中考总复习专题二次函数与相似的结合

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中考总复习专题二次函数与相似的结合

二次函数与相似的结合 题型一:动点在线段上 如图,平面直角坐标系中,已知,一次函数的图像与轴、轴分别交于点、两点,二次函数的图像经过点、点;‎ ‎(1)求这个二次函数的解析式;‎ ‎(2)点是该二次函数图像的顶点,求△的面积;‎ ‎(3)如果点在线段上,且△与△相似,求点的坐标;‎ 如图,抛物线与轴交于、两点(在的左侧),与轴交于点 ‎,抛物线的顶点为;‎ ‎(1)求、的值;‎ ‎(2)求的值;‎ ‎(3)若点是线段上一个动点,联结;问是否存在点,使得以点、、为顶点的三角形与△相似?若存在,求出点坐标;若不存在,请说明理由;‎ 如图,已知抛物线的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点为A(-1,0),顶点为B. 点C(5,m)在抛物线上,直线BC交x轴于点E.‎ (1) 求抛物线的表达式及点E的坐标;‎ (2) 联结AB,求∠B的正切值;‎ x y A B E C O ‎(第24题图)‎ (3) 点G为线段AC上一点,过点G作CB的垂线交x轴于点M(位于点E右侧),‎ 当△CGM与△ABE相似时,求点M的坐标. ‎ ‎【参考答案】24.(本题满分12分,第(1)小题4分,第(2)小题3分,第(3)小题5分)‎ 解:(1)∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴.‎ ‎∵抛物线与x轴的一个交点为A(-1,0),∴.‎ ‎∴抛物线的表达式为.………………………………………………(2分)‎ ‎∴顶点B(1,-2).…………………………………………………………………(1分)‎ ‎∵点C(5,m)在抛物线上,∴. ∴C点坐标为(5,6). ‎ 设直线BC的表达式为y=kx+b(k≠0),‎ 则,∴即BC的表达式为y=2x-4. ‎ ‎∴E(2,0).……………………………………………………………………………(1分)‎ ‎(2)作CH⊥x轴,垂足为H,作BP⊥x轴,垂足为P,‎ ‎∵C(5,6),A(-1,0),∴CH=6=AH. ∴∠CAH=45°.‎ ‎∵B(1,-2),A(-1,0),∴BP=2=AP.∴∠BAP=45°.‎ ‎∴∠CAB=90°. …………………………………………………………………………(1分)‎ ‎∵CH=6=AH,CH⊥x轴,∴‎ ‎∵BP=2=AP,BP⊥x轴,∴‎ ‎∴…………………………………………………………………(2分)‎ ‎(3)∵∠CAB=90°,∴∠B+∠ACB=90°.‎ ‎∵GM⊥BC,∴∠CGM+∠ACB=90°.∴∠CGM=∠B. ………………………………(1分)‎ ‎∵△CGM与△ABE相似,∴∠BAE=∠CMG或∠BAE=∠MCG.‎ 情况1:当∠BAE=∠CMG时,‎ ‎∵∠BAE=45°,∴∠CMG=45°. ∵GM⊥BC,∴∠MCE=45°.∴∠MCE=∠EAB.‎ ‎∵∠AEB=∠CEM,∴△ABE∽△CME. ……………………………………………(1分)‎ ‎∴.即.∴EM=5. ∴M(7,0). ……………………………(1分)‎ 情况2:当∠BAE=∠MCG时,‎ ‎∵∠BAE=∠CAM,∴∠MCG=∠CAM.∴MC=MA. ………………………………(1分)‎ 设M(x,0),∵C(5,6),A(-1,0),∴∴x=5.‎ ‎∴M(5,0). …………………………………………………………………………(1分)‎ 题型二:动点在线段的延长线上 如图7,已知抛物线与轴交于点和点(点在点的左侧),与轴交于点,且,点是抛物线的顶点,直线和交于点。‎ (1) 求点的坐标;‎ (2) 联结,求的余切值;‎ (3) 设点在线段延长线上,如果和相似,求点的坐标。‎ ‎【答案】(1)(2)3(3)‎ ‎【解析】(1)∵抛物线与轴的交于点和点(点在点的左侧) ,‎ 与轴交于点,,且,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎(2)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(3)由,可得,在AOC和BCD中, ,‎ ‎,‎ 又;‎ ‎;‎ 当相似时,可知;‎ 又点在线段的延长线上,,可得;‎ ‎;‎ 由题意,得直线的表达式为;设.‎ ‎,解得(舍去)‎ 点M的坐标是 题型三:动点在对称轴上 如图,抛物线经过点,,为抛物线的顶点。‎ ‎(1)求抛物线的解析式及顶点坐标;‎ ‎(2)点关于抛物线的对称点为点,联结,,求的正切值;‎ ‎(3)点是抛物线对称轴上一点,且△和△相似,求点的坐标。‎ ‎【答案】(1);(2)(3) 或 ‎【解析】(1)∵抛物线经过点,‎ ‎ ∴ 可解得 ‎ ‎ ∴ 顶点坐标 ‎ (2)过点作垂直于交于点 ‎ ∵点与点关于对称轴对称 ‎ ∴,,平行于轴 ‎ ∵‎ ‎ ∴,‎ ‎ 在等腰直角三角形中,‎ ‎ ∴‎ ‎ 在直角三角形中,, ‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴的正切值为 ‎ (3) 设抛物线对称轴交轴与点 ‎ ∵在直角三角形中,,‎ ‎ ∴ , ‎ ‎ ∴点在点的下方 ‎ ∴当与相似时,有下列两种情况:‎ ‎ 当 时,即 可解得 ‎ ‎ ∴‎ ‎ ‚当 时,即 可解得 ‎ ‎ ∴‎ 综上所述: 或 ‎2)动点在平移后的对称轴上 在平面直角坐标系中,点是抛物线上的一点,将此抛物线向下平移个单位以后经过点,平移后的新抛物线的顶点记为,新抛物线的对称轴和线段的交点记为。‎ (1) 求平移后得到的新抛物线的表达式,并求出点C的坐标;‎ (2) 求的正切值;‎ (3) 如果点是新抛物线对称轴上的一点,且和相似,试求点的坐标。‎ ‎【答案】(1);(2)(3)或 ‎【解析】‎ ‎(1)∵点是抛物线上的一点,代入得:①‎ 又∵抛物线向下平移个单位以后经过点,平移后的抛物线解析式为:。‎ 代入得:②,由①②得:‎ 平移后得到的新抛物线的表达式:,顶点 (2) ‎∵、、,易得 由勾股定理逆定理得是直角三角形,‎ (3) 设抛物线对称轴与轴相交于点 ‎,,‎ 易得,‎ ‎∴点只能在对称轴点的下方,和相似,有以下两种情况:‎ ‎①,,,‎ ‎②,,,‎ 综上,或 题型四:动点在某直线上 y A O C B x ‎(第24题图)‎ ‎ 如图,已知抛物线经过的三个顶点,其中点,点,轴.‎ ‎(1)求这条抛物线的解析式;‎ ‎(2)求的值;‎ ‎(3)若点D为抛物线的顶点,点E是直线AC上一点,‎ 当与相似时,求点E的坐标.‎ ‎【参考答案】24.解:(1)∵抛物线经过点和点 ‎∴……………………………………………………1分 解得………………………………………………………………2分 ‎∴这条抛物线的解析式为………………………………1分 ‎(2)过点作,垂足为 ‎,,‎ 又 是等腰直角三角形 ‎………………………………………………………1分 ‎,,点也在该抛物线上 过点作,垂足为点 ‎……………………………………………1分 又∵在Rt△中,‎ ‎∴…………………………………………………1分 ‎∴在Rt△中,……………………………1分 ‎(3)过点D作,垂足为 ‎∵点是抛物线的顶点∴………………1分 ‎∴‎ ‎∴又∵∴是等腰直角三角形 ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴………………………………………………………1分 ‎∴当△CDE与△ABC相似时,存在以下两种情况:‎ ‎……………1分 ‎…………1分 题型五:动点在轴上 如图9,在平面直角坐标系中,顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点,= 2,.‎ ‎(1)求这条抛物线的表达式;‎ ‎(2)联结,求的大小;‎ ‎(3)如果点在轴上,且△与△相似,求点的坐标.‎ 图9‎ ‎2017年青浦一模24】已知,如图8,在平面直角坐标系中,抛物线与轴正半轴交于点和点,与轴交于点,且,点是第一象限内的点,联结,△是以为斜边的等腰直角三角形.‎ (1) 求这个抛物线的表达式;‎ (2) 求点的坐标;‎ (3) 点在轴上,若以为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似,求点的坐标.‎ ‎【答案】(1)(2)(3)点坐标为或 ‎【解析】(1)由题意可得 代入得 ‎ (2) 过点作 为等腰直角三角形 可证四边形为正方形 ,解得在第一象限内 (3) ‎,可得为等腰直角三角形 ‎,则点在轴左侧 i. ,‎ ii. 若点在轴右侧,不存在 综上所述:点坐标为或 在平面直角坐标系中,抛物线与轴相交点和点,与轴相交于点,抛物线的顶点为点,联结,,。‎ (1) 求这条抛物线的表达式及顶点的坐标;‎ (2) 求证:‎ (3) 如果点在轴上,且在点的右侧,,求点的坐标。‎ ‎【答案】(1);(2)略(3)‎ ‎【解析】(1)∵抛物线过点A()和点,‎ ‎ ∴将两点坐标代入解析式可得:‎ ‎ 可解得 ‎ ∴ ‎ ‎ 根据顶点公式可得 ‎ (2) 代入到求得,,所以有 可以求得:,,‎ ‎,‎ 在和中,有,‎ (3) 在OC上取一点F使得OF=OA,‎ 由(2)得B(3,0),C(0,3),OB=OC,∠OBC=45°,∠CBE=135°‎ OA=OF,∠AFO=45°,∠AFC=135°,∠AFC=∠CBE,又∠BCE=∠ACO,‎ ‎△AFC∽△BCE ‎,‎ ‎,‎ 题型六:动点在抛物线上 如图1,已知抛物线的方程C1: (m>0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.‎ ‎(1)若抛物线C1过点M(2, 2),求实数m的值;‎ ‎(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.‎ 图1‎ ‎【解析】(1)将M(2, 2)代入,得.解得m=4.‎ ‎(4)①如图3,过点B作EC的平行线交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′.‎ 由于∠BCE=∠FBC,所以当,即时,△BCE∽△FBC.‎ 设点F的坐标为,由,得.‎ 解得x=m+2.所以F′(m+2, 0).由,得.所以.‎ 由,得.整理,得0=16.此方程无解.‎ 图2 图3 图4‎ ‎②如图4,作∠CBF=45°交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′,‎ 由于∠EBC=∠CBF,所以,即时,△BCE∽△BFC.‎ 在Rt△BFF′中,由FF′=BF′,得.‎ 解得x=2m.所以F′.所以BF′=2m+2,.‎ 由,得.解得.‎ 综合①、②,符合题意的m为.‎ ‎2)动点在直线下方的抛物线 ‎24. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图像与轴交于、两点,点的坐标为,与轴交于点,点是直线下方抛物线上的任意一点;‎ ‎(1)求这个二次函数的解析式;‎ ‎(2)联结、,并将△沿轴对折,得到四边形 ‎,如果四边形为菱形,求点的坐标;‎ ‎(3)如果点在运动过程中,能使得以、、为顶点的 三角形与△相似,请求出此时点的坐标;‎ ‎【正确答案】‎ 3) 动点在直线上方的抛物线 如图11所示,已知抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点C.‎ ‎(1)求A、B、C三点的坐标.‎ ‎(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积.‎ ‎(3)在轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG轴 于点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似.‎ 图11‎ C P B y A 若存在,请求出M点的坐标;否则,请说明理由.‎ ‎【解析:】(1)令,得 解得 令,得 ‎∴ A B C (2分)‎ ‎(2)∵OA=OB=OC= ∴BAC=ACO=BCO=‎ ‎∵AP∥CB, ∴PAB=‎ ‎ 过点P作PE轴于E,则APE为等腰直角三角形 令OE=,则PE= ∴P ‎∵点P在抛物线上 ∴ ‎ 解得,(不合题意,舍去) ∴PE= 4分)‎ ‎∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE ‎= 6分)‎ ‎(3). 假设存在 ‎∵PAB=BAC = ∴PAAC ‎∵MG轴于点G, ∴MGA=PAC =‎ 在Rt△AOC中,OA=OC= ∴AC=‎ G M 第28题图2‎ C B y P A 在Rt△PAE中,AE=PE= ∴AP= 7分) ‎ 设M点的横坐标为,则M ‎ ‎①点M在轴左侧时,则 ‎(ⅰ) 当AMG PCA时,有=‎ ‎∵AG=,MG=‎ 即 ‎ 解得(舍去) (舍去)‎ ‎(ⅱ) 当MAG PCA时有=‎ 即 ‎ 解得:(舍去) ‎ G M 第28题图3‎ C B y P A ‎∴M (10分)‎ ‎② 点M在轴右侧时,则 ‎ ‎(ⅰ) 当AMG PCA时有=‎ ‎∵AG=,MG= ‎ ‎∴ ‎ 解得(舍去) ‎ ‎ ∴M ‎ ‎(ⅱ) 当MAGPCA时有= ‎ 即 ‎ 解得:(舍去) ∴M ‎∴存在点M,使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似 M点的坐标为,, (13分)‎
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