线与(2)小题中所求抛物线交于M、N两点，以MN为一边，抛物线上任意一点P(x，y)为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S，写出S关于P点纵坐标y的函数解析式．‎ ‎(4)当＜x＜4时，(3)小题中平行四边形的面积是否有最大值，若有，请求出，若无，请说明理由．‎ 解：(1)∵点A与点B关于直线x＝－1对称，点B的坐标是(2，0)‎ ‎∴点A的坐标是(－4，0) ……1分 由tan∠BAC＝2可得OC＝8‎ ‎∴C(0，8) ……2分 ‎∵点A关于y轴的对称点为D ‎∴点D的坐标是(4，0) ……3分 ‎(2)设过三点的抛物线解析式为y＝a(x－2)(x－4)‎ 代入点C(0，8)，解得a＝1 ……4分 ‎∴抛物线的解析式是y＝x2－6x＋8 ……5分 ‎(3)∵抛物线y＝x2－6x＋8与过点(0，3)平行于x轴的直线相交于M点和N点 ‎∴M(1，3)，N(5，3)，＝4 ……6分 而抛物线的顶点为(3，－1)‎ 当y＞3时 S＝4(y－3)＝4y－12‎ 当－1≤y＜3时 S＝4(3－y)＝－4y＋12 ……8分 ‎(4)以MN为一边，P(x，y)为顶点，且当＜x＜4的平行四边形面积最大，只要点P到MN的距离h最大 ‎∴当x＝3，y＝－1时，h＝4‎ S＝•h＝4×4＝16‎ ‎∴满足条件的平行四边形面积有最大值16 ……10分 甘肃省兰州市2007年初中毕业生学业考试试卷 数学参考答案及评分标准(A)‎ 注：对另解情况均酌情给分．‎ 一．选择题(本题共12个小题，每小题4分，共计48分．)‎ 题号 ‎01‎ ‎02‎ ‎03‎ ‎04‎ ‎05‎ ‎06‎ ‎07‎ ‎08‎ ‎09‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A C A B D A B A D D C 二．填空题(本题共8个小题，每小题4分，共32分．)‎ ‎13．相交 ‎14．如： (注：只要k＞0即可)‎ ‎15．72(1－x)2＝56‎ ‎16．y＝2x2＋8x＋5‎ ‎17．10‎ ‎18．(1，0)‎ ‎19．9－3π ‎20．C4H10‎ 三．作图题(本题满分5分．)‎ ‎21．解：可参考的作法有：‎ ‎(1)作AC的中垂线交AB于D，连接CD，得等腰△DAC；‎ ‎(2)作∠B的平分线交AC于D，得等腰△DAB；‎ ‎(3)在BA上截取BD＝BC，连接CD，得等腰△BCD；‎ ‎(4)在AB上截取AD＝AC，连结CD，得等腰△ACD．‎ ‎(每个作图2分，共4分，答语1分．其它作法正确均可得分)‎ 四．解答题(本大题共9道题，共计65分．)‎ ‎22．(本题满分5分)‎ 解：原式＝0.25×4－1＋ ……3分 ‎＝ ……5分 ‎23．(本题满分6分)‎ 解：(1)换元法 ……1分 ‎(2)设x2＝y，那么原方程可化为y2－y－6＝0 ……2分 解得y1＝3，y2＝－2 ……3分 当y＝3时，x2＝3‎ ‎∴x＝± ……4分 当y＝－2时，x2＝－2不符合题意 舍去 ……5分 ‎∴原方程的解为：x1＝，x2＝ ……6分 ‎24．(本题满分6分)‎ 解：(1)P偶数＝ ＝ ……2分 ‎(2)树状图或列表略(画树状图或列表正确得3分) ……5分 ‎∴P4的倍数＝ ＝ ……6分 ‎25．(本题满分7分)‎ 证明：(1)连结CB ‎∵AB是⊙O的直径 ‎∴∠ACB＝90° ……1分 又∵∠CAH＝∠BAC ‎∴△CAH∽△BAC ……2分 ‎∴‎ 即AH•AB＝AC2 ……3分 ‎(2)连结FB 易证△AHE∽△AFB ……4分 ‎∴AE•AF＝AH•AB ……5分 ‎∴AE•AF＝AC2 ……6分 也可连结CF，证△AEC∽△ACF ‎(3)结论AP•AQ＝AC2成立 ……7分 ‎26．(本题满分7分)‎ 解：(1)2÷＝2×20＝60人 ‎∴抽测了60人 ……1分 ‎(2)∵9÷30＝0.3‎ ‎∴样本中B等级的频率是0.3 ……2分 ‎∵6÷30＝0.2‎ ‎∴样本中C等级的频率是0.2 ……3分 ‎(3)A等级在扇形统计图中所占的圆心角为：×360°＝168° ……4分 D等级在扇形统计图中所占的圆心角为：×360°＝12° ……5分 ‎(4)×300＝230名 ‎∴估计该校大约有230名学生可以报考示范性高中 ……7分 ‎27．(本题满分7分)‎ 解：S1＝x(30－2x) ……1分 ‎＝－2x2＋30x ‎＝－2(x－)2＋ ……2分 当x＝米时 S1取最大值平方米 ……3分 由30＝πr得r＝10米 ……4分 S2＝πr2＝×3×100＝150平方米 ……5分 ‎∵＜150‎ ‎∴S1＜S2 ……6分 ‎∴应选择方案② ……7分 ‎28．(本题满分8分)‎ 解：由tan∠CDF＝＝2，CF＝2米 ‎∴DF＝1米，BG＝2米 ……1分 ‎∵BD＝14米 ‎∴BF＝GC＝15米 ……2分 在Rt△AGC中，由tan30°＝‎ ‎∴AG＝15×＝‎ ‎≈5×1.732＝8.660米 ……4分 ‎∴AB＝8.660＋2＝10.66米 ……5分 BE＝BD－ED＝‎12米 ……6分 ‎∵BE＞AB ‎∴不需要封人行道 ……8分 ‎29．(本题满分9分)‎ 证明：(1)∵△ABD和△FBC都是等边三角形 ‎∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠FAB＝60°‎ ‎∴∠DBF＝∠ABC 又∵BD＝BA，BF＝BC ‎∴△ABC≌△DBF ……2分 ‎∴AC＝DF＝AE ……3分 同理△ABC≌△EFC ‎∴AB＝EF＝AD ……4分 ‎∴四边形ADFE是平行四边形 ……6分 ‎(2)①∠BAC＝150° ……7分 ‎②AB＝AC≠BC ……8分 ‎③∠BAC＝60° ……9分 ‎30．(本题满分10分)‎ 解：(1)∵点A与点B关于直线x＝－1对称，点B的坐标是(2，0)‎ ‎∴点A的坐标是(－4，0) ……1分 由tan∠BAC＝2可得OC＝8‎ ‎∴C(0，8) ……2分 ‎∵点A关于y轴的对称点为D ‎∴点D的坐标是(4，0) ……3分 ‎(2)设过三点的抛物线解析式为y＝a(x－2)(x－4)‎ 代入点C(0，8)，解得a＝1 ……4分 ‎∴抛物线的解析式是y＝x2－6x＋8 ……5分 ‎(3)∵抛物线y＝x2－6x＋8与过点(0，3)平行于x轴的直线相交于M点和N点 ‎∴M(1，3)，N(5，3)，＝4 ……6分 而抛物线的顶点为(3，－1)‎ 当y＞3时 S＝4(y－3)＝4y－12‎ 当－1≤y＜3时 S＝4(3－y)＝－4y＋12 ……8分 ‎(4)以MN为一边，P(x，y)为顶点，且当＜x＜4的平行四边形面积最大，只要点P到MN的距离h最大 ‎∴当x＝3，y＝－1时，h＝4‎ S＝•h＝4×4＝16‎ ‎∴满足条件的平行四边形面积有最大值16 ……10分