中考一次函数与反比例函数复习

中考一次函数与反比例函数复习

‎2018年中考　一次函数与反比例函数复习 板块 教学目标 A级目标 B级目标 C级目标 平面直角坐标系 认识并能画出平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标；了解特殊位置的点的坐标特征．‎ 能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置和变化；会由点的特殊位置，求点的坐标中相关字母的范围；会求已知点到坐标轴的距离；能用不同的方式确定物体的位置．‎ 函数及 其图象 了解常量和变量的意义；了解函数的概念和三种表示方法；能举出函数的实例；会确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求函数值 能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系 能探索具体问题中的数量关系和变化规律；结合函数关系的分析，能对变量的变化趋势进行初步预测；能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析 一次 函数 理解正比例函数；能结合具体情境了解一次函数的意义，会画一次函数的图象；理解一次函数的性质 会根据已知条件确定一次函数的解析式；会根据一次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标；能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解 能用一次函数解决实际问题 反比例函数 能结合具体问题了解反比例函数的意义；‎ 能画出反比例函数的图象；‎ 理解反比例函数的性质 会根据已知条件确定反比例函数的解析式；‎ 能用反比例函数的知识解决有关问题 能用反比例函数解决某些实际问题 一、 函数 ‎1、平面直角坐标系 板块一 平面直角坐标系 1． 有序实数对 有顺序的两个数与组成的实数对，叫做有序实数对，记作．‎ 注意：当时，和是不同的两个有序实数对．‎ 2． 平面直角坐标系 楷体在平面内有两条公共点并且互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系，通常把其中水平的一条数轴叫做横轴或轴，取向右的方向为正方向；铅直的数轴叫做纵轴或轴，取向上的方向为正方向，两数轴的交点叫做坐标原点；轴和轴统称为坐标轴；建立了直角坐标系的平面叫做坐标平面．‎ 3． 象限 轴和轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫做第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．‎ 注意：‎ （1） 两条坐标轴不属于任何一个象限．‎ （2） 如果所表示的平面直角坐标系具有实际意义时，要在表示横轴，纵轴的字母后附上单位．‎ 1． 点的坐标 对于坐标平面内的一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足在轴、轴上对应的数、分别叫做点的横坐标和纵坐标，有序实数对叫做点的坐标，记作．‎ 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．‎ 注意：横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来．‎ 板块二 坐标平面内特殊点的坐标特征 2、 各象限内点的坐标特征 点在第一象限；‎ 点在第二象限；‎ 点在第三象限；‎ 点在第四象限．‎ 3、 坐标轴上点的坐标特征 点在轴上，为任意实数；‎ 点在轴上，为任意实数；‎ 点即在轴上，又在轴上，即点的坐标为．‎ 4、 两坐标轴夹角平分线上点的坐标特征 点在第一、三象限夹角的角平分线上；‎ 点在第二、四象限夹角的角平分线上．‎ 5、 平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征 平行于轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标为两个不相等的实数；‎ 平行于轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标为两个不相等的实数．‎ 6、 坐标平面内对称点的坐标特征 点关于轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数．‎ 点关于轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数．‎ 点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．‎ 点关于点的对称点是．‎ ‎2、函数及其图像 板块一 函数的相关概念 ‎1．常量与变量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，取值始终保持不变的量叫做常量．‎ 如在圆的面积公式中，是常数，是一个常量，而随的变化而变化，所以、是变量．‎ ‎2．自变量、因变量与函数 在某一变化过程中，有两个量，例如和，对于的每一个值，都有唯一的值与之对应，其中是自变量，是因变量，此时也称是的函数．‎ 函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系．‎ 注意：‎ ‎⑴对于每一个给定的值，有一个唯一确定的值与之对应，否则就不是的函数．例如就不是函数，因为当时，，即有两个值与对应． ‎ ‎⑵对于每一个给定的值，可以有一个值与之对应，也可以有多个值与之对应．例如在函数中，时，；时，．‎ 板块二 函数自变量的取值范围 ‎ 函数自变量的取值范围是指是函数有意义的自变量的取值的全体．求自变量的取值范围通常从两方面考虑，一是要使函数的解析式有意义；二是符合客观实际．‎ 在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面：‎ ‎⑴整式：自变量的取值范围是任意实数．‎ ‎⑵分式：自变量的取值范围是使分母不为零的任意实数．‎ ‎⑶根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．‎ ‎⑷零次幂或负整数次幂：使底数不为零的实数．‎ 注意：在一个函数关系式中，同时有各种代数式，函数自变量的取值范围是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．‎ 在实际问题中，自变量的取值范围应该符合实际意义，通常往往取非负数，整数之类．‎ 板块三 函数的表示方法 ‎1．函数的三种表示方法：‎ ‎⑴列表法：通过列表表示函数的方法．‎ ‎⑵解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如：，．‎ ‎⑶图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．‎ ‎2．对函数的关系式（即解析式）的理解：‎ ‎⑴函数关系式是等式．例如就是一个函数关系式．‎ ‎⑵函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．‎ 通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．例如：中是自变 量，是的函数．‎ ‎⑶函数关系式在书写时有顺序性．‎ 例如：是表示是的函数，若写成就表示是的函数．求与的函数关系时，‎ 必须是只用变量的代数式表示，得到的等式右边只含的代数式．‎ 板块四 函数的图象 ‎1．函数图象的概念：‎ 对于一个函数，如果把自变量和函数的每对值分别作为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是函数的图象．‎ ‎2．函数图象的画法 ‎⑴列表； ⑵描点； ⑶连线．‎ ‎3．函数解析式与函数图象的关系：‎ 由函数图象的定义可知，图象上任意一点中的，都是解析式方程的一个解．反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图象上．‎ 判断一个点是否在函数图象上的方法是：将这个点的坐标值代入函数的j解析式，如果满足函数解析式，这个店就在函数的图象上，否则就不在这个函数的图象上．‎ 一、 一次函数 ‎1、一次函数的图象及性质 板块一 一次函数的概念 一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数，当时，即，这时即是前一节所学过的正比例函数．‎ ‎⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．‎ ‎⑵当，时，仍是一次函数．‎ ‎⑶当，时，它不是一次函数．‎ ‎⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．‎ 板块二 一次函数的图象 ‎⑴一次函数（，，为常数）的图象是一条直线．‎ ‎ ⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．‎ ‎ ①如果这个函数是正比例函数，通常取，两点；‎ ‎ ②如果这个函数是一般的一次函数（），通常取，，即直线与两坐标轴的交点．‎ ‎ ⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直线，反之，直线上的点的坐标满足，也就是说，直线与是一一对应的，所以通常把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线．‎ 板块三 一次函数的性质 一次 函数 ‎，‎ 符号 图象 性质 随的增大而增大 随的增大而减小 ‎1．一次函数图象的位置 在一次函数中：‎ ‎⑴当时，其图象一定经过一、三象限；当时，其图象一定经过二、四象限．‎ ‎⑵当时，图象与轴交点在轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当时，图象与轴 交点在轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．‎ 反之，由一次函数的图象的位置也可以确定其系数、的符号．‎ ‎2．一次函数图象的增减性 ‎ 在一次函数中：‎ ‎⑴当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大；‎ ‎ ⑵当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小．‎ ‎2、一次函数解析式的确定 用待定系数法求一次函数解析式：‎ 先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法．‎ ‎ 用待定系数法求函数解析式的一般步骤：‎ ‎ ①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；‎ ‎ ②将的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；‎ ‎ ③解方程（组），得到待定系数的值；‎ ‎ ④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．‎ ‎3、一次函数的应用 ‎4、一次函数与方程、不等式综合 板块一 一次函数与一元一次方程的关系 直线与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解。求直线与x轴交点时，可令，得到方程，解方程得，直线交x轴于，就是直线与x轴交点的横坐标。‎ 板块二 一次函数与一元一次不等式的关系 任何一元一次不等式都可以转化为或(为常数，)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。‎ 板块三 一次函数与二元一次方程（组）的关系 一次函数的解析式本身就是一个二元一次方程，直线上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程，因此二元一次方程的解也就有无数个。‎ ‎5、一次函数与几何综合 一、 反比例函数 ‎1、反比例函数的图象及性质 板块一 反比例函数的定义 函数（为常数，）叫做反比例函数，其中叫做比例系数，是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数．‎ 板块二 反比例函数的图象 反比例函数（为常数，）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．‎ 反比例函数与（）的图象关于轴对称，也关于轴对称．‎ 板块三 反比例函数的性质 反比例函数（为常数，）的图象是双曲线；‎ 当时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而减小；‎ 当时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而增大．‎ 注意：‎ ‎⑴反比例函数（）的取值范围是．因此，‎ ‎①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来．‎ ‎②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，‎ 如当时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小．‎ 这是由于，即或的缘故． ‎ 如果笼统地叙述为时，随的增大而增大就是错误的．‎ ‎⑵由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零，所以图象和轴、轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．‎ ‎⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．‎ 板块四 反比例函数解析式的求法 ‎ 反比例函数的解析式中，只有一个系数，确定了的值，也就确定了反比例函数的解析式．因此，只需给出一组、的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式．‎ 板块五 比例系数的几何意义 ‎ 过反比例函数，图象上一点，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点、点组成一个矩形，矩形的面积.‎ ‎2、反比例函数的应用 反比例函数在实际生活和科学领域都有广泛的应用，我们通过对题目的阅读理解，抽象出实际问题中的函数关系，将文字转化为数学语言，再利用反比例函数的思想方法来解决实际问题．‎ ‎1．用反比例函数解决实际问题的方法和步骤 ‎（1）审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；‎ ‎（2）根据常量与变量之间的关系，设出函数的关系式，待定的系数用字母来表示；‎ ‎（3）有题目中的已知条件列出方程，求出待定系数．‎ ‎（4）写出函数关系式，并注意关系式中的变量的取值范围．‎ ‎（5）用函数关系去解决实际问题．‎ ‎2．运用反比例函数模型解实际问题时，要掌握一些基本的模型 ‎（1）当体（面）积为定值时，底面积（边长）与高成反比例函数关系．‎ ‎（2）当工程总量为定值时，工作时间与工作效率成反比例函数关系．‎ ‎（3）当力F所作的功一定时，力F与物体在F方向通过的距离s成反比例函数关系；‎ ‎（4）杠杆定律：力×力臂=定值 ‎（5）压强公式：P=F÷S，其中p为压强，F为压力，S为受力面积；‎ ‎3．用反比例函数解决实际问题时应注意几个问题：‎ ‎（1）设未知量要恰当．恰当地设未知量可以使运算简单，解题过程简单，计算准确率高，否则将会带来不必要的麻烦．‎ ‎（2）求出函数关系式后，要注意字母（或自变量）的取值范围：一般在实际问题中，①自变量的取值范围都是非负的．②有的取值范围只能是某一些范围内的数．‎ ‎（3）求出问题的解，既要符合题目中的方程，还要符合问题中的实际意义．‎ ‎3、反比例函数与一次函数综合 ‎4、反比例函数与几何综合 ‎ ‎ 板块一：平面直角坐标系与函数 考点一：平面直角坐标系中点的特征 例1（2013•淄博）如果m是任意实数，则点P（m-4，m+1）一定不在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 思路分析：求出点P的纵坐标一定大于横坐标，然后根据各象限的点的坐标特征解答．‎ 解：∵（m+1）-（m-4）=m+1-m+4=5， ∴点P的纵坐标一定大于横坐标， ∵第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数， ∴第四象限的点的横坐标一定大于纵坐标， ∴点P一定不在第四象限． 故选D．‎ 点评：本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．‎ 对应训练 ‎1．（2013•宁夏）点 P（a，a-3）在第四象限，则a的取值范围是 .‎ ‎1．0＜a＜3‎ 考点二：规律型点的坐标 例2（2013•济南）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为（　　）‎ A．（1，4） B．（5，0） C．（6，4） D．（8，3）‎ 思路分析：根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2013除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．‎ 解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），‎ ‎ ∵2013÷6=335…3， ∴当点P第2013次碰到矩形的边时为第336个循环组的第3次反弹， 点P的坐标为（8，3）． 故选D．‎ 点评：本题是对点的坐标的规律变化的考查了，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．‎ 对应训练 ‎2．（2013•江都市一模）如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2013次相遇地点的坐标是（　　）‎ A．（2，0） B．（-1，1） C．（-2，1） D．（-1，-1）‎ ‎2．A 考点三：函数自变量的取值范围 例3 （2013•常德）函数y=中自变量x的取值范围是（　　）‎ A．x≥-3 B．x≥3 C．x≥0且x≠1 D．x≥-3且x≠1‎ 思路分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．‎ 解：根据题意得，x+3≥0且x-1≠0， 解得x≥-3且x≠1． 故选D．‎ 点评：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．‎ 对应训练 ‎3．（2013•泸州）函数y=自变量x的取值范围是（　　）‎ A．x≥1且x≠3 B．x≥1 C．x≠3 D．x＞1且x≠3‎ ‎3．A 考点四：函数的图象 例4 （2013•重庆）2013年“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行．童童从家出发前往观看，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演出结束后，童童搭乘邻居刘叔叔的车顺利回到家．其中x表示童童从家出发后所用时间，y表示童童离家的距离．下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ 思路分析：童童的行程分为5段，①离家至轻轨站；②在轻轨站等一会；③搭乘轻轨去奥体中心，④观看比赛，⑤乘车回家，对照各函数图象即可作出判断．‎ 解：①离家至轻轨站，y由0缓慢增加； ②在轻轨站等一会，y不变； ③搭乘轻轨去奥体中心，y快速增加； ④观看比赛，y不变； ⑤乘车回家，y快速减小． 结合选项可判断B选项的函数图象符合童童的行程． 故选B．‎ 点评：本题考查了函数的图象，解答本题需要我们能将函数图象和实际对应起来，结合当前的一档娱乐节目出题，立意新颖，是一道不错的题目．‎ 对应训练 ‎4．（2013•湘西州）小芳的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步行走到离家较远的公园，打了一会儿太极拳，然后沿原路跑步到家里，下面能够反映当天小芳爷爷离家的距离y（米）与时间x（分钟）之间的关系的大致图象是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4．C 考点五：动点问题的函数图象 例5 （2013•烟台）如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（　　） ‎ A．AE=6cm B．sin∠EBC=‎ C．当0＜t≤10时，y=t2‎ D．当t=12s时，△PBQ是等腰三角形 思路分析：由图2可知，在点（10，40）至点（14，40）区间，△BPQ的面积不变，因此可推论BC=BE，由此分析动点P的运动过程如下： （1）在BE段，BP=BQ；持续时间10s，则BE=BC=10；y是t的二次函数； （2）在ED段，y=40是定值，持续时间4s，则ED=4； （3）在DC段，y持续减小直至为0，y是t的一次函数．‎ 解：（1）结论A正确．理由如下： 分析函数图象可知，BC=10cm，ED=4cm，故AE=AD-ED=BC-ED=10-4=6cm； （2）结论B正确．理由如下： 如答图1所示，连接EC，过点E作EF⊥BC于点F， 由函数图象可知，BC=BE=10cm，S△BEC=40=BC•EF=×10×EF，∴EF=8， ∴sin∠EBC==； ‎ ‎（3）结论C正确．理由如下： 如答图2所示，过点P作PG⊥BQ于点G， ∵BQ=BP=t， ∴y=S△BPQ=BQ•PG=BQ•BP•sin∠EBC=t•t•=t2． （4）结论D错误．理由如下： 当t=12s时，点Q与点C重合，点P运动到ED的中点，设为N，如答图3所示，连接NB，NC． 此时AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=8，NC=2， ∵BC=10， ∴△BCN不是等腰三角形，即此时△PBQ不是等腰三角形．‎ 点评：本题考查动点问题的函数图象，需要结合几何图形与函数图象，认真分析动点的运动过程．突破点在于正确判断出BC=BE=10cm．[来源:学科网ZXXK]‎ 对应训练 ‎5．（2013•铁岭）如图，点G、E、A、B在一条直线上，Rt△EFG从如图所示是位置出发，沿直线AB向右匀速运动，当点G与B重合时停止运动．设△EFG与矩形ABCD重合部分的面积为S，运动时间为t，则S与t的图象大致是（　　）‎ A．B．C．D．‎ ‎5．D 板块二：一次函数 考点一：一次函数的图象和性质 例1 （2013•大庆）对于函数y=-3x+1，下列结论正确的是（　　）‎ A．它的图象必经过点（-1，3）‎ B．它的图象经过第一、二、三象限 C．当x＞1时，y＜0[来源:学,科,网]‎ D．y的值随x值的增大而增大 思路分析：根据一次比例函数图象的性质可知．‎ 解：A、将点（-1，3）代入原函数，得y=-3×（-1）+1=4≠3，故A错误； B、因为k=-3＜0，b=1＞0，所以图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小，故B，D错误； C、正确； D、当x=1时，y=-2＜0，故C正确． 故选C．‎ 点评：本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的性质及函数图象平移的法则是解答此题的关键．[来源:Zxxk.Com]‎ 对应训练 ‎1．（2013•徐州）下列函数中，y随x的增大而减少的函数是（　　）‎ A．y=2x+8 B．y=-2+4x C．y=-2x+8 D．y=4x ‎1．C 考点二：一次函数的图象和系数的关系 例2 （2013•莆田）如图，一次函数y=（m-2）x-1的图象经过二、三、四象限，则m的取值范围是（　　）‎ A．m＞0 B．m＜0 C．m＞2 D．m＜2‎ 思路分析：根据一次函数图象所在的象限得到不等式m-2＜0，据此可以求得m的取值范围．‎ 解：如图，∵一次函数y=（m-2）x-1的图象经过二、三、四象限， ∴m-2＜0， 解得，m＜2． 故选D．‎ 点评：本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．‎ 例3 （2013•遵义）P1（x1，y1），P2（x2，y2）是正比例函数y=- x图象上的两点，下列判断中，正确的是（　　）‎ A．y1＞y2 B．y1＜y2‎ C．当x1＜x2时，y1＜y2 D．当x1＜x2时，y1＞y2‎ 思路分析：根据正比例函数图象的性质：当k＜0时，y随x的增大而减小即可求解．‎ 解答：解：∵y=-x，k=-＜0， ∴y随x的增大而减小． 故选D．‎ 点评：本题考查正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．‎ 对应训练 ‎2．（2013•眉山）若实数a，b，c满足a+b+c=0，且a＜b＜c，则函数y=cx+a的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．C ‎3．（2013•福州）A，B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A（x+a，y+b），B（x，y），下列结论正确的是（　　）‎ A．a＞0 B．a＜0 C．b=0 D．ab＜0‎ ‎3．B 考点三：一次函数解析式的确定 例4 （2013•常州）已知一次函数y=kx+b（k、b为常数且k≠0）的图象经过点A（0，-2）和点B（1，0），则k= 2‎ ‎，b= -2‎ ‎．‎ 思路分析：把点A、B的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求一次函数解析式解答即可．‎ 解：∵一次函数y=kx+b（k、b为常数且k≠0）的图象经过点A（0，-2）和点B（1，0）， ∴，解得． 故答案为：2，-2．‎ 点评：本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法是求函数解析式常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．‎ 对应训练 ‎4．（2013•重庆）已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（1，-2），则这个正比例函数的解析式为（　　）‎ A．y=2x B．y=-2x C．y= x D．y=- x ‎4．B 考点四：一次函数与方程（组）、不等式（组）的关系 例5 （2013•黔西南州）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（　　）‎ A．x＜ B．x＜3 C．x＞ D．x＞3‎ 思路分析：先根据函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），求出m的值，从而得出点A的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式2x＜ax+4的解集．‎ 解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3）， ∴3=2m， m=， ∴点A的坐标是（，3）， ∴不等式2x＜ax+4的解集为x＜； 故选A．‎ 点评：此题考查的是用图象法来解不等式，充分理解一次函数与不等式的联系是解决问题的关键．‎ 例6 （2013•荆州）体育课上，20人一组进行足球比赛，每人射点球5次，已知某一组的进球总数为49个，进球情况记录如下表，其中进2个球的有x人，进3个球的有y人，若（x，y）恰好是两条直线的交点坐标，则这两条直线的解析式是（　　）‎ 进球数 ‎0‎ ‎1[来源:Z#xx#k.Com]‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 人数 ‎1‎ ‎5‎ x y ‎3‎ ‎2‎ A．y=x+9与y=x+ B．y=-x+9与y=x+ ‎ C．y=-x+9与y=- x+ D．y=x+9与y=- x+ ‎ 思路分析：根据一共20个人，进球49个列出关于x、y的方程即可得到答案．‎ 解：根据进球总数为49个得：2x+3y=49-5-3×4-2×5=22， 整理得：y=- x+ ， ∵20人一组进行足球比赛， ∴1+5+x+y+3+2=20， 整理得：y=-x+9． 故选C．‎ 点评：本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是根据题目列出方程并整理成函数的形式．‎ 对应训练 ‎5．（2013•武汉）直线y=2x+b经过点（3，5），求关于x的不等式2x+b≥0的解集．‎ ‎5．解：∵直线y=2x+b经过点（3，5）， ∴5=2×3+b，解得b=-1， ∵2x+b≥0， ∴2x-1≥0，解得x≥．‎ ‎6．（2013•青岛）如图，一个正比例函数图象与一次函数y=-x+1的图象相交于点P，则这个正比例函数的表达式是 y=-x ‎．‎ ‎6．y=-x 考点五：一次函数综合题 例7 （2013•绥化）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根． （1）求C点坐标； （2）求直线MN的解析式； （3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．‎ 思路分析：（1）通过解方程x2-14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．则C（0，6）； （2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．把点A、C的坐标分别代入解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组即可求得它们的值； （3）需要分类讨论：PB为腰，PB为底两种情况下的点P的坐标．根据等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答．‎ 解：（1）解方程x2-14x+48=0得 x1=6，x2=8． ∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根， ∴OC=6，OA=8． ∴C（0，6）； （2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）． 由（1）知，OA=8，则A（8，0）． ∵点A、C都在直线MN上， ∴， 解得， ∴直线MN的解析式为y=-x+6； （3）∵A（8，0），C（0，6）， ∴根据题意知B（8，6）． ∵点P在直线MNy=-x+6上， ∴设P（a，-a+6） 如图，当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论： ①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1（4，3）； ②当PC=BC时，a2+（-a+6-6）2=64， 解得，a=±，则P2（-，），P3（，）； ‎ ‎③当PB=BC时，（a-8）2+（-a+6-6）2=64， 解得，a=，则-a+6=-，∴P4（，-）． 综上所述，符合条件的点P有：P1（4，3），P2（-，），P3（，），P4（，-）．‎ 点评：本题考查了一次函数综合题．其中涉及到的知识点有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质．解答（3）题时，要分类讨论，防止漏解．另外，解答（3）题时，还利用了“数形结合”的数学思想．‎ 对应训练 ‎7．（2013•齐齐哈尔）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2-（ +1）x+ =0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2 （1）求A、C两点的坐标； （2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎7．解：（1）x2-（+1）x+=0， （x-）（x-1）=0， 解得x1=，x2=1， ∵OA＜OB， ∴OA=1，OB=， ∴A（1，0），B（0，）， ∴AB=2， 又∵AB：AC=1：2， ∴AC=4， ∴C（-3，0）； （2）由题意得：CM=t，CB=2． ①当点M在CB边上时，S=2-t（0≤t＜2）； ②当点M在CB边的延长线上时，S=t-2（t＞2）； （3）存在，Q1（-1，0），Q2（1，-2），Q3（1，2），Q1（1，）．‎ 考点六：一次函数的应用 例8 （2013•株洲）某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行x轴）． （1）该植物从观察时起，多少天以后停止长高？ （2）求直线AC的解析式，并求该植物最高长多少厘米？[来源:学科网]‎ 思路分析：（（1）根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高； （2）设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出直线AC的解析式，再把x=50代入进行计算即可得解．‎ 解答：解：（1）∵CD∥x轴， ∴从第50天开始植物的高度不变， 答：该植物从观察时起，50天以后停止长高； （2）设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵经过点A（0，6），B（30，12）， ∴， 解得． 所以，直线AC的解析式为y=x+6（0≤x≤50）， 当x=50时，y=×50+6=16cm． 答：直线AC的解析式为y=x+6（0≤x≤50），该植物最高长16cm．‎ 点评：本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．‎ 对应训练 ‎8．（2013•湛江）周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发1小时后到达南亚所（景点），游玩一段时间后按原速前往湖光岩．小明离家1小时50分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往湖光岩，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象． （1）求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间； （2）若妈妈在出发后25分钟时，刚好在湖光岩门口追上小明，求妈妈驾车的速度及CD所在直线的函数解析式．‎ ‎8．解：（1）由题意，得 小明骑车的速度为：20÷1=20km/时， 小明在南亚所游玩的时间为：2-1=1小时． （2）由题意，得 小明从南亚所到湖光岩的时间为25-10=15分钟=小时， ∴小明从家到湖光岩的路程为：20×（1+）=25km． ∴妈妈的速度为：25÷=60km/时．C（，25）． 设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得 ， 解得：， ∴直线CD的解析式为y=60x-110．‎ 板块三：反比例函数 考点一：反比例函数的图象和性质 例1 （2013•云南）若ab＞0，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一坐标系数中的大致图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ 思路分析：根据ab＞0，可得a、b同号，结合一次函数及反比例函数的特点进行判断即可．‎ 解：A、根据一次函数可判断a＞0，b＞0，根据反比例函数可判断ab＞0，故符合题意，本选项正确；‎ ‎ B、根据一次函数可判断a＜0，b＜0，根据反比例函数可判断ab＜0，故不符合题意，本选项错误； C、根据一次函数可判断a＜0，b＞0，根据反比例函数可判断ab＞0，故不符合题意，本选项错误； D、根据一次函数可判断a＞0，b＞0，根据反比例函数可判断ab＜0，故不符合题意，本选项错误； 故选A．‎ 点评：本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．‎ 例2 （2013•绥化）对于反比例函数y=，下列说法正确的是（　　）‎ A．图象经过点（1，-3）‎ B．图象在第二、四象限 C．x＞0时，y随x的增大而增大 D．x＜0时，y随x增大而减小 思路分析：根据反比例函数的性质得出函数增减性以及所在象限和经过的点的特点分别分析得出即可．‎ 解：A、∵反比例函数y=，∴xy=3，故图象经过点（1，3），故此选项错误； B、∵k＞0，∴图象在第一、三象限，故此选项错误； C、∵k＞0，∴x＞0时，y随x的增大而减小，故此选项错误； D、∵k＞0，∴x＜0时，y随x增大而减小，故此选项正确． 故选：D．‎ 点评：此题主要考查了反比例函数的性质，根据解析式确定函数的性质是解题关键．‎ 对应训练 ‎1．（2013•随州）正比例函数y=kx和反比例函数（k是常数且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎1．C[来源:学科网ZXXK]‎ ‎2．（2013•河北）反比例函数y=的图象如图所示，以下结论： ①常数m＜-1； ②在每个象限内，y随x的增大而增大； ③若A（-1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k； ④若P（x，y）在图象上，则P′（-x，-y）也在图象上． 其中正确的是（　　）‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④‎ ‎2．C 考点二：反比例函数解析式的确定 例4 （2012•哈尔滨）如果反比例函数的图象经过点（-1，-2），则k的值是（　　）‎ A．2 B．-2 C．-3 D．3 ‎ 思路分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征，将（-1，-2）代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值．解答：解：根据题意，得 ‎-2=，即2=k-1，‎ 解得k=3．‎ 故选D．‎ 点评：此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点．‎ 对应训练 ‎4．（2012•广元）已知关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2有唯一的实数解，且反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．D 考点三：反比例函数k的几何意义 例5 （2013•内江）如图，反比例函数（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 思路分析：本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出△OCE、△OAD、矩形OABC的面积与|k|‎ 的关系，列出等式求出k值．‎ 解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE=，S△OAD=， 如图，过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S□ONMG=|k|，‎ ‎ 又∵M为矩形ABCO对角线的交点， ∴S矩形ABCO=4S□ONMG=4|k|， 由于函数图象在第一象限，k＞0，则++9=4k， 解得：k=3． 故选C．‎ 点评：本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．‎ 对应训练 ‎5．（2013•锦州）如图，直线y=mx与双曲线交于A，B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM，若S△ABM=2，则k的值为（　　）‎ A．-2 B．2 C．4 D．-4‎ ‎5．A 考点四：反比例函数与一次函数的综合运用 例6 （2012•岳阳）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，‎ 连接AO、BO，下列说法正确的是（　　）‎ A．点A和点B关于原点对称 ‎ B．当x＜1时，y1＞y2 ‎ C．S△AOC=S△BOD ‎ D．当x＞0时，y1、y2都随x的增大而增大 ‎ 思路分析：求出两函数式组成的方程组的解，即可得出A、B的坐标，即可判断A；根据图象的特点即可判断B；根据A、B的坐标和三角形的面积公式求出另三角形的面积，即可判断C；根据图形的特点即可判断D．‎ 解：A、，‎ ‎∵把①代入②得：x+1=，‎ 解得：x1=-2，x2=1，‎ 代入①得：y1=-1，y2=2，‎ ‎∴B（-2，-1），A（1，2），‎ ‎∴A、B不关于原点对称，故本选项错误；‎ B、当-2＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，故本选项错误；‎ C、∵S△AOC=×1×2=1，S△BOD=×|-2|×|-1|=1，‎ ‎∴S△BOD=S△AOC，故本选项正确；‎ D、当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本选项错误；‎ 故选C．‎ 点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生观察图象的能力，能把图象的特点和语言有机结合起来是解此题的关键，题目比较典型，是一道具有一定代表性的题目．‎ 对应训练 ‎6．（2012•达州）一次函数y1=kx+b（k≠0）与反比例函数y2=(m≠0)，在同一直角坐标系中的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）‎ A．-2＜x＜0或x＞1 B．x＜-2或0＜x＜1 ‎ C．x＞1 D．-2＜x＜1 ‎ 测试1：函数及其图象 一、选择题(每小题6分，共30分)‎ ‎1．(2014·济宁)函数y＝中自变量x的取值范围是(A)‎ A．x≥0 B．x≠－1‎ C．x＞3 D．x≥0且x≠－1‎ ‎2．(2014·衡阳)小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会儿报后，继续散步了一段时间，然后回家．如图描述了小明在散步过程中离家的距离s(米)与散步所用的时间t(分)之间的函数关系．根据图象，下列信息错误的是(A)‎ A．小明看报用时8分钟 B．公共阅报栏距小明家200米 C．小明离家最远的距离为400米 D．小明从出发到回家共用时16分钟 ‎3．(2014·白银)如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB延长线上，连接ED交AB于点F，AF＝x(0.2≤x≤0.8)，EC＝y，则在下面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是(C)‎ ‎4．(2013·玉林)均匀地向一个瓶子注水，最后把瓶子注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则这个瓶子的形状是下列的(B)‎ ‎5．(2014·菏泽)如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝2，正方形CDEF的顶点D，F分别在AC，BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系是(A)‎ 二、填空题(每小题6分，共30分)‎ ‎6．(2014·凉山州)函数y＝＋中，自变量x的取值范围是__x≥－1且x≠0__.‎ ‎7．(2012·恩施)当x＝__－2__时，函数y＝的值为零．‎ ‎8．(2012·丽水)甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动，图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s(千米)随时间t(分)变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶____千米．‎ ‎9．将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案．设菱形中较小角为x度，平行四边形中较大角为y度，则y与x的关系式是__2y－x＝180(或y＝x＋90)__．‎ ‎10．(2014·金华)小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程y(米)与时间t(分)的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行__80__米．‎ 三、解答题(共40分)‎ ‎11．(10分)某班师生组织植树活动，上午8时从学校出发，到植树地点植树后原路返校，如图为师生离校路程s与时间t之间的图象．请回答下列问题：‎ ‎(1)求师生何时回到学校？‎ ‎(2)如果运送树苗的三轮车比师生迟半小时出发，与师生同路匀速前进时，早半小时到达植树地点，请在图中，画出该三轮车运送树苗时，离校路程s与时间t之间的图象，并结合图象直接写出三轮车追上师生时，离学校的路程；‎ ‎(3)如果师生骑自行车上午8时出发，到植树地点后，植树需2小时，要求14时前返回到学校，往返平均速度分别为每时10 km，8 km.现有A，B，C，D四个植树点与学校的路程分别是13 km，15 km，17 km，19 km，试通过计算说明哪几个植树点符合要求．‎ 解：(1)设师生返校时的函数解析式为s＝kt＋b，把(12，8)，(13，3)代入得解得∴s＝－5t＋68，当s＝0时，t＝13.6，∴师生在13.6时回到学校 ‎(2)如图，由图象得，当三轮车追上师生时，离学校4 km ‎(3)设符合学校要求的植树点与学校的路程为x(km)，由题意得＋2＋＋8＜14，解得x＜17，答：A，B，C植树点符合学校的要求 ‎12．(10分)(2013·绍兴)某市出租车计费方法如图所示，x(km)表示行驶里程，y(元)表示车费，请根据图象回答下列问题：‎ ‎(1)出租车的起步价是多少元？当x＞3时，求y关于x的函数解析式；‎ ‎(2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程．‎ 解：(1)由图象得：出租车的起步价是8元，设当x＞3时，y与x的函数关系式为y＝kx＋b，由函数图象得解得故y与x的函数关系式为y＝2x＋2‎ ‎(2)当y＝32时，32＝2x＋2，x＝15，答：这位乘客乘车的里程是15 km ‎13．(10分)(2012·株洲)如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5米，AC＝12米，M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒，运动时间为t秒．‎ ‎(1)当t为何值时，∠AMN＝∠ANM?‎ ‎(2)当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．‎ ‎　　　‎ 解：(1)依题意有AM＝12－t，AN＝2t，∵∠ANM＝∠ANM，∴AM＝AN，得12－t＝2t，t＝4.即t＝4秒时，∠AMN＝∠ANM ‎(2)如图作NH⊥AC于H，易证△ANH∽△ABC，从而有＝，即＝，∴NH＝t.∴S△AMN＝(12－t)·t＝－t2＋t.∴当t＝6时，S最大值＝ ‎14．(10分)知识迁移 当a＞0且x＞0时，因为(－)2≥0，所以x－2＋≥0，从而x＋≥2.(当x＝时取等号)‎ 记函数y＝x＋(a＞0，x＞0)，由上述结论可知：当x＝时，该函数有最小值为2.‎ 直接应用 ‎(1)已知函数y1＝x(x＞0)与函数y2＝(x＞0)，则当__1__时，y1＋y2取得最小值为__2__.‎ 变形应用 ‎(2)已知函数y1＝x＋1(x＞－1)与函数y2＝(x＋1)2＋4(x＞－1)，求的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．‎ 实际应用 ‎(3)已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001.设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？‎ 解：(2)∵＝＝(x＋1)＋(x＞－1)，∴最小值为2＝4，当x＋1＝，即x＝1时取得该最小值 ‎(3)设该汽车平均每千米的运输成本为y元，则y＝＝0.001x＋＋1.6＝0.001(x＋)＋1.6，∴当x＝＝600(千米)时，该汽车平均每千米的运输成本最低，最低成本为0.001×2＋1.6＝2.8元 测试2：一次函数及其图象 一、选择题(每小题6分，共30分)‎ ‎1．(2014·广州)已知正比例函数y＝kx(k＜0)的图象上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2，则下列不等式中恒成立的是(C)‎ A．y1＋y2＞0 B．y1＋y2＜0‎ C．y1－y2＞0 D．y1－y2＜0‎ ‎2．(2013·眉山)若实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝cx＋a的图象可能是(C)‎ ‎3．(2014·邵阳)已知点M(1，a)和点N(2，b)是一次函数y＝－2x＋1图象上的两点，则a与b的大小关系是(A)‎ A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．以上都不对 ‎4．(2014·汕尾)已知直线y＝kx＋b，若k＋b＝－5，kb＝6，那么该直线不经过(A)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎5．(2014·荆门)如图，直线y1＝x＋b与y2＝kx－1相交于点P，点P的横坐标为－1，则关于x的不等式x＋b＞kx－1的解集在数轴上表示正确的是(A)‎ 二、填空题(每小题6分，共30分)‎ ‎6．(2013·广州)一次函数y＝(m＋2)x＋1，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是__m＞－2__.‎ ‎7．(2013·天津)若一次函数y＝kx＋1(k为常数，k≠0)的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是__k＞0__.‎ ‎8．(2014·徐州)函数y＝2x与y＝x＋1的图象交点坐标为__(1，2)__．‎ ‎9．(2013·包头)如图，已知一条直线经过点A(0，2)，点B(1，0)，将这条直线向左平移与x轴，y轴分别交于点C，点D，若DB＝DC，则直线CD的函数解析式为__y＝－2x－2__.‎ ‎10．(2014·舟山)过点(－1，7)的一条直线与x轴，y轴分别相交于点A，B，且与直线y＝－x＋1平行．则在线段AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是__(1，4)，(3，1)__．‎ 三、解答题(共40分)‎ ‎11．(10分)(2012·湘潭)已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)图象过点(0，2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的解析式．‎ 解：∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)图象过点(0，2)，∴b＝2.令y＝0，则x＝－.∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2，∴×2×|－|＝2，即||＝2，|k|＝1，∴k＝±1，故此函数的解析式为：y＝x＋2或y＝－x＋2‎ ‎12．(10分)(2012·聊城)如图，直线AB与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，－2)．‎ ‎(1)求直线AB的解析式；‎ ‎(2)若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC＝2，求点C的坐标．‎ 解：(1)设直线AB的解析式为y＝kx＋b，∵直线AB过点A(1，0)，B(0，－2)，∴解得∴直线AB的解析式为y＝2x－2‎ ‎(2)设点C的坐标为(x，y)，∵S△BOC＝2，∴×2×x＝2，解得x＝2，∴y＝2×2－2＝2，∴点C的坐标是(2，2)‎ ‎13．(10分)(2014·常德)在体育局的策划下，市体育馆将组织明星篮球赛，为此体育局推出两种购票方案(设购票张数为x，购票总价为y)：‎ 方案一：提供8000元赞助后，每张票的票价为50元；‎ 方案二：票价按图中的折线OAB所表示的函数关系确定．‎ ‎(1)若购买120张票时，按方案一和方案二分别应付的购票款是多少？‎ ‎(2)求方案二中y与x的函数关系式；‎ ‎(3)至少买多少张票时选择方案一比较合算？‎ 解：(1)按方案一购120张票时，y＝8 000＋50×120＝14 000(元)；按方案二购120张票时，由图知y＝13 200(元)‎ ‎(2)当0＜x≤100时，设y＝kx，则12 000＝100k，∴k＝120，∴y＝120x.x≥100时，设y＝kx＋b，解得k＝60，b＝6 000，∴y＝60x＋6 000.综合上面所得y＝ ‎(3)由(1)知，购120张票时，按方案一购票不合算．即选择方案一比较合算时，应超过120.设至少购买x张票时选择方案一比较合算，则应有8 000＋50x≤60x＋6 000，解得：x≥200(张)，∴至少买200张时选方案一比较合算 ‎14．(10分)在△ABC中，∠ABC＝45°，tan∠ACB＝.如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB＝14，OC＝，AC与y轴交于点E.‎ ‎(1)求AC所在直线的函数解析式；‎ ‎(2)过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积．‎ 解：(1)在Rt△OCE中，OE＝OC·tan∠OCE＝×＝2，∴点E(0，2)，设直线AC的函数解析式为y＝kx＋2，有k＋2＝0，解得k＝－，∴直线AC的函数解析式为y＝－x＋2 ‎(2)在Rt△OGE中，tan∠EOG＝tan∠OCE＝＝.设EG＝3t，OG＝5t，OE＝＝t，∴2＝t，解得t＝2，∴EG＝6，OG＝10，∴S△OEG＝OG×EG＝×10×6＝30‎ 测试3：反比例函数及其图象 一、选择题(每小题6分，共30分)‎ ‎1．(2013·安顺)若y＝(a＋1)xa2－2是反比例函数，则a的取值为(A)‎ A．1 B．－1‎ C．±1 D．任意实数 ‎2．(2014·扬州)若反比例函数y＝(k≠0)的图象经过P(－2，3)，则该函数的图象不经过的点是(D)‎ A．(3，－2) B．(1，－6)‎ C．(－1，6) D．(－1，－6)‎ ‎3．(2013·绥化)对于反比例函数y＝，下列说法正确的是(D)‎ A．图象经过点(1，－3)‎ B．图象在第二、四象限 C．x＞0时，y随x的增大而增大 D．x＜0时，y随x的增大而减小 ‎4．(2014·潍坊)已知一次函数y1＝kx＋b(k＜0)与反比例函数y2＝(m≠0)的图象相交于A，B两点，其横坐标分别是－1和3，当y1＞y2时，实数x的取值范围是(A)‎ A．x＜－1或0＜x＜3 B．－1＜x＜0或0＜x＜3‎ C．－1＜x＜0或x＞3 D．0＜x＜3‎ ‎5．(2014·鄂州)点A为双曲线y＝(k≠0)上一点，B为x轴上一点，且△AOB为等边三角形，△AOB的边长为2，则k的值为(D)‎ A．2 B．±2 C. D．± 二、填空题(每小题6分，共30分)‎ ‎6．(2014·莱芜)已知一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝的图象相交于A(4，2)，B(－2，m)两点，则一次函数的表达式为__y＝x－2__.‎ ‎7．(2013·张家界)如图，直线x＝2与反比例函数y＝和y＝－的图象分别交于A，B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是__△PAB的面积＝AB×2＝AB＝，故答案是__.‎ ‎8．(2013·德州)函数y＝与y＝x－2图象交点的横坐标分别为a，b，则＋的值为__－2__.‎ ‎9．(2014·湖州)如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y＝(k≠0)在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD.若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为__y＝2x__.‎ ‎10．(2013·绍兴)在平面直角坐标系中，O是原点，A是x轴上的点，将射线OA绕点O旋转，使点A与双曲线y＝上的点B重合，若点B的纵坐标是1，则点A的横坐标是__2或－2__.‎ 三、解答题(共40分)‎ ‎11．(10分)(2014·白银)如图，在直角坐标系xOy中，直线y＝mx与双曲线y＝相交于A(－1，a)，B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1.‎ ‎(1)求m，n的值；‎ ‎(2)求直线AC的解析式．‎ 解：(1)∵直线y＝mx与双曲线y＝相交于A(－1，a)，B两点，∴B点横坐标为1，即C(1，0)，∵△AOC的面积为1，∴A(－1，2)，将A(－1，2)代入y＝mx，y＝得m＝－2，n＝－2‎ ‎(2)设直线AC的解析式为y＝kx＋b，∵y＝kx＋b经过点A(－1，2)，C(1，0)∴解得k＝－1，b＝1，∴直线AC的解析式为y＝－x＋1‎ ‎12．(10分)(2013·嘉兴)如图，一次函数y＝kx＋1(k≠0)与反比例函数y＝(m≠0)的图象有公共点A(1，2)．直线l⊥x轴于点N(3，0)，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C.‎ ‎(1)求一次函数与反比例函数的解析式；‎ ‎(2)求△ABC的面积．‎ 解：(1)将A(1，2)代入一次函数解析式得：k＋1＝2，即k＝1，∴一次函数解析式为y＝x＋1；将A(1，2)代入反比例解析式得：m＝2，∴反比例解析式为y＝ ‎(2)设一次函数与x轴交于D点，令y＝0，求出x＝－1，即OD＝1，过A作AE垂直于x轴，垂足为E，则有AE ‎＝2，OE＝1，∵N(3，0)，∴点B横坐标为3，将x＝3代入一次函数得：y＝4，将x＝3代入反比例解析式得：y＝，∴B(3，4)，即ON＝3，BN＝4，C(3，)，即CN＝，则S△ABC＝S△BDN－S△ADE－S梯形AECN＝×4×4－×2×2－×(＋2)×2＝ ‎13．(10分)(2014·威海)已知反比例函数y＝(m为常数)的图象在第一、三象限．‎ ‎(1)求m的取值范围；‎ ‎(2)如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为(0，3)，(－2，0)．‎ ‎①求出函数解析式；‎ ‎②设点P是该反比例函数图象上的一点，若OD＝OP，则P点的坐标为____；若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为______个．‎ 解：(1)根据题意得1－2m＞0，解得m＜ ‎(2)①∵四边形ABOD为平行四边形，∴AD∥OB，AD＝OB＝2，而A点坐标为(0，3)，∴D点坐标为(2，3)，∴1－2m＝2×3＝6，∴反比例函数解析式为y＝；‎ ‎②∵反比例函数y＝的图象关于原点中心对称，∴当点P与点D关于原点对称，则OD＝OP，此时P点坐标为(－2，－3)，∵反比例函数y＝的图象关于直线y＝x对称，∴点P与点D(2，3)关于直线y＝x对称时满足OP＝OD，此时P点坐标为(3，2)，点(3，2)关于原点的对称点也满足OP＝OD，此时P点坐标为(－3，－2)，综上所述，P点的坐标为(－2，－3)，(3，2)，(－3，－2)；由于以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则以D点为圆心，DO为半径画弧交反比例函数图象于点P1，P2，则点P1，P2满足条件；以O点为圆心，OD为半径画弧交反比例函数图象于点P3，P4，则点P3，P4也满足条件，如图，∴满足条件的点P的个数为4个 ‎14．(10分)(2014·呼和浩特)如图，已知反比例函数y＝(x＞0，k是常数)的图象经过点A(1，4)，点B(m，n)，其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C.‎ ‎(1)写出反比例函数解析式；‎ ‎(2)求证：△ACB∽△NOM；‎ ‎(3)若△ACB与△NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式．‎ 解：(1)∵y＝过(1，4)点，∴k＝4，反比例函数的解析式为y＝ ‎(2)∵B(m，n)，A(1，4)在y＝的图象上，∴AC＝4－n，BC＝m－1，ON＝n，OM＝1，∴＝＝－1而B(m，n)在y＝上，∴＝m，∴＝m－1，而＝，∴＝.又∵∠ACB＝∠NOM＝90°，∴△ACB∽△NOM ‎(3)∵△ACB与△NOM的相似比为2，∴m－1＝2，∴m＝3，∴B点坐标为(3，)．设AB所在直线的解析式为y＝kx＋b，∴∴k＝－，b＝，∴所求解析式为y＝－x＋