中考数学中的折叠问题专题复习

中考数学中的折叠问题专题复习

中考数学中的折叠问题专题复习 一、教学目标 ‎1、基础知识目标：‎ 使学生进一步巩固掌握折叠图形的性质，会利用其性质进行有关的计算和证明。‎ ‎2、能力训练目标：‎ 提升学生的空间想象能力、抽象思维能力、逻辑推理能力及综合运用数学知识解决问题的能力。‎ ‎3、情感态度与价值观要求：‎ 鼓励学生积极参与数学学习活动，对数学证明有好奇心和求知欲。‎ 二、教学重点、难点 重点：会利用折叠图形的性质进行有关的计算和证明。‎ 难点：综合运用所学数学知识进行有关的计算和证明。‎ 三、教学方法 讲、练、测相结合的教学方法，在老师的引导下，通过讲、练、测的有机结合，达到知识、技能、方法的全线突破。‎ 四、教学程序及设想 ‎1、巧设情景，设疑引入 观察与发现：小明将纸片ABC（AB>AC）沿过A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD,展开纸片；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF,展开纸片后得到AEF（如图1）。小明认为AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由。引出课题。‎ ‎2、运用性质，折叠问题实质上就是轴对称变换归类探究。‎ 归类一：折叠后求角的度数 典例解析：将矩形纸片ABCD折叠，使得D点与B重合，点C落在点C'处， 折痕为EF，如果∠ABE＝20°，则∠EFC'＝（    ）‎ ‎  A. 125°    B. 80°   C. 75°  D. 无法确定 评析：本题只要抓住折叠的本质特征，折叠前后的两个图形全等，找出翻折前后的一些不变量，其次要注意利用矩形的性质，如矩形的每个角都是90°、对边互相平行等。‎ 体验感悟：随后给学生一定的时间去感悟和体会这类题的解题思路和方法。‎ ‎1、如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB=20°，那么，∠BAF为多少度时，才能使AB'∥BD？（∠BAF＝55°）‎ 利用折叠的性质求角的度数，当条件中有某些角的度数时，综合题中的其他条件，找已知角和未知角的关系，从而求的未知角的度数。若条件中没有任何一个角的度数已知时，该怎样思考？‎ ‎2、如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，沿过点D的折痕，将A角翻折，使A落在BC边上的A1处，则∠E A1B= ‎ ‎（本题和上题的区别在于条件中没有任何一个角的度数是已知的，要把线段之间的关系转化角的度数，然后求得未知角的度数。在难度上有所加深，其目的在于培养学生综合运用所学数学知识解决问题的能力。）‎ 利用折叠的性质，除了可以求角的度数之外，还可以求线段的长度引出。‎ 归类二：求线段的长度 例2、如图在长方形ABCD中，AB=8,BC=10,经折叠，A点落在BC边的F点处，折痕DE与AB的交点是E，求EF的长。‎ 解：‎ 连接DF，设AE＝X 根据题意，AE＝EF＝X，DF＝AD＝BC＝10‎ 所以根据勾股定理得CF＝6‎ 所以BF＝10－6＝4‎ 因为BE＝8－X 所以根据勾股定理得：‎ ‎(8－X)2＋42＝X2‎ 所以 ‎64－16X＋16＝0‎ 解得 X＝5‎ 所以EF的长是5‎ ‎（这道题基础性强，且有一定的综合性，有利于培养学生综合运用所学知识解决问题的能力。同时对应的练习题的设置，在上题的基础上综合性又有所提升，既巩固了基础知识又提升了学生综合运用数学知识解决问题的能力。同时又为综合运用做好了知识和技能的准备。）‎ 本题把折叠问题转化成轴对称问题，对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点即可得到相等的线段利用勾股定理求出未知线段 体验感悟：‎ ‎1、将矩形ABCD纸片沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合，若BC = 8，CD = 9，则EF = .‎ ‎2、已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合。‎ ‎(1)如果折痕FG分别与AD、AB交与点F、G(如图1)，求DE的长；‎ ‎(2)如果折痕FG分别与CD、AB交与点F、G(如图2)，△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长。‎ ‎（图①中FG是折痕，点A与点E重合，根据折叠的对称性,已知线段AF的长,可得到线段EF的长，从而将求线段的长转化到求Rt△‎ DEF的一条直角边DE. 图②中，连结对应点A、E，则折痕FG垂直平分AE，取AD的中点M，连结MO，则MO=DE，且MO∥CD，又AE为Rt△AED的外接圆的直径，则O为圆心，延长MO交BC于N，则ON⊥BC，MN=AB,又Rt△AED的外接圆与直线BC相切，所以ON是Rt△AED的外接圆的半径，即ON=AE，根据勾股定理可求出DE= ，OE= . 通过Rt△FEO∽Rt△AED，求得FO= ，从而求出EF的长。）‎ 对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点既可以得到相等的线段，也可以构造直角三角形, 本题把折叠问题转化为轴对称问题，利用勾股定理和相似求出未知线段，最后把所求的线段转化到直角三角形中去处理。‎ 归类三：综合运用 ‎1、将边长OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在X轴和Y轴上。在OA、OC边上选取适当的点E、F，连接EF，将△EOF沿EF折叠，使点O落在AB边上的点D处。‎ 图① 图② 图③‎ ‎(1)如图①，当点F与点C重合时，OE的长度为 ；‎ ‎(2)如图②，当点F与点C不重合时，过点D作DG∥y轴交EF于点，交于点。‎ 求证：EO=DT；‎ ‎(3)在(2)的条件下，设，写出与之间的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ；‎ ‎(4)如图③，将矩形OABC变为平行四边形，放在平面直角坐标系中，且OC=10，OC边上的高等于8，点F与点C不重合，过点D作DG∥y轴交EF于点，交OC于点，求出这时的 坐标与之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）。‎ ‎(1)5‎ ‎(2)证明：∵△EDF是由△EFO折叠得到的，∴∠1=∠2．‎ 又∵DG∥y轴，∠1=∠3．‎ ‎∴∠2=∠3．∴DE=DT．‎ ‎∵DE=EO，∴EO=DT． ‎ ‎(3)． ‎ ‎(4)解：连接OT，‎ 由折叠性质可得OT=DT．‎ ‎∵DG=8，TG=y，∴OT=DT=8-y．‎ ‎∵DG∥y轴，∴DG⊥x轴．‎ 在Rt△OTG中，∵,∴．‎ ‎∴． ‎ 根据轴对称的性质：折叠部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴，对称线段所在的夹角相等，在解题过程中要充分运用以上结论，借助辅助线构造直角三角形，结合相似形锐角三角函数解折叠题，可以使解题思路更加清晰，解题步骤更加简洁。‎ 体验感悟：将平行四边形纸片ABCD，按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落在D′处，折痕为EF，‎ ‎（1）求证：∠BAE=∠D′AF ‎（2）求证：△ABE≌△AD′F ‎（3）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形，证明你的结论。‎ ‎（通过写出分析过程，整理解题思路，根据分析过程，写出证明过程。整个解题过程可以简单概括为：读信息、定方法、找条件、理思路、写解题过程五步。使学生有章可循，从而避免学生手足无措，无处下手的现象发生。）‎ 五、课堂小结 解决折叠问题，要认真审题，弄清那些是翻折部分，哪些是翻折后重叠部分，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系，充分挖掘图形中的几何性质，将其中的基本的数量关系用方程的形式表达出来，并迅速求解。‎ 六、板书设计 ‎（二）运用：‎ ‎1、求角的度数；‎ ‎2、求线段的长度 ‎3、综合运用 ‎（一）折叠的性质：‎ 折叠图形中折叠部分在折叠前后 ‎1、对应角相等 ‎2、对应线段相等 课后检测：‎ 一、 折叠后求角度 ‎1、把一张矩形纸片ABCD沿EF对折，使C、D点分别落在C1、D1的位置上， EC1交AD于G，已知∠EFG=58°，那么∠BEG= ＿＿ 。‎ ‎2、把一张长方形纸片ABCD按如图方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的B点、C点落在B′M或B′M的延长线上，那么∠EMF的度数是（     ）。‎ ‎ A  85°    B  90°     C  95°    D  100°‎ ‎3、如图Rt △ABC中，∠B=90°，AB=‎3cm，AC=‎5cm，‎ 将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则△ABE的周长为＿＿ 。‎ 二、 折叠后求点的坐标 ‎4、 如图，在直角坐标系中放入一边长OC为6的矩形纸片ABCO，将纸翻折后，使点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C=34。‎ ‎（1）求出B′点的坐标；‎ ‎（2）求折痕CE所在直线的解析式。‎ ‎（3）作B′G∥AB交CE于G，已知抛物线y= 通过G点，以O为圆心OG的长为半径的圆与抛物线是否还有除G点以外的交点？若有，请找出这个交点坐标。‎