二次函数中考大题总结及答案详解

二次函数中考大题总结及答案详解

一、解答题（共30小题）‎ ‎1．（2012•凉山州）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；‎ ‎（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？‎ ‎（3）如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎2．（2012•连云港）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3，‎ ‎（1）求抛物线所对应的函数解析式；‎ ‎（2）求△ABD的面积；‎ ‎（3）将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．‎ ‎3．（2012•丽水）在直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．‎ ‎（1）如图1，当点A的横坐标为　_________　时，矩形AOBC是正方形；‎ ‎（2）如图2，当点A的横坐标为时，‎ ‎①求点B的坐标；‎ ‎②将抛物线y=x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y=﹣x2，试判断抛物线y=﹣x2经过平移交换后，能否经过A，B，C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由．‎ ‎4．（2012•乐山）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．‎ ‎①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；‎ ‎②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．‎ ‎5．（2012•兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：AB=|x1﹣x2|====；‎ 参考以上定理和结论，解答下列问题：‎ 设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．‎ ‎（1）当△ABC为直角三角形时，求b2﹣‎4ac的值；‎ ‎（2）当△ABC为等边三角形时，求b2﹣‎4ac的值．‎ ‎6．（2012•兰州）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上．‎ ‎（1）求抛物线对应的函数关系式；‎ ‎（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；‎ ‎（4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎7．（2012•荆门）已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2．‎ ‎①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值．‎ ‎8．（2012•荆门）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；‎ ‎（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；‎ ‎（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．‎ ‎9．（2012•江西）如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．‎ ‎（1）写出A、B两点的坐标；‎ ‎（2）二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0），顶点为P．‎ ‎①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；‎ ‎②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；‎ ‎③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否会发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．‎ ‎10．（2012•嘉兴）某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每 辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出工辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）‎ ‎（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为　_________　元（用含x的代数式表示）；‎ ‎（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？‎ ‎（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？‎ ‎11．（2012•嘉兴）在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x2上的动点（点在第一象限内）．连接 OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q．连接PQ，交y轴于点M．作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B．设点P的横坐标为m．‎ ‎（1）如图1，当m=时，‎ ‎①求线段OP的长和tan∠POM的值；‎ ‎②在y轴上找一点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标；‎ ‎（2）如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E．‎ ‎①用含m的代数式表示点Q的坐标；‎ ‎②求证：四边形ODME是矩形．‎ ‎12．（2012•佳木斯）如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）写出顶点坐标及对称轴；‎ ‎（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．‎ ‎13．（2012•济宁）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0）两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点（端点除外），过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）当动点P运动到何处时，BP2=BD•BC；‎ ‎（3）当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．‎ ‎14．（2012•吉林）问题情境 如图，在x轴上有两点A（m，0），B（n，0）（n＞m＞0）．分别过点A，点B作x轴的垂线，交抛物线y=x2于点C、点D．直线OC交直线BD于点E，直线OD交直线AC于点F，点E、点F的纵坐标分别记为yE，yF．‎ 特例探究 填空：‎ 当m=1，n=2时，yE=　_________　，yF=　_________　；‎ 当m=3，n=5时，yE=　_________　，yF=　_________　．‎ 归纳证明 对任意m，n（n＞m＞0），猜想yE与yF的大小关系，并证明你的猜想．‎ 拓展应用 ‎（1）若将“抛物线y=x‎2”‎改为“抛物线y=ax2（a＞0）”，其他条件不变，请直接写出yE与yF的大小关系；‎ ‎（2）连接EF，AE．当S四边形OFEA=3S△OFE时，直接写出m与n的关系及四边形OFEA的形状．‎ ‎15．（2012•鸡西）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）若点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣．‎ ‎16．（2012•黄石）已知抛物线C1的函数解析式为y=ax2+bx﹣‎3a（b＜0），若抛物线C1经过点（0，﹣3），方程ax2+bx﹣‎3a=0的两根为x1，x2，且|x1﹣x2|=4．‎ ‎（1）求抛物线C1的顶点坐标．‎ ‎（2）已知实数x＞0，请证明x+≥2，并说明x为何值时才会有x+=2．‎ ‎（3）若将抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A（m，y1），B（n，y2）是C2上的两个不同点，且满足：∠AOB=90°，m＞0，n＜0．请你用含m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式．‎ ‎（参考公式：在平面直角坐标系中，若P（x1，y1），Q（x2，y2），则P，Q两点间的距离为）‎ ‎17．（2012•黄冈）某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．‎ ‎（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？‎ ‎（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．‎ ‎（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）‎ ‎18．（2012•黄冈）如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．‎ ‎（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；‎ ‎（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标；‎ ‎（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎19．（2012•怀化）如图，抛物线m：y=﹣（x+h）2+k与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，顶点为M（3，），将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为D；‎ ‎（1）求抛物线n的解析式；‎ ‎（2）设抛物线n与x轴的另一个交点为E，点P是线段ED上一个动点（P不与E、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF．如果P点的坐标为（x，y），△PEF的面积为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；‎ ‎（3）设抛物线m的对称轴与x轴的交点为G，以G为圆心，A、B两点间的距离为直径作⊙G，试判断直线CM与⊙G的位置关系，并说明理由．‎ ‎20．（2012•湖州）如图1，已知菱形ABCD的边长为2，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为（﹣，3），抛物线y=ax2+b（a≠0）经过AB、CD两边的中点．‎ ‎（1）求这条抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜）‎ ‎①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（写出答案即可）‎ ‎21．（2012•呼和浩特）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与双曲线相交于点A，B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（﹣2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E．‎ ‎（1）求双曲线和抛物线的解析式；‎ ‎（2）计算△ABC与△ABE的面积；‎ ‎（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．（2012•衡阳）如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动．（点P异于点O）‎ ‎（1）求此抛物线的解析式．‎ ‎（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，‎ ‎①求证：PF=PR；‎ ‎②是否存在点P，使得△PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎③延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断△RSF的形状．‎ ‎23．（2012•黑龙江）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）写出顶点坐标及对称轴；‎ ‎（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=8，求点B的坐标．‎ ‎24．（2012•菏泽）牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：‎ 销售单价x（元/件）‎ ‎…‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎…‎ 每天销售量（y件）‎ ‎…‎ ‎500‎ ‎400‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎100‎ ‎…‎ ‎（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价﹣成本总价）‎ ‎（3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？‎ ‎25．（2012•菏泽）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．‎ ‎（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．‎ ‎26．（2012•河南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx﹣3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．‎ ‎（1）求a、b及sin∠ACP的值；‎ ‎（2）设点P的横坐标为m．‎ ‎①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；‎ ‎②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，直接写出m的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．‎ ‎27．（2012•河北）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这写薄板的形状均为正方向，边长在（单位：cm）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．‎ 薄板的边长（cm）‎ ‎20‎ ‎30‎ 出厂价（元/张）‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎（2）已知出厂一张边长为‎40cm的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价﹣成本价），‎ ‎①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．‎ ‎②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？‎ 参考公式：抛物线：y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）‎ ‎28．（2012•杭州）当k分别取﹣1，1，2时，函数y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．‎ ‎29．（2012•杭州）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）．‎ ‎（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；‎ ‎（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．‎ ‎30．（2012•海南）如图，顶点为P（4，﹣4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON，‎ ‎（1）求该二次函数的关系式；‎ ‎（2）若点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：‎ ‎①证明：∠ANM=∠ONM；‎ ‎②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．‎ 答案与评分标准 一．解答题（共30小题）‎ ‎1．（2012•凉山州）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；‎ ‎（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？‎ ‎（3）如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴另一交点C的坐标；‎ ‎（2）关键是求出线段PE长度的表达式，设D点横坐标为t，则可以将PE表示为关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出PE长度的最大值；‎ ‎（3）根据等腰三角形的性质和勾股定理，将直线l的存在性问题转化为一元二次方程问题，通过一元二次方程的判别式可知直线l是否存在，并求出相应Q点的坐标．注意“△MON是等腰三角形”，其中包含三种情况，需要逐一讨论，不能漏解．‎ 解答：‎ 解：（1）∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（﹣4，0），B（0，4）‎ 抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，可得 ‎，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣3x+4．‎ 令y=0，得﹣x2﹣3x+4=0，‎ 解得x1=﹣4，x2=1，∴C（1，0）．‎ ‎（2）如答图1所示，设D（t，0）．‎ ‎∵OA=OB，∴∠BAO=45°，‎ ‎∴E（t，t），P（t，﹣t2﹣3t+4）．‎ PE=yP﹣yE=﹣t2﹣3t+4﹣t=﹣t2﹣4t=﹣（t+2）2+4，‎ ‎∴当t=﹣2时，线段PE的长度有最大值4，此时P（﹣2，6）．‎ ‎（3）存在．‎ 如答图2所示，过N点作NH⊥x轴于点H．‎ 设OH=m（m＞0），∵OA=OB，∴∠BAO=45°，‎ ‎∴NH=AH=4﹣m，∴yQ=4﹣m．‎ 又M为OA中点，∴MH=2﹣m．‎ ‎△MON为等腰三角形：‎ ‎①若MN=ON，则H为底边OM的中点，‎ ‎∴m=1，∴yQ=4﹣m=3．‎ 由﹣xQ2﹣3xQ+4=3，解得xQ=，‎ ‎∴点Q坐标为（，3）或（，3）；‎ ‎②若MN=OM=2，则在Rt△MNH中，‎ 根据勾股定理得：MN2=NH2+MH2，即22=（4﹣m）2+（2﹣m）2，‎ 化简得m2﹣‎6m+8=0，解得：m1=2，m2=4（不合题意，舍去）‎ ‎∴yQ=2，由﹣xQ2﹣3xQ+4=2，解得xQ=，‎ ‎∴点Q坐标为（，2）或（，2）；‎ ‎③若ON=OM=2，则在Rt△NOH中，‎ 根据勾股定理得：ON2=NH2+OH2，即22=（4﹣m）2+m2，‎ 化简得m2﹣‎4m+6=0，∵△=﹣8＜0，‎ ‎∴此时不存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形．‎ 综上所述，存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形．‎ 所求Q点的坐标为（，3）或（，3）或（，2）或（，2）．‎ 点评：‎ 本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、一元二次方程的解法及判别式、等腰三角形以及勾股定理等方面知识，涉及考点较多，难度较大．第（3）问中，注意等腰三角形有三种情形，需要分类讨论，避免因漏解而导致失分．‎ ‎2．（2012•连云港）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3，‎ ‎（1）求抛物线所对应的函数解析式；‎ ‎（2）求△ABD的面积；‎ ‎（3）将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。‎ 专题：‎ 代数几何综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、E的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的解析式．‎ ‎（2）根据（1）的函数解析式求出A、B、D三点的坐标，以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高，可求出△ABD的面积．‎ ‎（3）首先根据旋转条件求出G点的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵四边形OCEF为矩形，OF=2，EF=3，‎ ‎∴点C的坐标为（0，3），点E的坐标为（2，3）．‎ 把x=0，y=3；x=2，y=3分别代入y=﹣x2+bx+c中，‎ 得，‎ 解得，‎ ‎∴抛物线所对应的函数解析式为y=﹣x2+2x+3；‎ ‎（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，‎ ‎∴抛物线的顶点坐标为D（1，4），‎ ‎∴△ABD中AB边的高为4，‎ 令y=0，得﹣x2+2x+3=0，‎ 解得x1=﹣1，x2=3，‎ 所以AB=3﹣（﹣1）=4，‎ ‎∴△ABD的面积=×4×4=8；‎ ‎（3）△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的直线上，由（2）可知OA=1，‎ ‎∴点A对应点G的坐标为（3，2），‎ 当x=3时，y=﹣32+2×3+3=0≠2，所以点G不在该抛物线上．‎ 点评：‎ 这道函数题综合了图形的旋转、面积的求法等知识，考查的知识点不多，难度适中．‎ ‎3．（2012•丽水）在直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．‎ ‎（1）如图1，当点A的横坐标为　﹣1　时，矩形AOBC是正方形；‎ ‎（2）如图2，当点A的横坐标为时，‎ ‎①求点B的坐标；‎ ‎②将抛物线y=x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y=﹣x2，试判断抛物线y=﹣x2经过平移交换后，能否经过A，B，C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。‎ 专题：‎ 代数几何综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）过点A作AD⊥x轴于点D，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠AOC=45°，所以∠AOD=45°，从而得到△AOD是等腰直角三角形，设点A坐标为（﹣a，a），然后利用点A在抛物线上，把点的坐标代入解析式计算即可得解；‎ ‎（2）①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，先利用抛物线解析式求出AE的长度，然后证明△AEO和△OFB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出OF与BF的关系，然后利用点B在抛物线上，设出点B的坐标代入抛物线解析式计算即可得解；‎ ‎②过点C作CG⊥BF于点G，可以证明△AEO和△BGC全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=OE，BG=AE，然后求出点C的坐标，再根据对称变换以及平移变换不改变抛物线的形状利用待定系数法求出过点A、B的抛物线解析式，把点C的坐标代入所求解析式进行验证变换后的解析式是否经过点C，如果经过点C，把抛物线解析式转化为顶点式解析式，根据顶点坐标写出变换过程即可．‎ 解答：‎ 解：（1）如图，过点A作AD⊥x轴于点D，‎ ‎∵矩形AOBC是正方形，‎ ‎∴∠AOC=45°，‎ ‎∴∠AOD=90°﹣45°=45°，‎ ‎∴△AOD是等腰直角三角形，‎ 设点A的坐标为（﹣a，a）（a≠0），‎ 则（﹣a）2=a，‎ 解得a1=﹣1，a2=0（舍去），‎ ‎∴点A的坐标﹣a=﹣1，‎ 故答案为：﹣1；‎ ‎（2）①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，‎ 当x=﹣时，y=（﹣）2=，‎ 即OE=，AE=，‎ ‎∵∠AOE+∠BOF=180°﹣90°=90°，‎ ‎∠AOE+∠EAO=90°，‎ ‎∴∠EAO=∠BOF，‎ 又∵∠AEO=∠BFO=90°，‎ ‎∴△AEO∽△OFB，‎ ‎∴===，‎ 设OF=t，则BF=2t，‎ ‎∴t2=2t，‎ 解得：t1=0（舍去），t2=2，‎ ‎∴点B（2，4）；‎ ‎②过点C作CG⊥BF于点G，‎ ‎∵∠AOE+∠EAO=90°，∠FBO+∠CBG=90°，∠AOE=∠FBO，‎ ‎∴∠EAO=∠CBG，‎ 在△AEO和△BGC中，，‎ ‎∴△AEO≌△BGC（AAS），‎ ‎∴CG=OE=，BG=AE=．‎ ‎∴xc=2﹣=，yc=4+=，‎ ‎∴点C（，），‎ 设过A（﹣，）、B（2，4）两点的抛物线解析式为y=﹣x2+bx+c，由题意得，，‎ 解得，‎ ‎∴经过A、B两点的抛物线解析式为y=﹣x2+3x+2，‎ 当x=时，y=﹣（）2+3×+2=，所以点C也在此抛物线上，‎ 故经过A、B、C三点的抛物线解析式为y=﹣x2+3x+2=﹣（x﹣）2+．‎ 平移方案：先将抛物线y=﹣x2向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线y=﹣（x﹣）2+．‎ 点评：‎ 本题是对二次函数的综合考查，包括正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求抛物线解析式，综合性较强，难度较大，要注意利用点的对称、平移变换来解释抛物线的对称平移变换，利用点研究线也是常用的方法之一．‎ ‎4．（2012•乐山）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．‎ ‎①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；‎ ‎②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）首先解方程得出A，B两点的坐标，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可；‎ ‎（2）①首先求出AB的直线解析式，以及BO解析式，再利用等腰三角形的性质得出当OC=OP时，当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，当OC=PC时分别求出x的值即可；‎ ‎②利用S△BOD=S△ODQ+S△BDQ得出关于x的二次函数，进而得出最值即可．‎ 解答：‎ 解（1）解方程x2﹣2x﹣3=0，‎ 得 x1=3，x2=﹣1．‎ ‎∵m＜n，‎ ‎∴m=﹣1，n=3…（1分）‎ ‎∴A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3）．‎ ‎∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx．‎ ‎∴‎ 解得：，‎ ‎∴抛物线的解析式为．…（4分）‎ ‎（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b．‎ ‎∴‎ 解得：，‎ ‎∴直线AB的解析式为．‎ ‎∴C点坐标为（0，）．…（6分）‎ ‎∵直线OB过点O（0，0），B（3，﹣3），‎ ‎∴直线OB的解析式为y=﹣x．‎ ‎∵△OPC为等腰三角形，‎ ‎∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．‎ 设P（x，﹣x），‎ ‎（i）当OC=OP时，．‎ 解得，（舍去）．‎ ‎∴P1（，）．‎ ‎（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，‎ ‎∴P2（，﹣）．‎ ‎（iii）当OC=PC时，由，‎ 解得，x2=0（舍去）．‎ ‎∴P3（，﹣）．‎ ‎∴P点坐标为P1（，）或P2（，﹣）或P3（，﹣）．…（9分）‎ ‎②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H．‎ 设Q（x，﹣x），D（x，）．‎ S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=DQ•OG+DQ•GH，‎ ‎=DQ（OG+GH），‎ ‎=，‎ ‎=，‎ ‎∵0＜x＜3，‎ ‎∴当时，S取得最大值为，此时D（，﹣）．…（13分）‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次函数的综合应用以及等腰三角形的性质和三角形面积求法等知识，求面积最值经常利用二次函数的最值求法得出．‎ ‎5．（2012•兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：AB=|x1﹣x2|====；‎ 参考以上定理和结论，解答下列问题：‎ 设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．‎ ‎（1）当△ABC为直角三角形时，求b2﹣‎4ac的值；‎ ‎（2）当△ABC为等边三角形时，求b2﹣‎4ac的值．‎ 考点：‎ 抛物线与x轴的交点；根与系数的关系；等腰三角形的性质；等边三角形的性质。‎ 分析：‎ ‎（1）当△ABC为直角三角形时，由于AC=BC，所以△ABC为等腰直角三角形，过C作CE⊥AB于E，则AB=2CE．根据本题定理和结论，得到AB=，根据顶点坐标公式，得到CE=|‎ ‎|=，列出方程，解方程即可求出b2﹣‎4ac的值；‎ ‎（2）当△ABC为等边三角形时，解直角△ACE，得CE=AE=，据此列出方程，解方程即可求出b2﹣‎4ac的值．‎ 解答：‎ 解：（1）当△ABC为直角三角形时，过C作CE⊥AB于E，则AB=2CE．‎ ‎∵抛物线与x轴有两个交点，△=b2﹣‎4ac＞0，则|b2﹣‎4ac|=b2﹣‎4ac．‎ ‎∵a＞0，∴AB=，‎ 又∵CE=||=，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵b2﹣‎4ac＞0，‎ ‎∴b2﹣‎4ac=4；‎ ‎（2）当△ABC为等边三角形时，‎ 由（1）可知CE=，‎ ‎∴，‎ ‎∵b2﹣‎4ac＞0，‎ ‎∴b2﹣‎4ac=12．‎ 点评：‎ 本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与x 轴的交点及根与系数的关系定理，综合性较强，难度中等．‎ ‎6．（2012•兰州）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上．‎ ‎（1）求抛物线对应的函数关系式；‎ ‎（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；‎ ‎（4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）根据抛物线y=经过点B（0，4），以及顶点在直线x=上，得出b，c即可；‎ ‎（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可．‎ ‎（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当x=时，求出y即可；‎ ‎（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出，得到ON=，进而表示出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线y=经过点B（0，4）‎ ‎∴c=4，‎ ‎∵顶点在直线x=上，‎ ‎∴；‎ ‎∴所求函数关系式为；‎ ‎（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，‎ ‎∴AB=，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴BC=CD=DA=AB=5，‎ ‎∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），‎ 当x=5时，y=，‎ 当x=2时，y=，‎ ‎∴点C和点D都在所求抛物线上；‎ ‎（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，‎ 设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，‎ 则，‎ 解得：，‎ ‎∴，‎ 当x=时，y=，‎ ‎∴P（），‎ ‎（4）∵MN∥BD，‎ ‎∴△OMN∽△OBD，‎ ‎∴即得ON=，‎ 设对称轴交x于点F，‎ 则（PF+OM）•OF=（+t）×，‎ ‎∵，‎ ‎（）×=，‎ S=（﹣），‎ ‎=﹣（0＜t＜4），‎ S存在最大值．‎ 由S=﹣（t﹣）2+，‎ ‎∴当S=时，S取最大值是，‎ 此时，点M的坐标为（0，）．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次函数的综合应用，以及菱形性质和待定系数法求解析式，求图形面积最值，利用二次函数的最值求出是解题关键．‎ ‎7．（2012•荆门）已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2．‎ ‎①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值．‎ 考点：‎ 抛物线与x轴的交点；一次函数的定义；二次函数的最值。‎ 分析：‎ ‎（1）分两种情况讨论，当k=1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0．‎ ‎（2）①根据（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k的值；②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值．‎ 解答：‎ 解：（1）当k=1时，函数为一次函数y=﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点．…（1分）‎ 当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，‎ 令y=0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2=0．‎ ‎△=（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k=1．…（2分）‎ 综上所述，k的取值范围是k≤2．…（3分）‎ ‎（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k=1．‎ 由题意得（k﹣1）x12+（k+2）=2kx1．（*）…（4分）‎ 将（*）代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：‎ ‎2k（x1+x2）=4x1x2．…（5分）‎ 又∵x1+x2=，x1x2=，‎ ‎∴2k•=4•．…（6分）‎ 解得：k1=﹣1，k2=2（不合题意，舍去）．‎ ‎∴所求k值为﹣1．…（7分）‎ ‎②如图，∵k1=﹣1，y=﹣2x2+2x+1=﹣2（x﹣）2+．‎ 且﹣1≤x≤1．…（8分）‎ 由图象知：当x=﹣1时，y最小=﹣3；当x=时，y最大=．…（9分）‎ ‎∴y的最大值为，最小值为﹣3．…（10分）‎ 点评：‎ 本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值，充分利用图象是解题的关键．‎ ‎8．（2012•荆门）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；‎ ‎（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；‎ ‎（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。‎ 专题：‎ 代数几何综合题；压轴题；分类讨论。‎ 分析：‎ ‎（1）已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，进而能得到顶点B的坐标．‎ ‎（2）过B作BM⊥y轴于M，由A、B、E三点坐标，可判断出△BME、△AOE都为等腰直角三角形，易证得∠BEA=90°，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可．BE、AE长易得，能求出tan∠BAE的值，结合tan∠CBE的值，可得到∠CBE=∠BAE，由此证得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°，此题得证．‎ ‎（3）△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，即AE=3BE，若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，那么该三角形必须满足两个条件：①有一个角是直角、②两直角边满足1：3的比例关系；然后分情况进行求解即可．‎ ‎（4）过E作EF∥x轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，△AOE与△ABE重叠部分是个五边形；当E点运动到F点右侧时，△AOE与△ABE重叠部分是个三角形．按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解．‎ 解答：‎ ‎（1）解：由题意，设抛物线解析式为y=a（x﹣3）（x+1）．‎ 将E（0，3）代入上式，解得：a=﹣1．‎ ‎∴y=﹣x2+2x+3．‎ 则点B（1，4）．‎ ‎（2）证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）．‎ 在Rt△AOE中，OA=OE=3，‎ ‎∴∠1=∠2=45°，AE==3．‎ 在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，‎ ‎∴∠MEB=∠MBE=45°，BE==．‎ ‎∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°．‎ ‎∴AB是△ABE外接圆的直径．‎ 在Rt△ABE中，tan∠BAE===tan∠CBE，‎ ‎∴∠BAE=∠CBE．‎ 在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°．‎ ‎∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．‎ ‎∴CB是△ABE外接圆的切线．‎ ‎（3）解：Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，sin∠BAE=，cos∠BAE=；‎ 若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形；‎ ‎①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合；‎ 由D（﹣1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，即tan∠DEO==tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE 满足△DEO∽△BAE的条件，因此 O点是符合条件的P1点，坐标为（0，0）．‎ ‎②DE为短直角边时，P2在x轴上；‎ 若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠DEP2=∠AEB=90°，sin∠DP2E=sin∠BAE=；‎ 而DE==，则DP2=DE÷sin∠DP2E=÷=10，OP2=DP2﹣OD=9‎ 即：P2（9，0）；‎ ‎③DE为长直角边时，点P3在y轴上；‎ 若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠EDP3=∠AEB=90°，cos∠DEP3=cos∠BAE=；‎ 则EP3=DE÷cos∠DEP3=÷=，OP3=EP3﹣OE=；‎ 综上，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，﹣）．‎ ‎（4）解：设直线AB的解析式为y=kx+b．‎ 将A（3，0），B（1，4）代入，得解得 ‎∴y=﹣2x+6．‎ 过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=，∴F（，3）．‎ 情况一：如图2，当0＜t≤时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN交AE于点G．‎ 则ON=AD=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．‎ 由△AHD∽△FHM，得，即．‎ 解得HK=2t．‎ ‎∴S阴=S△MND﹣S△GNA﹣S△HAD=×3×3﹣（3﹣t）2﹣t•2t=﹣t2+3t．‎ 情况二：如图3，当＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．‎ 由△IQA∽△IPF，得．即，‎ 解得IQ=2（3﹣t）．‎ ‎∴S阴=S△IQA﹣S△VQA=×（3﹣t）×2（3﹣t）﹣（3﹣t）2=（3﹣t）2=t2﹣3t+．‎ 综上所述：s=．‎ 点评：‎ 该题考查了二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、切线的判定、相似三角形的判定、图形面积的解法等重点知识，综合性强，难度系数较大．此题的难点在于后两个小题，它们都需要分情况进行讨论，容易出现漏解的情况．在解答动点类的函数问题时，一定不要遗漏对应的自变量取值范围．‎ ‎9．（2012•江西）如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．‎ ‎（1）写出A、B两点的坐标；‎ ‎（2）二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0），顶点为P．‎ ‎①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；‎ ‎②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；‎ ‎③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否会发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。‎ 专题：‎ 压轴题。‎ 分析：‎ ‎（1）已知抛物线的解析式，当函数值为0时，可求得A、B的横坐标，由此得解．‎ ‎（2）①直接从系数的变化情况来进行分析；‎ ‎②当△ABP为等边三角形时，P点必为函数的顶点，首先表示出P点纵坐标，它的绝对值正好是等边三角形边长的倍，由此确定k的值；‎ ‎③联立直线y=8k和抛物线的解析式，求出E、F两点的坐标，然后判断EF是否为定值．‎ 解答：‎ 解：（1）当y=0时，x2﹣4x+3=0，‎ ‎∴x1=1，x2=3；‎ 即：A（1，0），B（3，0）；‎ ‎（2）①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：‎ ‎（Ⅰ）对称轴都为直线x=2或顶点的横坐标为2；‎ ‎（Ⅱ）都经过A（1，0），B（3，0）两点；‎ ‎②存在实数k，使△ABP为等边三角形．‎ ‎∵y=kx2﹣4kx+3k=k（x﹣2）2﹣k，‎ ‎∴顶点P（2，﹣k）．‎ ‎∵A（1，0），B（3，0），∴AB=2‎ 要使△ABP为等边三角形，必满足|﹣k|=，‎ ‎∴k=±；‎ ‎③线段EF的长度不会发生变化．‎ ‎∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，‎ ‎∴kx2﹣4kx+3k=8k，‎ ‎∵k≠0，∴x2﹣4x+3=8，‎ ‎∴x1=﹣1，x2=5，‎ ‎∴EF=x2﹣x1=6，‎ ‎∴线段EF的长度不会发生变化．‎ 点评：‎ 该题考查了二次函数的性质、函数图象交点坐标的求法、等边三角形的性质等知识，虽然题目较长，但难度适中，适合训练．‎ ‎10．（2012•嘉兴）某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每 辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出工辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）‎ ‎（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为　1400﹣50x　元（用含x的代数式表示）；‎ ‎（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？‎ ‎（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？‎ 考点：‎ 二次函数的应用。‎ 分析：‎ ‎（1）根据当全部未租出时，每辆租金为：400+20×50=1400元，得出公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为：1400﹣50x；‎ ‎（2）根据已知得到的二次函数关系求得日收益的最大值即可；‎ ‎（3）要使租赁公司日收益不盈也不亏，即：y=0．即：50 （x﹣14）2+5000=0，求出即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；‎ 当每 辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；‎ ‎∴当全部未租出时，每辆租金为：400+20×50=1400元，‎ ‎∴公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为：1400﹣50x；‎ 故答案为：1400﹣50x；‎ ‎（2）根据题意得出：‎ y=x（﹣50x+1400）﹣4800，‎ ‎=﹣50x2+1400x﹣4800，‎ ‎=﹣50（x﹣14）2+5000．‎ 当x=14时，在范围内，y有最大值5000．‎ ‎∴当日租出14辆时，租赁公司日收益最大，最大值为5000元．‎ ‎（3）要使租赁公司日收益不盈也不亏，即：y=0．‎ 即：50（x﹣14）2+5000=0，‎ 解得x1=24，xz=4，‎ ‎∵x=24不合题意，舍去．‎ ‎∴当日租出4辆时，租赁公司日收益不盈也不亏．‎ 点评：‎ 本题考查了列代数式及二次函数的应用和一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出代数式或函数关系式是解题关键．‎ ‎11．（2012•嘉兴）在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x2上的动点（点在第一象限内）．连接 OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q．连接PQ，交y轴于点M．作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B．设点P的横坐标为m．‎ ‎（1）如图1，当m=时，‎ ‎①求线段OP的长和tan∠POM的值；‎ ‎②在y轴上找一点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标；‎ ‎（2）如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E．‎ ‎①用含m的代数式表示点Q的坐标；‎ ‎②求证：四边形ODME是矩形．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。‎ 专题：‎ 代数几何综合题；分类讨论。‎ 分析：‎ ‎（1）①已知m的值，代入抛物线的解析式中可求出点P的坐标；由此确定PA、OA的长，通过解直角三角形易得出结论．‎ ‎②题干要求△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，所以分QO=OC、QC=QO两种情况来判断：‎ QO=QC时，Q在线段OC的垂直平分线上，Q、O的纵坐标已知，C点坐标即可确定；‎ QO=OC时，先求出OQ的长，那么C点坐标可确定．‎ ‎（2）①由∠QOP=90°，易求得△QBO∽△MOA，通过相关的比例线段来表示出点Q的坐标；‎ ‎②在四边形ODME中，已知了一个直角，只需判定该四边形是平行四边形即可，那么可通过证明两组对边平行来得证．‎ 解答：‎ 解：（1）①把x=代入 y=x2，得 y=2，∴P（，2），∴OP=‎ ‎∵PA丄x轴，∴PA∥MO．∴tan∠P‎0M=tan∠0PA==．‎ ‎②设 Q（n，n2），∵tan∠QOB=tan∠POM，‎ ‎∴．∴n=‎ ‎∴Q（，），∴OQ=．‎ 当OQ=OC时，则C1（0，），C2（0，）；‎ 当OQ=CQ时，则C3（0，1）．‎ 综上所述，所求点C坐标为：C1（0，），C2（0，），C3（0，1）．‎ ‎（2）①∵P（m，m2），设 Q（n，n2），∵△APO∽△BOQ，∴‎ ‎∴，得n=，∴Q（，）．‎ ‎②设直线PO的解析式为：y=kx+b，把P（m，m2）、Q（，）代入，得：‎ 解得b=1，∴M（0，1）‎ ‎∵，∠QBO=∠MOA=90°，‎ ‎∴△QBO∽△MOA ‎∴∠MAO=∠QOB，‎ ‎∴QO∥MA 同理可证：EM∥OD 又∵∠EOD=90°，‎ ‎∴四边形ODME是矩形．‎ 点评：‎ 考查了二次函数综合题，该题涉及的知识点较多，有：解直角三角形、相似三角形、等腰直角三角形的判定、矩形的判定等重要知识点；（1）②题中，要注意分类进行讨论，以免出现漏解、错解的情况．‎ ‎12．（2012•佳木斯）如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）写出顶点坐标及对称轴；‎ ‎（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．‎ 考点：‎ 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质。‎ 分析：‎ ‎（1）直接把（0，0），（2，0）代入y=x2+bx+c中，列方程组求b、c的值即可；‎ ‎（2）将二次函数解析式写成顶点式，可求顶点坐标及对称轴；‎ ‎（3）设点B的坐标为（a，b），根据三角形的面积公式 求b的值，再将纵坐标b代入抛物线解析式求a的值，确定B点坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）把（0，0），（2，0）代入y=x2+bx+c得 ‎，‎ 解得 ，…（1分）‎ 所以解析式为y=x2﹣2x …（1分）‎ ‎（2）∵y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，‎ ‎∴顶点为（1，﹣1）…（1分）‎ 对称轴为：直线x=1 …（1分）‎ ‎（3）设点B的坐标为（a，b），则 ‎×2|b|=3，‎ 解得b=3或b=﹣3，‎ ‎∵顶点纵坐标为﹣1，﹣3＜﹣1 （或x2﹣2x=﹣3中，x无解）‎ ‎∴b=3 …（1分）‎ ‎∴x2﹣2x=3‎ 解得x1=3，x2=﹣1‎ 所以点B的坐标为（3，3）或（﹣1，3）…（1分）‎ 点评：‎ 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．关键是将抛物线上两点坐标代入解析式，列方程组求解析式，将抛物线解析式写成顶点式，可求顶点坐标及对称轴．‎ ‎13．（2012•济宁）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0）两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点（端点除外），过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）当动点P运动到何处时，BP2=BD•BC；‎ ‎（3）当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。‎ 专题：‎ 压轴题；转化思想。‎ 分析：‎ ‎（1）该抛物线的解析式中有两个待定系数，只需将点A、B的坐标代入解析式中求解即可．‎ ‎（2）首先设出点P的坐标，由PD∥AC得到△BPD∽△BAC，通过比例线段可表示出BD的长；BC的长易得，根据题干给出的条件BP2=BD•BC即可求出点P的坐标．‎ ‎（3）由于PD∥AC，根据相似三角形△BPD、△BAC的面积比，可表示出△BPD的面积；以BP为底，OC为高，易表示出△BPC的面积，△BPC、△BPD的面积差为△PDC的面积，通过所列二次函数的性质，即可确定点P的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）由题意，得，‎ 解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x﹣4；‎ ‎（2）设点P运动到点（x，0）时，有BP2=BD•BC，‎ 令x=0时，则y=﹣4，‎ ‎∴点C的坐标为（0，﹣4）．‎ ‎∵PD∥AC，‎ ‎∴△BPD∽△BAC，‎ ‎∴．‎ ‎∵BC=，‎ AB=6，BP=x﹣（﹣2）=x+2．‎ ‎∴BD===．‎ ‎∵BP2=BD•BC，‎ ‎∴（x+2）2=，‎ 解得x1=，x2=﹣2（﹣2不合题意，舍去），‎ ‎∴点P的坐标是（，0），即当点P运动到（，0）时，BP2=BD•BC；‎ ‎（3）∵△BPD∽△BAC，‎ ‎∴，‎ ‎∴×‎ S△BPC=×（x+2）×4﹣‎ ‎∵，‎ ‎∴当x=1时，S△BPC有最大值为3．‎ 即点P的坐标为（1，0）时，△PDC的面积最大．‎ 点评：‎ 该题综合了相似三角形、图形面积的求法等知识，难度系数大，（3）题中，将所求三角形的面积进行适当的转化是解题的关键所在．‎ ‎14．（2012•吉林）问题情境 如图，在x轴上有两点A（m，0），B（n，0）（n＞m＞0）．分别过点A，点B作x轴的垂线，交抛物线y=x2于点C、点D．直线OC交直线BD于点E，直线OD交直线AC于点F，点E、点F的纵坐标分别记为yE，yF．‎ 特例探究 填空：‎ 当m=1，n=2时，yE=　2　，yF=　2　；‎ 当m=3，n=5时，yE=　15　，yF=　15　．‎ 归纳证明 对任意m，n（n＞m＞0），猜想yE与yF的大小关系，并证明你的猜想．‎ 拓展应用 ‎（1）若将“抛物线y=x‎2”‎改为“抛物线y=ax2（a＞0）”，其他条件不变，请直接写出yE与yF的大小关系；‎ ‎（2）连接EF，AE．当S四边形OFEA=3S△OFE时，直接写出m与n的关系及四边形OFEA的形状．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。‎ 专题：‎ 综合题；探究型。‎ 分析：‎ ‎【特例探究】【归纳证明】都是【拓展应用】（1）的特殊情况，因此以【拓展】（1）为例说明前三小问的思路：‎ 已知A、B的坐标，根据抛物线的解析式，能得到C、D的坐标，进而能求出直线OC、OD的解析式，也就能得出E、F两点的坐标，再进行比较即可．‎ 最后一小题也比较简单：总结前面的结论，能得出EF∥x轴的结论，那么四边形OFEA的面积可分作△OEF、△OEA两部分，根据给出的四边形和△OFE的面积比例关系，能判断出EF、OA的比例关系，进而得出m、n的比例关系，再对四边形OFEA的形状进行判定．‎ 解答：‎ 解：【特例探究】‎ 当m=1，n=2时，A（1，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（2，4）；‎ 则：直线OC：y=x；直线OD：y=2x；‎ ‎∴F（1，2）、E（2，2）；‎ 即：yE=yF=2．‎ 同理：当m=3，n=5时，yE=yF=15．‎ ‎【归纳证明】‎ 猜想：yE=yF；‎ 证明：点A（m，0），B（n，0）（n＞m＞0）．‎ 由抛物线的解析式知：C（m，m2）、D（n，n2）；‎ 设直线OC的解析式：y=kx，代入点C的坐标：‎ km=m2，k=m 即：直线OC：y=mx；‎ 同理：直线OD：y=nx．‎ ‎∴E（n，mn）、F（m、mn）‎ 即yE=yF．‎ ‎【拓展应用】‎ ‎（1）yE=yF．证法同（2），不再复述．‎ ‎（2）综合上面的结论，可得出E、F的纵坐标相同，即EF∥x轴，则四边形ABEF是矩形；‎ ‎∵S四边形OFEA=S△OEF+S△OAE=3S△OFE，‎ ‎∴S△OAE=2S△OFE，即：‎ OA•AF=2••EF•AF，得：OA=2EF=2AB；‎ ‎∵OA=m，OB=n，AB=EF=n﹣m，‎ ‎∴m=2（n﹣m），m=n；‎ 由于EF∥OA，且EF≠OA，所以四边形OFEA是梯形．‎ 点评：‎ 本题主要考查的是函数解析式的确定、图形面积的解法、四边形的判定等知识，综合性较强，由浅入深的引导方式进一步降低了题目的难度，对于基础知识的掌握是解题的关键．‎ ‎15．（2012•鸡西）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）若点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣．‎ 考点：‎ 待定系数法求二次函数解析式；轴对称-最短路线问题。‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ ‎（1）根据OC=3，可知c=3，于是得到抛物线的解析式为y=﹣x2+bx+3，然后将A（﹣2，0）代入解析式即可求出b的值，从而得到抛物线的解析式；‎ ‎（2）由于BD为定值，则△BDP的周长最小，即BP+DP最小，由于点A和点B关于对称轴对称，则即BP+DP=AP+DP，当A、P、D共线时BP+DP=AP+DP最小．‎ 解答：‎ 解：（1）∵OA=2，OC=3，‎ ‎∴A（﹣2，0），C（0，3），‎ ‎∴c=3，‎ 将A（﹣2，0）代入y=﹣x2+bx+3得，﹣×（﹣2）2﹣2b+3=0，‎ 解得b=，‎ 可得函数解析式为y=﹣x2+x+3；‎ ‎（2）如图：连接AD，与对称轴相交于P，由于点A和点B关于对称轴对称，则即BP+DP=AP+DP，当A、P、D共线时BP+DP=AP+DP最小．‎ 设AD的解析式为y=kx+b，‎ 将A（﹣2，0），D（2，2）分别代入解析式得，，‎ 解得，，故直线解析式为y=x+1，（﹣1＜x＜2），‎ 由于二次函数的对称轴为x=﹣=，‎ 则当x=时，y=×+1=，‎ 故P（，）．‎ 点评：‎ 本题考查了待定系数法求二次函数解析式和轴对称﹣﹣﹣最短路径问题，先假设存在P，若能解出P 的坐标，则P存在；否则，P不存在．‎ ‎16．（2012•黄石）已知抛物线C1的函数解析式为y=ax2+bx﹣‎3a（b＜0），若抛物线C1经过点（0，﹣3），方程ax2+bx﹣‎3a=0的两根为x1，x2，且|x1﹣x2|=4．‎ ‎（1）求抛物线C1的顶点坐标．‎ ‎（2）已知实数x＞0，请证明x+≥2，并说明x为何值时才会有x+=2．‎ ‎（3）若将抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A（m，y1），B（n，y2）是C2上的两个不同点，且满足：∠AOB=90°，m＞0，n＜0．请你用含m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式．‎ ‎（参考公式：在平面直角坐标系中，若P（x1，y1），Q（x2，y2），则P，Q两点间的距离为）‎ 考点：‎ 二次函数综合题。‎ 专题：‎ 压轴题；配方法。‎ 分析：‎ ‎（1）求抛物线的顶点坐标，需要先求出抛物线的解析式，即确定待定系数a、b的值．已知抛物线图象与y轴交点，可确定解析式中的常数项（由此得到a的值）；然后从方程入手求b的值，题干给出了两根差的绝对值，将其进行适当变形（转化为两根和、两根积的形式），结合根与系数的关系即可求出b的值．‎ ‎（2）x•=1，因此将x+配成完全平方式，然后根据平方的非负性即可得证．‎ ‎（3）结合（1）的抛物线的解析式以及函数的平移规律，可得出抛物线C2的解析式；在Rt△OAB中，由勾股定理可确定m、n的关系式，然后用m列出△AOB的面积表达式，结合不等式的相关知识可确定△OAB的最小面积值以及此时m的值，进而由待定系数法确定一次函数OA的解析式．‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线过（0，﹣3）点，∴﹣‎3a=﹣3‎ ‎∴a=1‎ ‎∴y=x2+bx﹣3‎ ‎∵x2+bx﹣3=0的两根为x1，x2且|x1﹣x2|=4‎ ‎∴|x1﹣x2|==4，且b＜0‎ ‎∴b=﹣2‎ ‎∴y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4‎ ‎∴抛物线C1的顶点坐标为（1，﹣4）．‎ ‎（2）∵x＞0，∴x+﹣2=（﹣）2≥0‎ ‎∴x+≥2，显然当x=1时，才有x+=2．‎ ‎（3）由平移知识易得C2的解析式为：y=x2‎ ‎∴A（m，m2），B（n，n2）‎ ‎∵△AOB为Rt△‎ ‎∴OA2+OB2=AB2‎ ‎∴m2+m4+n2+n4=（m﹣n）2+（m2﹣n2）2‎ 化简得：m n=﹣1‎ ‎∵S△AOB=OA•OB=•‎ ‎∵m n=﹣1‎ ‎∴S△AOB==‎ ‎==（m+）≥•2=1‎ ‎∴S△AOB的最小值为1，此时m=1，A（1，1）‎ ‎∴直线OA的一次函数解析式为y=x．‎ 点评：‎ 该题考查了二次函数解析式的确定、函数图象的平移、不等式的应用等知识，解题过程中完全平方式的变形被多次提及，应熟练掌握并能灵活应用．‎ ‎17．（2012•黄冈）某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．‎ ‎（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？‎ ‎（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．‎ ‎（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）‎ 考点：‎ 二次函数的应用。‎ 分析：‎ ‎（1）设件数为x，则销售单价为3000﹣10（x﹣10）元，根据销售单价恰好为2600元，列方程求解；‎ ‎（2）由利润y=销售单价×件数，及销售单价均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤50，x＞50三种情况列出函数关系式；‎ ‎（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价．‎ 解答：‎ 解：（1）设件数为x，依题意，得3000﹣10（x﹣10）=2600，解得x=50，‎ 答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元；‎ ‎（2）当0≤x≤10时，y=（3000﹣2400）x=600x，‎ 当10＜x≤50时，y=[3000﹣10（x﹣10）﹣2400]x，即y=﹣10x2+700x 当x＞50时，y=（2600﹣2400）x=200x ‎∴y=‎ ‎（3）由y=﹣10x2+700x可知抛物线开口向下，当x=﹣=35时，利润y有最大值，‎ 此时，销售单价为3000﹣10（x﹣10）=2750元，‎ 答：公司应将最低销售单价调整为2750元．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的运用．关键是明确销售单价与销售件数之间的函数关系式，会表达单件的利润及总利润．‎ ‎18．（2012•黄冈）如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．‎ ‎（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；‎ ‎（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标；‎ ‎（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。‎ 专题：‎ 代数几何综合题；压轴题。‎ 分析：‎ ‎（1）将点（2，2）的坐标代入抛物线解析式，即可求得m的值；‎ ‎（2）求出B、C、E点的坐标，进而求得△BCE的面积；‎ ‎（3）根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点B、C关于对称轴x=1对称，连接EC与对称轴的交点即为所求的H点，如答图1所示；‎ ‎（4）本问需分两种情况进行讨论：‎ ‎①当△BEC∽△BCF时，如答图2所示．此时可求得m=+2；‎ ‎②当△BEC∽△FCB时，如答图3所示．此时可以得到矛盾的等式，故此种情形不存在．‎ 解答：‎ 解：（1）依题意，将M（2，2）代入抛物线解析式得：‎ ‎2=﹣（2+2）（2﹣m），解得m=4．‎ ‎（2）令y=0，即（x+2）（x﹣4）=0，解得x1=﹣2，x2=4，‎ ‎∴B（﹣2，0），C（4，0）‎ 在C1中，令x=0，得y=2，∴E（0，2）．‎ ‎∴S△BCE=BC•OE=6．‎ ‎（3）当m=4时，易得对称轴为x=1，又点B、C关于x=1对称．‎ 如答图1，连接BC，交x=1于H点，此时BH+CH最小（最小值为线段CE的长度）．‎ 设直线EC：y=kx+b，将E（0，2）、C（4，0）代入得：y=x+2，‎ 当x=1时，y=，∴H（1，）．‎ ‎（4）分两种情形讨论：‎ ‎①当△BEC∽△BCF时，如答图2所示．‎ 则，∴BC2=BE•BF．‎ 由（2）知B（﹣2，0），E（0，2），即OB=OB，∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°，‎ 作FT⊥x轴于点F，则BT=TF．‎ ‎∴可令F（x，﹣x﹣2）（x＞0），又点F在抛物线上，‎ ‎∴﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m），∵x+2＞0（∵x＞0），‎ ‎∴x=‎2m，F（‎2m，﹣‎2m﹣2）．‎ 此时BF==（m+1），BE=，BC=m+2，‎ 又BC2=BE•BF，∴（m+1）2=•（m+1），‎ ‎∴m=2±，‎ ‎∵m＞0，∴m=+2．‎ ‎②当△BEC∽△FCB时，如答图3所示．‎ 则，∴BC2=EC•BF．‎ 同①，∵∠EBC=∠CFB，△BTF∽△COE，，‎ ‎∴可令F（x，（x+2））（x＞0）‎ 又点F在抛物线上，∴（x+2）=﹣（x+2）（x﹣m），‎ ‎∵x+2＞0（∵x＞0），‎ ‎∴x=m+2，∴F（m+2，（m+2）），EC=，BC=m+2，‎ 又BC2=EC•BF，∴（m+2）2=•‎ 整理得：0=16，显然不成立．‎ 综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似，m=+2．‎ 点评：‎ 本题涉及二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、轴对称﹣最小路径问题等重要知识点，难度较大．本题难点在于第（4）问，需要注意分两种情况进行讨论，避免漏解；而且在计算时注意利用题中条件化简计算，避免运算出错．‎ ‎19．（2012•怀化）如图，抛物线m：y=﹣（x+h）2+k与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，顶点为M（3，），将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为D；‎ ‎（1）求抛物线n的解析式；‎ ‎（2）设抛物线n与x轴的另一个交点为E，点P是线段ED上一个动点（P不与E、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF．如果P点的坐标为（x，y），△PEF的面积为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；‎ ‎（3）设抛物线m的对称轴与x轴的交点为G，以G为圆心，A、B两点间的距离为直径作⊙G，试判断直线CM与⊙G的位置关系，并说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）本问涉及抛物线的旋转变换，首先求出B点坐标，再由点D、M关于点B成中心对称，求出D点的坐标，从而得到抛物线n的解析式；注意由于开口方向相反，两个抛物线的a值也相反；‎ ‎（2）本问可依次确定S的关系式、自变量x的取值范围，最后求出最大值．注意：①欲求S的关系式，首先需要用待定系数法求出直线DE的解析式；②求得关系式S=﹣（x﹣9）2+‎ 后确定最大值时，不能简单套用“当x=9时，最大值为…”，这样就错了，因为x=9不在自变量的取值范围内；‎ ‎（3）本问结论：直线CM与⊙G相切．结合题意，欲证明直线CM与⊙G相切，需要完成两个步骤：①证明点C在⊙G上，②证明CM垂直于半径GC．‎ 解答：‎ 解：（1）依题意，抛物线m的解析式为：y=﹣（x﹣3）2+=﹣（x﹣8）（x+2），‎ ‎∴A（﹣2，0），B（8，0）．‎ 由旋转性质可知，点D与点M（3，）关于点B（8，0）成中心对称，‎ ‎∴D（13，﹣），‎ ‎∴抛物线n的解析式为：y=（x﹣13）2﹣．‎ ‎（2）∵抛物线n：y=（x﹣13）2﹣=（x﹣8）（x﹣18），∴E点坐标为（18，0）．‎ 设直线DE的解析式为y=kx+b，则有：‎ ‎，解得k=，b=﹣，‎ ‎∴直线DE的解析式为：y=x﹣．‎ 如题图所示，S=PF•OF=x•（﹣y）=﹣x•（x﹣）=﹣（x﹣9）2+；‎ ‎∵点P是线段ED上一个动点（P不与E、D重合），∴13＜x＜18；‎ ‎∴S=﹣（x﹣9）2+（13＜x＜18），‎ 可见该抛物线开口向下，对称轴为x=9，函数图象位于对称轴右侧，y随着x的增大而减小，故S在13＜x＜18范围内没有最大值．‎ 所以S与x的函数关系式为S=﹣（x﹣9）2+，自变量取值范围是13＜x＜18，S没有最大值．‎ ‎（3）结论：直线CM与⊙G相切．理由如下：‎ ‎∵抛物线n的解析式为：y=（x﹣13）2﹣，令x=0，解得y=4，∴C（0，4）．‎ 在Rt△COG中，由勾股定理得：CG===5，‎ 又∵⊙G半径为5，∴点C在⊙G上．‎ 如右图所示，依题意作出⊙G，连接CG、CM、MG，过点C作CH⊥MG于点H，则CH=3，HG=4，MH=﹣4=，‎ ‎∵，CH⊥MG，‎ ‎∴△CHG∽△MHC，∴∠MCH=∠CGH；‎ 又∠HCG+∠CGH=90°，∴∠HCG+∠MCH=90°，即GC⊥MC．‎ ‎（注：此处亦可用勾股定理的逆定理证明△MCG为直角三角形）‎ 综上所述，点C在⊙G上，且满足GC⊥MC，‎ ‎∴直线CM与与⊙G相切．‎ 点评：‎ 本题综合考查了二次函数的图象与性质、图形变换、极值、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及圆与直线的位置关系等知识点，有一定的难度．第（2）问中，考查二次函数在指定区间上的极值，这是本题的一个易错点，需要引起注意．‎ ‎20．（2012•湖州）如图1，已知菱形ABCD的边长为2，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为（﹣，3），抛物线y=ax2+b（a≠0）经过AB、CD两边的中点．‎ ‎（1）求这条抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜）‎ ‎①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（写出答案即可）‎ 考点：‎ 二次函数综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）根据已知条件求出AB和CD的中点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数的解析式；‎ ‎（2）本问是难点所在，需要认真全面地分析解答：‎ ‎①如图2所示，△ADF与△DEF相似，包括三种情况，需要分类讨论：‎ ‎（I）若∠ADF=90°时，△ADF∽△DEF，求此时t的值；‎ ‎（II）若∠ADF=90°时，△DEF∽△FBA，利用相似三角形的对应边成比例可以求得相应的t的值；‎ ‎（III）∠DAF≠90°，此时t不存在；‎ ‎②如图3所示，画出旋转后的图形，认真分析满足题意要求时，需要具备什么样的限制条件，然后根据限制条件列出不等式，求出t的取值范围．确定限制条件是解题的关键．‎ 解答：‎ 解：（1）由题意得AB的中点坐标为（﹣，0），CD的中点坐标为（0，3），‎ 分别代入y=ax2+b得 ‎，‎ 解得，，‎ ‎∴y=﹣x2+3． ‎ ‎（2）①如图2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC=2‎ ‎∴sinC===，∴∠C=60°，∠CBE=30°‎ ‎∴EC=BC=，DE=‎ 又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°‎ ‎∴∠ADC=180°﹣60°=120°‎ 要使△ADF与△DEF相似，则△ADF中必有一个角为直角．‎ ‎（I）若∠ADF=90°‎ ‎∠EDF=120°﹣90°=30°‎ 在Rt△DEF中，DE=，求得EF=1，DF=2．‎ 又∵E（t，3），F（t，﹣t2+3），∴EF=3﹣（﹣t2+3）=t2∴t2=1，∵t＞0，∴t=1 ‎ 此时=2，，‎ ‎∴，‎ 又∵∠ADF=∠DEF ‎∴△ADF∽△DEF ‎ ‎（II）若∠DFA=90°，‎ 可证得△DEF∽△FBA，则 设EF=m，则FB=3﹣m ‎∴，即m2﹣‎3m+6=0，此方程无实数根．‎ ‎∴此时t不存在； ‎ ‎（III）由题意得，∠DAF＜∠DAB=60°‎ ‎∴∠DAF≠90°，此时t不存在． ‎ 综上所述，存在t=1，使△ADF与△DEF相似；‎ ‎②如图3所示，依题意作出旋转后的三角形△FE′C′，过C′作MN⊥x轴，分别交抛物线、x轴于点M、点N．‎ 观察图形可知，欲使△FE′C′落在指定区域内，必须满足：EE′≤BE且MN≥C′N．‎ ‎∵F（t，3﹣t2），∴EF=3﹣（3﹣t2）=t2，∴EE′=2EF=2t2，‎ 由EE′≤BE，得2t2≤3，解得t≤．‎ ‎∵C′E′=CE=，∴C′点的横坐标为t﹣，‎ ‎∴MN=3﹣（t﹣）2，又C′N=BE′=BE﹣EE′=3﹣2t2，‎ 由MN≥C′N，得3﹣（t﹣）2≥3﹣2t2，解得t≥．‎ ‎∴t的取值范围为：．‎ 点评：‎ 本题是动线型中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、几何变换（平移与旋转）、菱形的性质、相似三角形的判定与性质等重要知识点，难度较大，对考生能力要求很高．本题难点在于第（2）问，（2）①中，需要结合△ADF与△DEF相似的三种情况，分别进行讨论，避免漏解；（2）②中，确定“限制条件”是解题关键．‎ ‎21．（2012•呼和浩特）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与双曲线相交于点A，B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（﹣2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E．‎ ‎（1）求双曲线和抛物线的解析式；‎ ‎（2）计算△ABC与△ABE的面积；‎ ‎（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。‎ 专题：‎ 综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）将点A的坐标代入双曲线方程即可得出k的值，设B点坐标为（m，﹣‎4m）（m＞0），根据双曲线方程可得出m的值，然后分别得出了A、B、O的坐标，利用待定系数法求解二次函数解析式即可；‎ ‎（2）根据点B的坐标，结合抛物线方程可求出点C的坐标，继而可得出三角形ABC的面积，先求出AB的解析式，然后求出点F的坐标，及EF的长，继而根据S△ABE=S△AEF+S△BEF可得出答案．‎ ‎（3）先确定符合题意的三角形ABD的面积，继而可得出当点D与点C重合时，满足条件，过点C作AB 的平行线CD，则可求出其解析式，求出其与抛物线的交点坐标即可得出点D的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）∵点A（﹣2，2）在双曲线y=上，‎ ‎∴k=﹣4，‎ ‎∴双曲线的解析式为y=﹣，‎ ‎∵BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍，‎ ‎∴设B点坐标为（m，﹣‎4m）（m＞0）代入双曲线解析式得m=1，‎ ‎∴抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）过点A（﹣2，2）、B（1，﹣4）、O（0，0），‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ 故抛物线的解析式为y=﹣x2﹣3x；‎ ‎（2）∵抛物线的解析式为y=﹣x2﹣3x，‎ ‎∴顶点E（﹣，），对称轴为x=﹣，‎ ‎∵B（1，﹣4），‎ ‎∴﹣x2﹣3x=﹣4，‎ 解得：x1=1，x2=﹣4，‎ ‎∴C（﹣4，﹣4），‎ ‎∴S△ABC=5×6×=15，‎ 由A、B两点坐标为（﹣2，2），（1，﹣4）可求得直线AB的解析式为：y=﹣2x﹣2，‎ 设抛物线的对称轴与AB交于点F，则F点的坐标为（﹣，1），‎ ‎∴EF=﹣1=，‎ ‎∴S△ABE=S△AEF+S△BEF=××3=；‎ ‎（3）S△ABE=，‎ ‎∴8S△ABE=15，‎ ‎∴当点D与点C重合时，显然满足条件；‎ 当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线CD，其对应的一次函数解析式为y=﹣2x﹣12，‎ 令﹣2x﹣12=﹣x2﹣3x，‎ 解得x1=3，x2=﹣4（舍去），‎ 当x=3时，y=﹣18，‎ 故存在另一点D（3，﹣18）满足条件．‎ 综上可得点D的坐标为（3，﹣18）或（﹣4，﹣4）．‎ 点评：‎ 此题属于二次函数的综合题目，第一问的解答关键是掌握待定系数法的运用，求解第二问需要我们会根据函数解析式求两函数图象的交点坐标，此类综合题目，难度较大，注意逐步分析．‎ ‎22．（2012•衡阳）如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动．（点P异于点O）‎ ‎（1）求此抛物线的解析式．‎ ‎（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，‎ ‎①求证：PF=PR；‎ ‎②是否存在点P，使得△PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎③延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断△RSF的形状．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。‎ 专题：‎ 代数几何综合题；数形结合。‎ 分析：‎ ‎（1）根据题意能判断出点O是矩形ABCD的对角线交点，因此D、B关于原点对称，A、B关于x轴对称，得到A、D的坐标后，利用待定系数法可确定抛物线的解析式．‎ ‎（2）①首先根据抛物线的解析式，用一个未知数表示出点P的坐标，然后表示出PF、RF的长，两者进行比较即可得证；‎ ‎②首先表示RF的长，若△PFR为等边三角形，则满足PF=PR=FR，列式求解即可；‎ ‎③根据①的思路，不难看出QF=QS，若连接SF、RF，那么△QSF、△PRF都是等腰三角形，先用∠SQF、∠RPF表示出∠DFS、∠RFP的和，用180°减去这个和值即可判断出△RSF的形状．‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线的顶点为坐标原点，‎ ‎∴A、D关于抛物线的对称轴对称；‎ ‎∵E是AB的中点，‎ ‎∴O是矩形ABCD对角线的交点，又B（2，1）‎ ‎∴A（2，﹣1）、D（﹣2，﹣1）；‎ 由于抛物线的顶点为（0，0），可设其解析式为：y=ax2，则有：‎ ‎4a‎=﹣1，a=﹣‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=﹣x2．‎ ‎（2）①证明：由抛物线的解析式知：P（a，﹣a2），而R（a，1）、F（0，﹣1），则：‎ 则：PF===a2+1，PR==a2+1．‎ ‎∴PF=PR．‎ ‎②由①得：RF=；‎ 若△PFR为等边三角形，则RF=PF=PR，得：‎ ‎=a2+1，即：a4﹣a2﹣3=0，得：‎ a2=﹣4（舍去），a2=12；‎ ‎∴a=±2，﹣a2=﹣3；‎ ‎∴存在符合条件的P点，坐标为（2，﹣3）、（﹣2，3）．‎ ‎③同①可证得：QF=QS；‎ 在等腰△SQF中，∠1=（180°﹣∠SQF）；‎ 同理，在等腰RPF中，∠2=（180°﹣∠RPF）；‎ ‎∵QS⊥BC、PR⊥BC，‎ ‎∴QS∥PR，∠SQP+∠RPF=180°‎ ‎∴∠1+∠2=（360°﹣∠SQF﹣∠RPF）=90°‎ ‎∴∠SFR=180°﹣∠1﹣∠2=90°，即△SFR是直角三角形．‎ 点评：‎ 该题考查了二次函数的性质及解析式的确定、矩形的性质、特殊三角形的判定等知识，综合性较强．在解答题目时，要注意数形结合，并灵活应用前面小题中证得的结论．‎ ‎23．（2012•黑龙江）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）写出顶点坐标及对称轴；‎ ‎（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=8，求点B的坐标．‎ 考点：‎ 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质。‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ ‎（1）据图可知（0，0），（2，0）在y=﹣x2+bx+c上，可代入得到关于b、c的二元一次方程组，解即可；‎ ‎（2）根据（1）中所求函数解析式，可把a、b、c的值代入顶点公式，易求顶点坐标，以及对称轴；‎ ‎（3）先设点B的坐标是（a，b），根据三角形的面积公式可得×2|b|=8，易求b=±8，由于顶点纵坐标是1，故b=8舍去，那么b=﹣8，再把b=﹣8代入原函数，可得﹣x2+2x=﹣8，解得x=4或x=﹣2，从而可得B点坐标是（4，﹣8）或（﹣2，﹣8）．‎ 解答：‎ 解：（1）把（0，0），（2，0）代入y=﹣x2+bx+c，得 ‎，‎ 解得b=2，c=0，‎ 所以解析式为y=﹣x2+2x；‎ ‎（2）∵a=﹣1，b=2，c=0，‎ ‎∴﹣=﹣=1，==1，‎ ‎∴顶点为（1，1），‎ 对称轴为直线x=1；‎ ‎（3）设点B的坐标为（a，b），则 ‎×2|b|=8，‎ ‎∴b=8或b=﹣8，‎ ‎∵顶点纵坐标为1，8＞1（或﹣x2+2x=8中，x无解），‎ ‎∴b=﹣8，‎ ‎∴﹣x2+2x=﹣8，‎ 解得x1=4，x2=﹣2，‎ 所以点B的坐标为（﹣2，﹣8）或（4，﹣8 ）．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式，解题的关键是会根据图象得出二次函数上的特殊点，并能掌握顶点的计算公式．‎ ‎24．（2012•菏泽）牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：‎ 销售单价x（元/件）‎ ‎…‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎…‎ 每天销售量（y件）‎ ‎…‎ ‎500‎ ‎400‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎100‎ ‎…‎ ‎（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价﹣成本总价）‎ ‎（3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？‎ 考点：‎ 二次函数的应用；一次函数的应用。‎ 分析：‎ ‎（1）利用表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出即可，再根据点的分布得出y与x的函数关系式，求出即可；‎ ‎（2）根据利润=销售总价﹣成本总价，由（1）中函数关系式得出W=（x﹣10）（﹣10x+700），，进而利用二次函数最值求法得出即可；‎ ‎（3）利用二次函数的增减性，结合对称轴即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：（1）画图如图：‎ 由图可猜想y与x是一次函数关系，‎ 设这个一次函数为y=kx+b（k≠0），‎ ‎∵这个一次函数的图象经过（20，500）、（30，400）这两点，‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴函数关系式是y=﹣10x+700．‎ ‎（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得：‎ W=（x﹣10）（﹣10x+700），‎ ‎=﹣10x2+800x﹣7000，‎ ‎=﹣10（（x﹣40）2+9000，‎ ‎∴当x=40时，W有最大值9000．‎ ‎（3）对于函数W=﹣10（（x﹣40）2+9000，‎ 当x≤35时，W的值随着x值的增大而增大，‎ 故销售单价定为35元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数增减性应用等知识，此题难度不大是中考中考查重点内容．‎ ‎25．（2012•菏泽）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．‎ ‎（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）利用旋转的性质得出A′（﹣1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；‎ ‎（2）利用S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，再假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，得出一元二次方程，得出P点坐标即可；‎ ‎（3）利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可．‎ 解答：‎ 解：（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，‎ 又A（0，1），B（2，0），O（0，0），‎ ‎∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）‎ 设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），‎ ‎∵抛物线经过点A′、B′、B，‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）‎ ‎（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，‎ 设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=﹣x2+x+2．‎ 连接PB，PO，PB′，‎ ‎∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，‎ ‎=×1×2+×2×x+×2×y，‎ ‎=x+（﹣x2+x+2）+1，‎ ‎=﹣x2+2x+3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）‎ 假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则 ‎4=﹣x2+2x+3，‎ 即x2﹣2x+1=0，‎ 解得：x1=x2=1，‎ 此时y=﹣12+1+2=2，即P（1，2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）‎ ‎∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）‎ ‎（3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可．‎ ‎①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；‎ ‎③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）‎ 或用符号表示：‎ ‎①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②PA′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次函数的综合应用以及等腰梯形性质等知识，利用四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍得出等式方程求出x是解题关键．‎ ‎26．（2012•河南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx﹣3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．‎ ‎（1）求a、b及sin∠ACP的值；‎ ‎（2）设点P的横坐标为m．‎ ‎①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；‎ ‎②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，直接写出m的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。‎ 专题：‎ 压轴题；数形结合。‎ 分析：‎ ‎（1）已知直线AB的解析式，首先能确定A、B点的坐标，然后利用待定系数法确定a、b的值；若设直线AB与y轴的交点为E，E点坐标易知，在Rt△AEO中，能求出sin∠AEO，而∠AEO=∠ACP，则∠ACP的正弦值可得．‎ ‎（2）①已知P点横坐标，根据直线AB、抛物线的解析式，求出C、P的坐标，由此得到线段PC 的长；在Rt△PCD中，根据（1）中∠ACP的正弦值，即可求出PD的表达式，再根据所得函数的性质求出PD长的最大值．‎ ‎②在表达△PCD、△PBC的面积时，若都以PC为底，那么它们的面积比等于PC边上的高的比．分别过B、D作PC的垂线，首先求出这两条垂线段的表达式，然后根据题干给出的面积比例关系求出m的值．‎ 解答：‎ 解：（1）由x+1=0，得x=﹣2，∴A（﹣2，0）．‎ 由x+1=3，得x=4，∴B（4，3）．‎ ‎∵y=ax2+bx﹣3经过A、B两点，‎ ‎∴‎ ‎∴a=，b=﹣‎ 设直线AB与y轴交于点E，则E（0，1）．‎ ‎∵PC∥y轴，‎ ‎∴∠ACP=∠AEO．‎ ‎∴sin∠ACP=sin∠AEO===．‎ ‎（2）①由（1）知，抛物线的新解析式为y=x2﹣x﹣3．则点P（m，m2﹣m﹣3）．‎ 已知直线AB：y=x+1，则点C（m，m+1）．‎ ‎∴PC=m+1﹣（m2﹣m﹣3）=﹣m2+m+4=﹣（m﹣1）2+‎ Rt△PCD中，PD=PC•sin∠ACP=[﹣（m﹣1）2+]•=﹣（m﹣1）2+‎ ‎∴PD长的最大值为：．‎ ‎②如图，分别过点D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为F、G．‎ 在Rt△PDF中，DF=PD=﹣（m2﹣‎2m﹣8）．‎ 又∵BG=4﹣m，‎ ‎∴===．‎ 当==时，解得m=；‎ 当==时，解得m=．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的应用以及解析式的确定、解直角三角形、图形面积的求法等知识，主要考查学生数形结合思想的应用能力．‎ ‎27．（2012•河北）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这写薄板的形状均为正方向，边长在（单位：cm）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．‎ 薄板的边长（cm）‎ ‎20‎ ‎30‎ 出厂价（元/张）‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎（2）已知出厂一张边长为‎40cm的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价﹣成本价），‎ ‎①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．‎ ‎②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？‎ 参考公式：抛物线：y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）‎ 考点：‎ 二次函数的应用。‎ 分析：‎ ‎（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案；‎ ‎（2）①首先假设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元，由题意，得：p=y﹣mx2，进而得出m 的值，求出函数解析式即可；‎ ‎②利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可．‎ 解答：‎ 解：（1）设一张薄板的边长为xcm，它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，则y=kx+n．‎ 由表格中的数据，得，‎ 解得，‎ 所以y=2x+10；‎ ‎（2）①设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元，由题意，得：‎ p=y﹣mx2=2x+10﹣mx2，‎ 将x=40，p=26代入p=2x+10﹣mx2中，‎ 得26=2×40+10﹣m×402．‎ 解得m=．‎ 所以p=﹣x2+2x+10．‎ ‎②因为a=﹣＜0，所以，当x=﹣=﹣=25（在5～50之间）时，‎ p最大值===35．‎ 即出厂一张边长为‎25cm的薄板，获得的利润最大，最大利润是35元．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的最值求法以及待定系数法求一次函数解析式，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．‎ ‎28．（2012•杭州）当k分别取﹣1，1，2时，函数y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．‎ 考点：‎ 二次函数的最值。‎ 专题：‎ 分类讨论。‎ 分析：‎ 当k分别取﹣1，1，2时，函数y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k表示不同类型的函数，需要分类讨论，最终确定函数的最值．‎ 解答：‎ 解：k可取值﹣1，1，2‎ ‎（1）当k=1时，函数为y=﹣4x+4，是一次函数（直线），无最值；‎ ‎（2）当k=2时，函数为y=x2﹣4x+3，为二次函数．此函数开口向上，只有最小值而无最大值；‎ ‎（3）当k=﹣1时，函数为y=﹣2x2﹣4x+6，为二次函数．此函数开口向下，有最大值．‎ 因为y=﹣2x2﹣4x+6=﹣2（x+1）2+8，则当x=﹣1时，函数有最大值为8．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的最值．需要根据k的不同取值进行分类讨论，这是容易失分的地方．‎ ‎29．（2012•杭州）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）．‎ ‎（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；‎ ‎（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）当k=﹣2时，即可求得点A的坐标，然后设反比例函数的解析式为：y=，利用待定系数法即可求得答案；‎ ‎（2）由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，可得k＜0，又由二次函数y=k（x2+x﹣1）的对称轴为x=﹣，可得x＜﹣时，才能使得y随着x的增大而增大；‎ ‎（3）由△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得OQ=OA=OB，又由Q（﹣，k），A（1，k），即可得=，继而求得答案．‎ 解答：‎ 解：（1）当k=﹣2时，A（1，﹣2），‎ ‎∵A在反比例函数图象上，‎ ‎∴设反比例函数的解析式为：y=，‎ 代入A（1，﹣2）得：﹣2=，‎ 解得：m=﹣2，‎ ‎∴反比例函数的解析式为：y=﹣；‎ ‎（2）∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，‎ ‎∴k＜0，‎ ‎∵二次函数y=k（x2+x﹣1）=k（x+）2﹣k，的对称轴为：直线x=﹣，‎ 要使二次函数y=k（x2+x﹣1）满足上述条件，在k＜0的情况下，x必须在对称轴的左边，‎ 即x＜﹣时，才能使得y随着x的增大而增大，‎ ‎∴综上所述，k＜0且x＜﹣；‎ ‎（3）由（2）可得：Q（﹣，k），‎ ‎∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，（如图是其中的一种情况）‎ ‎∴原点O平分AB，‎ ‎∴OQ=OA=OB，‎ 作AD⊥OC，QC⊥OC，‎ ‎∴OQ==，‎ ‎∵OA==，‎ ‎∴=，‎ 解得：k=±．‎ 点评：‎ 此题考查了二次函数的性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握待定系数法求函数解析式，注意数形结合思想的应用．‎ ‎30．（2012•海南）如图，顶点为P（4，﹣4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON，‎ ‎（1）求该二次函数的关系式；‎ ‎（2）若点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：‎ ‎①证明：∠ANM=∠ONM；‎ ‎②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。‎ 专题：‎ 压轴题。‎ 分析：‎ ‎（1）由二次函数的顶点坐标，设出二次函数的顶点式，再由二次函数过原点，将原点坐标代入设出的解析式中，确定出a的值，即可求出二次函数的解析式；‎ ‎（2）①过A作AH垂直于直线l，直线l与x轴交于点D，由A在二次函数图象上，设A横坐标为m，将x=m代入二次函数解析式，表示出纵坐标，确定出A的坐标，再由O的坐标，表示出直线AO的解析式，进而表示出M，N及H的坐标，得出OD，ND，HA，及NH，在直角三角形OND中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠ONM，在直角三角形ANH中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠ANM，化简后得到tan∠ONM=tan∠ANM，可得出∠ONM=∠ANM，得证；‎ ‎②△ANO不能为直角三角形，理由为：分三种情况考虑：若∠ONA为直角，由①得到∠ANM=∠ONM=45°，可得出三角形AHN为等腰直角三角形，得到AH=HN，将表示出的AH及HN代入，得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值，为4，进而得到此时A与P重合，不合题意，故∠ONA不能为直角；若∠AON为直角，利用勾股定理得到OA2+ON2=AN2，由A的坐标，利用勾股定理表示出OA2，由OD及DN，利用勾股定理表示出ON2，由AH及HN，利用勾股定理表示出AN2，代入OA2+ON2=AN2，得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值为4或0，此时A点与P点重合或与原点重合，故∠AON不能为直角；若∠NAO为直角，则有△AMN∽△DMO∽△DON，由相似得比例，将各自的值代入得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值为4，此时A与P重合，故∠NAO不能为直角，综上，点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，△ANO不能为直角三角形．‎ 解答：‎ 解：（1）∵二次函数的顶点坐标为（4，﹣4），‎ ‎∴设二次函数的解析式为y=a（x﹣4）2﹣4，‎ 又二次函数过（0，0），‎ ‎∴0=a（0﹣4）2﹣4，解得：a=，‎ ‎∴二次函数解析式为y=（x﹣4）2﹣4=x2﹣2x；‎ ‎（2）①证明：过A作AH⊥l于H，l与x轴交于点D，如图所示：‎ 设A（m，m2﹣‎2m），又O（0，0），‎ ‎∴直线AO的解析式为y=x=（m﹣2）x，‎ 则M（4，m﹣8），N（4，﹣m），H（4，m2﹣‎2m），‎ ‎∴OD=4，ND=m，HA=m﹣4，NH=ND﹣HD=m2﹣m，‎ 在Rt△OND中，tan∠ONM==，‎ 在Rt△ANH中，tan∠ANM====，‎ ‎∴tan∠ONM=tan∠ANM，‎ 则∠ANM=∠ONM；‎ ‎②△ANO不能为直角三角形，理由如下：‎ 分三种情况考虑：‎ ‎（i）若∠ONA为直角，由①得：∠ANM=∠ONM=45°，‎ ‎∴△AHN为等腰直角三角形，‎ ‎∴HA=NH，即m﹣4=m2﹣m，‎ 整理得：m2﹣‎8m+16=0，即（m﹣4）2=0，‎ 解得：m=4，‎ 此时点A与点P重合，故不存在A点使△ONA为直角三角形；‎ ‎（ii）若∠AON为直角，根据勾股定理得：OA2+ON2=AN2，‎ ‎∵OA2=m2+（m2﹣‎2m）2，ON2=42+m2，AN2=（m﹣4）2+（m2﹣‎2m﹣m）2，‎ ‎∴m2+（m2﹣‎2m）2+42+m2=（m﹣4）2+（m2﹣‎2m﹣m）2，‎ 整理得：m（m﹣4）2=0，‎ 解得：m=0或m=4，‎ 此时A点与P点重合或与原点重合，故∠AON不能为直角；‎ ‎（iii）若∠NAO为直角，可得∠NAM=∠ODM=90°，且∠AMN=∠DMO，‎ ‎∴△AMN∽△DMO，‎ 又∠MAN=∠ODN=90°，且∠ANM=∠OND，‎ ‎∴△AMN∽△DON，‎ ‎∴△AMN∽△DMO∽△DON，‎ ‎∴=，即=，‎ 整理得：（m﹣4）2=0，‎ 解得：m=4，‎ 此时A与P重合，故∠NAO不能为直角，‎ 综上，点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，△ANO不能为直角三角形．‎ 点评：‎ 此题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，两点坐标确定一次函数解析式，锐角三角函数定义，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，本题（2）中的第②小问利用的是反证法，先假设结论成立，利用逻辑推理的方法得出与已知条件，定理，公理矛盾，可得出假设错误，原结论不成立．‎ 本资料仅限下载者本人学习或教研之用，未经菁优网授权，不得以任何方式传播或用于商业用途。‎