武汉市中考数学试题及答案解析版

武汉市中考数学试题及答案解析版

‎2013年湖北省武汉市中招考试数学试卷 第I卷（选择题 共30分）‎ 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）‎ ‎1．下列各数中，最大的是（ ）‎ A．－3 B．‎0 C．1 D．2‎ 答案：D 解析：0大于负数，正数大于0，也大于负数，所以，2最大，选D.‎ ‎2．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）‎ A．<1 B．≥‎1 C．≤－1 D．<－1‎ 答案：B 解析：由二次根式的意义，知：x－1≥0，所以x≥1.‎ ‎3．不等式组的解集是（ ）‎ A．－2≤≤1 B．－2<<‎1 C．≤－1 D．≥2‎ 答案：A 解析：解（1）得：x≥-2,解（2）得x≤1，所以，－2≤≤1‎ ‎4．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件是必然事件的是（ ）‎ A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球． ‎ B．摸出的三个球中至少有一个球是白球． ‎ C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球． ‎ D．摸出的三个球中至少有两个球是白球．‎ 答案：A 解析：因为白球只有2个，所以，摸出三个球中，黑球至少有一个，选A.‎ ‎5．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）‎ A．－2 B．－‎3 C．2 D．3‎ 答案：B 解析：由韦达定理，知：＝－3.‎ ‎6．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的 度数是（ ）‎ A．18° B．24° C．30° D．36°‎ 答案：A 解析：因为AB＝AC，所以，∠C＝∠ABC＝（180°－36°）＝72°，‎ 又BD为高，所以，∠DBC＝90°72°＝18°‎ ‎7．如图，是由4个相同小正方体组合而成的几何体，‎ 它的左视图是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案：C 解析：由箭头所示方向看过去，能看到下面三个小正方形，上面一个小正方形，所以选C.‎ ‎8．两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，……，那么六条直线最多有（ ）‎ A．21个交点 B．18个交点 C．15个交点 D．10个交点 答案：C 解析：两条直线的最多交点数为：×1×2＝1，‎ 三条直线的最多交点数为：×2×3＝3，‎ 四条直线的最多交点数为：×3×4＝6，‎ 所以，六条直线的最多交点数为：×5×6＝15，‎ ‎9．为了解学生课外阅读的喜好，某校从八年级随机抽取部分学生进行问卷调查，调查要求每人只选取一种喜欢的书籍，如果没有喜欢的书籍，则作“其它”类统计.图（1）与图（2）是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图.以下结论不正确的是（ ）‎ A．由这两个统计图可知喜欢“科普常识”的学生有90人． ‎ B．若该年级共有1200名学生，则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的学生约有 ‎360个． ‎ C．由这两个统计图不能确定喜欢“小说”的人数． ‎ D．在扇形统计图中，“漫画”所在扇形的圆心角为72°．‎ 答案：C 解析：读左边图，知“其它”有30人，读右边图，知“其它”占10%，所以，总人数为300人，“科普知识”人数：30%×300＝90，所以，A正确；该年级“‎ 科普知识”人数：30%×1200＝360，所以，B正确；，因为“漫画”有60人，占20%，圆心角为：20%×360＝72°，‎ 小说的比例为：1－10%－30%－20%＝40%，所以，D正确，C错误，选C.‎ ‎10．如图，⊙A与⊙B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，C，D，E是切点，‎ 若∠CED＝°，∠ECD＝°，⊙B的半径为R，则的长度是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ 答案：B 解析：由切线长定理，知：PE＝PD＝PC，设∠PEC＝z°‎ 所以，∠PED＝∠PDE＝（x＋z）°，∠PCE＝∠PEC＝z°，‎ ‎∠PDC＝∠PCD＝（y＋z）°，‎ ‎∠DPE＝（180－2x－2z）°，∠DPC＝（180－2y－2z）°，‎ 在△PEC中，2z°＋（180－2x－2z）°＋（180－2y－2z）°＝180°，‎ 化简，得：z＝（90－x－y）°，‎ 在四边形PEBD中，∠EBD＝（180°－∠DPE）＝180°－（180－2x－2z）°＝（2x＋2z）°＝（2x＋180－2x－2y）＝（180－2y）°，‎ 所以，弧DE的长为：＝‎ 选B.‎ 第II卷（非选择题 共84分）‎ 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）‎ ‎11．计算＝ ．‎ 答案：‎ 解析：直接由特殊角的余弦值，得到.‎ ‎12．在2013年的体育中考中，某校6名学生的分数分别是27、28、29、28、26、28．这组 数据的众数是 ．‎ 答案：28‎ 解析：28出现三次，出现的次数最多，所以，填28.‎ ‎13．太阳的半径约为696 000千米，用科学记数法表示数696 000为 ．‎ 答案：‎ 解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎696 000＝‎ ‎14．设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车向原地返回．设秒后两车间的距离为千米，关于的函数关系如图所示，则甲车的速度是 米/秒．‎ 答案：20‎ 解析：设甲车的速度为v米/秒，乙车的速度为u米/秒，由图象可得方程：‎ ‎，解得v＝‎20米/秒 ‎15．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是（－1，0），（0，2），C，D两点在反比例函数的图象上，则的值等于 ．‎ 答案：－12‎ 解析：如图，过C、D两点作x轴的垂线，垂足为F、G，CG交AD于M点，过D点作DH⊥CG，垂足为H，‎ ‎∵CD∥AB，CD=AB，∴△CDH≌△ABO（AAS），‎ ‎∴DH=AO=1，CH=OB=2，设C（m，n），D（m－1，n－2），‎ 则mn＝（m－1）（n－2）=k，解得n=2－‎2m，‎ 设直线BC解析式为y=ax+b，将B、C两点坐标代入得 ‎，又n=2－‎2m，‎ BC＝＝，AB＝，因为BC＝2AB，‎ 解得：m＝－2，n＝6，所以，k＝mn＝－12‎ ‎16．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ．‎ 答案：‎ 解析：‎ 三、解答题（共9小题，共72分）‎ ‎17．（本题满分6分）解方程：．‎ 解析：方程两边同乘以，得 ‎ 解得．‎ ‎ 经检验， 是原方程的解．‎ ‎18．（本题满分6分）直线经过点（3，5），求关于的不等式≥0的解集．‎ 解析：∵直线经过点（3，5）∴．‎ ‎∴．‎ 即不等式为≥0，解得≥．‎ ‎19．（本题满分6分）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．‎ 求证：∠A＝∠D．‎ 解析：证明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．‎ ‎ 在△ABF和△DCE中，‎ ‎ ‎ ‎ ∴△ABF≌△DCE， ∴∠A＝∠D．‎ ‎20．（本题满分7分）有两把不同的锁和四把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁．‎ ‎ （1）请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能结果； ‎ ‎ （2）求一次打开锁的概率．‎ 解析：（1）设两把不同的锁分别为A、B，能把两锁打开的钥匙分别为、，其余两把钥匙分别为、，根据题意，可以画出如下树形图：‎ 由上图可知，上述试验共有8种等可能结果．（列表法参照给分）‎ ‎ （2）由（1）可知，任意取出一把钥匙去开任意一把锁共有8种可能的结果，一次打开锁的结果有2种，且所有结果的可能性相等．‎ ‎ ∴P（一次打开锁）＝．‎ ‎21．（本题满分7分）如图，在平面直角坐标系中，‎ Rt△ABC的三个顶点分别是A（－3，2），B（0，4），‎ C（0，2）．‎ ‎（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋 转后对应的△C；平移△ABC，若A的对应点 的坐标为（0，4），画出平移后对应的△；‎ ‎（2）若将△C绕某一点旋转可以得到△，‎ 请直接写出旋转中心的坐标；‎ ‎（3）在轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直 接写出点P的坐标．‎ 解析：‎ ‎（1）画出△A1B‎1C如图所示：‎ ‎（2）旋转中心坐标（，）；‎ ‎（3）点P的坐标（－2，0）．‎ ‎22．（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是的中点，连接PA，PB，PC． ‎ ‎（1）如图①，若∠BPC＝60°，求证：；‎ ‎（2）如图②，若，求的值．‎ 解析：‎ ‎（1）证明：∵弧BC＝弧BC，∴∠BAC＝∠BPC＝60°．‎ 又∵AB＝AC，∴△ABC为等边三角形 ‎∴∠ACB＝60°，∵点P是弧AB的中点，∴∠ACP＝30°，‎ 又∠APC＝∠ABC＝60°，∴AC＝AP．‎ ‎（2）解：连接AO并延长交PC于F，过点E作EG⊥AC于G，连接OC．‎ ‎ ∵AB＝AC，∴AF⊥BC，BF＝CF．‎ ‎ ∵点P是弧AB中点，∴∠ACP＝∠PCB，∴EG＝EF．‎ ‎ ∵∠BPC＝∠FOC，‎ ‎∴sin∠FOC＝sin∠BPC=．‎ 设FC＝‎24a，则OC＝OA＝‎25a，‎ ‎∴OF＝‎7a，AF＝‎32a．‎ ‎ 在Rt△AFC中，AC2＝AF2+FC2，∴AC＝‎40a．‎ 在Rt△AGE和Rt△AFC中，sin∠FAC＝，‎ ‎∴，∴EG＝‎12a．‎ ‎∴tan∠PAB＝tan∠PCB=． ‎ ‎23．（本题满分10分）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：‎ 温度/℃‎ ‎……‎ ‎－4‎ ‎－2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎……‎ 植物每天高度增长量/mm ‎……‎ ‎41‎ ‎49‎ ‎49‎ ‎41‎ ‎25‎ ‎19.75‎ ‎……‎ 由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量是温度的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．‎ ‎（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；‎ ‎（2）温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？‎ ‎（3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过‎250mm，那么实验室的温度应该在哪个范围内选择？请直接写出结果．‎ 解析：‎ ‎（1）选择二次函数，设，得，解得 ‎∴关于的函数关系式是．‎ 不选另外两个函数的理由：‎ 注意到点（0，49）不可能在任何反比例函数图象上，所以不是的反比例函数；点（－4，41），（－2，49），（2，41）不在同一直线上，所以不是的一次函数．‎ ‎（2）由（1），得，∴， ‎ ‎ ∵，∴当时，有最大值为50．‎ ‎ 即当温度为－‎1℃‎时，这种植物每天高度增长量最大．‎ ‎（3）．‎ ‎24．（本题满分10分）已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G． ‎ ‎（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证； ‎ ‎（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠‎ EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论； ‎ ‎（3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出的值．‎ 解析：‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°， ‎ ‎ ∵DE⊥CF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE∽△DCF，∴．‎ ‎（2）当∠B+∠EGC＝180°时，成立，证明如下： ‎ ‎ 在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM．‎ ‎ ∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM，‎ ‎ ∵∠B+∠EGC＝180°，‎ ‎∴∠AED＝∠FCB，∴∠CMF＝∠AED．‎ ‎ ∴△ADE∽△DCM，‎ ‎∴，即．‎ ‎（3）．‎ ‎25．（本题满分12分）如图，点P是直线：上的点，过点P的另一条直线交抛物线于A、B两点．‎ ‎（1）若直线的解析式为，求A、B两点的坐标； ‎ ‎（2）①若点P的坐标为（－2，），当PA＝AB时，请直接写出点A的坐标；‎ ‎ ②试证明：对于直线上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PA＝AB成立．‎ ‎（3）设直线交轴于点C，若△AOB的外心在边AB上，且∠BPC＝∠OCP，求点P的坐标．‎ 解析：‎ ‎（1）依题意，得解得， ‎ ‎∴A（，），B（1，1）．‎ ‎（2）①A1（－1，1），A2（－3，9）．‎ ‎ ②过点P、B分别作过点A且平行于轴的直线的垂线，垂足分别为G、H.‎ ‎ 设P（，），A（，），∵PA＝PB，∴△PAG≌△BAH，‎ ‎∴AG＝AH，PG＝BH，∴B（，），‎ 将点B坐标代入抛物线，得，‎ ‎∵△＝‎ ‎∴无论为何值时，关于的方程总有两个不等的实数解，即对于任意给定的 点P，抛物线上总能找到两个满足条件的点A．‎ ‎（3）设直线：交y轴于D，设A（，），B（，）．‎ 过A、B两点分别作AG、BH垂直轴于G、H．‎ ‎∵△AOB的外心在AB上，∴∠AOB＝90°，‎ 由△AGO∽△OHB，得，∴．‎ 联立得，依题意，得、是方程的两根，∴，∴，即D（0，1）．‎ ‎∵∠BPC＝∠OCP，∴DP＝DC＝3．P 设P（，），过点P作PQ⊥轴于Q，在Rt△PDQ中，，‎ ‎∴．∴（舍去），，∴P（，）．‎ ‎∵PN平分∠MNQ，∴PT＝NT，∴，‎