株洲市芦淞区中考数学模拟试卷及答案word解析版

株洲市芦淞区中考数学模拟试卷及答案word解析版

‎ 2013年湖南省株洲市芦淞区中考数学模拟试卷 一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共8小题，每小题3分，共24分）‎ ‎1．（3分）（2012•河南）下列各数中，最小的数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣2‎ B．‎ ‎﹣0.1‎ C．‎ ‎0‎ D．‎ ‎|﹣1|‎ 考点：‎ 有理数大小比较．‎ 分析：‎ 根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，进行比较．‎ 解答：‎ 解：因为正实数都大于0，‎ 所以＞0，‎ 又因为正实数大于一切负实数，‎ 所以＞﹣2，‎ 所以＞﹣0.1‎ 所以最大，‎ 故D不对；‎ 又因为负实数都小于0，‎ 所以0＞﹣2，0＞﹣0.1，‎ 故C不对；‎ 因为两个负实数绝对值大的反而小，‎ 所以﹣2＜﹣0.1，‎ 故B不对；‎ 故选A．‎ 点评：‎ 此题主要考查了比较实数的大小，要熟练掌握任意两个实数比较大小的方法．（1）正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．‎ ‎2．（3分）（2013•芦淞区模拟）下列运算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（a﹣b）2=a2﹣b2‎ B．‎ C．‎ ‎3a‎×ab=‎3a2b D．‎ ‎（x3）2=x5‎ 考点：‎ 二次根式的加减法；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式；完全平方公式．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ A、用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断；‎ B、原式化为最简二次根式，合并得到结果，即可做出判断；‎ C、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可做出判断；‎ D、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．‎ 解答：‎ 解：A、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，本选项错误；‎ B、﹣=2﹣=，本选项错误；‎ C、‎3a×ab=‎3a2b，本选项正确；‎ D、（x3）2=x6，本选项错误，‎ 故选C 点评：‎ 此题考查了二次根式的加减法，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2013•怀柔区二模）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 中心对称图形；轴对称图形．‎ 专题：‎ 常规题型．‎ 分析：‎ 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ 解答：‎ 解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；‎ B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；‎ C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；‎ D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2011•南昌）已知x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，则方程的另一个根是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎﹣2‎ D．‎ ‎﹣1‎ 考点：‎ 根与系数的关系．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据根与系数的关系得出x1x2==﹣2，即可得出另一根的值．‎ 解答：‎ 解：∵x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，‎ ‎∴x1x2==﹣2，‎ ‎∴1×x2=﹣2，‎ 则方程的另一个根是：﹣2，‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2011•江西）一组数据：2，3，4，x中，若中位数与平均数相等，则数x不可能是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎5‎ 考点：‎ 中位数；算术平均数．‎ 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 因为中位数的值与大小排列顺序有关，而此题中x的大小位置未定，故应该分类讨论x所处的所有位置情况：从小到大（或从大到小）排列在中间（在第二位或第三位结果不影响）；结尾；开始的位置．‎ 解答：‎ 解：（1）将这组数据从大到小的顺序排列为2，3，x，4，‎ 处于中间位置的数是3，x，‎ 那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（3+x）÷2，‎ 平均数为（2+3+4+x）÷4，‎ ‎∴（3+x）÷2=（2+3+4+x）÷4，‎ 解得x=3，大小位置与3对调，不影响结果，符合题意；（2）将这组数据从大到小的顺序排列后2，3，4，x，‎ 中位数是（3+4）÷2=3.5，‎ 此时平均数是（2+3+4+x）÷4=3.5，‎ 解得x=5，符合排列顺序；（3）将这组数据从大到小的顺序排列后x，2，3，4，‎ 中位数是（2+3）÷2=2.5，‎ 平均数（2+3+4+x）÷4=2.5，‎ 解得x=1，符合排列顺序．‎ ‎∴x的值为1、3或5．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题结合平均数考查了确定一组数据的中位数的能力．涉及到分类讨论思想，较难，要明确中位数的值与大小排列顺序有关，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而解答不完整．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数 ‎　‎ ‎6．（3分）（2012•黔东南州）如图，是直线y=x﹣3的图象，点P（2，m）在该直线的上方，则m的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ m＞﹣3‎ B．‎ m＞﹣1‎ C．‎ m＞0‎ D．‎ m＜3‎ 考点：‎ 一次函数图象上点的坐标特征．‎ 专题：‎ 压轴题；探究型．‎ 分析：‎ 把x=2代入直线的解析式求出y的值，再根据点P（2，m）在该直线的上方即可得出m的取值范围．‎ 解答：‎ 解：当x=2时，y=2﹣3=﹣1，‎ ‎∵点P（2，m）在该直线的上方，‎ ‎∴m＞﹣1．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意求出当x=2时y的值是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2006•曲靖）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎25°‎ B．‎ ‎30°‎ C．‎ ‎45°‎ D．‎ ‎60°‎ 考点：‎ 等边三角形的判定与性质．‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 先根据图形折叠的性质得出BC=CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE=AE，进而可判断出△BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论．‎ 解答：‎ 解：△ABC沿CD折叠B与E重合，‎ 则BC=CE，‎ ‎∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，‎ ‎∴CE=BE=AE，‎ ‎∴△BEC是等边三角形．‎ ‎∴∠B=60°，‎ ‎∴∠A=30°，‎ 故选B．‎ 点评：‎ 考查直角三角形的性质，等边三角形的判定及图形折叠等知识的综合应用能力及推理能力．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2011•菏泽）如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象，A，B，C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a+b=﹣1‎ B．‎ a﹣b=﹣1‎ C．‎ b＜‎‎2a D．‎ ac＜0‎ 考点：‎ 二次函数图象与系数的关系．‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 由抛物线与y轴相交于点C，就可知道C点的坐标（0，1）以及A的坐标，然后代入函数式，即可得到答案．‎ 解答：‎ 解：A不正确：由图象可知，当x=1时，y＞0，即a+b＞0；‎ B正确：由抛物线与y轴相交于点C，就可知道C点的坐标为（0，c），‎ 又因为OC=OA=1，‎ 所以C（0，1），A（﹣1，0），‎ 把它代入y=ax2+bx+c，‎ 即a•（﹣1）2+b•（﹣1）+1=0，‎ 即a﹣b+1=0，‎ 所以a﹣b=﹣1．‎ C不正确：由图象可知，﹣＜﹣1，解得b＞‎2a；‎ D不正确：由图象可知，抛物线开口向上，所以a＞0；又因为c=1，所以ac＞0．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 解决本题的关键在于根据抛物线与x轴，y轴的交点判断交点坐标，然后代入函数式，推理a，b，c之间的关系．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）‎ ‎9．（3分）（2010•防城港）分解因式：a2﹣‎4a=　a（a﹣4）　．‎ 考点：‎ 因式分解-提公因式法．‎ 分析：‎ 由于原式子中含有公因式a，可用提取公因式法求解．‎ 解答：‎ 解：a2﹣‎4a=a（a﹣4）．‎ 点评：‎ 主要考查提公因式法分解因式，是基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2013•芦淞区模拟）艾思轲同学在“百度”搜索引擎中输入“钓鱼岛最新消息”，能搜索到与之相关的结果个数约为4640000，这个数用科学记数法表示为　4.64×106　．‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数．‎ 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答：‎ 解：将4640000用科学记数法表示为：4.64×106．‎ 故答案为：4.64×106．‎ 点评：‎ 此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2013•湘西州）函数y=的自变量x的取值范围是　x　．‎ 考点：‎ 函数自变量的取值范围．‎ 专题：‎ 函数思想．‎ 分析：‎ 根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．‎ 解答：‎ 解：根据题意得：3x﹣1≥0，‎ 解得：x≥．‎ 故答案为：x≥．‎ 点评：‎ 考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：‎ ‎（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；‎ ‎（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；‎ ‎（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2013•芦淞区模拟）分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是　　．‎ 考点：‎ 概率公式．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 先得到在所给的5个数中负数有2个，即﹣1，﹣2，然后根据概率公式求解．‎ 解答：‎ 解：因为在数字0，﹣1，﹣2，1，3中，负数有﹣1，﹣2，所以从中任抽一张，那么抽到负数的概率=．‎ 故答案为．‎ 点评：‎ 本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2013•芦淞区模拟）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD=　　．‎ 考点：‎ 解直角三角形．‎ 分析：‎ 在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB，而∠B=∠ACD，即可把求sin∠ACD转化为求sinB．‎ 解答：‎ 解：在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB===3．‎ ‎∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，‎ ‎∴∠B=∠ACD．‎ ‎∴sin∠ACD=sin∠B==．‎ 点评：‎ 本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2013•芦淞区模拟）如图，在△MBN中，BM=6，点A，C，D分别在MB，BN，NM上，四边形ABCD为平行四边形，∠NDC=∠MDA，那么平行四边形ABCD的周长是　12　．‎ 考点：‎ 平行四边形的性质．‎ 分析：‎ 首先根据平行四边形的性质可得AB∥DC，AD∥BN，根据平行线的性质可得∠N=∠ADM，∠M=∠NDC，再由∠NDC=∠MDA，可得∠N=∠NDC，∠M=∠MDA，∠M=∠N，根据等角对等边可得CN=DC，AD=MA，NB=MB，进而得到答案．‎ 解答：‎ 解：∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴AD=BC，DC=AB，AB∥DC，AD∥BN，‎ ‎∴∠N=∠ADM，∠M=∠NDC，‎ ‎∵∠NDC=∠MDA，‎ ‎∴∠N=∠NDC，∠M=∠MDA，∠M=∠N，‎ ‎∴CN=DC，AD=MA，NB=MB，‎ ‎∴平行四边形ABCD的周长是 BM+BN=6+6=12，‎ 故答案为：12．‎ 点评：‎ 此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边相等．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2007•河南）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠ACB=65°，则∠P=　50　度．‎ 考点：‎ 切线的性质；圆周角定理．‎ 分析：‎ 连接OA，OB．根据圆周角定理和四边形内角和定理求解．‎ 解答：‎ 解：连接OA，OB．‎ PA、PB切⊙O于点A、B，则∠PAO=∠PBO=90°，‎ 由圆周角定理知，∠AOB=2∠C=130°，‎ ‎∵∠P+∠PAO+∠PBO+∠AOB=360°，‎ ‎∴∠P=180°﹣∠AOB=50°．‎ 点评：‎ 本题利用了切线的概念，圆周角定理，四边形的内角和为360度求解．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2013•芦淞区模拟）已知双曲线，的部分图象如图所示，P是y轴正半轴上一点，过点P作AB∥x轴，分别交两个图象于点A，B．若PB=2PA，则k=　﹣4　．‎ 考点：‎ 反比例函数综合题．‎ 专题：‎ 压轴题；数形结合．‎ 分析：‎ 因为AB∥x轴，PB=2PA，所以可知A和B点的纵坐标相同，B点的横坐标的长度是A横坐标的2倍，从而可求出k的值，因为过第二象限，所以k＜0．‎ 解答：‎ 解：∵AB∥x轴，PB=2PA，‎ ‎∴=‎ ‎∴k=﹣4．‎ 故答案为：﹣4．‎ 点评：‎ 本题考查反比例函数图象的性质，以及从反比例函数获得信息，关键是看到纵坐标相同时，横坐标的不同，从而求出解．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共8小题，共52分，需要有必要的解答过程与步骤）‎ ‎17．（4分）（2013•芦淞区模拟）计算：．‎ 考点：‎ 实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．‎ 分析：‎ 先分别根据特殊角的三角函数值、0指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．‎ 解答：‎ 解：原式=2﹣1+×‎ ‎=2．‎ 点评：‎ 本题考查的是实数的运算，熟知特殊角的三角函数值、0指数幂的计算法则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（4分）（2013•芦淞区模拟）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=2，b=﹣1．‎ 考点：‎ 分式的化简求值．‎ 分析：‎ 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a=2，b=﹣1代入进行计算即可．‎ 解答：‎ 解：原式=×‎ ‎=a﹣b，‎ 当a=2，b=﹣1时，原式=a﹣b=2+1=3．‎ 点评：‎ 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（6分）（2013•芦淞区模拟）在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．‎ ‎（1）求证：BE=BF；‎ ‎（2）若∠CAE=30°，求∠ACF度数．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）可根据“HL”判断Rt△ABE≌Rt△ADF，则可得到BE=BF；‎ ‎（2）由AB=CB，∠ABC=90°，可判断△ABC为等腰直角三角形，则∠BAC=∠BCA=45°，可得到∠BAE=15°，再根据Rt△ABE≌Rt△ADF得到∠BCF=∠BAE=15°，然后根据∠ACF=∠BCF+∠BCA进行计算．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：在Rt△ABE和Rt△ADF中 ‎，‎ ‎∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），‎ ‎∴BE=BF；（2）解：∵AB=CB，∠ABC=90°，‎ ‎∴∠BAC=∠BCA=45°，‎ ‎∵∠CAE=30°，‎ ‎∴∠BAE=45°﹣30°=15°，‎ ‎∵Rt△ABE≌Rt△ADF，‎ ‎∴∠BCF=∠BAE=15°，‎ ‎∴∠ACF=∠BCF+∠BCA=15°+45°=60°．‎ 点评：‎ 本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．‎ ‎　‎ ‎20．（6分）（2013•芦淞区模拟）某风景区的门票价格如下表所示：‎ 购票人数 ‎1～50人 ‎51～100人 ‎100人以上 票价 ‎100元/人 ‎80元/人 ‎50元/人 某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动，其中甲班50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买票，两个班一共应付9200元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付5150元．问：甲、乙两班分别有多少人？‎ 考点：‎ 二元一次方程组的应用．‎ 分析：‎ 解：设甲、乙两班分别有x人、y人，根据题干就有方程80x+100y=9200和50x+50y=5150，从而构成方程组求出其解即可．‎ 解答：‎ 解：设甲、乙两班分别有x人、y人，由题意，得 ‎，‎ 解得：．‎ 答：甲、乙两班分别有55人、48人．‎ 点评：‎ 本题考查了列二元一次方程解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据总费用=各班费用之和建立方程组是关键．‎ ‎　‎ ‎21．（6分）（2012•福州）省教育厅决定在全省中小学开展“关注校车、关爱学生”为主题的交通安全教育宣传周活动，某中学为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查了部分学生，将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图（如图所示），请根据图中提供的信息，解答下列问题．‎ ‎（1）m=　26　%，这次共抽取　50　名学生进行调查；并补全条形图；‎ ‎（2）在这次抽样调查中，采用哪种上学方式的人数最多？‎ ‎（3）如果该校共有1500名学生，请你估计该校骑自行车上学的学生有多少名？‎ 考点：‎ 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．‎ 分析：‎ ‎（1）用1减去其他各种情况所占的百分比即可求m的值，用乘公交的人数除以其所占的百分比即可求得抽查的人数；‎ ‎（2）从扇形统计图或条形统计图中直接可以得到结果；‎ ‎（3）用学生总数乘以骑自行车所占的百分比即可．‎ 解答：‎ 解：（1）1﹣14%﹣20%﹣40%=26%；‎ ‎20÷40%=50；条形图如图所示；（2）由图可知，采用乘公交车上学的人数最多；‎ 答：采用乘公交车上学的人数最多．（3）该校骑自行车上学的人数约为：1500×20%=300（名）．‎ 答：该校骑自行车上学的学生有300名．‎ 点评：‎ 本题考查了条形统计图、扇形统计图及用样本估计总数的知识，解题的关键是从统计图中整理出进一步解题的信息．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）（2010•扬州）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．‎ ‎（1）求证：点D是BC的中点；‎ ‎（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（3）如果⊙O的直径为9，cosB=，求DE的长．‎ 考点：‎ 切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形．‎ 专题：‎ 计算题；证明题；探究型．‎ 分析：‎ ‎（1）连接AD，根据等腰三角形的性质易证；‎ ‎（2）相切．连接OD，证明OD⊥DE即可．根据三角形中位线定理证明；‎ ‎（3）由已知可求BD，即CD的长；又∠B=∠C，在△CDE中求DE的长．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：连接AD．‎ ‎∵AB为直径，∴AD⊥BC．‎ 又∵AB=AC，‎ ‎∴D是BC的中点；（2）DE是⊙O的切线．‎ 证明：连接OD．‎ ‎∵BD=DC，OB=OA，‎ ‎∴OD∥AC．‎ ‎∵AC⊥DE，‎ ‎∴OD⊥DE．‎ ‎∴DE是⊙O的切线．（3）解：∵AB=9，cosB=，‎ ‎∴BD=3．‎ ‎∴CD=3．‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴∠B=∠C，‎ ‎∴cosC=．‎ ‎∴在△CDE中，‎ CE=1，DE==．‎ 点评：‎ 此题考查了切线的判定、解直角三角形等知识点，属基础题，难度不大．‎ ‎　‎ ‎23．（8分）（2012•福州）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．‎ ‎（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=　8﹣2t　，PD=　t　．‎ ‎（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；‎ ‎（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；一次函数综合题；勾股定理；菱形的判定与性质．‎ 专题：‎ 代数几何综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据题意得：CQ=2t，PA=t，由Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，即可得tanA==，则可求得QB与PD的值；‎ ‎（2）易得△APD∽△ACB，即可求得AD与BD的长，由BQ∥DP，可得当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即可求得此时DP与BD的长，由DP≠BD，可判定▱PDBQ不能为菱形；然后设点Q的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，列方程即可求得答案；‎ ‎（3）设E是AC的中点，连接ME．当t=4时，点Q与点B重合，运动停止．设此时PQ的中点为F，连接EF，由△PMN∽△PQC．利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：（1）根据题意得：CQ=2t，PA=t，‎ ‎∴QB=8﹣2t，‎ ‎∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，‎ ‎∴∠APD=90°，‎ ‎∴tanA==，‎ ‎∴PD=t．‎ 故答案为：（1）8﹣2t，t．（2）不存在 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，‎ ‎∴AB=10‎ ‎∵PD∥BC，‎ ‎∴△APD∽△ACB，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴AD=t，‎ ‎∴BD=AB﹣AD=10﹣t，‎ ‎∵BQ∥DP，‎ ‎∴当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，‎ 即8﹣2t=，解得：t=．‎ 当t=时，PD==，BD=10﹣×=6，‎ ‎∴DP≠BD，‎ ‎∴▱PDBQ不能为菱形．‎ 设点Q的速度为每秒v个单位长度，‎ 则BQ=8﹣vt，PD=t，BD=10﹣t，‎ 要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，‎ 当PD=BD时，即t=10﹣t，解得：t=‎ 当PD=BQ，t=时，即=8﹣，解得：v=‎ 当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ是菱形．（3）如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．‎ 依题意，可知0≤t≤4，当t=0时，点M1的坐标为（3，0），当t=4时点M2的坐标为（1，4）．‎ 设直线M‎1M2‎的解析式为y=kx+b，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴直线M‎1M2‎的解析式为y=﹣2x+6．‎ ‎∵点Q（0，2t），P（6﹣t，0）‎ ‎∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标（，t）．‎ 把x=代入y=﹣2x+6得y=﹣2×+6=t，‎ ‎∴点M3在直线M‎1M2‎上．‎ 过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N=4，M1N=2．‎ ‎∴M‎1M2‎=2‎ ‎∴线段PQ中点M所经过的路径长为2单位长度．‎ 点评：‎ 此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及一次函数的应用．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）（2011•达州）如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为P，连接AC．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标；‎ ‎（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S△MAP=2S△ACP？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）利用交点式将抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，代入y=a（x﹣x1）（x﹣x2），求出二次函数解析式即可；‎ ‎（2）利用△QOC∽△COA，得出QO的长度，得出Q点的坐标，再求出直线QC的解析式，将两函数联立求出交点坐标即可；‎ ‎（3）首先求出二次函数顶点坐标，S四边形AEPC=S四边形OEPC+S△AOC，以及S四边形AEPC=S△AEP+S△ACP=得出使得S△MAP=2S△ACP点M的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）设此抛物线的解析式为：y=a（x﹣x1）（x﹣x2），‎ ‎∵抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，‎ ‎∴y=a（x﹣1）（x+3），‎ 又∵抛物线与y轴交于点C（0，3），‎ ‎∴a（0﹣1）（0+3）=3，‎ ‎∴a=﹣1‎ ‎∴y=﹣（x﹣1）（x+3），‎ 即y=﹣x2﹣2x+3，‎ 用其他解法参照给分；（2）∵点A（1，0），点C（0，3），‎ ‎∴OA=1，OC=3，‎ ‎∵DC⊥AC，‎ ‎∴∠DCO+∠OCA=90°，‎ ‎∵OC⊥x轴，‎ ‎∴∠COA=∠COQ，∠OAC+∠OCA=90°，‎ ‎∴∠DCO=∠OAC，‎ ‎∴△QOC∽△COA，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴OQ=9，‎ 又∵点Q在x轴的负半轴上，‎ ‎∴Q（﹣9，0），‎ 设直线QC的解析式为：y=mx+n，则，‎ 解之得：，‎ ‎∴直线QC的解析式为：，‎ ‎∵点D是抛物线与直线QC的交点，‎ ‎∴，‎ 解之得：（不合题意，应舍去），‎ ‎∴点D（，‎ 用其他解法参照给分；（3）如图，点M为直线x=﹣1上一点，连接AM，PC，PA，‎ 设点M（﹣1，y），直线x=﹣1与x轴交于点E，‎ ‎∴E（﹣1，0），‎ ‎∵A（1，0），‎ ‎∴AE=2，‎ ‎∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3的顶点为P，对称轴为x=﹣1，‎ ‎∴P（﹣1，4），‎ ‎∴PE=4，‎ 则PM=|4﹣y|，‎ ‎∵S四边形AEPC=S四边形OEPC+S△AOC，‎ ‎=，‎ ‎=，‎ ‎=5，‎ 又∵S四边形AEPC=S△AEP+S△ACP，‎ S△AEP=，‎ ‎∴S△ACP=5﹣4=1，‎ ‎∵S△MAP=2S△ACP，‎ ‎∴，‎ ‎∴|4﹣y|=2，‎ ‎∴y1=2，y2=6，‎ 故抛物线的对称轴上存在点M使S△MAP=2S△ACP，‎ 点M（﹣1，2）或（﹣1，6）．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，特别注意利用数形结合是这部分考查的重点，也是难点，同学们应重点掌握．‎ ‎　‎