乘法公式中考新题型赏析

乘法公式中考新题型赏析

乘法公式中考新题型赏析 例题：（湖北省孝感市中考试题）在实数范围内定义运算“☆”，其规则为： ，则方程的解为 ． ‎ 分析：按照题目中的信息得出：，则有：‎ ‎，所以：，又因为：‎ 所以方程的解为：；‎ ‎ 点评：结合乘法公式定义新运算，是一个新的中考题型；利用题目中提供的信息，按照运算顺序进行逐次变化求值，还应当考虑到一个正数可以是两个互为相反数的数的平方，所以注意到解法的完整性，不可疏漏；‎ ‎ 例2. 在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：，则下面的方程的解为 ．‎ ‎ 分析：由已知得出：、；所以原方程变为：‎ ‎，化简得出：，则有：；解法由同学们完成，本文略；‎ ‎ 练习：‎ ‎1.在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：则下面的方程 的解为 ．；‎ ‎2. 在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：则下面的方程的解为 ．；‎ ‎ ‎ 活用平方差公式 解数字运算题 平方差公式(a+b)(a－b)＝a2－b2，不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式无缘，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．现举例说明．‎ 例1　计算：．‎ 分析：由于数字较大，直接运算较繁，但考虑分母中的2007×2009可写成(2008－1)(2008+1)，这样就可以直接运用平方差公式求解．‎ 解：原式＝＝＝＝1‎ 说明　对于数字较大而相差有一定规律的数字计算，你不妨考虑运用平方差公式．‎ 例2　计算：12－22+32－42+…+992－1002， ‎ 分析　观察式中的各数特点，可逆用平方差公式直接算出其结果．‎ 解：12－22+32－42+…+992－1002‎ ‎＝(1－2) (1+2)+(3－4) (3+4)+…(99－100) (99+100)‎ ‎＝－(1+2+3+4+…+99+100)‎ ‎＝－(1+100)×50‎ ‎＝-5050‎ 说明　对于两个因数或因式是平方差的形式都可以考虑逆用平方差公式．‎ 例3 计算：‎ 分析：本例若直接计算则较繁，由数字特点可连续逆用平方差公式．‎ 解：原式＝‎ ‎＝‎ 整式乘法的应用 ‎　　学习数学知识的目的在于应用，我们学习了整式的乘法以后，可以利用整式的乘法解决某些实际问题，请看以下几个例子. 　　一、求值 ‎　　【例1】已知（2x+3）4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，求： 　　（1）a0+a1+a2+a3+a4；（2）a0－a1+a2－a3+a4 　　（3）a0+a2+a4‎ ‎　　【思考与分析】 如何求取各项系数所组成的式子，直接求是行不通，我们可以通过观察各式，通过适当赋于x特殊值，便可求出.‎ ‎　　解： （1）令x=1，代入（2x+3）4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，有：（2+3）4=a0+a1+a2+a3+a4，（2）令x=－1，代入（2x+3）4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，有a0－a1+a2－a3+a4＝（－2+3）4＝1.‎ ‎　　（3）（a0+a1+a2+a3+a4）＋（a0－a1+a2－a3+a4）＝2（a0+a2+a4） 　　所以625+1＝2（a0+a2+a4），a0+a2+a4＝313.‎ ‎　　【点评】那我们如何求a1+a3，请同学们仔细思考.对于这类题，关键是选取适当的特殊值.‎ ‎　　【例2】已知x=y=11，求（xy－1）2+（x+y－2）（x+y－2xy）的值．‎ ‎　　【思考与分析】本题是可直接代入求值的．下面采用换元法，先将式子改写得较简洁，然后再求值． 　　解： 设x+y=m，xy=n． 　　原式=（n－1）2+（m－2）（m－2n） 　　=（n－1）2+m2－‎2m－2mn+4n 　　=n2－2n+1+4n－‎2m－2mn+m2 　　=（n+1）2－‎2m（n+1）+m2 　　=（n+1－m）2=（11×11+1－22）2 　　=（121+1－22）2=1002=10000． ‎ ‎　　【点评】换元法是处理较复杂的代数式的常用手法，通过换元，可以使代数式的特征更加突出，从而简化了题目的表述形式．‎ ‎　　二、在行程中的应用 　　【例3】 （山东）雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行．假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个过程共用了5.24×10－5秒．已知电磁波的传播速度为3.0×‎108米／秒，则该时刻飞机与雷达站的距离是　　　（　　）. 　　Ａ．7.86×‎103米　　　Ｂ．7.86×‎104米　　　Ｃ．1.572×‎103 米　　　Ｄ．1.572×‎104 米 　　【思考与分析】 在行程问题中有时间、速度、路程这三个量，它们之间的关系是路程＝速度×时间.我们可以把上面的式子看成单项式乘以单项式的问题 　　解：飞机与雷达站的距离是：3.0×108×5.24×10－5÷2=（5.24×3.0）（10－5）（108）÷2=15.72×103÷2=1.572×104÷2=7.86×‎103米.即：选A. 　　【点评】 本题实际上有后面我们将要学习关于近似数、有效数字的问题. 　　三、在几何图形上的应用 　　【例4】 （江苏）扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示.如果长方体盒子的长比宽多4，求这种药品包装盒的体积.‎ ‎　　【思考与分析】 我们通过观察图可知：2宽＋2高＝‎14cm，长+2高＝‎13cm.又有宽＋4＝长，这样我们就可以求出长方体即包装盒的体积. 　　解：设这个长方形的盒子的宽为xcm，则长为（x+4）cm，高为（7－x）cm， 　　所以体积为：x（x+4）（7－x）=－x3+3x2+28x. ‎ ‎　　又（x+4）＋2（7－x）=13，所以x=5，所以体积为x（x+4）（7－x）＝‎90cm 3‎ ‎　　【点评】观察图形找到长宽高的对应关系，建立等式，这就找到了解题思路.‎ ‎　　四、在购物中的应用 ‎　　【例5】甲、乙两家体育器材商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，球拍一副定价60元，乒乓球每盒定价10元，世界乒乓球世界杯赛期间，两家球拍都搞促销活动：甲商店规定每买一副乒乓球拍赠二盒乒乓球;乙商店规定所有商品9折优惠.某校乒乓球队需要2副乒乓球拍，乒乓球若干盒（不少于4盒）.‎ ‎　　（1）设该校要买乒乓球x盒，那么所需要商品在甲商店买和在乙商店购买分别需付多少钱？‎ ‎　　（2）若该校要买20盒乒乓球，试说明哪一家购买所需商品比较便宜.‎ ‎　　【思考与分析】 我们可知因为甲商店一副乒乓球拍赠二盒乒乓球，故可获赠4盒乒乓球，需再购买（x－4）盒乒乓球，乙商店打九折，通过列出等式比较就可得出所花钱的多少.‎ ‎　　解：（1）由题意，知在甲商店购买所需商品可获赠4盒乒乓球，故还需再购买（x－4）盒乒乓球，在甲商店购买需要10（x－4）+60×2=10x+80（元），在乙商店购买需90%（10x+60×2）=9x+108（元）.‎ ‎　　（2）当x=20时，在甲商店购买需10×20+80＝280（元），在乙商店购买需9×20+108＝288（元）. 所以应选择在甲商店购买所需商品比较便宜.‎ ‎　　【点评】这题我们需要注意的就是找到还需要买乒乓球的盒数.我们解这类的实际问题关键是要找到对应关系写出代数式，再立意乘法计算.‎