145套中考试卷分类22直线与圆的位置关系解答题

145套中考试卷分类22直线与圆的位置关系解答题

‎22．直线与圆的位置关系（解答题）‎ 三、解答题 ‎48.（2009桂林百色）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A 作直线MN，若∠MAC＝∠ABC ．‎ ‎（1）求证：MN是半圆的切线；‎ ‎（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC 于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F． ‎ 求证：FD＝FG．‎ ‎（3）若△DFG的面积为4.5，且DG＝3，GC＝4，试求△BCG的面积．‎ ‎【关键词】半圆、切线、面积 ‎【答案】‎ ‎25．证明（1）：‎ ‎∵AB是直径 ‎ ∴∠ACB＝90º ，‎ ‎∴∠CAB+∠ABC＝90º ‎ ∵∠MAC＝∠ABC ‎ ∴∠MAC+∠CAB＝90º，即MA⊥AB ‎∴MN是半圆的切线．‎ ‎（2）证法1： ‎ ‎∵D是弧AC的中点， ‎ ‎∴∠DBC＝∠2‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠CBG+∠CGB＝90º ‎∵DE⊥AB，‎ ‎∴∠FDG+∠2＝90º ‎∵∠DBC＝∠2，‎ ‎∴∠FDG＝∠CGB＝∠FGD ‎∴FD＝FG.‎ 证法2：连结AD，则∠1＝∠2,‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠ADB＝90º ‎∴∠1+∠DGF＝90º 又∵DE⊥AB ‎ ‎∴∠2+∠FDG＝90º ‎∴∠FDG＝∠FGD， ‎ ‎∴FD＝FG ‎（3）解法1：‎ 过点F作FH⊥DG于H，‎ 又∵DF＝FG ‎ ‎∴S△FGH＝S△DFG＝×4.5＝‎ ‎∵AB是直径，FH⊥DG ‎ ‎∴∠C＝∠FHG＝90º ‎∵∠HGF＝∠CGB，‎ ‎∴△FGH∽△BGC ‎∴‎ ‎∴S△BCG＝‎ 解法2：‎ ‎∵∠ADB＝90º，DE⊥AB，‎ ‎∴∠3＝∠2‎ ‎∵∠1＝∠2， ‎ ‎∴∠1＝∠3‎ ‎∴AF＝DF＝FG ‎∴S△ADG＝2S△DFG＝9‎ ‎∵∠ADG＝∠BCG，∠DGA＝∠CGB ‎∴△ADG∽△BCG ‎∴‎ ‎∴S△BCG＝‎ 解法3：连结AD，过点F作FH⊥DG于H，‎ ‎∵S△FDG＝DG×FH＝×3FH＝4．5‎ ‎∴FH＝3‎ ‎∵H是DG的中点，FH∥AD ‎∴AD＝2FH＝6 ‎ ‎∴S△ADG＝‎ ‎（以下与解法2同）‎ ‎49.（2009河池）如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，，．‎ ‎（1）求∠AOC的度数；‎ ‎（2）在图1中，P为直径BA延长线上的一点，当CP与⊙O相切时，求PO的长；‎ ‎（3） 如图2，一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动，当时，求动点M所经过的弧长．‎ ‎【关键词】圆、切线、面积、弧长 ‎【答案】‎ ‎25．解：（1）∵ 在△ACO中，，OCOA ‎ ‎∴ △ACO是等边三角形 ‎ ‎∴ ∠AOC60° ‎ ‎（2）∵ CP与⊙O相切，OC是半径． ‎ ‎ ∴ CP⊥OC ‎∴ ∠P90°-∠AOC30° ‎ ‎∴ PO2CO8 .‎ ‎（3）如图2，‎ ‎① 作点关于直径的对称点，连结，OM1 ．‎ 易得， ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 当点运动到时，，‎ 此时点经过的弧长为．‎ ‎② 过点作∥交⊙O于点，连结，，易得．‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 或 ‎ ‎∴ 当点运动到时，，此时点经过的弧长为 ．‎ ‎③ 过点作∥交⊙O于点，连结，，易得 ‎∴ ， ‎ ‎∴ 或 ‎ ‎∴ 当点运动到时，，此时点经过的弧长为 ．‎ ‎④ 当点运动到时，M与C重合，，‎ 此时点经过的弧长为 或 ．‎ ‎50. (2009烟台市) 如图，AB，BC分别是的直径和弦，点D为上一点，弦DE交于点E，交AB于点F，交BC于点G，过点C的切线交ED的延长线于H，且，连接，交于点M，连接．‎ ‎ 求证：（1）；‎ ‎ （2）． ‎ H M B E O F G C A D ‎【关键词】圆的基本性质 ‎【答案】（1）证明：连接，‎ ‎． ‎ 切于点，，‎ ‎ ， ‎ ‎，． ‎ ‎，即． ‎ ‎（2）连接．由（1）知．‎ 是的直径，‎ ‎． ‎ ‎．‎ 四边形内接于，． ‎ ‎．‎ 是的外角，． ‎ ‎．‎ ‎51. （2009年锦州）如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F.　　‎ ‎(1)求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎(2)若DE＝3，⊙O的半径为5，求BF的长.‎ ‎【关键词】直线与圆的位置关系、切线定理、相似三角形有关的计算和证明 ‎【答案】解：(1)连接OD.‎ ‎　　∵AD平分∠BAC， ∴∠1＝∠2.‎ ‎　　又∵OA＝OD ，∴∠1＝∠3.‎ ‎　　∴∠2＝∠3. ‎ ‎　　∴OD∥AE. ‎ ‎　　∵DE⊥AE，‎ ‎　　∴DE⊥OD. ‎ ‎　　而D在⊙O上，‎ ‎　　∴DE是⊙O的切线.‎ ‎　　(2)过D作DG⊥AB 于G. ‎ ‎　　∵DE⊥AE ，∠1＝∠2.‎ ‎　　∴DG＝DE＝3 ，半径OD＝5.‎ ‎　　在Rt△ODG中，根据勾股定理: ，‎ ‎　　∴AG＝AO+OG＝5+4＝9. ‎ ‎　　∵FB是⊙O的切线， AB是直径，‎ ‎　　∴FB⊥AB.而DG⊥AB，‎ ‎∴DG∥FB.‎ ‎△ADG∽△AFB，‎ ‎　　∴. ‎ ‎　　∴. ∴BF＝ . ‎ ‎52．（2009年安徽）如图，MP切⊙O于点M，直线PO交⊙O于点A、B，弦AC∥MP，求证：MO∥BC．‎ ‎【证】‎ ‎【关键词】圆、等圆、等圆等概念及圆的对称性/直线与圆的位置关系 ‎【答案】证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°‎ ‎∵MP为⊙O的切线，∴∠PMO＝90°‎ ‎∵MP∥AC，∴∠P＝∠CAB ‎∴∠MOP＝∠B 故MO∥BC．‎ ‎53.（2009年莆田）（1）根据下列步骤画图并标明相应的字母:（直接在图１中画图）‎ ‎①以已知线段（图1）为直径画半圆；‎ ‎②在半圆上取不同于点的一点，连接；‎ ‎③过点画交半圆于点 ‎（2）尺规作图：（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）‎ 已知：（图2）．‎ 求作：的平分线．‎ ‎【关键词】尺规作图、角平分线 ‎（1）正确完成步骤，各得1分，字母标注完整得1分，满分4分．‎ ‎（2）说明：以点为圆心，以适当长为半径作弧交于两点 分别以点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点.‎ ‎ ‎ 作射线 ‎20.（2009年莆田）已知，如图，是以线段为直径的的切线，交于点，过点作弦垂足为点，连接．‎ ‎（1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①________，②________ ‎ ‎，③________，④____________（不添加其它字母和辅助线，不必证明）；‎ ‎（2）＝，＝，求的半径 ‎【关键词】圆、切线 ‎（1）‎ 等 ‎（2）解:是的直径 又 ‎ 又是的切线 在中，‎ ‎ .‎ ‎54.(2009年本溪)如图所示，AB是直径，弦于点，且交于点，若 ‎．‎ ‎（1）判断直线和的位置关系，并给出证明；‎ ‎（2）当时，求的长．‎ ‎【关键词】直线与圆的关系 ‎【答案】（1）直线和相切．‎ 证明：‎ ‎∵，，‎ ‎∴．∵，‎ ‎∴．∴．‎ 即．∴直线和相切．（2）连接．‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴．‎ 在中，，‎ ‎∴．‎ ‎∵直径，‎ ‎∴．‎ 由（1），和相切，‎ ‎∴．∴．‎ 由（1）得，‎ ‎∴．∴．‎ ‎∴，解得． ‎ ‎55.(2009宁夏)23． 已知：如图，为的直径，交于点，交于点．‎ ‎（1）求的度数；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎【关键词】圆周角 ‎【答案】（1）解：是的直径，‎ ‎．‎ 又，‎ ‎．‎ 又，‎ ‎．‎ ‎．（2）证明：连结．‎ 是的直径，‎ ‎．‎ ‎．‎ 又，‎ ‎．‎ ‎56.(2009年潍坊)如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于四点．抛物线与轴交于点，与直线交于点，且分别与圆相切于点和点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）抛物线的对称轴交轴于点，连结，并延长交圆于，求的长．‎ ‎（3）过点作圆的切线交的延长线于点，判断点是否在抛物线上，说明理由．‎ 解：（1）圆心在坐标原点，圆的半径为1，‎ 点的坐标分别为 抛物线与直线交于点，且分别与圆相切于点和点，‎ ‎． ‎ 点在抛物线上，将的坐标代入 ‎，得： 解之，得：‎ 抛物线的解析式为：． ‎ ‎（2）‎ 抛物线的对称轴为，‎ ‎． ‎ 连结，‎ ‎，，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎． ‎ ‎（3）点在抛物线上． ‎ 设过点的直线为：，‎ 将点的坐标代入，得：，‎ 直线为：． ‎ 过点作圆的切线与轴平行，点的纵坐标为，‎ 将代入，得：．‎ 点的坐标为， ‎ 当时，，‎ 所以，点在抛物线上． ‎ 说明：解答题各小题中只给出了1种解法，其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数．‎ ‎67.(2009年咸宁市)如图， 中，，以为直径的交于点，过点的切线交于．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求的长．‎ ‎58．（09湖北宜昌）（09湖北宜昌）已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与 边DC上的动点P重合(P不与点D，C重合)， MN为折痕，点M，N分别在边BC， AD 上，连接AP，MP，AM， AP与MN相交于点F．⊙O过点M，C，P．‎ ‎(1)请你在图1中作出⊙O(不写作法，保留作图痕迹)；‎ ‎(2)与 是否相等？请你说明理由；‎ ‎(3)随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H．设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形．(图2，3供参考) ‎ 图1 图2 图3‎ ‎（第2题）‎ ‎【关键词】矩形的性质与判定 ‎【答案】解：(1)如图； ‎ ‎(2)与不相等．‎ 假设，则由相似三角形的性质，得MN∥DC． ‎ ‎∵∠D＝90°，∴DC⊥AD，∴MN⊥AD．‎ ‎∵据题意得，A与P关于MN对称，∴MN⊥AP．‎ ‎∵据题意，P与D不重合，‎ ‎∴这与“过一点（A）只能作一条直线与已知直线（MN）垂直”矛盾． ‎ ‎∴假设不成立．‎ ‎∴不成立． ‎ ‎(2) 解法2：与不相等．‎ 理由如下：‎ ‎∵P， A关于MN对称，∴MN垂直平分AP．‎ ‎∴cos∠FAN＝． ‎ ‎∵∠D＝90°， ∴cos∠PAD＝．‎ ‎∵∠FAN＝∠PAD，∴＝．‎ ‎∵P不与D重合，P在边DC上;∴AD≠AP．‎ ‎∴≠;从而≠． ‎ ‎(3)∵AM是⊙O的切线，∴∠AMP＝90°，‎ ‎∴∠CMP＋∠AMB＝90°．‎ ‎∵∠BAM＋∠AMB＝90°，∴∠CMP＝∠BAM．‎ ‎∵MN垂直平分，∴MA＝MP，‎ ‎∵∠B＝∠C＝90°， ∴△ABM≌△MCD． ‎ ‎∴MC＝AB＝4， 设PD＝x，则CP＝4－x，‎ ‎∴BM＝PC＝4－x． (5分)‎ 连结HO并延长交BC于J．‎ ‎∵AD是⊙O的切线，∴∠JHD＝90°．‎ ‎∴矩形HDCJ． (7分)‎ ‎∴OJ∥CP， ∴△MOJ∽△MPC， ‎ ‎∴OJ:CP＝MO:MP＝1:2，‎ ‎∴OJ＝(4－x)，OH＝MP＝4－OJ＝(4＋x)． ‎ ‎∵MC2＝ MP2－CP2，∴(4＋x)2－(4－x)2＝16． ‎ 解得:x＝1．即PD＝1，PC＝3，‎ ‎∴BC＝BM+MC＝PC+AB＝3+4＝7．‎ 由此画图(图形大致能示意即可)． ‎ ‎（3）解法2：‎ 连接HO，并延长HO交BC于J点，连接AO． ‎ 由切线性质知，JH⊥AD，∵BC∥AD，∴HJ⊥BC，‎ ‎∴OJ⊥MC，∴MJ＝JC． ‎ ‎∵AM，AH与⊙O相切于点M，H，‎ ‎∴∠AMO＝∠AHO＝90°，‎ ‎∵OM＝OH， AO＝AO，‎ ‎∴Rt△AMO≌Rt△AHO． ‎ ‎∴设AM＝x，则 AM＝AH＝x，‎ 由切线性质得，AM⊥PM，‎ ‎∴∠AMP＝90°，∴∠BMA+∠CMP＝90°．‎ ‎∵∠BMA+∠BAM＝90°，∴∠BAM＝∠CMP ，‎ ‎∵∠B＝∠MCP＝90°，‎ ‎∵MN为AP的中垂线，∴AM＝MP．‎ ‎∴△ABM≌△MCP ． ‎ ‎∴四边形ABJH为矩形，得BJ＝AH＝x，‎ Rt△ABM中，BM＝，‎ ‎∴MJ＝＝JC，（9分）‎ ‎∴AB＝MC．∴4＝2()，∴ ‎ ‎∴AD＝BC＝＝7，‎ ‎∴PC＝＝3． ‎ 由此画图(图形大致能示意即可)．‎ ‎59．（09湖南怀化）如图10，直线经过⊙上的点，并且⊙交直线于、两点，连接，，．求证：（1）； （2）∽． ‎ ‎【关键词】圆的基本性质、切线定理 ‎【答案】证明：‎ ‎（1）∵OE＝OD，‎ ‎∴△ODE是等腰三角形，‎ 又EC＝DC，‎ ‎∴C是底边DE上的中点，‎ ‎∴‎ ‎（2）∵AB是直径，‎ ‎∴∠ACB＝，‎ ‎∴∠B+∠BAC＝，‎ 又∠DCA+∠ACO＝，∠ACO＝∠BAC，‎ ‎∴∠DCA＝∠B．又∠ADC＝∠CDB， ‎ ‎∴△ACD∽△CBD． ‎ ‎60．（09湖南怀化）如图，已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、，与轴的交点为．设的外接圆的圆心为点．‎ ‎（1）求与轴的另一个交点D的坐标；‎ ‎（2）如果恰好为的直径，且的面积等于，求和的值． ‎ ‎【关键词】圆的基本性质、圆的对称性、切线定理 ‎【答案】解 （1）易求得点的坐标为 由题设可知是方程即 的两根，‎ 所以，‎ 所 如图3，∵⊙P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，设它们的交点为点O，连结DB，∴△AOC∽△DOC，则 由题意知点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，‎ 所以点D的坐标为（0，1）‎ ‎（2）因为AB⊥CD， AB又恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，‎ 所以点的坐标为，即 又，‎ 所以解得 ‎61.（2009年茂名市）已知：如图，直径为的与轴交于点点把分为三等份，连接并延长交轴于点 ‎（1）求证：； ‎ ‎（2）若直线：把的面积分为二等份，求证：‎ ‎【关键词】与圆有关的全等三角形 ‎【答案】‎ ‎62．（2009年山东青岛市）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．‎ 为美化校园，学校准备在如图所示的三角形（）空地上修建一个面积最大的圆形花坛，请在图中画出这个圆形花坛．‎ 解：‎ 结论：‎ ‎【关键词】尺规作图、三角形、圆 ‎【答案】正确画出两条角平分线，确定圆心；‎ 确定半径；‎ 正确画出图并写出结论．‎ ‎63.(2009年达州)如图10，⊙O的弦AD∥BC,过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F.‎ ‎(1)求证：DF垂直平分AC；‎ ‎（2）求证：FC＝CE；‎ ‎（3）若弦AD＝5㎝，AC＝8㎝，求⊙O的半径. ‎ ‎【关键词】圆,平行四边形,勾股定理 ‎【答案】‎ ‎（1）∵DE是⊙O的切线，且DF过圆心O ‎∴DF⊥DE 又∵AC∥DE ‎∴DF⊥AC ‎∴DF垂直平分AC ‎ ‎（2）由（1）知：AG＝GC 又∵AD∥BC ‎∴∠DAG＝∠FCG 又∵∠AGD＝∠CGF ‎∴△AGD≌△CGF（ASA）‎ ‎∴AD＝FC ‎∵AD∥BC且AC∥DE ‎∴四边形ACED是平行四边形 ‎∴AD＝CE ‎∴FC＝CE5分 ‎（3）连结AO； ∵AG＝GC，AC＝‎8cm，∴AG＝‎‎4cm 在Rt△AGD中，由勾股定理得 GD＝AD2-AG2＝52-42＝‎3cm ‎ 设圆的半径为r，则AO＝r，OG＝r-3‎ 在Rt△AOG中，由勾股定理得 AO2＝OG2+AG2‎ 有：r2＝(r-3)2+42解得 r＝256 ‎ ‎∴⊙O的半径为‎256cm.‎ ‎64.(2009年陕西省)‎ 问题探究 ‎（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB＝90°的一个点P，并说明理由．‎ ‎（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB＝60°的所有的点P，并说明理由．‎ 问题解决 如图③，现有一块矩形钢板ABCD，AB＝4，BC＝3，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP’D钢板，且∠APB＝∠CP’D＝60°，请你在图③中画出符合要求的点P和P’，并求出△APB的面积（结果保留根号）．‎ ‎【关键词】正方形对角线 等边三角形 圆周角性质 三角形面积 ‎【答案】解：（1）如图①，‎ 连接AC、BD交于点P，则∠APB＝90°，‎ ‎∴点P为所求，‎ ‎（2）如图②，画法如下：‎ ‎1）以AB为边在正方形内作等边△ABP；‎ ‎2）作△ABP的外接圆⊙O，分别与AD、BC交于点E、F．‎ ‎∵在⊙O中，弦AB所对的弧APB上的圆周角均为60°，‎ ‎∴弧EF上的所有点均为所求的点P，‎ ‎（3）如图③，画法如下：‎ ‎1）连接AC；‎ ‎2）以AB为边作等边△ABE；‎ ‎3）作等边△ABE的外接圆⊙O，交AC于点P；‎ ‎4）在AC上截取AP’＝CP．‎ 则点P、P’为所求．‎ ‎（评卷时，作图准确，无画法的不扣分）‎ 过点B作BG⊥AC，交AC于点G．‎ ‎∵在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，‎ ‎∴AC＝．‎ ‎∴BG＝．‎ 在Rt△ABG中，AB＝4，‎ ‎∴AG＝．‎ 在Rt△BPG中，∠BPA＝60°，‎ ‎∴PG＝，‎ ‎∴AP＝AG+PG＝．‎ ‎∴S△APB＝‎ ‎65.(2009成都)已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线的同侧，分别过这两点作的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连结AD、AE、DE，且∠AED＝90°。‎ ‎（1）如图①，如果AB＝6,BC＝16,且BE:CE＝1:3，求AD的长。‎ ‎（2）如图②，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明。再探究：当A、D分别在直线两侧且AB≠CD，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明。‎ ‎【关键词】圆周角和圆心角 ‎【答案】‎ ‎(1)∵AB⊥于B，DC于C ‎∴∠ABE＝∠ECD＝90°‎ ‎∴∠BEA+∠AED+∠CED＝180°且∠AED＝90°‎ ‎∴∠CED＝90°-∠BEA 又∠BEA＝90°-∠BEA ‎∴∠BEA＝∠CED ‎∴△ABE∽△ECD ‎∴‎ ‎∵BE：EC＝1：3，BC＝16‎ ‎∴BE＝4，EC＝12‎ 又∵AB＝6，∴CD＝＝8‎ 在Rt△AED中，由勾股定理，得 AD＝(2)(i)猜想AB+CD＝BC 证明：在Rt△AED中，∵∠ABE＝90°，∴∠BAE＝90°-∠AEB 又∵∠AEB+∠AED+∠CED＝180°且∠AED＝90°‎ ‎∴∠CED＝90°-∠AEB ‎∴∠BAE＝∠CED ‎∵DC⊥BC于点C ‎∴∠ECD＝90°‎ 由已知有AE＝ED ‎∴在Rt△ABE和Rt△ECD中 ‎∠ABE＝∠ECD＝90°，∠BAE＝∠CED，AE＝ED ‎∴Rt△ABE≌Rt△ECD ‎∴AB＝EC，BE＝CD，即AB+CD＝BC ‎（ii）当A,D分别在直线两侧时，线段AB，BC，CD有如下等量关系：‎ AB-CD＝BC(AB＞CD)或CD-AB＝BC(AB＜CD)‎ ‎66.（2009湖北荆门市）如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．‎ ‎（1）求证：A、E、C、F四点共圆；‎ ‎（2）设线段BD与（1）中的圆交于M、N．求证：BM＝ND．‎ A D F C M E B N 第20题图 解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°．‎ ‎∴∠AEC＋∠AFC＝180°．∴A、E、C、F四点共圆；‎ ‎（2）由（1）可知，圆的直径是AC，设AC、BD相交于点O，‎ ‎∵ABCD是平行四边形，∴O为圆心．‎ ‎∴OM＝ON．∴BM＝DN． 8分 ‎ ‎ ‎57.（2009年滨州） 如图，为的切线，A为切点．直线与交于两点，‎ ‎，连接．求证：．‎ ‎【关键词】切线的性质定理及全等三角形的判定.‎ ‎【答案】证明：∵为的切线，A为切点，∴∠OAP＝90°.‎ 又∵，∴∠AOB＝60°，又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形.‎ ‎∴AB＝AO，∠ABO＝60°.又BC为的直径，∴∠BAC＝90°.在△ACB和△APO中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，∴.‎ ‎46. （2009仙桃）如图，AB为⊙O的直径，D是⊙O上的一点，过O点作AB的垂线交AD于点E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FD＝FE．‎ ‎(1)请探究FD与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎(2)若⊙O的半径为2，BD＝，求BC的长．‎ ‎【关键词】切线的性质定理及相似三角形的判定及性质..‎ ‎【答案】解：（1）FD与⊙O相切，理由如下：‎ 连接OD.∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠3+∠A＝90°.∵FE＝FD，‎ ‎∴∠1＝∠2.又∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，又∵OA＝OD，∴∠A＝∠4.‎ ‎∴∠1+∠4＝90°，∴FD与⊙O相切.‎ ‎（2）∵⊙O的半径为2，∴OB＝2，AB＝4，又∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB＝90°.∵OC⊥AB，∴∠ADB＝∠BOC＝90°，又∵∠B＝∠B，∴Rt△ABD∽Rt△CBO ‎∴，即，∴.‎ ‎68. （2009年台州市）如图，等腰中，，以点为圆心作圆与底边相切于点．‎ 求证：． ‎ ‎ ‎ ‎【关键词】直线与圆的位置关系 ‎【答案】证明：∵切⊙于点，　　　　　　　　　　　　‎ ‎∴． ∵，‎ ‎∴．‎ ‎69.（2009年宁波市）已知，如图，的直径AB与弦CD相交于，，的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）连结BC，若的半径为4，，求线段AD、CD的长．‎ ‎【关键词】直线与圆的位置关系 ‎【答案】解：（1）直径平分，‎ ‎． ‎ 与相切，是的直径，‎ ‎． ‎ ‎．‎ ‎（2）连结，‎ 是的直径，‎ ‎，‎ 在中，‎ ‎，．‎ ‎． ‎ 于，‎ 在 ‎，．‎ ‎ ．‎ ‎ 直径平分，‎ ‎．‎ ‎70. (2009年义乌)如图，AB是的的直径，BCAB于点B，连接OC交于点E，弦AD//OC,弦DFAB于点G。‎ ‎ （1）求证：点E是的中点；‎ ‎ （2）求证：CD是的切线；‎ ‎ （3）若，的半径为5，求DF的长。‎ ‎【关键词】直线与圆的位置关系及有关计算 ‎【答案】‎ ‎．（1）证明：‎ ‎，．‎ ‎，．‎ ‎（2）连接．‎ 由（1）知，‎ 在和中，，．‎ ‎．‎ ‎．‎ 又，，‎ 即是的切线．‎ ‎（3）在中，，设．‎ ‎，，‎ 又的半径为5，．‎ ‎，，‎ ‎，（舍去），．‎ ‎71.(2009丽水市) 如图,已知在等腰△ABC中,∠A＝∠B＝30°,过点C作CD⊥AC交AB于点D.‎ ‎(1)尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；‎ ‎(2)求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线；‎ ‎(3)若过A，D，C三点的圆的半径为,则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似.若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由.‎ ‎【关键词】尺规作图、切线、相似 ‎【答案】‎ 解：（1）作出圆心O， 以点O为圆心，OA长为半径作圆. ‎ ‎（2）证明：‎ ‎∵CD⊥AC,‎ ‎∴∠ACD＝90°. ‎ ‎∴AD是⊙O的直径 连结OC，‎ ‎∵∠A＝∠B＝30°,‎ ‎∴∠ACB＝120°,又∵OA＝OC, ‎ ‎∴∠ACO＝∠A ＝30°, ‎ ‎∴∠BCO＝∠ACB-∠ACO ＝120°-30°＝90°. ‎ ‎∴BC⊥OC,‎ ‎∴BC是⊙O的切线. ‎ ‎（3）存在. ‎ ‎∵∠BCD＝∠ACB-∠ACD＝120°-90°＝30°,‎ ‎∴∠BCD＝∠B, 即DB＝DC.‎ 又∵在Rt△ACD中，DC＝AD, ∴BD＝ . ‎ 解法一：①过点D作DP1// OC，则△P1D B∽△COB, ，‎ ‎∵BO＝BD+OD＝,‎ ‎∴P1D＝×OC＝× ＝. ‎ ‎ ②过点D作DP2⊥AB,则△BDP2∽△BCO, ∴，‎ ‎∵BC＝‎ ‎∴. ‎ 解法二：①当△B P1D∽△BCO时，∠DP1B＝∠OCB＝90°.在Rt△B P1D中，‎ DP1＝. ‎ ‎②当△B D P2∽△BCO时，∠P2DB＝∠OCB＝90°.‎ 在Rt△B P2D中，DP2＝. ‎ ‎51.（2009恩施市）21．如图10，在等腰三角形中，，为上一点，以为圆心、长为半径的圆交于，交于．‎ ‎（1）求证：是的切线；‎ ‎（2）若与相切于，，求的半径的长．‎ ‎【关键词】等腰三角形、切线 ‎【答案】‎ ‎（1）证明：连接OD，则OB＝OD ‎∴∠OBD＝∠ODB，‎ 又∵AB＝AC ‎∴∠OBD＝∠C ‎∴∠ODB＝∠C ‎∴OD∥AC 又∵DE⊥AC ‎∴∠AED＝90°，‎ ‎∴∠ODE＝90°‎ ‎∴OD⊥DE ‎∴DE是的切线。‎ ‎（2）连接OF ‎ ∵与相切于，‎ ‎ ∴OF⊥AC ‎ 又 设的半径为r 则 ‎∴‎ 所以的半径的长为.‎ ‎72、(2009年鄂州)如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB＝8，边BC比AD大6‎ ‎(1)求边AD、BC的长。‎ ‎（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△‎ BCP相似?若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由。‎ ‎【关键词】与圆有关的综合题 ‎【答案】（1）方法1：过D作DF⊥BC于F 在Rt△DFC中，DF＝AB＝8，FC＝BC－AD＝6‎ ‎∴DC2＝62+82＝100，即DC＝10 ‎ 设AD＝ x，则DE＝AD＝x，EC＝BC＝x+6‎ ‎∴x+(x+6)＝10 ∴x＝2‎ ‎∴AD＝2，BC＝2+6＝8 ‎ 方法2：连OD、OE、OC，‎ 由切线长定理可知∠DOC＝90°，AD＝DE，CB＝CE 设AD＝x，则BC＝x+6‎ 由射影定理可得：OE2＝DE·EC 即：x(x+6)＝16 解得x1＝2, x2＝－8（舍去）‎ ‎∴AD＝2， BC＝2+6＝8 ‎ ‎（2）存在符合条件的P点 设AP＝y，则BP＝8－y，△ADP与△BCP相似，有两种情况：‎ ① ‎△ADP∽△BCP时， ∴y＝‎ ② ‎②△ADP∽△BPC时， ∴y＝4 ‎ 故存在符合条件的点P，此时AP＝或4.‎ ‎73．（2009年孝感）如图，⊙O是Rt的外接圆，，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA ＝ PB．‎ ‎（1）求证：PB是⊙O的切线；‎ ‎（2）已知，，求⊙O的半径．‎ ‎【关键词】直线与圆的关系 ‎【答案】‎ ‎（1）证明：连接OB．‎ ‎∵OA＝OB，‎ ‎∴∠OAB＝∠OBA．‎ ‎∵PA＝PB，‎ ‎∴∠PAB＝∠PBA．‎ ‎∴∠OAB+∠PAB＝∠OBA+∠PBA，‎ 即∠PAO＝∠PBO ‎ 又∵PA是⊙O的切线，‎ ‎∴∠PAO＝90°，‎ ‎∴∠PBO＝90°，‎ ‎∴OB⊥PB ． ‎ 又∵OB是⊙O半径，‎ ‎∴PB是⊙O的切线． ‎ 说明：还可连接OB、OP，利用△OAP≌△OBP来证明OB⊥PB．‎ ‎（2）解：连接OP，交AB于点D．‎ ‎∵PA＝PB，‎ ‎∴点P在线段AB的垂直平分线上．‎ ‎∵OA＝OB，‎ ‎∴点O在线段AB的垂直平分线上．‎ ‎∴OP垂直平分线段AB． ‎ ‎∴∠PAO＝∠PDA ＝90°．‎ 又∵∠APO＝∠DPA，‎ ‎∴△APO∽△DPA．‎ ‎∴，‎ ‎∴AP2 ＝ PO·DP．‎ 又∵OD ＝BC ＝，‎ ‎∴PO（PO–OD）＝AP2．‎ 即：PO2–PO＝，解得 PO＝2． ‎ 在Rt△APO中，，即⊙O的半径为1．‎ ‎74、（2009泰安）将一个量角器和一个含30度角的直角三角板如图（1）放置，图（2）是由他抽象出的几何图形，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC＝OD。‎ （1） 求证：DB∥CF。‎ （2） 当OD＝2时，若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，求OB。‎ ‎【关键词】切线、相似 ‎【答案】证明：（1）连接OF，如图 ‎∵AB且半圆O于F，‎ ‎∴OF⊥AB。‎ ‎∵CB⊥AB ，∴BC∥OF。‎ ‎∵BC＝OD，OD＝OF，‎ ‎∴BC＝OF。‎ ‎∴四边形OBCF是平行四边形，‎ ‎∴DB∥CF。‎ ‎（2）‎ ‎∵以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，∠OFB＝∠ABC＝90°，‎ ‎∴∠A∠OBF∠BOF ‎∵∠OBF＝∠BFC，∠BFC＞∠A，‎ ‎∴∠OBF＞∠A ‎∴∠OBF与∠A不可能是对顶角。‎ ‎∴∠A与∠BOF是对应角。‎ ‎∴∠BOF＝30° ∴OB＝OF/cos30°＝.‎ ‎75.（2009年烟台市）如图，AB，BC分别是的直径和弦，点D为上一点，弦DE交于点E，交AB于点F，交BC于点G，过点C的切线交ED的延长线于H，且，连接，交于点M，连接．‎ 求证：（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【关键词】直线与圆的位置关系 ‎【答案】（1）证明：连接，‎ ‎． ‎ 切于点，，‎ ‎，‎ ‎，．‎ ‎，即．‎ ‎（2）连接．由（1）知．‎ 是的直径，‎ ‎． ‎ ‎．‎ 四边形内接于，． ‎ ‎．‎ 是的外角，． ‎ ‎．‎ ‎76. （2009年天津市）如图，已知为的直径，是的切线，为切点，‎ ‎（Ⅰ）求的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求的长（结果保留根号）． ‎ ‎【关键词】切线长定理 ‎【答案】‎ ‎（Ⅰ）是的切线，‎ 为的直径，‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎，‎ ‎．‎ 又、切于点.‎ ‎.为等边三角形.‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）如图，连接，则．‎ 在中，‎ ‎，‎ coscos.‎ 为等边三角形，‎ ‎..‎ ‎77.（2009年南宁市）23．如图11，、是半径为1的的两条切线，点、分别为切点，．‎ ‎（1）在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有的全等三角形；‎ ‎（2）求阴影部分的面积（结果保留）．.‎ ‎【关键词】直线与圆的位置关系 ‎【答案】：解：（1）‎ 平分 由圆的对称性可知：‎ 在中，‎ ‎.‎ ‎78.（2009年清远）如图8，已知是的直径，过点作弦的平行线，交过点的切线于点，连结．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，求的长．‎ P O A C B ‎【关键词】相似三角形有关的计算和证明 ‎【答案】（1）证明：‎ 是直径 是的切线，切点为 ‎（2）‎ ‎79.（2009年济宁市）如图，中，，，.半径为1的圆的圆心以1个单位/的速度由点沿方向在上移动，设移动时间为（单位：）.‎ ‎（1）当为何值时，⊙与相切；‎ ‎（2）作交于点，如果⊙和线段交于点，证明：当时，四边形为平行四边形.‎ ‎【关键词】相切 ‎【答案】(1)解：当⊙在移动中与相切时，设切点为，连，‎ 则.‎ ‎∴∽.‎ ‎∴.‎ ‎∵,,‎ ‎∴.∴.‎ ‎(2)证明：∵，，∴∥. ‎ 当时，.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵∽,‎ ‎∴.‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴当时，四边形为平行四边形.‎ ‎80.（2009年衡阳市）如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝‎2cm，∠ABC＝60º．‎ ‎（1）求⊙O的直径；‎ ‎（2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；‎ ‎（3）若动点E以‎2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以‎1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为，连结EF，当为何值时，△BEF为直角三角形．‎ ‎【关键词】圆、动态 ‎【答案】解：‎ ‎（1）∵AB是⊙O的直径（已知） ‎ ‎∴∠ACB＝90º（直径所对的圆周角是直角）‎ ‎∵∠ABC＝60º（已知）‎ ‎∴∠BAC＝180º－∠ACB－∠ABC＝ 30º（三角形的内角和等于180º）‎ ‎∴AB＝2BC＝‎4cm（直角三角形中，30º锐角所对的直角边等于斜边的一半）‎ 即⊙O的直径为‎4cm．‎ ‎（2）如图（1）CD切⊙O于点C，连结OC，则OC＝OB＝1/2·AB＝‎2cm．‎ ‎∴CD⊥CO（圆的切线垂直于经过切点的半径）‎ ‎∴∠OCD＝90º（垂直的定义）‎ ‎∵∠BAC＝ 30º（已求）‎ ‎∴∠COD＝2∠BAC＝ 60º（在同圆或等圆中一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）‎ ‎∴∠D＝180º－∠COD－∠OCD＝ 30º（三角形的内角和等于180º）‎ ‎∴OD＝2OC＝‎4cm（直角三角形中，30º锐角所对的直角边等于斜边的一半）‎ ‎∴BD＝OD－OB＝4－2＝2（cm）‎ ‎∴当BD长为‎2cm，CD与⊙O相切．‎ ‎（3）根据题意得：‎ BE＝（4－2t）cm，BF＝tcm；‎ 如图（2）当EF⊥BC时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BAC ‎∴BE：BA＝BF：BC 即：（4－2t）：4＝t：2‎ 解得：t＝1‎ 如图10（3）当EF⊥BA时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BCA ‎∴BE：BC＝BF：BA 即：（4－2t）：2＝t：4‎ 解得：t＝1.6‎ ‎∴当t＝1s或t＝1.6s时，△BEF为直角三角形．‎ ‎81.（2009年日照）如图，⊙O的直径AB＝4，C为圆周上一点，AC＝2，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点 E． ‎ ‎ (1) 求∠AEC的度数； ‎ ‎（2）求证：四边形OBEC是菱形． ‎ C A ‎【关键词】等边三角形的判定,切线的性质,菱形的判定 ‎【答案】（1）解：在△AOC中，AC＝2，‎ ‎∵ AO＝OC＝2，∴ △AOC是等边三角形．‎ ‎∴ ∠AOC＝60°， ∴∠AEC＝30°．‎ ‎（2）证明：∵OC⊥l，BD⊥l． ‎ ‎∴ OC∥BD． ‎ ‎∴ ∠ABD＝∠AOC＝60°．‎ ‎∵ AB为⊙O的直径，‎ ‎∴ △AEB为直角三角形，∠EAB＝30°．‎ ‎∴∠EAB＝∠AEC． ‎ ‎∴ 四边形OBEC 为平行四边形． ‎ 又∵ OB＝OC＝2． ‎ ‎∴ 四边形OBEC是菱形． ‎ ‎82.（2009年广西钦州）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．‎ ‎（1）求证：BC＝CD；‎ ‎（2）求证：∠ADE＝∠ABD；‎ ‎（3）设AD＝2，AE＝1，求⊙O直径的长．‎ ‎【关键词】切线长定理、相似三角形.‎ ‎【答案】‎ 解：（1）∵∠ABC＝90°，‎ ‎∴OB⊥BC．‎ ‎∵OB是⊙O的半径，‎ ‎∴CB为⊙O的切线．‎ 又∵CD切⊙O于点D，‎ ‎∴BC＝CD；‎ ‎（2）∵BE是⊙O的直径，‎ ‎∴∠BDE＝90°．‎ ‎∴∠ADE＋∠CDB ＝90°．‎ 又∵∠ABC＝90°，‎ ‎∴∠ABD＋∠CBD＝90°．‎ 由（1）得BC＝CD，‎ ‎∴∠CDB ＝∠CBD．‎ ‎∴∠ADE＝∠ABD；‎ ‎（3）由（2）得，∠ADE＝∠ABD，∠A＝∠A．‎ ‎∴△ADE∽△ABD．‎ ‎∴＝．‎ ‎∴＝，‎ ‎∴BE＝3，‎ ‎∴所求⊙O的直径长为3． ‎ ‎83．图中的粗线CD表示某条公路的一段，其中AmB是一段圆弧，AC、BD是线段，且AC、BD分别与圆弧相切于点A、B，线段AB＝‎180m，∠ABD＝150°．‎ ‎（1）画出圆弧的圆心O；‎ ‎（2）求A到B这段弧形公路的长．‎ ‎【关键词】切线性质、等边三角形判定和性质、弧长计算、‎ ‎【答案】‎ 解：（1）如图，过A作AO⊥AC，过B作BO⊥BD，AO与BO相 交于O，O即圆心．‎ 说明：若不写作法，必须保留作图痕迹．其它作法略．‎ ‎（2）∵ AO、BO都是圆弧的半径，O是其圆心，‎ ‎∴ ∠OBA＝∠OAB＝150°-90°＝60°．‎ ‎∴ △AOB为等边三角形．∴ AO＝BO＝AB＝180．‎ ‎∴ (m)．‎ ‎∴ A到B这段弧形公路的长为m．‎ ‎84. （2009年广西梧州）如图（8）所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O 上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．‎ ‎（1）求证：DC＝BC；‎ ‎（2）若AB＝5，AC＝4，求tan∠DCE的值．‎ ‎（1）证明：连接OC ‎ ∵OA＝OC ‎∴∠OAC＝∠OCA ‎ ‎∵CE是⊙O的切线 ‎ ∴∠OCE＝90° ‎ ‎ ∵AE⊥CE ‎∴∠AEC＝∠OCE＝90°‎ ‎∴OC∥AE ‎ ‎∴∠OCA＝∠CAD ‎∴∠CAD＝∠BAC ‎ ‎∴‎ ‎∴DC＝BC. ‎ ‎（2）∵AB是⊙O的直径 ‎ ‎ ∴∠ACB＝90°‎ ‎ ∴‎ ‎ ∵∠CAE＝∠BAC ∠AEC＝∠ACB＝90°‎ ‎ ∴△ACE∽△ABC ‎ ∴‎ ‎ ∴, ‎ ‎ ∵DC＝BC＝3‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎85.（2009年包头）如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，，．‎ ‎（1）求证：是的切线；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）点是的中点，交于点，若，求的值．‎ ‎【关键词】圆、切线 解：（1），‎ 又，‎ ‎．‎ 又是的直径，‎ ‎，‎ ‎，即，‎ 而是的半径，‎ 是的切线．‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 又，‎ ‎．‎ ‎（3）连接，‎ 点是的中点，，，‎ 而，，而，‎ ‎，，，‎ 又是的直径，，‎ ‎．‎ ‎，．‎ ‎86.（2009年长沙）在中，，是边上一点，以为直径的与边相切于点，连结并延长，与的延长线交于点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求的面积．‎ ‎【关键词】圆、切线、面积 ‎（1）证明：连结．‎ 切于，‎ ‎，‎ A E D O B C F 又即，‎ ‎，‎ ‎．‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（2）设半径为，由得．‎ ‎，即，‎ ‎，解之得（舍）．‎ ‎．‎ ‎87.（2009年莆田）已知，如图，是以线段为直径的的切线，交于点，过点作弦垂足为点，连接．‎ ‎（1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①________，②________ ，③________，④____________（不添加其它字母和辅助线，不必证明）；‎ ‎（2）＝，＝，求的半径 ‎【关键词】圆、切线 ‎（1）‎ 等 ‎（每写出一个正确结论得１分，满分４分．）‎ ‎（2）解:是的直径 又 ‎ 又是的切线 在中，‎ ‎.‎ ‎88.(2009年本溪)22．如图所示，AB是直径，弦于点，且交于点，若．‎ ‎（1）判断直线和的位置关系，并给出证明；‎ ‎（2）当时，求的长．‎ ‎【关键词】切线 ‎【答案】‎ ‎（1）直线和相切．证明：‎ ‎∵，，‎ ‎∴．∵，‎ ‎∴．∴．‎ 即．∴直线和相切．（2）连接．‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴．‎ 在中，，‎ ‎∴．‎ ‎∵直径，‎ ‎∴．‎ 由（1），和相切，‎ ‎∴．∴．‎ 由（1）得，‎ ‎∴．∴．‎ ‎∴，解得． ‎ ‎89.（2009肇庆）25． 如图 9，的直径和是它的两条切线，切于E，交AM于D，‎ 交BN 于C．设． ‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求关于的关系式； ‎ ‎（3）求四边形的面积S，并证明：．‎ ‎【关键词】切线 ‎【答案】（1）证明：∵AB是直径，AM、BN是切线， ‎ ‎∴，∴．解：（2）过点D作 于F，则． ‎ 由（1），∴四边形为矩形. ‎ ‎∴，． ‎ ‎∵DE、DA，CE、CB都是切线， ‎ ‎∴根据切线长定理，得 ‎，． ‎ 在中，， ‎ ‎∴，化简，得．（3）由（1）、（2）得，四边形的面积，‎ 即．∵，当且仅当时，等号成立．‎ ‎∴，即．‎ ‎90．（2009临沂）如图，AC是的直径，PA，PB是的切线，A，B为切点，AB＝6，PA＝5．‎ 求（1）的半径；‎ ‎（2）的值．‎ ‎【关键词】圆的性质，切线，三角函数 ‎【答案】‎ 解：（1）连接．设交于．‎ 是的切线．‎ ‎，‎ ‎，．‎ ‎，．‎ ‎．‎ 在和中，．‎ ‎，即的半径为．‎ ‎（2）在中，．‎ ‎．‎ ‎91．(2009年温州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．0为BC边上一点，以0为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连结DE． ’‎ ‎(1)当BD＝3时，求线段DE的长；‎ ‎(2)过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F．求证：△FAE是等腰三角形．‎ ‎【关键词】直角三角形、圆的性质，相似的判定，切线的性质，等腰三角形的判定 ‎【答案】解：‎ ‎（1）∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，‎ ‎∴AB＝5，‎ ‎∵DB为直径，‎ ‎∴∠DEB＝∠C＝90°，‎ 又∵∠B＝∠B ，‎ ‎∴△DBE∽△ABC ‎∴ 即 ‎∴DE＝。‎ ‎（2）解法一：连结OE，‎ ‎∵EF为半圆O的切线，‎ ‎∴∠DEO+∠DEF＝90°，‎ ‎∵∠AEF+∠DEF＝90°，‎ ‎∴∠AEF＝∠DEO，‎ ‎∵△DBE∽△ABC，‎ ‎∴∠A＝∠EDB，‎ 又∵∠EDO＝∠DEO，‎ ‎∴∠AEF＝∠A，‎ ‎∴△FAE是等腰三角形。‎ 解法二：连结OE，‎ ‎∵EF为半圆O的切线，‎ ‎∴∠AEF+∠OEB＝90°，‎ ‎∵∠C＝90°，‎ ‎∴∠A+∠B＝90°，‎ ‎∵OE＝OB ‎∴∠OEB＝∠B，‎ ‎∴∠AEF＝∠A ‎∴△FAE是等腰三角形。‎ ‎92．(2009年湖州)如图，在平面直角坐标系中，直线∶＝分别与轴，轴相交于两点，点是轴的负半轴上的一个动点，以为圆心，3为半径作.‎ ‎（1）连结，若，试判断与轴的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）当为何值时，以与直线的两个交点和圆心为顶点的三角形是正三角形？‎ ‎【关键词】直线与圆的位置关系，相切的判定，正三角形的性质，相似的性质 ‎【答案】‎ 解：（1）与轴相切．‎ 直线与轴交于，与轴交于，‎ ‎，‎ 由题意，.‎ 在中，，‎ 等于的半径，与轴相切. ‎ ‎（2）设与直线交于两点，连结.‎ 当圆心在线段上时，作于.‎ 为正三角形，.‎ ‎，‎ 即，‎ ‎，‎ ‎.‎ 当圆心在线段延长线上时，同理可得，‎ ‎，‎ ‎ 当或时，以与直线的两个交点和圆心为顶点的三角形是正三角形．‎ ‎93．（2009年中山）在中，，‎ 以为直径作，‎ ‎（1）求圆心到的距离（用含的代数式来表示）；‎ ‎（2）当取何值时，与相切．‎ ‎【关键词】直线与圆的位置关系 ‎【答案】‎ ‎（1）分别过两点作，垂足分别为点，点，‎ 就是圆心到的距离．‎ 四边形是平行四边形，‎ ‎．‎ ‎94、（2009年兰州）如图，要在一块形状为直角三角形（∠C为直角）的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段AC上，‎ 且与AB、BC都相切.请你用直尺和圆规画出来（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．‎ ‎【关键词】直线与圆位置关系、尺规作图 ‎【答案】作出角平分线得2分，作出半圆再得2分，小结1分，共5分。‎ 上图即为所求图形 ‎95、（2009年遂宁）如图，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB2＝AF·AC，cos∠ABD＝，AD＝12．‎ ‎⑴求证：△ANM≌△ENM；‎ ‎⑵求证：FB是⊙O的切线；‎ ‎⑶证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S．‎ ‎【关键词】直线与圆位置关系、勾股定理、相似形 ‎【答案】⑴证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90o，又∵EM⊥BC，BM平分∠ABC，‎ ‎∴AM＝ME，∠AMN＝EMN，又∵MN＝MN，∴△ANM≌△ENM ‎⑵∵AB2＝AF·AC，∴，又∵∠BAC＝∠FAB＝90o，∴△ABF∽△ACB，∴∠ABF＝∠C 又∵∠FBC＝∠ABC+∠FBA＝90o，∴FB是⊙O的切线 ‎⑶由⑴得AN＝EN，AM＝EM，∠AMN＝EMN，又∵AN∥ME，∴∠ANM＝∠EMN，∴∠AMN＝∠ANM，∴AN＝AM，∴AM＝ME＝EN＝AN，∴四边形AMEN是菱形，∵cos∠ABD＝，∠ADB＝90o ‎∴，设BD＝3x，则AB＝5x，，由勾股定理而AD＝12，∴x＝3‎ ‎∴BD＝9，AB＝15，∵MB平分∠AME，∴BE＝AB＝15，∴DE＝BE-BD＝6，∵ND∥ME，∴∠BND＝∠BME，又∵∠NBD＝∠MBE，∴△BND∽△BME，则，设ME＝x，则ND＝12-x，，解得x＝‎ ‎∴S＝ME·DE＝×6＝45‎ ‎96、（2009年济南）已知，如图②，是的直径，与相切于点连接交于点的延长线交于点连接、，求和的度数．‎ ‎【关键词】直线与圆位置关系、切线性质 ‎【答案】‎ ‎∵是的直径 ‎∴，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵是的切线 ‎∴，‎ 又 ‎∴.‎ 在中，，‎ ‎，‎ 圆心到的距离为．‎ ‎（2），‎ 为的直径，且，‎ 当时，与相切于点，‎ 即，‎ 当时，与相切．‎ ‎97．（2009年漳州）如图，点在的直径的延长线上，点在上，，，‎ A O B D C ‎（1）求证：是的切线；‎ ‎2‎ ‎（2）若的半径为3，求的长．（结果保留）‎ ‎1‎ ‎【关键词】切线的判定 ‎【答案】‎ ‎（1）证明：连结，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎， ‎ ‎，‎ ‎．‎ 是的切线．‎ ‎（2），‎ 的长＝．‎ 答：的长为．‎ ‎98. （2009年北京市）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.‎ ‎（1）求证：AE与⊙O相切；‎ ‎（2）当BC＝4,cosC＝时，求⊙O的半径. ‎ ‎【关键词】圆的有关证明 ‎(1)证明:连续OM,则OM＝OB.‎ ‎∴∠1＝∠2.‎ ‎∵BM平分∠ABC,‎ ‎∴∠1＝∠3.‎ ‎∴∠2＝∠3.‎ ‎∴OM∥BC.‎ ‎∴∠AMO＝∠AEB.‎ 在△ABC中,AB＝AC,AE是角平分线,‎ ‎∴AE⊥BC.‎ ‎∴∠AEB＝90°,‎ ‎∴∠AMO＝90°,‎ ‎∴OM⊥AE.‎ ‎∴OE与⊙O相切.‎ ‎(2) 在△ABC中,AB＝AC,AE是角平分线,‎ ‎∴,∠ABC＝∠C,‎ ‎∴BC＝4,,‎ ‎∴BE＝4,cos∠ABC＝.‎ 在△ABE中,∠AEB＝90°,‎ ‎∴‎ 设⊙O的半径为r,则AO＝6-r.‎ ‎∵OM∥BC,‎ ‎∴△AOM∽△ABE,‎ ‎∴,‎ ‎∴,解得.‎ ‎∴⊙O的半径为.‎ ‎【答案】‎ ‎99．（09湖南怀化）如图，直线经过⊙上的点，并且⊙交直线于、两点，连接，，．‎ 求证：（1）； （2）∽． ‎ ‎【关键词】圆的基本性质、切线定理 ‎【答案】证明：‎ ‎（1）∵OE＝OD，‎ ‎∴△ODE是等腰三角形，‎ 又EC＝DC，‎ ‎∴C是底边DE上的中点，‎ ‎∴‎ ‎（2）∵AB是直径，‎ ‎∴∠ACB＝，‎ ‎∴∠B+∠BAC＝，‎ 又∠DCA+∠ACO＝，∠ACO＝∠BAC，‎ ‎∴∠DCA＝∠B．又∠ADC＝∠CDB， ‎ ‎∴△ACD∽△CBD． ‎ ‎100．（09湖南怀化）如图，已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、，与轴的交点为．设的外接圆的圆心为点．‎ ‎（1）求与轴的另一个交点D的坐标；‎ ‎（2）如果恰好为的直径，且的面积等于，求和的值． ‎ ‎【关键词】圆的基本性质、圆的对称性、切线定理 ‎【答案】解 ‎ ‎（1）易求得点的坐标为 由题设可知是方程即 的两根，‎ 所以，‎ 所 如图，∵⊙P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，设它们的交点为点O，连结DB，∴△AOC∽△DOC，则 由题意知点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，所以点D的坐标为（0，1）‎ ‎（2）因为AB⊥CD， AB又恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为，即.‎ 又，‎ 所以解得 ‎101．（2009年湖北十堰市）如图，直线l切⊙O于点A，点P为直线l上一点，直线PO交⊙O于点C、B，点D在线段AP上，连结DB，且AD＝DB．‎ ‎（1）求证：DB为⊙O的切线．‎ ‎（2）若AD＝1，PB＝BO，求弦AC的长．‎ ‎【关键词】直线与圆的位置关系 ‎【答案】（1）证明: 连结OD ，‎ ‎ ∵ PA 为⊙O切线 ∴ ∠OAD ＝ 90°，‎ ‎∵ OA＝OB，DA＝DB，DO＝DO， ∴ΔOAD≌ΔOBD ‎∴ ∠OBD＝∠OAD ＝ 90°， ∴PA为⊙O的切线 ‎（2）解：在RtΔOAP中， ∵ PB＝OB＝OA ∴ ∠OPA＝30°‎ ‎∴ ∠POA＝60°＝2∠C ， ∴PD＝2BD＝2DA＝2‎ ‎∴ ∠OPA＝∠C＝30°‎ ‎∴ AC＝AP＝3‎ 说明：其它解法请参照上述评分说明给分．‎ ‎102．（2009年新疆乌鲁木齐市）如图2，在中，，以为直径的交于点，于点．‎ ‎（1）求证是的切线；‎ ‎（2）若，求图中阴影部分的面积．‎ ‎【关键词】直线与圆的位置关系、锐角三角函数、直角三角形的有关计算 ‎【答案】（1）证明：连接．‎ ‎∵，∴，∵，∴．‎ ‎∴，∴．‎ 又，∴，点在上，∴是的切线．‎ ‎（2）连接．∵为直径，点在上，∴．‎ ‎∵，∴，∴．‎ 又∵在中，于点，∴．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴，，‎ ‎∴．‎ ‎103.(2009年厦门)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，P是△OAC的重心，且OP＝，∠A＝30°‎ ‎（1）求劣弧的长；‎ ‎（2）若∠ABD＝120°，BD＝1.求证：CD是是⊙O的切线. ‎ ‎【关键词】圆的性质的应用 ‎【答案】（1）解：延长OP交AC于E，‎ ‎ ∵ P是△OAC的重心，OP＝，‎ ‎ ∴ OE＝1， ……1分 ‎ 且 E是AC的中点.‎ ‎ ∵ OA＝OC，∴ OE⊥AC.‎ ‎ 在Rt△OAE中，∵ ∠A＝30°，OE＝1，‎ ‎ ∴ OA＝2. ……2分 ‎ ∴ ∠AOE＝60°. ‎ ‎ ∴ ∠AOC＝120°. ‎ ‎ ∴ ＝π. ‎ ‎（2）证明：连结BC.‎ ‎ ∵ E、O分别是线段AC、AB的中点，‎ ‎ ∴ BC∥OE，且BC＝2OE＝2＝OB＝OC. ‎ ‎ ∴ △OBC是等边三角形. ‎ ‎ 法1：∴ ∠OBC＝60°.‎ ‎ ∵ ∠OBD＝120°，∴ ∠CBD＝60°＝∠AOE. ‎ ‎ ∵ BD＝1＝OE，BC＝OA，‎ ‎ ∴ △OAE ≌△BCD. ‎ ‎ ∴ ∠BCD＝30°.‎ ‎ ∵ ∠OCB＝60°，‎ ‎ ∴ ∠OCD＝90°. ‎ ‎ ∴ CD是⊙O的切线. ‎ ‎ 法2：过B作BF∥DC交CO于F.‎ ‎ ∵ ∠BOC＝60°，∠ABD＝120°,‎ ‎ ∴ OC∥BD. ‎ ‎ ∴ 四边形BDCF是平行四边形. ‎ ‎ ∴ CF＝BD＝1.‎ ‎ ∵ OC＝2，‎ ‎ ∴ F是OC的中点.‎ ‎ ∴ BF⊥OC. ‎ ‎ ∴ CD⊥OC. ‎ ‎ ∴ CD是⊙O的切线.‎ ‎104.（2009年桂林市、百色市）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若 ‎∠MAC＝∠ABC ．‎ ‎（1）求证：MN是半圆的切线；‎ ‎（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC 于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F． ‎ 求证：FD＝FG．‎ ‎（3）若△DFG的面积为4.5，且DG＝3，GC＝4，试求△BCG的面积．‎ ‎【关键词】圆 ‎【答案】‎ 证明（1）：‎ ‎∵AB是直径 ‎∴∠ACB＝90º ，‎ ‎∴∠CAB+∠ABC＝90º ‎∵∠MAC＝∠ABC ‎∴∠MAC+∠CAB＝90º，即MA⊥AB ‎∴MN是半圆的切线．‎ ‎（2）证法1： ‎ ‎∵D是弧AC的中点， ‎ ‎∴∠DBC＝∠2‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠CBG+∠CGB＝90º ‎∵DE⊥AB，‎ ‎∴∠FDG+∠2＝90º ‎∵∠DBC＝∠2，‎ ‎∴∠FDG＝∠CGB＝∠FGD ‎∴FD＝FG 证法2：连结AD，则∠1＝∠2‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠ADB＝90º ‎∴∠1+∠DGF＝90º 又∵DE⊥AB ‎ ‎∴∠2+∠FDG＝90º ‎∴∠FDG＝∠FGD，‎ ‎ ∴FD＝FG ‎（3）解法1：过点F作FH⊥DG于H，‎ 又∵DF＝FG ‎ ‎∴S△FGH＝S△DFG＝×4.5＝‎ ‎∵AB是直径，FH⊥DG ‎ ‎∴∠C＝∠FHG＝90º ‎∵∠HGF＝∠CGB，‎ ‎∴△FGH∽△BGC ‎∴‎ ‎∴S△BCG＝.‎ 解法2：∵∠ADB＝90º，DE⊥AB，‎ ‎∴∠3＝∠2‎ ‎∵∠1＝∠2，‎ ‎∴∠1＝∠3‎ ‎∴AF＝DF＝FG ‎∴S△ADG＝2S△DFG＝9‎ ‎∵∠ADG＝∠BCG，∠DGA＝∠CGB ‎∴△ADG∽△BCG ‎∴‎ ‎∴S△BCG＝‎ 解法3：连结AD，过点F作FH⊥DG于H，‎ ‎∵S△FDG＝DG×FH＝×3FH＝4．5‎ ‎∴FH＝3‎ ‎∵H是DG的中点，FH∥AD ‎∴AD＝2FH＝6 ‎ ‎∴S△ADG＝.‎ ‎（以下与解法2同）‎ ‎105.(2009年陕西省) 23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，过点A作AP∥BC，交BO的延长线于点P．‎ ‎（1）求证：AP是⊙O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的半径R＝5，BC＝8，求线段AP的长．‎ ‎【关键词】直线与圆的位置关系 圆与相似三角形的综合 ‎【答案】解：（1）证明：过点A作AE⊥BC，交BC于点E．‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴AE平分BC．‎ ‎∴点O在AE上．‎ 又 ∵AP∥BC，‎ ‎∴AE⊥AP．‎ ‎∴AP为⊙O的切线．‎ ‎（2） ∵BE＝BC＝4．‎ ‎∴OE＝＝3．‎ 又 ∵∠AOP＝∠BOE，‎ ‎∴△OBE∽△OPA．‎ ‎∴．‎ 即 ．‎ ‎∴AP＝．‎ ‎106.(2009武汉)如图，中，，以为直径作交边于点，是边的中点，连接．‎ ‎（1）求证：直线是的切线；‎ ‎（2）连接交于点，若，求的值．‎ C E B A O F D ‎【关键词】直线与圆的位置关系 三角函数 ‎【答案】证明：（1）连接．‎ 是的直径，‎ ‎，‎ 点是的中点，‎ ‎．‎ ‎．‎ 直线是的切线．‎ C E B A O F D H ‎（2）作于点，‎ 由（1）知，，．‎ ‎，且．‎ ‎．‎ ‎，，．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎107.(2009年安顺)如图，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E。‎ （1） 求证：DE是⊙O的切线；‎ （2） 作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，若∠A＝30°，AB＝8，求弦DG的长。‎ ‎【关键词】切线定理 ‎【答案】‎ 证明：连结OD．‎ ‎∵OA＝OD, ‎ ‎∴∠A＝∠ADO．‎ ‎∵BA＝BC， ‎ ‎∴∠A＝∠C． ‎ ‎∴∠ADO＝∠C．‎ ‎∴DO∥BC． ‎ ‎∵DE⊥BC ‎ ‎∴DO⊥DE．‎ 又点D在⊙O 上 ‎ ‎∴DE是⊙O的切线 ‎ ‎（2）解：∠DOF ＝∠A+∠ADO ＝ 60°‎ 在Rt⊿DOF中，OD ＝ 4‎ DF ＝ OD·sin∠DOF ＝ 4·sin60°＝ 2 ‎ ‎∵直径AB⊥弦DG ∴DF ＝ FG ‎ ‎∴DG ＝ 2DF ＝ 4. ‎ ‎108.（2009威海）如图，在直角坐标系中，点的坐标分别为，过三点的抛物线的对称轴为直线为对称轴上一动点．‎ （1） 求抛物线的解析式；‎ （2） 求当最小时点的坐标；‎ （3） 以点为圆心，以为半径作．‎ ‎①证明：当最小时，直线与相切．‎ ‎②写出直线与相切时，点的另一个坐标：___________．‎ ‎【关键词】待定系数法，直线与圆的位置关系 ‎【答案】（1）设抛物线的解析式为．‎ 将代入上式，得．‎ 解，得．‎ 抛物线的解析式为．‎ 即．‎ ‎（2）连接，交直线于点．‎ 点与点关于直线 对称，‎ ‎．‎ ‎．‎ 由“两点之间，线段最短”的原理可知：‎ 此时最小，点的位置即为所求．‎ 设直线的解析式为，‎ 由直线过点，，得 ‎ 解这个方程组，得 直线的解析式为．‎ 由（1）知：对称轴为，即．‎ 将代入，得．‎ 点的坐标为（1，2）．‎ 说明：用相似三角形或三角函数求点的坐标也可，答案正确给2分．‎ ‎（3）①连接．设直线与轴的交点记为点．‎ 由（1）知：当最小时，点的坐标为（1，2）．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ 与相切．‎ ‎②．‎ ‎109．（2009年湖南长沙）在中，，是边上一点，以为直径的与边相切于点，连结并延长，与的延长线交于点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求的面积．‎ ‎【答案】（1）证明：连结．‎ 切于，‎ ‎，‎ 又即，‎ ‎，‎ ‎．‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（2）设半径为，由得．‎ ‎，即，‎ ‎，解之得（舍）．‎ ‎．‎ ‎110．（2009年内蒙古包头）‎ 如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，，．‎ ‎（1）求证：是的切线；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）点是的中点，交于点，若，求的值．‎ ‎【解析】本题综合考查等腰三角形的性质及切线的判定， 及利用三角形相似的性质和判定，求等积式等。‎ ‎【答案】(1)∵OA＝OC，∴，又∵‎ ‎∴ 又∵AB是⊙O的直径，∴‎ ‎∴即OC⊥CP，而OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线。‎ ‎(2)∵AC＝PC， ∴ ∴，‎ 又∵ ∴ ∴ ‎ ‎∴‎ ‎(3)、连结MA、MB，∵点M是的中点， ∴ ∴‎ 而 ∴ 而 ‎ ‎∴∽， ∴，∴，‎ 又∵AB是⊙O的直径，，∴‎ ‎∵AB＝4，∴，∴。‎ ‎111.（2009年淄博市）如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F．AD，BE相交于点G，连接BD．‎ ‎（1）求BD 的长；‎ ‎（2）求∠ABE+2∠D的度数；‎ ‎（3）求的值．‎ 解： ‎ ‎（1）连接OC，并延长BO交AE于点H，‎ ‎∵AB是小圆的切线，C是切点，‎ ‎∴OC⊥AB，‎ ‎∴C是AB的中点． ‎ ‎∵AD是大圆的直径，‎ ‎∴O是AD的中点．‎ ‎∴OC是△ABD的中位线．‎ ‎∴BD＝2OC＝10． ‎ ‎（2） 连接AE，由（1）知C是AB的中点．‎ 同理F是BE的中点．‎ 由切线长定理得BC＝BF．‎ ‎∴BA＝BE． ‎ ‎∴∠BAE＝∠E．‎ ‎∵∠E＝∠D， ‎ ‎∴∠ABE+2∠D＝∠ABE+∠E+∠BAE＝180º． ‎ ‎（3） 连接BO，在Rt△OCB中，‎ ‎∵OB＝13，OC＝5，‎ ‎∴BC＝12． ‎ 由（2）知∠OBG＝∠OBC＝∠OAC．‎ ‎∵∠BGO＝∠AGB，‎ ‎∴△BGO∽△AGB． ‎ ‎∴． ‎ ‎112.（2009年贵州省黔东南州）如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证AC与⊙O相切.‎ ‎【关键词】切线的判定 ‎【答案】证明：‎ 连结OD，过点O作OE⊥AC于E点。‎ ‎∵AB切⊙O于D ‎∴OD⊥AB ‎∴∠ODB＝∠OEC＝90°‎ 又∵O是BC的中点 ‎∴OB＝OC ‎∵AB＝AC ‎∴∠B＝∠C ‎∴△OBE≌△OCE ‎∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径 ‎∴AC与⊙O相切 ‎ ‎ ‎113、（2009辽宁朝阳）如图，是的外接圆，点在上，，点是垂足，，连接．‎ 求证：是的切线．‎ ‎【关键词】直线与圆的位置关系 ‎【答案】‎ 证明：连接 又．‎ ‎，即是的切线 ‎114．（2009东营）如图，⊙O的直径AB＝4，C为圆周上一点，AC＝2，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点 E． ‎ ‎(1) 求∠AEC的度数； ‎ ‎（2）求证：四边形OBEC是菱形．‎ ‎ ‎ ‎【关键词】圆的切线 ‎【答案】C （1）解：在△AOC中，AC＝2，‎ ‎ ∵ AO＝OC＝2，‎ ‎∴ △AOC是等边三角形．‎ ‎∴ ∠AOC＝60°， ‎ ‎∴∠AEC＝30°．‎ ‎（2）证明：∵OC⊥l，BD⊥l． ‎ ‎∴ OC∥BD． ‎ ‎∴ ∠ABD＝∠AOC＝60°．‎ ‎∵ AB为⊙O的直径，‎ ‎∴ △AEB为直角三角形，∠EAB＝30°． ‎ ‎ ∴∠EAB＝∠AEC． ‎ ‎ ∴ 四边形OBEC 为平行四边形． ‎ ‎ 又∵ OB＝OC＝2． ‎ ‎ ∴ 四边形OBEC是菱形． ‎ ‎115、（2009贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径作⊙O交AB于点D，取AC的中点E，连结DE、OE．‎ ‎（1）求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）如果⊙O的半径是cm，ED＝‎2cm，求AB的长．‎ ‎【关键词】证明直线是圆的直线并进行计算 ‎【答案】证明：（1）连结OD． ‎ 由O、E分别是BC、AC中点得OE∥AB．‎ ‎∴∠1＝∠2，∠B＝∠3，又OB＝OD．‎ ‎∴∠2＝∠3．‎ 而OD＝OC，OE＝OE ‎∴△OCE≌△ODE．‎ ‎∴∠OCE＝∠ODE．‎ 又∠C＝90°，故∠ODE ＝90°．‎ ‎∴DE是⊙O的切线． ‎ ‎（2）在Rt△ODE中，由，DE＝2‎ 得 又∵O、E分别是CB、CA的中点 ‎∴AB＝2·‎ ‎∴所求AB的长是‎5cm．‎ ‎116．（2009年铁岭市）如图所示，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥‎ AB.AB＝10,AC＝6，E是AB延长线上一点，．判断直线DE与半圆O的位置关系，并证明你的结论．‎ ‎【关键词】垂径定理及其逆定理；直线与圆的位置关系；切线定理；直角三角形的性质；相似三角形与圆 ‎【答案】直线与半圆相切． ‎ 证明：法一：‎ 连接，作于点．‎ ‎∵，∴．‎ ‎∵．‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∵，∴．‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴直线与半圆相切．‎ 法二：连接，作于点，作于点．‎ ‎∵，∴．‎ 在中，‎ ‎∵，，‎ ‎∴四边形是矩形，‎ ‎∴．‎ ‎∵，，‎ 在中，．‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ ‎∴直线与半圆相切．‎ ‎117.（2009龙岩）如图，已知点E在△ABC的边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于 点D，且AD平分∠BAC ．‎ 求证：AC⊥BC．‎ ‎【关键词】切线定理 ‎【答案】证明：连接OD ‎ ‎∵OA ＝ OD，∴∠1 ＝∠3；‎ ‎∵AD平分∠BAC，∴∠1 ＝∠2；‎ ‎∴∠2 ＝∠3；∴OD∥AC，‎ ‎∵BC是⊙O的切线 ‎∴OD⊥BC ∴AC⊥BC 。‎ ‎118.(2009年抚顺市)如图所示，AC与⊙O相切于点C，线段AO交⊙O于点B．过点B作BD∥AC交⊙O于点D，连接CD、OC，且OC交DB于点E．若∠‎ CDB＝30°,．‎ ‎（1）求⊙O的半径长；‎ ‎（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留）‎ ‎119.(2009年梅州市)如图 ，矩形ABCD中，AB＝5,AD＝3．点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O与AB交于点F，过点F作FG⊥BE于点G． ‎ ‎（1）当E是CD的中点时： ‎ ‎①tan∠EAB的值为______________； ‎ ‎② 证明：FG是⊙O的切线； ‎ ‎（2）试探究：BE能否与⊙O相切?若能，求出此时DE的长；若不能，请说明理由．‎ ‎【关键词】圆的切线 ‎【答案】（1）① ‎ ‎②法一：在矩形中，，‎ ‎，又， ‎ ‎∴， ‎ 得， ‎ 连，则， ∴，‎ ‎， ∴， ‎ ‎∵， ∴， ‎ ‎∴是的切线 ‎ ‎（法二：提示：连，证四边形是平行四边形．参照法一给分．）‎ ‎（2）法一：若能与相切， ∵是的直径， ‎ ‎∴，则， ‎ 又， ∴， ‎ ‎∴， ‎ ‎∴，设，则，得，‎ 整理得． ‎ ‎∵， ∴该方程无实数根． ‎ ‎∴点不存在，不能与相切． ‎ 法二： 若能与相切，因是的直径，则， ‎ 设，则，由勾股定理得：， ‎ 即， 整理得， ‎ ‎∵， ∴该方程无实数根． ‎ ‎∴点不存在，不能与相切．‎