中考数学压轴题解析

中考数学压轴题解析

‎2016中考数学压轴题 ‎　‎ 一．解答题 ‎1．如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．‎ ‎（1）若=，AE=2，求EC的长；‎ ‎（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．‎ ‎2．阅读理解：‎ 如图①，如果四边形ABCD满足AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”．‎ 将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状，再展开得到图③，其中CE，CF为折痕，∠BCE=∠ECF=∠FCD，点B′为点B的对应点，点D′为点D的对应点，连接EB′，FD′相交于点O．‎ 简单应用：‎ ‎（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是　　　　　　；‎ ‎（2）当图③中的∠BCD=120°时，∠AEB′=　　　　　　°；‎ ‎（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有　　　　　　个（包含四边形ABCD）．‎ 拓展提升：‎ 当图③中的∠BCD=90°时，连接AB′，请探求∠AB′E的度数，并说明理由．‎ ‎3．在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E．DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．‎ ‎（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；‎ ‎（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB；‎ ‎（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：BE+CF=（BE﹣CF）．‎ ‎4．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．‎ ‎（1）直接写出∠NDE的度数；‎ ‎（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；‎ ‎（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD=，其他条件不变，求线段AM的长．‎ ‎5．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将▱ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGH，点A的对应点为点H，点D的对应点为点G．‎ ‎（1）当点H与点C重合时．‎ ‎①填空：点E到CD的距离是　　　　　　；‎ ‎②求证：△BCE≌△GCF；‎ ‎③求△CEF的面积；‎ ‎（2）当点H落在射线BC上，且CH=1时，直线EH与直线CD交于点M，请直接写出△MEF的面积．‎ ‎6.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B的坐标为（60，0），OA=AB，∠OAB=90°，OC=50．点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O、B重合），过点P与y轴平行的直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R，设点P横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t=40时，直线l恰好经过点C．‎ ‎（1）求点A和点C的坐标；‎ ‎（2）当0＜t＜30时，求m关于t的函数关系式；‎ ‎（3）当m=35时，请直接写出t的值；‎ ‎（4）直线l上有一点M，当∠PMB+∠POC=90°，且△PMB的周长为60时，请直接写出满足条件的点M的坐标．‎ ‎7．如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．‎ ‎（1）如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°．求证：∠APB是∠MON的智慧角．‎ ‎（2）如图1，已知∠MON=α（0°＜α＜90°），OP=2．若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．‎ ‎（3）如图3，C是函数y=（x＞0）图象上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标．‎ ‎8．如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；‎ ‎（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．‎ ‎9．已知抛物线y=x2+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点E（m，n）是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，连接CE、CF，若∠CEF=∠CFG．求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的探究）．‎ ‎（3）如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ=∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长．‎ ‎10．如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD、PE、DE．‎ ‎（1）请直接写出抛物线的解析式；‎ ‎（2）小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；‎ ‎（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．‎ ‎11．如图，已知二次函数y=x2+（1﹣m）x﹣m（其中0＜m＜1）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC ‎（1）∠ABC的度数为　　　　　　；‎ ‎（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；‎ ‎（3）在坐标轴上是否存在着点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎12．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．‎ ‎（1）求直线AD的解析式；‎ ‎（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；‎ ‎（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．‎ ‎13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D．‎ ‎（1）填空：点A的坐标为（　　　　　　，　　　　　　），点B的坐标为（　　　　　　，　　　　　　），点C的坐标为（　　　　　　，　　　　　　），点D的坐标为（　　　　　　，　　　　　　）；‎ ‎（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）‎ ‎①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标；‎ ‎②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；‎ ‎③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动点（点R不与点A、C重合），请直接写出△PQR周长的最小值．‎ ‎　‎ ‎2016中考数学压轴题 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．解答题 ‎1．（2015•杭州）如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．‎ ‎（1）若=，AE=2，求EC的长；‎ ‎（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．‎ ‎【分析】（1）易证DE∥BC，由平行线分线段成比例定理列比例式即可求解；‎ ‎（2）分三种情况讨论：①若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线；②若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线；③当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．‎ ‎【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，DE⊥AC，‎ ‎∴DE∥BC，‎ ‎∴，‎ ‎∵，AE=2，‎ ‎∴EC=6；‎ ‎（2）①如图1，若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线．‎ 证明：∵∠CFG+∠CGF=90°，∠ECD+∠PCG=90°，‎ 又∵∠CFG=∠ECD，‎ ‎∴∠CGF=∠PCG，‎ ‎∴CP=PG，‎ ‎∵∠CFG=∠ECD，‎ ‎∴CP=FP，‎ ‎∴PF=PG=CP，‎ ‎∴线段CP是△CFG的FG边上的中线；‎ ‎②如图2，若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线．‎ 证明：∵DE⊥AC，‎ ‎∴∠EDC+∠ECD=90°，‎ ‎∵∠CFG=∠EDC，‎ ‎∴∠CFG+∠ECD=90°，‎ ‎∴∠CPF=90°，‎ ‎∴线段CP为△CFG的FG边上的高线．‎ ‎③如图3，当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．‎ ‎【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定、三角形的有关概念，分类讨论，能全面的思考问题是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（2015•淮安）阅读理解：‎ 如图①，如果四边形ABCD满足AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”．‎ 将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状，再展开得到图③，其中CE，CF为折痕，∠BCE=∠ECF=∠FCD，点B′为点B的对应点，点D′为点D的对应点，连接EB′，FD′相交于点O．‎ 简单应用：‎ ‎（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是　正方形　；‎ ‎（2）当图③中的∠BCD=120°时，∠AEB′=　80　°；‎ ‎（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有　5　个（包含四边形ABCD）．‎ 拓展提升：‎ 当图③中的∠BCD=90°时，连接AB′，请探求∠AB′E的度数，并说明理由．‎ ‎【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和“完美筝形”的定义容易得出结论；‎ ‎（2）先证出∠AEB′=∠BCB′，再求出∠BCE=∠ECF=40°，即可得出结果；‎ ‎（3）由折叠的性质得出BE=B′E，BC=B′C，∠B=∠CB′E=90°，CD=CD′，FD=FD′，∠D=∠CD′F=90°，即可得出四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”；‎ 由题意得出∠OD′E=∠OB′F=90°，CD′=CB′，由菱形的性质得出AE=AF，CE=CF，再证明△OED′≌△OFB′，得出OD′=OB′，OE=OF，证出∠AEB′=∠AFD′=90°，即可得出四边形CD′OB′、四边形AEOF是“完美筝形”；即可得出结论；‎ 当图③中的∠BCD=90°时，四边形ABCD是正方形，证明A、E、B′、F四点共圆，得出，由圆周角定理即可得出∠AB′E的度数．‎ ‎【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C≠90°，∠B=∠D≠90°，‎ ‎∴AB≠AD，BC≠CD，‎ ‎∴平行四边形不一定为“完美筝形”；‎ ‎②∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，‎ ‎∴AB≠AD，BC≠CD，‎ ‎∴矩形不一定为“完美筝形”；‎ ‎③∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C≠90°，∠B=∠D≠90°，‎ ‎∴菱形不一定为“完美筝形”；‎ ‎④∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，‎ ‎∴正方形一定为“完美筝形”；‎ ‎∴在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是正方形；‎ 故答案为：正方形；‎ ‎（2）根据题意得：∠B′=∠B=90°，‎ ‎∴在四边形CBEB′中，∠BEB′+∠BCB′=180°，‎ ‎∵∠AEB′+∠BEB′=180°，‎ ‎∴∠AEB′=∠BCB′，‎ ‎∵∠BCE=∠ECF=∠FCD，∠BCD=120°，‎ ‎∴∠BCE=∠ECF=40°，‎ ‎∴∠AEB′=∠BCB′=40°+40°=80°；‎ 故答案为：80；‎ ‎（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有5个；理由如下；‎ 根据题意得：BE=B′E，BC=B′C，∠B=∠CB′E=90°，CD=CD′，FD=FD′，∠D=∠CD′F=90°，‎ ‎∴四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”；‎ ‎∵四边形ABCD是“完美筝形”，‎ ‎∴AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，‎ ‎∴CD′=CB′，∠CD′O=∠CB′O=90°，‎ ‎∴∠OD′E=∠OB′F=90°，‎ ‎∵四边形AECF为菱形，‎ ‎∴AE=AF，CE=CF，AE∥CF，AF∥CE，‎ ‎∴D′E=B′F，∠AEB′=∠CB′E=90°，∠AFD′=∠CD′F=90°，‎ 在△OED′和△OFB′中，，‎ ‎∴△OED′≌△OFB′（AAS），‎ ‎∴OD′=OB′，OE=OF，‎ ‎∴四边形CD′OB′、四边形AEOF是“完美筝形”；‎ ‎∴包含四边形ABCD，对应图③中的“完美筝形”有5个；‎ 故答案为：5；‎ 当图③中的∠BCD=90°时，如图所示：‎ 四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠BAD=90°，‎ ‎∵∠EB′F=90°，‎ ‎∴∠BAD+∠EB′F=180°，‎ ‎∴A、E、B′、F四点共圆，‎ ‎∵AE=AF，‎ ‎∴，‎ ‎∴∠AB′E=∠AB′F=∠EB′F=45°．‎ ‎【点评】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质、“完美筝形”的判定与性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识；本题难度较大，综合性强，熟练掌握“完美筝形”的定义，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（2015•重庆）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E．DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．‎ ‎（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；‎ ‎（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB；‎ ‎（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：BE+CF=（BE﹣CF）．‎ ‎【分析】（1）如图1，易求得∠B=60°，∠BED=90°，BD=2，然后运用三角函数的定义就可求出BE的值；‎ ‎（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，易证△MBD≌△NCD，则有BM=CN，DM=DN，进而可证到△EMD≌△FND，则有EM=FN，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=AB；‎ ‎（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3．同（1）可得：∠B=∠ACD=60°，同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN．由DN=FN可得DM=DN=FN=EM，从而可得BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM，BE﹣CF=BM+EM﹣CF=BM+NF﹣CF=BM+NC=2BM．然后在Rt△BMD中，运用三角函数就可得到DM=BM，即BE+CF=（BE﹣CF）．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，‎ ‎∵AB=AC，∠A=60°，‎ ‎∴△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠B=∠C=60°，BC=AC=AB=4．‎ ‎∵点D是线段BC的中点，‎ ‎∴BD=DC=BC=2．‎ ‎∵DF⊥AC，即∠AFD=90°，‎ ‎∴∠AED=360°﹣60°﹣90°﹣120°=90°，‎ ‎∴∠BED=90°，‎ ‎∴BE=BD×cos∠B=2×cos60°=2×=1；‎ ‎（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，‎ 则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．‎ ‎∵∠A=60°，∴∠MDN=360°﹣60°﹣90°﹣90°=120°．‎ ‎∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF．‎ 在△MBD和△NCD中，‎ ‎，‎ ‎∴△MBD≌△NCD，‎ ‎∴BM=CN，DM=DN．‎ 在△EMD和△FND中，‎ ‎，‎ ‎∴△EMD≌△FND，‎ ‎∴EM=FN，‎ ‎∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN ‎=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=AB；‎ ‎（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3．‎ 同（1）可得：∠B=∠ACD=60°．‎ 同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN．‎ ‎∵DN=FN，∴DM=DN=FN=EM，‎ ‎∴BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM，‎ BE﹣CF=BM+EM﹣CF=BM+NF﹣CF=BM+NC=2BM．‎ 在Rt△BMD中，DM=BM•tanB=BM，‎ ‎∴BE+CF=（BE﹣CF）．‎ ‎【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到BM=CN，DM=DN，EM=FN是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（2015•济南）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．‎ ‎（1）直接写出∠NDE的度数；‎ ‎（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；‎ ‎（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD=，其他条件不变，求线段AM的长．‎ ‎【分析】（1）根据题意证明△MAC≌△NBC即可；‎ ‎（2）与（1）的证明方法相似，证明△MAC≌△NBC即可；‎ ‎（3）作GK⊥BC于K，证明AM=AG，根据△MAC≌△NBC，得到∠BDA=90°，根据直角三角形的性质和已知条件求出AG的长，得到答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠MCN=90°，‎ ‎∴∠ACM=∠BCN，‎ 在△MAC和△NBC中，‎ ‎，‎ ‎∴△MAC≌△NBC，‎ ‎∴∠NBC=∠MAC=90°，‎ 又∵∠ACB=90°，∠EAC=90°，‎ ‎∴∠NDE=90°；‎ ‎（2）不变，‎ 在△MAC≌△NBC中，‎ ‎，‎ ‎∴△MAC≌△NBC，‎ ‎∴∠N=∠AMC，‎ 又∵∠MFD=∠NFC，‎ ‎∠MDF=∠FCN=90°，即∠NDE=90°；‎ ‎（3）作GK⊥BC于K，‎ ‎∵∠EAC=15°，‎ ‎∴∠BAD=30°，‎ ‎∵∠ACM=60°，‎ ‎∴∠GCB=30°，‎ ‎∴∠AGC=∠ABC+∠GCB=75°，‎ ‎∠AMG=75°，‎ ‎∴AM=AG，‎ ‎∵△MAC≌△NBC，‎ ‎∴∠MAC=∠NBC，‎ ‎∴∠BDA=∠BCA=90°，‎ ‎∵BD=，‎ ‎∴AB=+，‎ AC=BC=+1，‎ 设BK=a，则GK=a，CK=a，‎ ‎∴a+a=+1，‎ ‎∴a=1，‎ ‎∴KB=KG=1，BG=，‎ AG=，‎ ‎∴AM=．‎ ‎【点评】本题考查的是矩形的判定和性质以及三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线、利用方程的思想是解题的关键，注意旋转的性质的灵活运用．‎ ‎　‎ ‎5．（2015•沈阳）如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将▱ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGH，点A的对应点为点H，点D的对应点为点G．‎ ‎（1）当点H与点C重合时．‎ ‎①填空：点E到CD的距离是　2　；‎ ‎②求证：△BCE≌△GCF；‎ ‎③求△CEF的面积；‎ ‎（2）当点H落在射线BC上，且CH=1时，直线EH与直线CD交于点M，请直接写出△MEF的面积．‎ ‎【分析】（1）①解直角三角形即可；‎ ‎②根据平行四边形的性质和折叠的性质得出∠B=∠G，∠BCE=∠GCF，BC=GC，然后根据AAS即可证明；③过E点作EP⊥BC于P，设BP=m，则BE=2m，通过解直角三角形求得EP=m，然后根据折叠的性质和勾股定理求得EC，进而根据三角形的面积就可求得；‎ ‎（2）过E点作EQ⊥BC于Q，通过解直角三角形求得EP=n，根据折叠的性质和勾股定理求得EH，然后根据三角形相似对应边成比例求得MH，从而求得CM，然后根据三角形面积公式即可求得．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，①作CK⊥AB于K，‎ ‎∵∠B=60°，‎ ‎∴CK=BC•sin60°=4×=2，‎ ‎∵C到AB的距离和E到CD的距离都是平行线AB、CD间的距离，‎ ‎∴点E到CD的距离是2，‎ 故答案为2；‎ ‎②∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD=BC，∠D=∠B，∠A=∠BCD，‎ 由折叠可知，AD=CG，∠D=∠G，∠A=∠ECG，‎ ‎∴BC=GC，∠B=∠G，∠BCD=∠ECG，‎ ‎∴∠BCE=∠GCF，‎ 在△BCE和△GCF中，‎ ‎，‎ ‎∴△BCE≌△GCF（ASA）；‎ ‎③过E点作EP⊥BC于P，‎ ‎∵∠B=60°，∠EPB=90°，‎ ‎∴∠BEP=30°，‎ ‎∴BE=2BP，‎ 设BP=m，则BE=2m，‎ ‎∴EP=BE•sin60°=2m×=m，‎ 由折叠可知，AE=CE，‎ ‎∵AB=6，‎ ‎∴AE=CE=6﹣2m，‎ ‎∵BC=4，‎ ‎∴PC=4﹣m，‎ 在RT△ECP中，由勾股定理得（4﹣m）2+（m）2=（6﹣2m）2，解得m=，‎ ‎∴EC=6﹣2m=6﹣2×=，‎ ‎∵△BCE≌△GCF，‎ ‎∴CF=EC=，‎ ‎∴S△CEF=××2=；‎ ‎（2）①当H在BC的延长线上，且位于C点的右侧时，如图2，过E点作EQ⊥BC于Q，‎ ‎∵∠B=60°，∠EQB=90°，‎ ‎∴∠BEQ=30°，‎ ‎∴BE=2BQ，‎ 设BQ=n，则BE=2n，‎ ‎∴QE=BE•sin60°=2n×=n，‎ 由折叠可知，AE=HE，‎ ‎∵AB=6，‎ ‎∴AE=HE=6﹣2n，‎ ‎∵BC=4，CH=1，‎ ‎∴BH=5，‎ ‎∴QH=5﹣n，‎ 在Rt△EHQ中，由勾股定理得（5﹣n）2+（n）2=（6﹣2n）2，解得n=，‎ ‎∴AE=HE=6﹣2n=，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴△CMH∽△BEH，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴MH=，‎ ‎∴EM=﹣=‎ ‎∴S△EMF=××2=．‎ ‎②如图3，当H在线段BC上时，过E点作EQ⊥BC于Q，‎ ‎∵∠B=60°，∠EQB=90°，‎ ‎∴∠BEQ=30°，‎ ‎∴BE=2BQ，‎ 设BQ=n，则BE=2n，‎ ‎∴QE=BE•sin60°=2n×=n，‎ 由折叠可知，AE=HE，‎ ‎∵AB=6，‎ ‎∴AE=HE=6﹣2n，‎ ‎∵BC=4，CH=1，‎ ‎∴BH=3‎ ‎∴QH=3﹣n 在Rt△EHQ中，由勾股定理得（3﹣n）2+（n）2=（6﹣2n）2，解得n=‎ ‎∴BE=2n=3，AE=HE=6﹣2n=3，‎ ‎∴BE=BH，‎ ‎∴∠B=60°，‎ ‎∴△BHE是等边三角形，‎ ‎∴∠BEH=60°，‎ ‎∵∠AEF=∠HEF，‎ ‎∴∠FEH=∠AEF=60°，‎ ‎∴EF∥BC，‎ ‎∴DF=CF=3，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴△CMH∽△BEH，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴CM=1‎ ‎∴EM=CF+CM=4‎ ‎∴S△EMF=×4×2=4．‎ 综上，△MEF的面积为或4．‎ ‎【点评】本题是四边形综合题，考查了解直角三角形，平行四边形的性质，折叠的性质勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，三角形面积等，熟练掌握性质定理是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（2015•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B的坐标为（60，0），OA=AB，∠OAB=90°，OC=50．点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O、B重合），过点P与y轴平行的直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R，设点P横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t=40时，直线l恰好经过点C．‎ ‎（1）求点A和点C的坐标；‎ ‎（2）当0＜t＜30时，求m关于t的函数关系式；‎ ‎（3）当m=35时，请直接写出t的值；‎ ‎（4）直线l上有一点M，当∠PMB+∠POC=90°，且△PMB的周长为60时，请直接写出满足条件的点M的坐标．‎ ‎【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及勾股定理结合B点坐标得出A，C点坐标；‎ ‎（2）利用锐角三角函数关系结合（1）中所求得出PR，QP的长，进而求出即可；‎ ‎（3）利用（2）中所求，利用当0＜t＜30时，当30≤t≤60时，分别利用m与t的关系式求出即可；‎ ‎（4）利用相似三角形的性质，得出M点坐标即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，过点A作AD⊥OB，垂足为D，过点C作CE⊥OB，垂足为E，‎ ‎∵OA=AB，‎ ‎∴OD=DB=OB，‎ ‎∵∠OAB=90°，‎ ‎∴AD=OB，‎ ‎∵点B的坐标为：（60，0），‎ ‎∴OB=60，‎ ‎∴OD=OB=×60=30，‎ ‎∴点A的坐标为：（30，30），‎ ‎∵直线l平行于y轴且当t=40时，直线l恰好过点C，‎ ‎∴OE=40，‎ 在Rt△OCE中，OC=50，‎ 由勾股定理得：‎ CE===30，‎ ‎∴点C的坐标为：（40，﹣30）；‎ ‎（2）如图2，∵∠OAB=90°，OA=AB，‎ ‎∴∠AOB=45°，‎ ‎∵直线l平行于y轴，‎ ‎∴∠OPQ=90°，‎ ‎∴∠OQP=45°，‎ ‎∴OP=QP，‎ ‎∵点P的横坐标为t，‎ ‎∴OP=QP=t，‎ 在Rt△OCE中，‎ OE=40，CE=30，‎ ‎∴tan∠EOC=，‎ ‎∴tan∠POR==，‎ ‎∴PR=OP•tan∠POR=t，‎ ‎∴QR=QP+PR=t+t=t，‎ ‎∴当0＜t＜30时，m关于t的函数关系式为：m=t；‎ ‎（3）由（2）得：当0＜t＜30时，m=35=t，解得：t=20；‎ 如图3，当30≤t≤40时，m=35显然不可能；‎ 当40＜t＜60时，∵OP=t，则BP=QP=60﹣t，‎ ‎∵PR∥CE，‎ ‎∴△BPR∽△BEC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ 解得：PR=90﹣t，‎ 则m=60﹣t+90﹣t=35，‎ 解得：t=46，‎ 综上所述：t的值为20或46；‎ ‎（4）如图4，当∠PMB+∠POC=90°且△PMB的周长为60时，此时t=40，直线l恰好经过点C，‎ 则∠MBP=∠COP，‎ 故此时△BMP∽△OCP，‎ 则=，‎ 即=，‎ 解得：x=15，‎ 故M1（40，15），同理可得：M2（40，﹣15），‎ 综上所述：符合题意的点的坐标为：M1（40，15），M2（40，﹣15）．‎ ‎【点评】此题主要考查了一次函数综合以及相似三角形的判定与性质和勾股定理等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．‎ ‎　‎ ‎7．（2015•宁波）如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．‎ ‎（1）如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°．求证：∠APB是∠MON的智慧角．‎ ‎（2）如图1，已知∠MON=α（0°＜α＜90°），OP=2．若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．‎ ‎（3）如图3，C是函数y=（x＞0）图象上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标．‎ ‎【分析】（1）由角平分线求出∠AOP=∠BOP=∠MON=45°，再证出∠OAP=∠OPB，证明△AOP∽△POB，得出对应边成比例，得出OP2=OA•OB，即可得出结论；‎ ‎（2）由∠APB是∠MON的智慧角，得出，证出△AOP∽△POB，得出对应角相等∠OAP=∠OPB，即可得出∠APB=180°﹣α；过点A作AH⊥OB于H，由三角形的面积公式得出：S△AOB=OB•AH，即可得出S△AOB=2sinα；‎ ‎（3）设点C（a，b），则ab=3，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：‎ ‎①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，BC=2CA不可能；当得A在x轴的正半轴上时；先求出，由平行线得出△ACH∽△ABO，得出比例式：=，得出OB=3b，OA=，求出OA•OB=，根据∠APB是∠AOB的智慧角，得出OP，即可得出点P的坐标；‎ ‎②当点B在y轴的负半轴上时；由题意得出：AB=CA，由AAS证明△ACH≌△ABO，得出OB=CH=b，OA=AH=a，得出OA•OB=，求出OP，即可得出点P的坐标．‎ ‎【解答】（1）证明：∵∠MON=90°，P为∠MON的平分线上一点，‎ ‎∴∠AOP=∠BOP=∠MON=45°，‎ ‎∵∠AOP+∠OAP+∠APO=180°，‎ ‎∴∠OAP+∠APO=135°，‎ ‎∵∠APB=135°，‎ ‎∴∠APO+∠OPB=135°，‎ ‎∴∠OAP=∠OPB，‎ ‎∴△AOP∽△POB，‎ ‎∴，‎ ‎∴OP2=OA•OB，‎ ‎∴∠APB是∠MON的智慧角；‎ ‎（2）解：∵∠APB是∠MON的智慧角，‎ ‎∴OA•OB=OP2，‎ ‎∴，‎ ‎∵P为∠MON的平分线上一点，‎ ‎∴∠AOP=∠BOP=α，‎ ‎∴△AOP∽△POB，‎ ‎∴∠OAP=∠OPB，‎ ‎∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°﹣α，‎ 即∠APB=180°﹣α；‎ 过点A作AH⊥OB于H，连接AB；如图1所示：‎ 则S△AOB=OB•AH=OB•OAsinα=OP2•sinα，‎ ‎∵OP=2，‎ ‎∴S△AOB=2sinα；‎ ‎（3）设点C（a，b），则ab=3，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：‎ ‎①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，如图2所示：‎ BC=2CA不可能；‎ 当点A在x轴的正半轴上时，如图3所示：‎ ‎∵BC=2CA，‎ ‎∴，‎ ‎∵CH∥OB，‎ ‎∴△ACH∽△ABO，‎ ‎∴=，‎ ‎∴OB=3b，OA=，‎ ‎∴OA•OB=•3b==，‎ ‎∵∠APB是∠AOB的智慧角，‎ ‎∴OP===，‎ ‎∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，‎ ‎∴点P的坐标为：（，）；‎ ‎②当点B在y轴的负半轴上时，如图4所示：‎ ‎∵BC=2CA，‎ ‎∴AB=CA，‎ 在△ACH和△ABO中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACH≌△ABO（AAS），‎ ‎∴OB=CH=b，OA=AH=a，‎ ‎∴OA•OB=a•b=，‎ ‎∵∠APB是∠AOB的智慧角，‎ ‎∴OP===，‎ ‎∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，‎ ‎∴点P的坐标为：（，﹣）；‎ 综上所述：点P的坐标为：（，），或（，﹣）．‎ ‎【点评】本题是反比例函数综合题目，考查了角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、新定义以及运用、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过作辅助线进行分类讨论，证明三角形相似和三角形全等才能得出结果．‎ ‎　‎ ‎8．（2015•深圳）如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；‎ ‎（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．‎ ‎【分析】（1）把A、C两点坐标代入可求得b、c，可求得抛物线解析式；‎ ‎（2）当点P在∠DAB的平分线上时，过P作PM⊥AD，设出P点坐标，可表示出PM、PE，由角平分线的性质可得到PM=PE，可求得P点坐标；当点P在∠DAB外角平分线上时，同理可求得P点坐标；‎ ‎（3）可先求得△FBC的面积，过F作FQ⊥x轴，交BC的延长线于Q，可求得FQ的长，可设出F点坐标，表示出B点坐标，从而可表示出FQ的长，可求得F点坐标．‎ ‎【解答】方法一：‎ 解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3，‎ ‎（2）存在，‎ 当P在∠DAB的平分线上时，如图1，作PM⊥AD，‎ 设P（﹣1，m），则PM=PD•sin∠ADE=（4﹣m），PE=m，‎ ‎∵PM=PE，‎ ‎∴（4﹣m）=m，m=﹣1，‎ ‎∴P点坐标为（﹣1，﹣1）；‎ 当P在∠DAB的外角平分线上时，如图2，作PN⊥AD，‎ 设P（﹣1，n），则PN=PD•sin∠ADE=（4﹣n），PE=﹣n，‎ ‎∵PN=PE，‎ ‎∴（4﹣n）=﹣n，n=﹣﹣1，‎ ‎∴P点坐标为（﹣1，﹣﹣1）；‎ 综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣﹣1）；‎ ‎（3）解法1：‎ ‎∵抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3，‎ ‎∴B（1，0），‎ ‎∴S△EBC=EB•OC=3，‎ ‎∵2S△FBC=3S△EBC，‎ ‎∴S△FBC=，‎ 过F作FQ⊥x轴于点H，交BC的延长线于Q，过F作FM⊥y轴于点M，如图3，‎ ‎∵S△FBC=S△BQH﹣S△BFH﹣S△CFQ=HB•HQ﹣BH•HF﹣QF•FM=BH（HQ﹣HF）﹣QF•FM=BH•QF﹣QF•FM=QF•（BH﹣FM）=FQ•OB=FQ=，‎ ‎∴FQ=9，‎ ‎∵BC的解析式为y=﹣3x+3，‎ 设F（x0，﹣x02﹣2x0+3），‎ ‎∴﹣3x0+3+x02+2x0﹣3=9，‎ 解得：x0=或（舍去），‎ ‎∴点F的坐标是（，）．‎ 解法2：‎ 设点F的坐标为（x，﹣x2﹣2x﹣3），过点F作FM垂直y轴于点M，并与BC交于点N，如图4，‎ CM=CO﹣MO=3﹣（﹣x2﹣2x﹣3）=x2+2x，‎ 易得MN=CM=x2+x，‎ ‎∴FN=FM+MN=﹣x+x2+x=x2﹣x，‎ 同解法1可求得S△FBC=，‎ 即S△FBC=S△CFN+S△FNB=FN•CM+FN•MO=FN•CO=（x2﹣x）=，‎ 解得：x0=或（舍去），‎ ‎∴点F的坐标是（，）．‎ 方法二：‎ ‎（1）略．‎ ‎（2）作PH⊥AD，垂足为H，‎ ‎∵y=﹣x2﹣2x+3，‎ ‎∴顶点D（﹣1，4），‎ ‎∴lAD：y=2x+6，‎ ‎∵H在直线AD上，设H（m，2m+6），‎ ‎∴抛物线对称轴x=﹣1，‎ ‎∵P在对称轴上，‎ ‎∴设P（﹣1，t），‎ ‎∵PH⊥AH，‎ ‎∴KPH×KAH=﹣1，‎ ‎∴2×=﹣1，‎ ‎∴m=，‎ ‎∴H（，），‎ ‎∵PH=PE，‎ ‎∴，‎ ‎∴t2+2t﹣4=0，‎ ‎∴t=﹣1±，‎ 综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣﹣1）；‎ ‎（3）作FG⊥x轴，交BC于点G，‎ ‎∵B（1，0）C（0，3），E（﹣1，0），‎ ‎∴3S△EBC=3××CY×（BX﹣EX）=9，‎ ‎∵2S△FBC=3S△EBC，‎ ‎∴2S△FBC=9，‎ ‎∵F在抛物线上，设F（n，﹣n2﹣2n+3）（n＜0），‎ ‎∵B（1，0），C（0，3），‎ ‎∴lBC：y=﹣3x+3，‎ ‎∴G（n，﹣3n+3），‎ ‎2S△FBC=|（BX﹣CX）（FX﹣GX）|=|n2﹣n|=9，‎ ‎①n2﹣n=9，n=或，‎ ‎∵n＜0，∴n=，‎ ‎②n2﹣n=﹣9，∴△＜0，无解，‎ 综上所述，满足题意的点F（，）．‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、角平分线的性质、三角函数、三角形面积等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中注意分点P在∠DAB的角平分线上和在外角的平分线上两种情况，在（3）中求得FQ的长是解题的关键．本题所考查知识点较多，综合性很强，难度适中．‎ ‎　‎ ‎9．（2015•武汉）已知抛物线y=x2+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点E（m，n）是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，连接CE、CF，若∠CEF=∠CFG．求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的探究）．‎ ‎（3）如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ=∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长．‎ ‎【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线解析式即可求得c的值，则可得抛物线解析式；‎ ‎（2）过点C作CH⊥EF于点H，易证△EHC∽△FGC，再根据相似三角形的性质可得n的值；‎ ‎（3）首先表示出点P的坐标，再根据△OPM∽△QPB，然后由对应边的比值相等得出PQ和BQ的长，从而可得△PBQ的周长．‎ ‎【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入 得c=﹣，‎ ‎∴抛物线解析式为 ‎（2）如图1，过点C作CH⊥EF于点H，‎ ‎∵∠CEF=∠CFG，FG⊥y轴于点G ‎∴△EHC∽△FGC ‎∵E（m，n）‎ ‎∴F（m，）‎ 又∵C（0，﹣）‎ ‎∴EH=n+，CH=﹣m，FG=﹣m，CG=m2‎ 又∵，‎ 则 ‎∴n+=2‎ ‎∴n=‎ 当F点位于E点上方时，则∠CEF＞90°；又∠CFG肯定为锐角，故这种情形不符合题意．‎ 由此当n=时，代入抛物线解析式，求得m=±2，‎ 又E点位于第二象限，所以﹣2＜m＜0．‎ ‎（3）由题意可知P（t，0），M（t，）‎ ‎∵PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ=∠OMP，‎ ‎∴△OPM∽△QPB．‎ ‎∴．‎ 其中OP=t，PM=，PB=1﹣t，‎ ‎∴PQ=．‎ BQ=‎ ‎∴PQ+BQ+PB=．‎ ‎∴△PBQ的周长为2．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的综合应用，同时涉及了相似三角形的判定与性质，具有一定的综合性与难度，解题时要注意数形结合思想与方程思想的运用．‎ ‎　‎ ‎10．（2015•河南）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD、PE、DE．‎ ‎（1）请直接写出抛物线的解析式；‎ ‎（2）小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；‎ ‎（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．‎ ‎【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；‎ ‎（2）首先表示出P，F点坐标，再利用两点之间距离公式得出PD，PF的长，进而求出即可；‎ ‎（3）根据题意当P、E、F三点共线时，PE+PF最小，进而得出P点坐标以及利用△PDE的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，‎ ‎∴C（0，8），A（﹣8，0），‎ 设抛物线解析式为：y=ax2+c，‎ 则，‎ 解得：‎ 故抛物线的解析式为：y=﹣x2+8；‎ ‎（2）正确，‎ 理由：设P（a，﹣a2+8），则F（a，8），‎ ‎∵D（0，6），‎ ‎∴PD===a2+2，‎ PF=8﹣（﹣a2+8）=a2，‎ ‎∴PD﹣PF=2；‎ ‎（3）在点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，‎ ‎∵PD﹣PF=2，∴PD=PF+2，‎ ‎∴PE+PD=PE+PF+2，‎ ‎∴当P、E、F三点共线时，PE+PF最小，‎ 此时点P，E的横坐标都为﹣4，‎ 将x=﹣4代入y=﹣x2+8，得y=6，‎ ‎∴P（﹣4，6），此时△PDE的周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为“好点，‎ ‎∴△PDE的周长最小时”好点“的坐标为：（﹣4，6），‎ 由（2）得：P（a，﹣a2+8），‎ ‎∵点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），‎ ‎①当﹣4≤a＜0时，S△PDE=（﹣a+4）（﹣a2+8）﹣[﹣•（﹣a2+8﹣6）=；‎ ‎∴4＜S△PDE≤12，‎ ‎②当a=0时，S△PDE=4，‎ ‎③﹣8＜a＜﹣4时，S△PDE=（﹣a2+8+6）×（﹣a）×﹣×4×6﹣（﹣a﹣4）×（﹣a2+8）×‎ ‎=﹣a2﹣3a+4，‎ ‎∴4≤S△PDE≤13，‎ ‎④当a=﹣8时，S△PDE=12，‎ ‎∴△PDE的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个，‎ 所以面积为整数时好点有11个，经过验证周长最小的好点包含这11个之内，所以好点共11个，‎ 综上所述：11个好点，P（﹣4，6）．‎ ‎【点评】此题主要考查了二次函数综合以及两点距离公式以及配方法求二次函数最值等知识，利用数形结合得出符合题意的答案是解题关键．‎ ‎　‎ ‎11．（2015•苏州）如图，已知二次函数y=x2+（1﹣m）x﹣m（其中0＜m＜1）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC ‎（1）∠ABC的度数为　45°　；‎ ‎（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；‎ ‎（3）在坐标轴上是否存在着点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）首先求出B点坐标，进而得出OB=OC=m，再利用等腰直角三角形的性质求出即可；‎ ‎（2）作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，利用勾股定理AE2+PE2=CD2+PD2，得出P点坐标即可；‎ ‎（3）根据题意得出△QBC是等腰直角三角形，可得满足条件的点Q的坐标为：（﹣m，0）或（0，m），进而分别分析求出符合题意的答案．‎ ‎【解答】解：（1）令x=0，则y=﹣m，C点坐标为：（0，﹣m），‎ 令y=0，则x2+（1﹣m）x﹣m=0，‎ 解得：x1=﹣1，x2=m，‎ ‎∵0＜m＜1，点A在点B的左侧，‎ ‎∴B点坐标为：（m，0），‎ ‎∴OB=OC=m，‎ ‎∵∠BOC=90°，‎ ‎∴△BOC是等腰直角三角形，∠ABC=45°；‎ 故答案为：45°；‎ ‎（2）如图1，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，‎ 由题意得，抛物线的对称轴为：x=，‎ 设点P坐标为：（，n），‎ ‎∵PA=PC，‎ ‎∴PA2=PC2，‎ 即AE2+PE2=CD2+PD2，‎ ‎∴（+1）2+n2=（n+m）2+（）2，‎ 解得：n=，‎ ‎∴P点的坐标为：（，）；‎ ‎（3）存在点Q满足题意，‎ ‎∵P点的坐标为：（，），‎ ‎∴PA2+PC2=AE2+PE2+CD2+PD2，‎ ‎=（+1）2+（）2+（+m）2+（）2‎ ‎=1+m2，‎ ‎∵AC2=1+m2，‎ ‎∴PA2+PC2=AC2，‎ ‎∴∠APC=90°，‎ ‎∴△PAC是等腰直角三角形，‎ ‎∵以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，‎ ‎∴△QBC是等腰直角三角形，‎ ‎∴由题意可得满足条件的点Q的坐标为：（﹣m，0）或（0，m），‎ ‎①如图1，当Q点坐标为：（﹣m，0）时，‎ 若PQ与x轴垂直，则=﹣m，‎ 解得：m=，PQ=，‎ 若PQ与x轴不垂直，‎ 则PQ2=PE2+EQ2‎ ‎=（）2+（+m）2‎ ‎=m2﹣2m+‎ ‎=（m﹣）2+‎ ‎∵0＜m＜1，‎ ‎∴当m=时，PQ2取得最小值，PQ取得最小值，‎ ‎∵＜，‎ ‎∴当m=，即Q点的坐标为：（﹣，0）时，PQ的长度最小，‎ ‎②如图2，当Q点的坐标为：（0，m）时，‎ 若PQ与y轴垂直，则=m，‎ 解得：m=，PQ=，‎ 若PQ与y轴不垂直，‎ 则PQ2=PD2+DQ2=（）2+（m﹣）2‎ ‎=m2﹣2m+‎ ‎=（m﹣）2+，‎ ‎∵0＜m＜1，‎ ‎∴当m=时，PQ2取得最小值，PQ取得最小值，‎ ‎∵＜，‎ ‎∴当m=，即Q点的坐标为：（0，）时，PQ的长度最小，‎ 综上所述：当Q点坐标为：（﹣，0）或（0，）时，PQ的长度最小．‎ ‎【点评】此题主要考查了二次函数综合以及勾股定理和二次函数最值求法等知识，利用分类讨论得出Q点坐标是解题关键．‎ ‎　‎ ‎12．（2015•重庆）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．‎ ‎（1）求直线AD的解析式；‎ ‎（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；‎ ‎（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．‎ ‎【分析】（1）先求出C（0，3），A（﹣1，0），B（3，0），再利用配方法得y=﹣（x﹣1）2+4，则抛物线对称轴为直线x=1，于是可确定D（2，3），则可利用待定系数法求直线AD的解析式；‎ ‎（2）由E（0，1）可判断△OAE为等腰直角三角形，则∠EAO=45°，由于FH∥OA，则可得到△FGH为等腰直角三角形，过点F作FN⊥x轴交AD于N，如图，则△FNH为等腰直角三角形，所以GH=NG，于是得到△FGH周长等于△FGN的周长，由于FG=GN=FN，则△FGN周长=（1+）FN，所以当FN最大时，△FGN周长的最大，设F（x，﹣x2+2x+3），则N（x，x+1），则FN=﹣x2+2x+3﹣x﹣1，利用二次函数的最值问题可得当x=时，FH有最大值，于是△FGN周长的最大值为；‎ ‎（3）直线AM交y轴于R，M（1，4），利用待定系数法求出直线AM的解析式为y=2x+2，则R（0，2），然后分类讨论：当AQ为矩形AMPQ的对角线，如图1，利用Rt△AOR∽Rt△POA，可计算出OP=，则P点坐标为（0，﹣），接着利用平移可得到Q（2，），于是由点T和点Q关于AM所在直线对称，根据线段中点坐标公式易得T点坐标为（0，）；当AP为矩形APQM的对角线，反向延长QA交y轴于S，如图2，同理可得S点坐标为（0，﹣），易得R点为AM的中点，则R点为PS的中点，所以PM=SA，P（0，），加上PM=AQ，则AQ=AS，于是可判断点Q关于AM的对称点为S，即T点坐标为（0，﹣）．‎ ‎【解答】解：（1）当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），‎ 当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），‎ ‎∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，‎ ‎∴抛物线对称轴为直线x=1，‎ 而点D和点C关于直线x=1对称，‎ ‎∴D（2，3），‎ 设直线AD的解析式为y=kx+b，‎ 把A（﹣1，0），D（2，3）分别代入得，解得，‎ ‎∴直线AD的解析式为y=x+1；‎ ‎（2）当x=0时，y=x+1=1，则E（0，1），‎ ‎∵OA=OE，‎ ‎∴△OAE为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠EAO=45°，‎ ‎∵FH∥OA，‎ ‎∴△FGH为等腰直角三角形，‎ 过点F作FN⊥x轴交AD于N，如图，‎ ‎∴FN⊥FH，‎ ‎∴△FNH为等腰直角三角形，‎ 而FG⊥HN，‎ ‎∴GH=NG，‎ ‎∴△FGH周长等于△FGN的周长，‎ ‎∵FG=GN=FN，‎ ‎∴△FGN周长=（1+）FN，‎ ‎∴当FN最大时，△FGN周长的最大，‎ 设F（x，﹣x2+2x+3），则N（x，x+1），‎ ‎∴FN=﹣x2+2x+3﹣x﹣1=﹣（x﹣）2+，‎ 当x=时，FH有最大值，‎ ‎∴△FGN周长的最大值为（1+）×=，‎ 即△FGH周长的最大值为；‎ ‎（3）直线AM交y轴于R，y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，则M（1，4）‎ 设直线AM的解析式为y=mx+n，‎ 把A（﹣1，0）、M（1，4）分别代入得，解得，‎ ‎∴直线AM的解析式为y=2x+2，‎ 当x=0时，y=2x+2=2，则R（0，2），‎ 当AQ为矩形APQM的对角线，如图1，‎ ‎∵∠RAP=90°，‎ 而AO⊥PR，‎ ‎∴Rt△AOR∽Rt△POA，‎ ‎∴AO：OP=OR：OA，即1：OP=2：1，解得OP=，‎ ‎∴P点坐标为（0，﹣），‎ ‎∵点A（﹣1，0）向上平移4个单位，向右平移2个单位得到M（1，4），‎ ‎∴点P（0，﹣）向上平移4个单位，向右平移2个单位得到Q（2，），‎ ‎∵点T和点Q关于AM所在直线对称，‎ ‎∴T点坐标为（0，）；‎ 当AP为矩形AMPQ的对角线，反向延长QA交y轴于S，如图2，‎ 同理可得S点坐标为（0，﹣），‎ ‎∵R点为AM的中点，‎ ‎∴R点为PS的中点，‎ ‎∴PM=SA，P（0，），‎ ‎∵PM=AQ，‎ ‎∴AQ=AS，‎ ‎∴点Q关于AM的对称点为S，‎ 即T点坐标为（0，﹣）．‎ 综上所述，点T的坐标为（0，）或（0，﹣）．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质、二次函数与x轴的交点问题和矩形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；灵活运用相似三角形的性质计算线段的长；记住坐标系中点平移的规律．‎ ‎　‎ ‎13．（2015•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D．‎ ‎（1）填空：点A的坐标为（　0　，　2　），点B的坐标为（　﹣3　，　0　），点C的坐标为（　1　，　0　），点D的坐标为（　﹣1　，　　）；‎ ‎（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）‎ ‎①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标；‎ ‎②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；‎ ‎③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动点（点R不与点A、C重合），请直接写出△PQR周长的最小值．‎ ‎【分析】（1）令x=0，求得A（0，2），令y=0，求得B（﹣3，0），C（1，0），由y=﹣x2﹣x+2转化成顶点式可知D（﹣1，）；‎ ‎（2）①设P（n，0），则E（n，﹣n2﹣n+2），根据已知条件得出﹣n2﹣n+2=1﹣n，解方程即可求得E的坐标；‎ ‎②根据直线ED和EA的斜率可知直线与坐标轴的交角相等，从而求得与坐标轴构成的三角形是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可求得EF的长；‎ ‎③根据题意得：当△PQR为△ABC垂足三角形时，周长最小，所以P与O重合时，周长最小，作O关于AB的对称点E，作O关于AC的对称点F，连接EF交AB于Q，交AC于R，此时△PQR的周长PQ+QR+PR=EF，然后求得E、F的坐标，根据勾股定理即可求得．‎ ‎【解答】解：（1）令x=0，则y=2，‎ ‎∴A（0，2），‎ 令y=0，则﹣x2﹣x+2=0，解得x1=﹣3，x2=1（舍去），‎ ‎∴B（﹣3，0），C（1，0），‎ 由y=﹣x2﹣x+2=﹣（x+1）2+可知D（﹣1，），‎ 故答案为：0、2，﹣3、0，1、0，﹣1、；‎ ‎（2）①设P（n，0），则E（n，﹣n2﹣n+2），‎ ‎∵PE=PC，‎ ‎∴﹣n2﹣n+2=1﹣n，解得n1=﹣，n2=1（舍去），‎ ‎∴当n=﹣时，1﹣n=，‎ ‎∴E（﹣，），‎ ‎②如图1，设直线DE与x轴交于M，与y轴交于N，直线EA与x轴交于K，‎ 根据E、D的坐标求得直线ED的斜率为，根据E、A的坐标求得直线EA的斜率为﹣，‎ ‎∴△MEK是以MK为底边的等腰三角形，△AEN是以AN为底边的等腰三角形，‎ ‎∵到EA和ED的距离相等的点F在顶角的平分线上，‎ 根据等腰三角形的性质可知，EF是E点到坐标轴的距离，‎ ‎∴EF=或；‎ ‎（3）根据题意得：当△PQR为△ABC垂足三角形时，周长最小，所以P与O重合时，周长最小，‎ 如图2，作O关于AB的对称点E，作O关于AC的对称点F，连接EF交AB于Q，交AC于R，‎ 此时△PQR的周长PQ+QR+PR=EF，‎ ‎∵A（0，2），B（﹣3，0），C（1，0），‎ ‎∴AB==，AC==，‎ ‎∵S△AOB=×OE×AB=OA•OB，‎ ‎∴OE=，‎ ‎∵△OEM∽△ABO，‎ ‎∴==，即==，‎ ‎∴OM=，EM=‎ ‎∴E（﹣，），‎ 同理求得F（，），‎ 即△PQR周长的最小值为EF==．‎ ‎【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称﹣最短路线问题，（3）根据对称的性质确定出三角形周长最小时满足的图形，找出点P关于直线AB的对称点E，关于AC的对称点F，再根据两点之间线段最短得到BEF即为PQ+QR+PR的最小值是解题的关键．‎ ‎　‎