梯形中考数学复习专题

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梯形中考数学复习专题

‎ 南京中考数学复习第十四讲梯形 2014年___月____日 ‎【基础知识回顾】‎ 一、 梯形的定义、分类和面积:‎ ‎ 1、定义:一组对边平行,而另一组对边 的四边形,叫做梯形。其中,平行的两边叫做 ,不平行的两边叫做 ,两底间的距离叫做梯形的 。‎ 等腰梯形:两腰 的梯形叫做等腰梯形 一般梯形 特殊梯形 ‎2、分类:梯形 直角梯形:一腰与底 的梯形叫做直角梯形 ‎3、梯形的面积:S梯形= (上底+下底)×高 ‎ ‎【名师提醒:要判定一个四边形是梯形,除了要证明它有一组对边 外,还需注明另一组对边不平行或平行的这组对边不相等】‎ 二、等腰梯形的性质和判定:‎ ‎ 1、性质:⑴等腰梯形的两腰相等, 相等 ‎⑵等腰梯形的对角线 ‎ ‎⑶等腰梯形是 对称图形 ‎ 2、判定: ⑴用定义:先证明四边形是梯形,再证明其两腰相等 ‎ ⑵同一底上两个角 的梯形是等腰梯形 ‎ ⑶对角线 的梯形是等腰梯形 ‎【名师提醒:1、梯形的性质和判定中“同一底上的两个角相等”不能说成“两底角相等” 2、等腰梯形所有的判定方法都必须先证它是梯形 3、解决梯 形 问 题 的 基 本思 路 是 通过做辅助线将梯形转化为 形或 形常见的辅助线作法有 要注意根据题目的特点灵活选用辅助线】‎ ‎【重点考点例析】‎ ‎ 考点一:梯形的基本概念和性质 例1 (2013•广州)如图所示,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,CA是∠BCD的平分线,且AB⊥AC,AB=4,AD=6,则tanB=(  )‎ A.2 B.2 C. D.‎ 思路分析:先判断DA=DC,过点D作DE∥AB,交AC于点F,交BC于点E,由等腰三角形的性质,可得点F是AC中点,继而可得EF是△CAB的中位线,继而得出EF、DF的长度,在Rt△ADF中求出AF,然后得出AC,tanB的值即可计算.‎ 解:∵CA是∠BCD的平分线, ∴∠DCA=∠ACB, 又∵AD∥BC, ∴∠ACB=∠CAD, ∴∠DAC=∠DCA, ∴DA=DC, 如图,过点D作DE∥AB,交AC于点F,交BC于点E,‎ ‎ ∵AB⊥AC, ∴DE⊥AC(等腰三角形三线合一的性质), ∴点F是AC中点, ∴AF=CF, ∴EF是△CAB的中位线, ∴EF=AB=2, ∵=1, ∴EF=DF=2, 在Rt△ADF中,AF=, 则AC=2AF=8, tanB=. 故选B.‎ 点评:本题考查了梯形的知识、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理,解答本题的关键是作出辅助线,判断点F是AC中点,难度较大.‎ 对应训练 ‎1.(2013•宁波)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=,BC=4,连结BD,∠BAD的平分线交BD于点E,且AE∥CD,则AD的长为(  )‎ A. B. C. D.2‎ ‎1.B 考点二:等腰梯形的性质 例2 (2013•柳州)如图,四边形ABCD为等腰梯形,AD∥BC,连结AC、BD.在平面内将△DBC沿BC翻折得到△EBC. (1)四边形ABEC一定是什么四边形? (2)证明你在(1)中所得出的结论.‎ 思路分析:(1)首先观察图形,然后由题意可得四边形ABEC一定是平行四边形; (2)由四边形ABCD为等腰梯形,AD∥BC,可得AB=DC,AC=BD,又由在平面内将△DBC沿BC翻折得到△EBC,可得EC=DC,DB=BE,继而可得:EC=AB,BE=AC,则可证得四边形ABEC是平行四边形.‎ 解答:(1)解:四边形ABEC一定是平行四边形; (2)证明:∵四边形ABCD为等腰梯形,AD∥BC, ∴AB=DC,AC=BD, 由折叠的性质可得:EC=DC,DB=BE, ∴EC=AB,BE=AC, ∴四边形ABEC是平行四边形.‎ 点评:此题考查了等腰梯形的性质、折叠的性质以及平行四边形的性质.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.‎ 对应训练 ‎2.(2013•杭州)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,线段AG,BG分别交CD于点E,F,DE=CF. 求证:△GAB是等腰三角形.‎ ‎2.证明:∵在等腰梯形中ABCD中,AD=BC, ∴∠D=∠C,∠DAB=∠CBA, 在△ADE和△BCF中, , ∴△ADE≌△BCF(SAS), ∴∠DAE=∠CBF, ‎ ‎∴∠GAB=∠GBA, ∴GA=GB, 即△GAB为等腰三角形.‎ 考点三:等腰梯形的判定 例3 (2013•钦州)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB∥DE,∠DEC=∠C,求证:梯形ABCD是等腰梯形.‎ 思路分析:由AB∥DE,∠DEC=∠C,易证得∠B=∠C,又由同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形,即可证得结论.‎ 证明:∵AB∥DE, ∴∠DEC=∠B, ∵∠DEC=∠C, ∴∠B=∠C, ∴梯形ABCD是等腰梯形.‎ 点评:此题考查了等腰梯形的判定.此题比较简单,注意掌握同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形定理的应用,注意数形结合思想的应用.‎ 对应训练 ‎3.(2013•上海)在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC和BD交于点O,下列条件中,能判断梯形ABCD是等腰梯形的是(  )‎ A.∠BDC=∠BCD B.∠ABC=∠DAB C.∠ADB=∠DAC D.∠AOB=∠BOC ‎3.C 考点四:梯形的综合应用 例4 34.(2013•扬州)如图1,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=2,CD=1,BC=m,P为线段BC上的一动点,且和B、C不重合,连接PA,过P作PE⊥PA交CD所在直线于E.设BP=x,CE=y. (1)求y与x的函数关系式; (2)若点P在线段BC上运动时,点E总在线段CD上,求m的取值范围; (3)如图2,若m=4,将△PEC沿PE翻折至△PEG位置,∠BAG=90°,求BP长. ‎ 思路分析:(1)证明△ABP∽△PCE,利用比例线段关系求出y与x的函数关系式; (2)根据(1)中求出的y与x的关系式,利用二次函数性质,求出其最大值,列不等式确定m的取值范围; (3)根据翻折的性质及已知条件,构造直角三角形,利用勾股定理求出BP 的长度.解答中提供了三种解法,可认真体会.‎ 解:(1)∵∠APB+∠CPE=90°,∠CEP+∠CPE=90°, ∴∠APB=∠CEP,又∵∠B=∠C=90°, ∴△ABP∽△PCE, ∴,即, ∴y=-x2+x. (2)∵y=-x2+x=-(x-)2+, ∴当x=时,y取得最大值,最大值为. ∵点P在线段BC上运动时,点E总在线段CD上, ∴≤1,解得m≤2. ∴m的取值范围为:0<m≤2. (3)由折叠可知,PG=PC,EG=EC,∠GPE=∠CPE, 又∵∠GPE+∠APG=90°,∠CPE+∠APB=90°, ∴∠APG=∠APB. ∵∠BAG=90°,∴AG∥BC, ∴∠GAP=∠APB, ∴∠GAP=∠APG, ∴AG=PG=PC. 解法一:如解答图所示,分别延长CE、AG,交于点H, 则易知ABCH为矩形,HE=CH-CE=2-y,GH=AH-AG=4-(4-x)=x, 在Rt△GHE中,由勾股定理得:GH2+HE2=GH2, 即:x2+(2-y)2=y2,化简得:x2-4y+4=0  ① 由(1)可知,y=-x2+x,这里m=4,∴y=-x2+2x, ‎ 代入①式整理得:x2-8x+4=0,解得:x=或x=2, ∴BP的长为或2. 解法二:如解答图所示,连接GC. ∵AG∥PC,AG=PC, ∴四边形APCG为平行四边形,∴AP=CG. 易证△ABP≌GNC,∴CN=BP=x. 过点G作GN⊥PC于点N,则GH=2,PN=PC-CN=4-2x. 在Rt△GPN中,由勾股定理得:PN2+GN2=PG2, 即:(4-2x)2+22=(4-x)2, 整理得:x2-8x+4=0,解得:x=或x=2, ∴BP的长为或2. 解法三:过点A作AK⊥PG于点K, ∵∠APB=∠APG, ∴AK=AB. 易证△APB≌△APK, ∴PK=BP=x, ∴GK=PG-PK=4-2x. 在Rt△AGK中,由勾股定理得:GK2+AK2=AG2, 即:(4-2x)2+22=(4-x)2, 整理得:x2-8x+4=0, 解得:x=或x=2, ∴BP的长为或2.‎ 点评:本题是代数几何综合题,考查了全等三角形、相似三角形、勾股定理、梯形、矩形、折叠、函数关系式、二次函数最值等知识点,所涉及考点众多,有一定的难度.注意第(2)问中求m取值范围时二次函数性质的应用,以及第(3)问中构造直角三角形的方法.‎ 对应训练 ‎4.(2013•青岛模拟)如图,在等腰梯形ABCD中,AB=DC=5cm,AD=4cm,BC=10cm,点E从点C出发,以1cm/s的速度沿CB向点B移动,点F从点B出发以2cm/s的速度沿BA方向向点A移动,当点F到达点A时,点E停止运动;设运动的时间为t(s) (0<t<2.5).问: (1)当t为何值时,EF平分等腰梯形ABCD的周长? (2)若△BFE的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式; (3)是否存在某一时刻t,使五边形AFECD的面积与△BFE的面积之比是3:2?若存在求出t的值;若不存在,说明理由. (4)在点E、F运动的过程中,若线段EF=cm,此时EF能否垂直平分AB?‎ ‎4.解:(1)∵EF平分等腰梯形ABCD的周长, ∴BE+BF=(AD+BC+CD+AB)=12, ∴10-t+2t=12, t=2; 答:当t为2s时,EF平分等腰梯形ABCD的周长; (2)如图,过A作AN⊥BC于N,过F作FG⊥BC于G,‎ ‎ 则BN=(BC-AD)=×(10-4)=3(cm), ∵AN⊥BC,FG⊥BC, ∴FG∥AN, △ABN∽△FGB, ∴, ∴, FG=t, ∴S△BEF=×BE×FG=(10-t)•t, S=-t2+8t; (3)假设存在某一时刻t,使五边形AFECD的面积与△BFE的面积之比是3:2, S五边形AFECD=S梯形ABCD-S△BFE=×(4+10)×4-(-t2+8t)=28+t2-8t, 即2(28+t2-8t)=3(-t2+8t), 解得:t=5+(大于2.5,舍去),t=5-; 即存在某一时刻t,使五边形AFECD的面积与△BFE的面积之比是3:2,t的值是(5-)s; (4)假设存在EF垂直平分AB,‎ ‎ 则△ABN∽△BEF, ‎ ‎, , EF=≠, 即线段EF=cm,此时EF不能垂直平分AB.‎ ‎【聚焦山东中考】‎ ‎1.(2013•烟台)如图,四边形ABCD是等腰梯形,∠ABC=60°,若其四边满足长度的众数为5,平均数为,上、下底之比为1:2,则BD= .‎ ‎1.‎ ‎2.(2013•临沂)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,DE⊥BC,BD⊥DC,垂足分别为E,D,DE=3,BD=5,则腰长AB= .‎ ‎2.‎ ‎3.(2013•滨州模拟)我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”,“三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半”.类似的,我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E,F分别是AB,CD的中点,那么EF就是梯形ABCD的中位线.通过观察、测量,猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系?并证明你的结论.‎ ‎3.解:结论为:EF∥AD∥BC,EF=(AD+BC).理由如下: 连接AF并延长交BC于点G.‎ ‎ ∵AD∥BC, ∴∠DAF=∠G, 在△ADF和△GCF中, , ∴△ADF≌△GCF(AAS), ∴AF=FG,AD=CG. 又∵AE=EB, ∴EF∥BG,EF=BG, 即EF∥AD∥BC,EF=(AD+BC).‎ ‎【备考真题过关】‎ 一、选择题 ‎1.(2013•绵阳)下列说法正确的是(  )‎ A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B.对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形 ‎1.D ‎2.(2013•十堰)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=3,AD=5,∠C=60°,则下底BC的长为(  )‎ A.8 B.9 C.10 D.11‎ ‎2.A 二、填空题 ‎3.(2013•扬州)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=CD,BC=12,∠ABC=60°,则梯形ABCD的周长为 30‎ ‎.‎ ‎3.30‎ ‎4.(2013•盘锦)如图,等腰梯形ABCD,AD∥BC,BD平分∠ABC,∠A=120°.若梯形的周长为10,则AD的长为 2‎ ‎.‎ ‎4.2‎ ‎5.(2013•六盘水)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=4,AB=5,BC=10,CD的垂直平分线交BC于E,连接DE,则四边形ABED的周长等于 19‎ ‎.‎ ‎5.19‎ ‎6.(2013•长沙)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=50°,∠C=80°,AE∥CD交BC于点E,若AD=2,BC=5,则边CD的长是 3‎ ‎.‎ ‎6.3‎ ‎7.(2013•曲靖)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠C=45°,AD=1,BC=4,则CD= .‎ ‎7.‎ ‎8.(2013•南京)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,AC与BD相交于P.已知A(2,3),B(1,1),D(4,3),则点P的坐标为 .‎ ‎8.( 33‎ ‎, )‎ 三、解答题 ‎9.(2013•玉林)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,点A关于对角线BD的对称点F刚好落在腰DC上,连接AF交BD于点E,AF的延长线与BC的延长线交于点G,M,N分别是BG,DF的中点. (1)求证:四边形EMCN是矩形; (2)若AD=2,S梯形ABCD= ,求矩形EMCN的长和宽.‎ ‎9.(1)证明:∵点A、F关于BD对称, ∴AD=DF,DE⊥AF, 又∵AD⊥DC, ∴△ADF、△DEF是等腰直角三角形, ∴∠DAF=∠EDF=45°, ∵AD∥BC, ∴∠G=∠GAD=45°, ∴△BGE是等腰直角三角形, ∵M,N分别是BG,DF的中点, ∴EM⊥BC,EN⊥CD, 又∵AD∥BC,AD⊥DC, ∴BC⊥CD, ∴四边形EMCN是矩形; (2)解:由(1)可知,∠EDF=45°,BC⊥CD, ∴△BCD是等腰直角三角形, ∴BC=CD, ∴S梯形ABCD=(AD+BC)•CD=(2+CD)•CD=, 即CD2+2CD-15=0, 解得CD=3,CD=-5(舍去), ∵△ADF、△DEF是等腰直角三角形, ∴DF=AD=2, ∵N是DF的中点, ∴EN=DN=DF=×2=1, ∴CN=CD-DN=3-1=2, ∴矩形EMCN的长和宽分别为2,1.‎ ‎10.(2013•深圳)如图,在等腰梯形ABCD中,已知AD∥BC,AB=DC,AC与BD交于点O,廷长BC到E,使得CE=AD,连接DE. (1)求证:BD=DE. (2)若AC⊥BD,AD=3,SABCD=16,求AB的长.‎ ‎10.(1)证明:∵AD∥BC,CE=AD, ∴四边形ACED是平行四边形, ∴AC=DE, ∵四边形ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AB=DC, ∴AC=BD, ∴BD=DE. (2)解:过点D作DF⊥BC于点F, ∵四边形ACED是平行四边形, ∴CE=AD=3,AC∥DE, ∵AC⊥BD, ∴BD⊥DE, ∵BD=DE, ∴S△BDE=BD•DE=BD2=BE•DF=(BC+CE)•DF=(BC+AD)•DF=S梯形ABCD=16, ∴BD=4, ∴BE=BD=8, ∴DF=BF=EF=BE=4, ∴CF=EF-CE=1, ∴AB=CD=.‎ ‎11.(2013•安溪县质检)已知等腰梯形中,AB=DC=2,AD∥BC,AD=3,腰与底相交所成的锐角为60°,动点P在线段BC上运动( 点P不与B、C点重合),并且∠APQ=60°,PQ交射线CD于点Q,若CQ=y,BP=x, (1)求下底BC的长. (2)求y与x的函数解析式,并指出当点P运动到何位置时,线段CQ最长,最大值为多少? (3)在(2)的条件下,当CQ最长时,PQ与AD交于点E,求QE的长.‎ ‎11.解:(1)如图1,过点D作DE∥AB,交BC于E,‎ ‎ ∵AD∥BC, ∴四边形ABED是平行四边形, ∴BE=AD=3,DE=AB=DC=2, ∵DE∥AB, ∴∠DEC=∠B=60°, ∴△DEC为等边三角形, ∴EC=DC=2, ∴BC=BE+EC=3+2=5; (2)如图2,在△CPQ与△BAP中,‎ ‎ ∵, ∴△CPQ∽△BAP, ∴CQ:BP=CP:BA,即y:x=(5-x):2, ∴y=-x2+x, 当x=,即当点P运动到BC中点时,线段CQ最长, 此时最大值为; (3)如图3,‎ 在(2)的条件下,当CQ最长时,BP=CP=,CQ=, ‎ ‎∴QD=CQ-CD=-2=. ∵DE∥CP, ∴△QDE∽△QCP, ∴QE:QP=DE:CP=QD:QC, 即QE:QP=DE:=:=9:25, ∴可设QE=9k,QP=25k,且DE=, ∴PE=QP-QE=16k,AE=AD-DE=3-=. 在△DEQ与△PEA中, ∵, ∴△DEQ∽△PEA, ∴DE:PE=EQ:EA, ∴:16k=9k:, 解得k=, ∴QE=9k=.‎
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