中考数学专题复习——存在性问题

中考数学专题复习——存在性问题

‎ 中考数学专题复习——存在性问题 ‎ 一、二次函数中相似三角形的存在性问题 ‎1.如图，把抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线.‎ 所得抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与轴交于点C，顶点为D.‎ ‎（1）写出的值； （2）判断△ACD的形状，并说明理由；‎ ‎（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎2.如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，‎ 求点D的坐标；‎ ‎（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，‎ 使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 二、二次函数中面积的存在性问题 ‎3.如图，抛物线与双曲线相交于点A，B．已知点B的坐标为（－2，－2），‎ 点A在第一象限内，且tan∠AOX＝4．过点A作直线AC∥轴，交抛物线于另一点C．‎ ‎（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC的面积；‎ ‎（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．若存在，写出点D的坐标；‎ 若不存在，说明理由．‎ ‎4.如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，‎ A（－2,0），B（－1, －3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；（3分）‎ ‎（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（2分）‎ ‎（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．（4分）‎ ‎(4)在抛物线的BD段上是否存在点Q使三角形BDQ的面积最大，若有，求出点Q的坐标，若没有，说明理由。‎ ‎ ‎x y C B ‎_‎ D ‎_‎ A O 三、二次函数中直角三角形的存在性问题 ‎5.如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，‎ 抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．‎ ‎（1）求b,c的值；‎ ‎（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，‎ 当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；‎ ‎②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? ‎ 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.‎ 四、二次函数中等腰三角形的存在性问题 ‎6.如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0）. ‎ ‎⑴ 求抛物线的解析式;‎ ‎⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；‎ O C B A 若不存在，请说明理由.‎ 五、二次函数中等腰梯形、直角梯形的存在性问题 ‎ 7．如图，二次函数y= -x2+ax+b的图像与x轴交于A(-，0)、B(2，0)两点，且与y轴交于点C；‎ ‎ (1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC的形状；‎ ‎ (2) 在x轴上方的拋物线上有一点D，且以A、C、D、B四 ‎ 点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；‎ ‎ (3) 在此拋物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点 ‎ 为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。‎ y A B C O x 六、二次函数中菱形的存在性问题 ‎8．如图，抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．‎ 直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．‎ ‎（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；‎ ‎（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；‎ ‎（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．‎ ‎ 七、二次函数中与圆有关存在性问题 9. 已知：抛物线与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0），‎ 它的对称轴交x轴于点N（x3，0），若A，B两点距离不大于6，‎ ‎（1）求m的取值范围；（2）当AB=5时，求抛物线的解析式；‎ ‎（3）试判断，是否存在m的值，使过点A和点N能作圆与y轴切于点（0，1），‎ 或过点B和点N能作圆与y轴切于点（0，1），若存在找出满足条件的m的值，若不存在试说明理由 定值问题：‎ ‎1.如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．‎ ‎（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；‎ ‎（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？‎ 如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．‎ ‎ ‎ ‎1、【答案】解：（1）∵由平移的性质知，的顶点坐标为Ｄ（－１，－４），‎ ‎∴。‎ ‎（2）由（1）得.‎ ‎ 当时，． 解之，得　。‎ ‎∴. ‎ 又当时，，‎ ‎∴C点坐标为（0，－3）。‎ 又抛物线顶点坐标D（－1，－4），‎ 作抛物线的对称轴交轴于点E，DF⊥ 轴于点F。易知 在Rt△AED中，AD2=22+42=20，在Rt△AOC中，AC2=32+32=18， ‎ 在Rt△CFD中，CD2=12+12=2， ∴AC2＋ CD2＝AD2。∴△ACD是直角三角形。‎ ‎（3）存在．作OM∥BC交AC于M，Ｍ点即为所求点。‎ 由（2）知，△AOC为等腰直角三角形，∠BAC＝450，AC。‎ 由△AOM∽ △ABC，得。即。‎ 过M点作MG⊥AB于点G，则AG=MG=，‎ OG=AO－AG=3－。又点M在第三象限，所以M（－，－）。‎ ‎2、【答案】解：（1）设抛物线的解析式为，‎ ‎∵抛物线过A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）可得，解得。‎ ‎∴抛物线的解析式为。‎ ‎（2）①当AE为边时，∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，∴DE=AO=2，‎ 则D在轴下方不可能，∴D在轴上方且DE=2，则D1（1，3），D2（﹣3，3）。‎ ‎②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分。‎ ‎∵点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为﹣1，‎ 由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即C（﹣1，﹣1）。‎ 故符合条件的点D有三个，分别是D1（1，3），D2（﹣3，3），C（﹣1，﹣1）。‎ ‎（3）存在，如图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根据勾股定理得：‎ BO2=18，CO2=2，BC2=20，∴BO2+CO2=BC2．∴△BOC是直角三角形。‎ 假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与△BOC相似，‎ 设P（，），由题意知＞0，＞0，且，‎ ‎①若△AMP∽△BOC，则。‎ 即 +2=3（2+2）得：1=，2=﹣2（舍去）．‎ 当=时，=，即P（，）。‎ ‎②若△PMA∽△BOC，则，。‎ 即：2+2=3（+2）得：1=3，2=﹣2（舍去）‎ 当=3时，=15，即P（3，15）．‎ 故符合条件的点P有两个，分别是P（，）或（3，15）。‎ ‎3、【答案】解：（1）把点B（－2，－2）的坐标代入得，，∴＝4。‎ ‎∴双曲线的解析式为：。‎ 设A点的坐标为（m，n）．∵A点在双曲线上，∴mn＝4。‎ 又∵tan∠AOX＝4，∴＝4，即m＝4n。∴n2＝1，∴n＝±1。‎ ‎∵A点在第一象限，∴n＝1，m＝4。∴A点的坐标为（1，4）。‎ 把A、B点的坐标代入得，，解得，＝1，＝3。‎ ‎∴抛物线的解析式为：。‎ ‎（2）∵AC∥轴，∴点C的纵坐标y＝4，‎ 代入得方程，，解得1＝－4，2＝1（舍去）。‎ ‎∴C点的坐标为（－4，4），且AC＝5。‎ 又∵△ABC的高为6，∴△ABC的面积＝×5×6＝15。‎ ‎（3）存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积。理由如下：‎ 过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D，此时△ABD的面积等于△ABC的面积（同底：AB，等高：CD和AB的距离）。‎ ‎∵直线AB相应的一次函数是：，且CD∥AB，‎ ‎∴可设直线CD解析式为，‎ 把C点的坐标（﹣4，4）代入可得，。‎ ‎∴直线CD相应的一次函数是：。‎ 解方程组，解得，。‎ ∴点D的坐标为（3，18）。‎ ‎4.（1）、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程 ‎∴ 解之得：；故为所求 ‎（2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点 设BD的解析式为，则有，，‎ 故BD的解析式为；令则，故 ‎(3)、如图3，连接AM，BC交y轴于点N，由（2）知，OM=OA=OD=2，‎ 易知BN=MN=1， 易求 图3‎ ‎；设，‎ 依题意有：，即：‎ 解之得：，，故符合条件的P点有三个：‎ ‎5.解答：解：（1）由已知得：A（﹣1，0），B（4，5），‎ ‎∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，5），‎ ‎∴，解得：b=﹣2，c=﹣3；‎ ‎（2）如图：∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），∴直线AB的解析式为：y=x+1，‎ ‎∵二次函数y=x2﹣2x﹣3，∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），‎ ‎∴EF=（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣）2+，‎ ‎∴当t=时，EF的最大值为，∴点E的坐标为（，）；‎ ‎（3）①如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD．‎ 可求出点F的坐标（，），点D的坐标为（1，﹣4）‎ S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF=××（4﹣）+××（﹣1）=；‎ ‎②如图：‎ ⅰ）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3）则有：m2﹣2m﹣2=，‎ 解得：m1=，m2=，∴P1（，），P2（，），‎ ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3）则有：n2﹣2n﹣2=﹣，‎ 解得：n1=，n2=（与点F重合，舍去），∴P3（，），‎ 综上所述：所有点P的坐标：P1（，），P2（，），P3（，）‎ 能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．‎ ‎6.解：（1）∵当=0时，=3 当=0时，=﹣1 ∴（﹣1，0），（0，3）‎ ‎∵（3，0）··························1分 设抛物线的解析式为=a（+1）（﹣3）‎ ‎∴3=a×1×（﹣3） ∴a=﹣1‎ ‎∴此抛物线的解析式为=﹣（ + 1）（﹣3）=- +2+3·····2分 ‎（2）存在 ‎∵抛物线的对称轴为：x==1···············4分 ‎∴如图对称轴与轴的交点即为Q ‎∵=，⊥ ∴=‎ ‎∴（1，0）··························6分 当=时，设的坐标为（1，m）‎ ‎∴2+m=1+（3﹣m）‎ ‎∴m=1‎ ‎∴（1，1）··························8分 当=时，设（1，n） ∴2+n=1+3‎ ‎∵n＞0 ∴n= ‎∴（1，）‎ ‎∴符合条件的点坐标为（1，0），（1，1），（1，）·10分 ‎7、答案：[解] (1) 根据题意，将A(-，0)，B(2，0)代入y= -x2+ax+b中，得，‎ 解这个方程，得a=，b=1，∴该拋物线的解析式为y= -x2+x+1，当 x=0时，y=1，‎ ‎∴点C的坐标为(0，1)。∴在△AOC中，AC===。‎ 在△BOC中，BC===。‎ AB=OA+OB=+2=，∵AC 2+BC 2=+5==AB 2，∴△ABC是直角三角形。‎ ‎ (2) 点D的坐标为(，1)。‎ ‎ (3) 存在。由(1)知，AC^BC。‎ y A B C O x P 若以BC为底边，则BC//AP，如图1所示，可求得直线 BC的解析式为y= -x+1，直线AP可以看作是由直线 BC平移得到的，所以设直线AP的解析式为y= -x+b，‎ 把点A(-，0)代入直线AP的解析式，求得b= -，‎ ‎∴直线AP的解析式为y= -x-。∵点P既在拋物线上，又在直线AP上，‎ y A B C O P x ‎∴点P的纵坐标相等，即-x2+x+1= -x-，解得x1=，‎ x2= -(舍去)。当x=时，y= -，∴点P(，-)。‎ 若以AC为底边，则BP//AC，如图2所示。‎ ‎ 可求得直线AC的解析式为y=2x+1。‎ ‎ 直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，‎ 所以设直线BP的解析式为y=2x+b，把点B(2，0)代 入直线BP的解析式，求得b= -4，‎ ‎∴直线BP的解析式为y=2x-4。‎ ‎∵点P既在拋物线上，又在直线BP上，∴点P的纵坐标相等，‎ 即-x2+x+1=2x-4，解得x1= -，x2=2(舍去)。‎ 当x= -时，y= -9，∴点P的坐标为(-，-9)。‎ ‎ 综上所述，满足题目条件的点P为(，-)或(-，-9)。‎ ‎8．解：（1）∵点B（﹣2，m）在直线y=﹣2x﹣1上∴m=3 即B（﹣2，3）‎ 又∵抛物线经过原点O∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx ‎∵点B（﹣2，3），A（4，0）在抛物线上 ‎∴，解得：．∴设抛物线的解析式为．‎ ‎（2）∵P（x，y）是抛物线上的一点，∴，‎ 若S△ADP=S△ADC，‎ ‎∵， ，‎ 又∵点C是直线y=﹣2x﹣1与y轴交点，‎ ‎∴C（0，1），∴OC=1，‎ ‎∴，即或，‎ 解得：．‎ ‎∴点P的坐标为 ．‎ ‎（3）结论：存在．‎ ‎∵抛物线的解析式为，∴顶点E（2，﹣1），对称轴为x=2；‎ 点F是直线y=﹣2x﹣1与对称轴x=2的交点，∴F（2，﹣5），DF=5．‎ 又∵A（4，0），∴AE=．‎ 如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：‎ ‎①菱形AEM1Q1．‎ ‎∵此时DM1=AE=，∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=4﹣，∴t1=4﹣；‎ ‎②菱形AEOM2．‎ ‎∵此时DM2=DE=1，∴M2F=DF+DM2=6，∴t2=6；‎ ‎③菱形AEM3Q3．‎ ‎∵此时EM3=AE=，∴DM3=EM3﹣DE=﹣1，‎ ‎∴M3F=DM3+DF=（﹣1）+5=4+，∴t3=4+；‎ ‎④菱形AM4EQ4．‎ 此时AE为菱形的对角线，‎ 设对角线AE与M4Q4交于点H，则AE⊥M4Q4，‎ ‎∵易知△AED∽△M4EH， ‎ ‎∴，即，得M4E=，‎ ‎∴DM4=M4E﹣DE=﹣1=， ‎ ‎∴M4F=DM4+DF=+5=，∴t4=．‎ 综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；‎ 时间t的值为：t1=4﹣，t2=6，t3=4+，t4=．‎ ‎9. 解：（1）令y=0，则 ∵‎ ‎ ∴ ∴ ∴‎ ‎ 由AB≤6，且，得： ∴‎ ‎ （2）当AB=5时， ∴抛物线的解析式为：‎ ‎ （3）N（x3，0）是抛物线与x轴的交点∴ ①若N在x轴的正半轴上，‎ ‎ 则 由切割线定理： ∴‎ ‎ ②若N在x轴的负半轴上，‎ ‎ 则 由切割线定理： ∴‎ ‎ ∴∵∴ ∴∴m的值为1或。‎ 定值问题 ‎1.【答案】解：（1）证明：如图，连接AC ‎∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，‎ ‎∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，‎ ‎∴∠BAE=∠FAC。‎ ‎∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°。‎ ‎∴△ABC和△ACD为等边三角形。‎ ‎∴∠ACF=60°，AC=AB。∴∠ABE=∠AFC。‎ ‎∴在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC，‎ ‎∴△ABE≌△ACF（ASA）。∴BE=CF。‎ ‎（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化。理由如下：‎ 由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF。‎ ‎∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值。‎ 作AH⊥BC于H点，则BH=2，‎ ‎。‎ 由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．‎ 故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，‎