2016年湖南省岳阳市中考数学试卷及答案

2016年湖南省岳阳市中考数学试卷及答案

岳阳市2016年初中毕业学业考试 数学试卷 一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．‎ ‎（ ）1．下列各数中为无理数的是 ‎ ‎ A．﹣1 B．3.14 C．π D．0 ‎ ‎（ ）2．下列运算结果正确的是 A．a2+a3=a5 B．（a2）3=a6 C．a2•a3=a6 D．3a﹣2a=1‎ ‎（ ）3．函数y=中自变量x的取值范围是 A．x≥0 B．x＞4 C．x＜4 D．x≥4‎ ‎（ ）4．某小学校足球队22名队员年龄情况如下：‎ 年龄（岁）‎ ‎12‎ ‎11‎ ‎10‎ ‎9‎ 人数 ‎4‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎2‎ 则这个队队员年龄的众数和中位数分别是 A．11，10 B．11，11 C．10，9 D．10，11‎ ‎（ ）5．如图是某几何体的三视图，则该几何体可能是 A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．长方体 ‎ ‎（ ）6．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是 A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm ‎ C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm ‎ ‎（ ）7．下列说法错误的是 A．角平分线上的点到角的两边的距离相等 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．菱形的对角线相等 D．平行四边形是中心对称图形 ‎（ ）8．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b]=b；如：max{4，﹣2}=4，max{3，3}=3，若关于x的函数为y=max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是 A．0 B．2 C．3 D．4‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）‎ ‎9．如图所示，数轴上点A所表示的数的相反数是　　　　　　．‎ ‎10．因式分解：6x2﹣3x=　　 　　　　．‎ ‎11．在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为　　　　　　cm．‎ ‎12．为加快“一极三宜”‎ 江湖名城建设，总投资124000万元的岳阳三荷机场及交通产业园，预计2016年建好主体工程，将124000万元用科学记数法表示为　　　　　　元．‎ ‎13．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BAD=　　　度．‎ ‎ ‎ ‎14．如图，一山坡的坡度为i=1：，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了　　　　　　米．‎ ‎15．如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数y=（x＞0）的图象交于A、B两点，利用函数图象直接写出不等式＜kx+b的解集是　　　　　　．‎ ‎ ‎ ‎16．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点P2016的坐标为　　 　．‎ 三、解答题（本大题共8小题，共64分）‎ ‎17．（6分）计算：（）﹣1﹣+2tan60°﹣（2﹣）0．‎ ‎18．（6分）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．‎ ‎19．（8分）已知不等式组 ‎ ‎（1）求不等式组的解集，并写出它的所有整数解；‎ ‎（2）在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的方法求积为正数的概率．‎ ‎20．（8分）我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时．‎ ‎21．（8分）某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查，从全年365天中随机抽取了80天的空气质量指数（AQI）数据，绘制出三幅不完整的统计图表．请根据图表中提供的信息解答下列问题：‎ AQI指数 质量等级 天数（天）‎ ‎0﹣50‎ 优 m ‎51﹣100‎ 良 ‎44‎ ‎101﹣150‎ 轻度污染 n ‎151﹣200‎ 中度污染 ‎4‎ ‎201﹣300‎ 重度污染 ‎2‎ ‎300以上 严重污染 ‎2‎ ‎（1）统计表中m=　 　，n=　　 ．扇形统计图中，空气质量等级为“良”的天数占　 　%；‎ ‎（2）补全条形统计图，并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共多少天？‎ ‎（3）据调查，严重污染的2天发生在春节期间，燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因，据此，请你提出一条合理化建议．‎ ‎22．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．‎ ‎（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）．‎ ‎23．（10分）数学活动﹣旋转变换 ‎（1）如图①，在△ABC中，∠ABC=130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小；‎ ‎（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．‎ ‎（Ⅰ）猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度；‎ ‎（3）如图③，在△ABC中，∠ABC=α（90°＜α＜180°），AB=m，BC=n，将△ABC绕点C逆时针旋转2β角度（0°＜2β＜180°）得到△A′B′C，连接A′B和BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆，问：角α与角β满足什么条件时，直线BB′与⊙A′相切，请说明理由，并求此条件下线段A′B的长度（结果用角α或角β的三角函数及字母m、n所组成的式子表示）‎ ‎24．（10分）如图①，直线y=x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B（1，0）．‎ ‎（1）求抛物线F1所表示的二次函数的表达式；‎ ‎（2）若点M是抛物线F1位于第二象限图象上的一点，设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S四边形MAOC和S△BOC，记S=S四边形MAOC﹣S△BOC，求S最大时点M的坐标及S的最大值；‎ ‎（3）如图②，将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2，点A、B与（2）中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 参考答案 一、选择题（共8个小题，每小题3分，共24分）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ C B D B A D C B 二、填空题（共8个小题，每小题4分，共32分）‎ 题 号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答 案 ‎2‎ ‎3x（2x﹣1）‎ ‎4π ‎1.24×109‎ ‎70‎ ‎100‎ ‎1＜x＜4‎ ‎（504，﹣504）‎ 三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）‎ ‎17. 解：原式=3﹣2+2﹣1=2‎ ‎18.证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠B=∠C=90°，‎ ‎∵EF⊥DF，∴∠EFD=90°，‎ ‎∴∠EFB+∠CFD=90°，‎ ‎∵∠EFB+∠BEF=90°，‎ ‎∴∠BEF=∠CFD，‎ 在△BEF和△CFD中，‎ ‎，‎ ‎∴△BEF≌△CFD（ASA），∴BF=CD．‎ ‎19. 解：（1） 由①得：x＞﹣2，‎ 由②得：x≤2，‎ ‎∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤2，‎ ‎∴它的所有整数解为：﹣1，0，1，2；‎ ‎（2）画树状图得：‎ ‎ ‎ ‎∵共有12种等可能的结果，积为正数的有2种情况，‎ ‎∴积为正数的概率为：=．‎ ‎20. 解： 设学生步行的平均速度是每小时x千米．‎ 服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x千米，‎ 根据题意：﹣=3.6，‎ 解得：x=4，‎ 经检验，x=3是所列方程的解，且符合题意．‎ 答：学生步行的平均速度是每小时4千米．‎ ‎21. 解：（1） 20，8，55；‎ ‎（2）估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共：‎ ‎365×（25%+55%）=292（天）‎ ‎ ‎ ‎（3）建议不要燃放烟花爆竹．‎ ‎22. 解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．‎ ‎∴△=（2m+1）2﹣4m（m+1）=1＞0，‎ ‎∴方程总有两个不相等的实数根； ‎ ‎ （2）∵x=0是此方程的一个根，‎ ‎∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0，∴m=0或m=﹣1，‎ ‎∵（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=4m2﹣4m+1+9﹣m2+7m﹣5=3m2+3m+5，‎ 把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5；‎ 把m=﹣1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=3×1﹣3+5=5．‎ ‎23. 解：（1）如图①中，∵△A′B′C是由△ABC旋转得到，‎ ‎ ∴∠A′B′C=∠ABC=130°，CB=CB′，‎ ‎ ∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=50°， ‎ ‎ ∴∠CBB′=∠CB′B=65°，‎ ‎ ∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=65°．‎ ‎ （2）（Ⅰ）结论：直线BB′与⊙A′相切．‎ ‎ 理由：如图②中，∵∠A′B′C=∠ABC=150°，CB=CB′，‎ ‎ ∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=60°，∴∠CBB′=∠CB′B=60°，‎ ‎ ∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=90°．‎ ‎ ∴AB′⊥BB′，∴直线BB′与⊙A′相切．‎ ‎（Ⅱ）∵在Rt△ABB′中，∵∠AB′B=90°，BB′=BC=5，AB′=AB=3，‎ ‎ ∴A′B==．‎ ‎ （3）如图③中，当α+β=180°时，直线BB′与⊙A′相切．‎ ‎ 理由：∵∠A′B′C=∠ABC=α，CB=CB′，‎ ‎ ∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=2β，‎ ‎ ∴∠CBB′=∠CB′B=，‎ ‎ ∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=α﹣90°+β=180°﹣90°=90°．‎ ‎ ∴AB′⊥BB′，∴直线BB′与⊙A′相切．‎ ‎ 在△CBB′中，∵CB=CB′=n，∠BCB′=2β，∴BB′=2•nsinβ，‎ ‎ 在Rt△A′BB′中，A′B==．‎ ‎24. 解：（1）令y=0代入y=x+4，∴x=﹣3，A（﹣3，0），‎ ‎ 令x=0，代入y=x+4，∴y=4，∴C（0，4），‎ ‎ 设抛物线F1的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1），‎ ‎ 把C（0，4）代入上式得，a=﹣，∴y=﹣x2﹣x+4，‎ ‎ （2）如图①，设点M（a，﹣a2﹣a+4）其中﹣3＜a＜0‎ ‎ ∵B（1，0），C（0，4），∴OB=1，OC=4 ∴S△BOC=OB•OC=2，‎ ‎ 过点M作MP⊥x轴于点P，‎ ‎ ∴MP=﹣a2﹣a+4，AP=a+3，OP=﹣a，‎ ‎ ∴S四边形MAOC=AP•MP+（MP+OC）•OP=AP•MP+OP•MP+OP•OC ‎ =+=+‎ ‎ =×3（﹣a2﹣a+4）+×4×（﹣a）=﹣2a2﹣6a+6‎ ‎ ∴S=S四边形MAOC﹣S△BOC=（﹣2a2﹣6a+6）﹣2=﹣2a2﹣6a+4=﹣2（a+）2+‎ ‎ ∴当a=﹣时，S有最大值，最大值为，此时，M（﹣，5）；‎ ‎ （3）如图②，由题意知：M′（），B′（﹣1，0），A′（3，0）∴AB′=2，‎ ‎ 设直线A′C的解析式为：y=kx+b，把A′（3，0）和C（0，4）代入y=kx+b，‎ ‎ 得：，∴ ∴y=﹣x+4，‎ ‎ 令x=代入y=﹣x+4，∴y=2 ∴‎ ‎ 由勾股定理分别可求得：AC=5，DA′=‎ ‎ 设P（m，0）当m＜3时，此时点P在A′的左边，∴∠DA′P=∠CAB′，‎ ‎ 当=时，△DA′P∽△CAB′，此时，=（3﹣m），‎ ‎ 解得：m=2，∴P（2，0）‎ ‎ 当=时，△DA′P∽△B′AC，此时，=（3﹣m）‎ ‎ m=﹣，∴P（﹣，0）‎ ‎ 当m＞3时，此时，点P在A′右边，由于∠CB′O≠∠DA′E，∴∠AB′C≠∠DA′P ‎ ∴此情况，△DA′P与△B′AC不能相似，‎ ‎ 综上所述，当以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似时，点P的坐标为（2，0）或（﹣，0）．‎ ‎ ‎