2017中考数学直角三角形勾股定理

2017中考数学直角三角形勾股定理

中考数学复习直角三角形、勾股定理、面积 知识考点：‎ 了解直角三角形的判定与性质，理解直角三角形的边角关系，掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。它的有关性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系及与面积有关的问题等方面。‎ 精典例题：‎ ‎【例1】如图，在四边形ABCD中，∠A＝600，∠B＝∠D＝900，BC＝2，CD＝3，则AB＝？‎ 分析：通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题来解决，其关键是对内分割还是向外补形。‎ 答案：‎ ‎ ‎ ‎【例2】如图，P为△ABC边BC上一点，PC＝2PB，已知∠ABC＝450，∠APC＝600，求∠ACB的度数。‎ 分析：本题不能简单地由角的关系推出∠ACB的度数，而应综合运用条件PC＝2PB及∠APC＝600来构造出含300角的直角三角形。这是解本题的关键。‎ 答案：∠ACB＝750（提示：过C作CQ⊥AP于Q，连结BQ，则AQ＝BQ＝CQ）‎ 探索与创新：‎ ‎【问题一】如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝300，点A处有一所中学，AP＝160米，假设汽车行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么汽车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声的影响？如果受影响，已知汽车的速度为18千米／小时，那么学校受影响的时间为多少秒？‎ 分析：从学校（A点）距离公路（MN）的最近距离（AD＝80米）入手，在距A点方圆100米的范围内，利用图形，根据勾股定理和垂径定理解决它。‎ 略解：作AD⊥MN于D，在Rt△ADP中，易知AD＝80。所以这所学校会受到噪声的影响。以A为圆心，100米为半径作圆交MN于E、F，连结AE、AF，则AE＝AF＝100，根据勾股定理和垂径定理知：ED＝FD＝60，EF＝120，从而学校受噪声影响的时间为：‎ ‎（小时）＝24（秒）‎ 评注：本题是一道存在性探索题，通过给定的条件，判断所研究的对象是否存在。‎ ‎ ‎ ‎【问题二】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图12，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米／时的速度沿北偏东300方向往C移动，且台风中心风力不变。若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。‎ ‎（1）该城市是否会受到这次台风的影响? 请说明理由。‎ ‎（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?‎ ‎（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级?‎ ‎ 解：（1）如图1，由点A作AD⊥BC，垂足为D。‎ ‎∵AB＝220，∠B＝30°∴AD＝110（千米）。‎ 由题意知，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响。故该城市会受到这次台风的影响。‎ ‎（2）由题意知，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响。则AE＝AF＝160。当台风中心从E处移到F处时，该城市都会受到这次台风的影响。由勾股定理得：。∴EF＝60（千米）。‎ ‎∵该台风中心以15千米／时的速度移动。∴这次台风影响该城市的持续时间为 ‎（小时）。‎ ‎（3）当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－＝6.5（级）。‎ 评注：本题是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中的几何元素代表的意义，由题意可分析出，当A点距台风中心不超过160千米时，会受台风影响，若过A作AD⊥BC于D，设E，F分别表示A市受台风影响的最初，最后时台风中心的位置，则AE＝AF＝160；当台风中心位于D处时，A市受台风影响的风力最大。‎ 跟踪训练：‎ 一、填空题：‎ ‎1、如果直角三角形的边长分别是6、8、，则的取值范围是 。‎ ‎2、如图，D为△ABC的边BC上的一点，已知AB＝13，AD＝12，，BD＝5，AC＝BC，则BC＝ 。‎ ‎ ‎ ‎3、如图，四边形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝900，则∠DAB＝ 。‎ ‎4、等腰△ABC中，一腰上的高为3cm，这条高与底边的夹角为300，则＝ 。‎ ‎5、如图，△ABC中，∠BAC＝900，∠B＝2∠C，D点在BC上，AD平分∠BAC，若AB＝1，则BD的长为 。‎ ‎6、已知Rt△ABC中，∠C＝900，AB边上的中线长为2，且AC＋BC＝6，则＝ 。‎ ‎7、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，腰长为8cm，AC、BD相交于O点，且∠AOD＝600，设E、F分别为CO、AB的中点，则EF＝ 。‎ ‎ ‎ ‎8、如图，点D、E是等边△ABC的BC、AC上的点，且CD＝AE，AD、BE相交于P点，BQ⊥AD。已知PE＝1，PQ＝3，则AD＝ 。‎ ‎9、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是 。‎ 二、选择题：‎ ‎1、如图，已知△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP中（ ）‎ ‎ A、全部正确 B、仅①和②正确 C、仅①正确 D、仅①和③正确 ‎2、如果一个三角形的一条边的长是另一条边的长的2倍，并且有一个角是300，那么这个三角形的形状是（ ）‎ ‎ A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定 ‎3、在四边形ABCD中，AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，CD＝4，AD＝3，则∠ACB的度数是（ ）‎ ‎ A、大于900 B、小于900 C、等于900 D、不能确定 ‎ ‎ ‎4、如图，已知△ABC中，∠B＝900，AB＝3，BC＝，OA＝OC＝，则∠OAB的度数为（ ）‎ ‎ A、100 B、150 C、200 D、250‎ 三、解答题：‎ ‎ 1、阅读下面的解题过程：已知、、为△ABC的三边，且满足 ‎，试判断△ABC的形状。‎ ‎ 解：∵……①‎ ‎ ∴……②‎ ‎ ∴……③‎ ‎ ∴△ABC是直角三角形。‎ 问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ；‎ ‎ （2）错误的原因是 ；‎ ‎ （3）本题的正确结论是 。‎ ‎ 2、已知△ABC中，∠BAC＝750，∠C＝600，BC＝，求AB、AC的长。‎ ‎ 3、如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于G。‎ ‎ （1）求证：G是CE的中点；‎ ‎ （2）∠B＝2∠BCE。‎ ‎ ‎ ‎4、如图，某校把一块形状近似于直角三角形的废地开辟为生物园，∠ACB＝900，BC＝60米，∠A＝360。‎ ‎（1）若入口E在边AB上，且与A、B等距离，请你在图中画出入口E到C点的最短路线，并求最短路线CE的长（保留整数）；‎ ‎（2）若线段CD是一条水渠，并且D点在边AB上，已知水渠造价为50元／米，水渠路线应如何设计才能使造价最低？请你画出水渠路线，并求出最低造价。‎ 参考数据：sin360＝0.5878，sin540＝0.8090‎ ‎5、已知△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC＝5。‎ ‎（1）为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；‎ ‎（2）为何值时，△ABC是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的面积。‎ 参考答案 一、填空题：‎ ‎1、10或；2、16.9；3、1350；4、cm2；5、；6、5；7、4‎ ‎8、7；9、49‎ 二、选择题：BDCB 三、解答题：‎ ‎1、（1）③；（2）略；（3）直角三角形或等腰三角形 ‎2、提示：过A作AD⊥BC于D，则AB＝，AC＝‎ ‎3、提示：连结ED ‎4、（1）51米；（2）若要水渠造价最低，则水渠应与AB垂直，造价2427元。‎ ‎5、（1）2；（2）＝4或3，当＝4时，面积为12。‎