- 2021-05-13 发布 |
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中考数学压轴题100题精选上
中考数学压轴题100题精选上 中考数学压轴题100题精选(1-10题) 【001】如图,已知抛物线(a≠0)经过点,抛物线的顶点为,过作射线.过顶点平行于轴的直线交射线于点,在轴正半轴上,连结. (1)求该抛物线的解析式; (2)若动点从点出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线运动,设点运动的时间为.问当为何值时,四边形分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形? (3)若,动点和动点分别从点和点同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为,连接,当为何值时,四边形的面积最小?并求出最小值及此时的长. x y M C D P Q O A B 【002】A C B P Q E D 图16 如图16,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC = 3,AB = 5.点P从点C出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0). (1)当t = 2时,AP = ,点Q到AC的距离是 ; (2)在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S与 t的函数关系式;(不必写出t的取值范围) (3)在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成 为直角梯形?若能,求t的值.若不能,请说明理由; (4)当DE经过点C 时,请直接写出t的值. 【003】如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式; (2)动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD 向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E,①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长? ②连接EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形? 请直接写出相应的t值。 【004】如图,已知直线与直线相交于点分别交轴于两点.矩形的顶点分别在直线上,顶点都在轴上,且点与点重合. (1)求的面积; (2)求矩形的边与的长; (3)若矩形从原点出发,沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移, 设移动时间为秒,矩形与重叠部分的面积为,求关 的函数关系式,并写出相应的的取值范围. A D B E O C F x y y (G) (第26题) 【005】如图1,在等腰梯形中,,是的中点,过点作交于点.,. (1)求点到的距离; (2)点为线段上的一个动点,过作交于点,过作交折线于点,连结,设. ①当点在线段上时(如图2),的形状是否发生改变?若不变,求出的周长;若改变,请说明理由; ②当点在线段上时(如图3),是否存在点,使为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的的值;若不存在,请说明理由. A D E B F C 图4(备用) A D E B F C 图5(备用) A D E B F C 图1 图2 A D E B F C P N M 图3 A D E B F C P N M (第25题) 【006】如图13,二次函数的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-1),ΔABC的面积为。 (1)求该二次函数的关系式; (2)过y轴上的一点M(0,m)作y轴的垂线,若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点,求m的取值范围; (3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ABCD为直角梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由。 【007】如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为(-3,4), 点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H. (1)求直线AC的解析式; (2)连接BM,如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S(S≠0),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围); (3)在(2)的条件下,当 t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角,并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值. 【008】如图所示,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E是AB的中点,CE⊥BD。 (1) 求证:BE=AD; (2) 求证:AC是线段ED的垂直平分线; (3) △DBC是等腰三角形吗?并说明理由。 【009】一次函数的图象分别与轴、轴交于点,与反比例函数的图象相交于点.过点分别作轴,轴,垂足分别为;过点分别作轴,轴,垂足分别为与交于点,连接. (1)若点在反比例函数的图象的同一分支上,如图1,试证明: ①; ②. (2)若点分别在反比例函数的图象的不同分支上,如图2,则与还相等吗?试证明你的结论. O C F M D E N K y x (第25题图1) O C D K F E N y x M (第25题图2) 【010】如图,抛物线与轴交于两点,与轴交于C点,且经过点,对称轴是直线,顶点是. (1)求抛物线对应的函数表达式; (2)经过两点作直线与轴交于点,在抛物线上是否存在这样的点,使以点为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由; (3)设直线与y轴的交点是,在线段上任取一点(不与重合),经过三点的圆交直线于点,试判断的形状,并说明理由; (4)当是直线上任意一点时,(3)中的结论是否成立?(请直接写出结论). O B x y A M C 1 (第26题图) 中考数学压轴题100题精选(1-10题)答案 【001】解:(1)抛物线经过点, 1分 二次函数的解析式为: 3分 (2)为抛物线的顶点过作于,则, 4分 x y M C D P Q O A B N E H 当时,四边形是平行四边形 5分 当时,四边形是直角梯形 过作于,则 (如果没求出可由求) 6分 当时,四边形是等腰梯形 综上所述:当、5、4时,对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形. 7分 (3)由(2)及已知,是等边三角形 则 过作于,则 8分 = 9分 当时,的面积最小值为 10分 此时 A C ) B P Q D 图3 E ) F 11分 【002】解:(1)1,; (2)作QF⊥AC于点F,如图3, AQ = CP= t,∴. A C B P Q E D 图4 由△AQF∽△ABC,, 得.∴. ∴, 即. (3)能. A C B P Q E D 图5 A C(E) ) B P Q D 图6 G A C(E) ) B P Q D 图7 G ①当DE∥QB时,如图4. ∵DE⊥PQ,∴PQ⊥QB,四边形QBED是直角梯形. 此时∠AQP=90°. 由△APQ ∽△ABC,得, 即. 解得. ②如图5,当PQ∥BC时,DE⊥BC,四边形QBED是直角梯形. 此时∠APQ =90°. 由△AQP ∽△ABC,得 , 即. 解得. (4)或. 【注:①点P由C向A运动,DE经过点C. 方法一、连接QC,作QG⊥BC于点G,如图6. ,. 由,得,解得. 方法二、由,得,进而可得 ,得,∴.∴. ②点P由A向C运动,DE经过点C,如图7. ,】 【003】解.(1)点A的坐标为(4,8) …………………1分 将A (4,8)、C(8,0)两点坐标分别代入y=ax2+bx 8=16a+4b 得 0=64a+8b 解 得a=-,b=4 ∴抛物线的解析式为:y=-x2+4x …………………3分 (2)①在Rt△APE和Rt△ABC中,tan∠PAE==,即= ∴PE=AP=t.PB=8-t. ∴点E的坐标为(4+t,8-t). ∴点G的纵坐标为:-(4+t)2+4(4+t)=-t2+8. …………………5分 ∴EG=-t2+8-(8-t) =-t2+t. ∵-<0,∴当t=4时,线段EG最长为2. …………………7分 ②共有三个时刻. …………………8分 t1=, t2=,t3= . …………………11分 【004】(1)解:由得点坐标为 由得点坐标为∴(2分) 由解得∴点的坐标为(3分) ∴(4分) (2)解:∵点在上且 ∴点坐标为(5分)又∵点在上且∴点坐标为(6分) ∴(7分) (3)解法一:当时,如图1,矩形与重叠部分为五边形(时,为四边形).过作于,则 A D B E O R F x y y M (图3) G C A D B E O C F x y y G (图1) R M A D B E O C F x y y G (图2) R M ∴即∴ ∴ 即(10分) 图1 A D E B F C G 【005】(1)如图1,过点作于点 1分 ∵为的中点, ∴ 在中,∴ 2分 ∴ 即点到的距离为 3分 (2)①当点在线段上运动时,的形状不发生改变. ∵∴ ∵∴, 同理 4分 如图2,过点作于,∵ 图2 A D E B F C P N M G H ∴ ∴ ∴ 则 在中, ∴的周长= 6分 ②当点在线段上运动时,的形状发生改变,但恒为等边三角形. 当时,如图3,作于,则 类似①, ∴ 7分 ∵是等边三角形,∴ 此时, 8分 图3 A D E B F C P N M 图4 A D E B F C P M N 图5 A D E B F(P) C M N G G R G 当时,如图4,这时 此时, 当时,如图5, 则又 ∴ 因此点与重合,为直角三角形. ∴ 此时, 综上所述,当或4或时,为等腰三角形. 【006】解:(1)OC=1,所以,q=-1,又由面积知0.5OC×AB=,得AB=, 设A(a,0),B(b,0)AB=b-a==,解得p=,但p<0,所以p=。 所以解析式为: (2)令y=0,解方程得,得,所以A(,0),B(2,0),在直角三角形AOC中可求得AC=,同样可求得BC=,显然AC2+BC2=AB2,得△ABC是直角三角形。AB为斜边,所以外接圆的直径为AB=,所以。 (3)存在,AC⊥BC,①若以AC为底边,则BD//AC,易求AC的解析式为y=-2x-1,可设BD的解析式为y=-2x+b,把B(2,0)代入得BD解析式为y=-2x+4,解方程组得D(,9) ② 若以BC为底边,则BC//AD,易求BC的解析式为y=0.5x-1,可设AD的解析式为y=0.5x+b,把 A(,0)代入得AD解析式为y=0.5x+0.25,解方程组得D() 综上,所以存在两点:(,9)或()。 【007】 【008】证明:(1)∵∠ABC=90°,BD⊥EC, ∴∠1与∠3互余,∠2与∠3互余, ∴∠1=∠2…………………………………………………1分 ∵∠ABC=∠DAB=90°,AB=AC ∴△BAD≌△CBE…………………………………………2分 ∴AD=BE……………………………………………………3分 (2)∵E是AB中点, ∴EB=EA由(1)AD=BE得:AE=AD……………………………5分 ∵AD∥BC∴∠7=∠ACB=45°∵∠6=45°∴∠6=∠7 由等腰三角形的性质,得:EM=MD,AM⊥DE。 即,AC是线段ED的垂直平分线。……………………7分 (3)△DBC是等腰三角(CD=BD)……………………8分 理由如下: 由(2)得:CD=CE由(1)得:CE=BD∴CD=BD ∴△DBC是等腰三角形。……………………………10分 【009】O C F M D E N K y x 图1 解:(1)①轴,轴, 四边形为矩形. 轴,轴, 四边形为矩形. 轴,轴, 四边形均为矩形. 1分 , , . . , , . 2分 ②由(1)知. . . 4分 , . 5分 . . 6分 轴, 四边形是平行四边形. . 7分 同理. . 8分 (2)与仍然相等. 9分 , O C D K F E N y x M 图2 , 又, . 10分 . . , . . . 11分 轴, 四边形是平行四边形. . 同理. . 12分 【010】y x E D N O A C M P N 1 F (第26题图) 解:(1)根据题意,得 2分 解得抛物线对应的函数表达式为. 3分 (2)存在. 在中,令,得. 令,得,. ,,. 又,顶点. 5分 容易求得直线的表达式是. 在中,令,得. ,. 6分 在中,令,得. . ,四边形为平行四边形,此时. 8分 (3)是等腰直角三角形. 理由:在中,令,得,令,得. 直线与坐标轴的交点是,. ,. 9分 又点,.. 10分 由图知,. 11分 ,且.是等腰直角三角形. 12分 (4)当点是直线上任意一点时,(3)中的结论成立. 14分 中考数学压轴题100题精选(11-20题) 【011】已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG. (1)求证:EG=CG; (2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由. (3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明) D F B A C E 第24题图③ F B A D C E G 第24题图② F B A D C E G 第24题图① 【012】如图,在平面直角坐标系中,半径为1的圆的圆心在坐标原点,且与两坐标轴分别交于四点.抛物线与轴交于点,与直线交于点,且分别与圆相切于点和点. (1)求抛物线的解析式; (2)抛物线的对称轴交轴于点,连结,并延长交圆于,求的长. (3)过点作圆的切线交的延长线于点,判断点是否在抛物线上,说明理由. O x y N C D E F B M A 【013】如图,抛物线经过三点. (1)求出抛物线的解析式; (2)P是抛物线上一动点,过P作轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得的面积最大,求出点D的坐标. O x y A B C 4 1 (第26题图) 【014】在平面直角坐标中,边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上,点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转,当点第一次落在直线上时停止旋转,旋转过程中,边交直线于点,边交轴于点(如图). (1)求边在旋转过程中所扫过的面积; (第26题) O A B C M N (2)旋转过程中,当和平行时,求正方形 旋转的度数; (3)设的周长为,在旋转正方形 的过程中,值是否有变化?请证明你的结论. 【015】如图,二次函数的图象经过点D(0,),且顶点C的横坐标为4,该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6. ⑴求二次函数的解析式; ⑵在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标; ⑶在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由. 【016】如图9,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点. (1)求正比例函数和反比例函数的解析式; (2)把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点,求的值和这个一次函数的解析式; (3)第(2)问中的一次函数的图象与轴、轴分别交于C、D,求过A、B、D三点的二次函数的解析式; (4)在第(3)问的条件下,二次函数的图象上是否存在点E,使四边形OECD的面积与四边形OABD的面积S满足:?若存在,求点E的坐标; 若不存在,请说明理由. y x O C D B A 3 3 6 【017】如图,已知抛物线经过,两点,顶点为. (1)求抛物线的解析式; (2)将绕点顺时针旋转90°后,点落到点的位置,将抛物线沿轴平移后经过点,求平移后所得图象的函数关系式; (3)设(2)中平移后,所得抛物线与轴的交点为,顶点为,若点在平移后的抛物线上,且满足的面积是面积的2倍,求点的坐标. y x B A O D (第26题) 【018】如图,抛物线经过、两点,与轴交于另一点 . (1)求抛物线的解析式; (2)已知点在第一象限的抛物线上,求点关于直线对称的点的坐标; (3)在(2)的条件下,连接,点为抛物线上一点,且,求点的坐标. y x O A B C 【019】如图所示,将矩形OABC沿AE折叠,使点O恰好落在BC上F处,以CF为边作正方形CFGH,延长BC至M,使CM=|CF—EO|,再以CM、CO为边作矩形CMNO (1)试比较EO、EC的大小,并说明理由 (2)令,请问m是否为定值?若是,请求出m的值;若不是,请说明理由 (3)在(2)的条件下,若CO=1,CE=,Q为AE上一点且QF=,抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点,请求出此抛物线的解析式. (4)在(3)的条件下,若抛物线y=mx2+bx+c与线段AB交于点P,试问在直线BC上是否存在点K,使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在,请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在,请说明理由。 【020】如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连结AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。 解答下列问题: (1)如果AB=AC,∠BAC=90°,①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF、BD之间的位置关系为 ,数量关系为 。 ②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么? (2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°点D在线段BC上运动。 试探究:当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC(点C、F重合除外)?画出相应图形,并说明理由。(画图不写作法) (3)若AC=4,BC=3,在(2)的条件下,设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P,求线段CP长的最大值。 中考数学压轴题100题精选(11-20题)答案 【011】解:(1)证明:在Rt△FCD中,∵G为DF的中点,∴ CG= FD.………1分 同理,在Rt△DEF中,EG= FD.…………2分∴ CG=EG.…………………3分 (2)(1)中结论仍然成立,即EG=CG.…………………………4分 证法一:连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点. 在△DAG与△DCG中,∵ AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG, ∴ △DAG≌△DCG.∴ AG=CG.………………………5分 在△DMG与△FNG中,∵ ∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG, ∴ △DMG≌△FNG.∴ MG=NG 在矩形AENM中,AM=EN. ……………6分 在Rt△AMG 与Rt△ENG中,∵ AM=EN, MG=NG, ∴ △AMG≌△ENG.∴ AG=EG.∴ EG=CG. ……………………………8分 证法二:延长CG至M,使MG=CG, 连接MF,ME,EC, ……………………4分 在△DCG 与△FMG中,∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG, ∴△DCG ≌△FMG.∴MF=CD,∠FMG=∠DCG. ∴MF∥CD∥AB.………………………5分∴ 在Rt△MFE 与Rt△CBE中, ∵ MF=CB,EF=BE,∴△MFE ≌△CBE.∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°.∴ △MEC为直角三角形.∵ MG = CG,∴ EG= MC.………8分 (3)(1)中的结论仍然成立,即EG=CG.其他的结论还有:EG⊥CG.……10分 【012】解:(1)圆心在坐标原点,圆的半径为1, 点的坐标分别为 抛物线与直线交于点,且分别与圆相切于点和点, .点在抛物线上,将 的坐标代入,得: 解之,得: 抛物线的解析式为:. 4分 (2) 抛物线的对称轴为, O x y N C D E F B M A P . 6分 连结, ,, 又, , . 8分 (3)点在抛物线上. 9分 设过点的直线为:, 将点的坐标代入,得:, 直线为:. 10分 过点作圆的切线与轴平行,点的纵坐标为, 将代入,得:. 点的坐标为,当时,, 所以,点在抛物线上. 12分 【013】解:(1)该抛物线过点,可设该抛物线的解析式为. 将,代入, 得解得 此抛物线的解析式为. (3分) (2)存在. (4分) 如图,设点的横坐标为, O x y A B C 4 1 (第26题图) D P M E 则点的纵坐标为, 当时, ,. 又, ①当时, , 即. 解得(舍去),. (6分) ②当时,,即. 解得,(均不合题意,舍去) 当时,. (7分) 类似地可求出当时,. (8分) 当时,. 综上所述,符合条件的点为或或. (9分) (3)如图,设点的横坐标为,则点的纵坐标为. 过作轴的平行线交于.由题意可求得直线的解析式为. (10分) 点的坐标为.. (11分) . 当时,面积最大.. (13分) 【014】(1)解:∵点第一次落在直线上时停止旋转,∴旋转了. ∴在旋转过程中所扫过的面积为.……………4分 (2)解:∵∥,∴,. ∴.∴.又∵,∴. 又∵,,∴.∴.∴.∴旋转过程中,当和平行时,正方形旋转的度数为.……………………………………………8分 (3)答:值无变化. 证明:延长交轴于点,则, ,∴.又∵,.∴.∴. (第26题) O A B C M N 又∵,, ∴. ∴.∴, ∴. ∴在旋转正方形的过程中,值无变化. ……………12分 【015】⑴设二次函数的解析式为:y=a(x-h)2+k∵顶点C的横坐标为4,且过点(0,) ∴y=a(x-4)2+k ………………① 又∵对称轴为直线x=4,图象在x轴上截得的线段长为6 ∴A(1,0),B(7,0) ∴0=9a+k ………………②由①②解得a=,k=∴二次函数的解析式为:y=(x-4)2- ⑵∵点A、B关于直线x=4对称 ∴PA=PB ∴PA+PD=PB+PD≥DB ∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值 ∴DB与对称轴的交点即为所求点P 设直线x=4与x轴交于点M ∵PM∥OD,∴∠BPM=∠BDO,又∠PBM=∠DBO ∴△BPM∽△BDO∴ ∴∴点P的坐标为(4,) ⑶由⑴知点C(4,),又∵AM=3,∴在Rt△AMC中,cot∠ACM=, ∴∠ACM=60o,∵AC=BC,∴∠ACB=120o ①当点Q在x轴上方时,过Q作QN⊥x轴于N 如果AB=BQ,由△ABC∽△ABQ有 BQ=6,∠ABQ=120o,则∠QBN=60o ∴QN=3,BN=3,ON=10,此时点Q(10,), 如果AB=AQ,由对称性知Q(-2,) ②当点Q在x轴下方时,△QAB就是△ACB,此时点Q的坐标是(4,), 经检验,点(10,)与(-2,)都在抛物线上 综上所述,存在这样的点Q,使△QAB∽△ABC 点Q的坐标为(10,)或(-2,)或(4,). 【016】解:(1)设正比例函数的解析式为, 因为的图象过点,所以,解得. 这个正比例函数的解析式为. (1分) 设反比例函数的解析式为.因为的图象过点,所以 ,解得.这个反比例函数的解析式为. (2分) (2)因为点在的图象上,所以,则点. (3分) 设一次函数解析式为.因为的图象是由平移得到的, 所以,即.又因为的图象过点,所以 ,解得,一次函数的解析式为. (4分) (3)因为的图象交轴于点,所以的坐标为. 设二次函数的解析式为. 因为的图象过点、、和, 所以 (5分) 解得 这个二次函数的解析式为. (6分) (4)交轴于点,点的坐标是, y x O C D B A 3 3 6 E 如图所示, . 假设存在点,使. 四边形的顶点只能在轴上方,, . ,.在二次函数的图象上, .解得或. 当时,点与点重合,这时不是四边形,故舍去, 点的坐标为. (8分) 【017】解:(1)已知抛物线经过, 解得 所求抛物线的解析式为. 2分 (2),, 可得旋转后点的坐标为 3分 当时,由得, 可知抛物线过点 将原抛物线沿轴向下平移1个单位后过点. 平移后的抛物线解析式为:. 5分 (3)点在上,可设点坐标为 将配方得,其对称轴为. 6分 y x C B A O N D B1 D1 图① ①当时,如图①, 此时 y x C B A O D B1 D1 图② N 点的坐标为. 8分 ②当时,如图② 同理可得 此时 点的坐标为. 综上,点的坐标为或. 10分 【018】解:(1)抛物线经过,两点, 解得 抛物线的解析式为. y x O A B C D E (2)点在抛物线上,, 即,或. 点在第一象限,点的坐标为. 由(1)知. 设点关于直线的对称点为点. ,,且, , 点在轴上,且. ,. 即点关于直线对称的点的坐标为(0,1). (3)方法一:作于,于. y x O A B C D E P F 由(1)有:, . ,且. , . ,,, . 设,则,, . 点在抛物线上, , (舍去)或,. y x O A B C D P Q G H 方法二:过点作的垂线交直线于点,过点作轴于.过点作于. . , 又,. ,,. 由(2)知,. ,直线的解析式为. 解方程组得 点的坐标为. 【019】(1)EO>EC,理由如下: 由折叠知,EO=EF,在Rt△EFC中,EF为斜边,∴EF>EC, 故EO>EC …2分 (2)m为定值 ∵S四边形CFGH=CF2=EF2-EC2=EO2-EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC) S四边形CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC) ·CO ∴ ……………………………………………………4分 (3)∵CO=1, ∴EF=EO= ∴cos∠FEC= ∴∠FEC=60°, ∴ ∴△EFQ为等边三角形, …………………………………………5分 作QI⊥EO于I,EI=,IQ= ∴IO= ∴Q点坐标为 ……………………………………6分 ∵抛物线y=mx2+bx+c过点C(0,1), Q ,m=1 ∴可求得,c=1 ∴抛物线解析式为 ……………………………………7分 (4)由(3), 当时,<AB ∴P点坐标为 …………………8分 ∴BP=AO 方法1:若△PBK与△AEF相似,而△AEF≌△AEO,则分情况如下: ①时,∴K点坐标为或 ②时, ∴K点坐标为或…………10分 故直线KP与y轴交点T的坐标为 …………………………………………12分 方法2:若△BPK与△AEF相似,由(3)得:∠BPK=30°或60°,过P作PR⊥y轴于R,则∠RTP=60°或30° ①当∠RTP=30°时, ②当∠RTP=60°时, ∴ ……………………………12分 【020】解:(1)①CF⊥BD,CF=BD ②成立,理由如下:∵∠FAD=∠BAC=90° ∴∠BAD=∠CAF 又 BA=CA ,AD=AF ∴△BAD≌△CAF∴CF=BD ∠ACF=∠ACB=45° ∴∠BCF=90° ∴CF⊥BD ……(1分) (2)当∠ACB=45°时可得CF⊥BC,理由如下: 如图:过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G 则∵∠ACB=45° ∴AG=AC ∠AGC=∠ACG=45° ∵AG=AC AD=AF ………(1分) ∴△GAD≌△CAF(SAS) ∴∠ACF=∠AGD=45° ∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90° ∴CF⊥BC …………(2分) (3)如图:作AQBC于Q ∵∠ACB=45° AC=4 ∴CQ=AQ=4 ∵∠PCD=∠ADP=90°∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90° ∴△ADQ∽△DPC …(1分) ∴= 设CD为x(0<x<3)则DQ=CQ-CD=4-x则= …………(1分) ∴PC=(-x2+4x)=-(x-2)2+1≥1 当x=2时,PC最长,此时PC=1 ………(1分) 中考数学压轴题100题精选(21-30题) 【021】如图,点P是双曲线上一动点,过点P作x轴、y轴的垂线,分别交x轴、y轴于A、B两点,交双曲线y= (0<k2<|k1|)于E、F两点. (1)图1中,四边形PEOF的面积S1= ▲ (用含k1、k2的式子表示); (2)图2中,设P点坐标为(-4,3). ①判断EF与AB的位置关系,并证明你的结论; ②记,S2是否有最小值?若有,求出其最小值;若没有,请说明理由。 【022】一开口向上的抛物线与x轴交于A(m-2,0),B(m+2,0)两点,记抛物线顶点为C,且AC⊥BC. (1)若m为常数,求抛物线的解析式; (2)若m为小于0的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点? (3)设抛物线交y轴正半轴于D点,问是否存在实数m,使得△BCD为等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. 【023】如图,在梯形中,点是的中点,是等边三角形. (1)求证:梯形是等腰梯形; (2)动点、分别在线段和上运动,且保持不变.设求与的函数关系式; (3)在(2)中:①当动点、运动到何处时,以点、和点、、、中的两个点为顶点的四边形是平行四边形?并指出符合条件的平行四边形的个数;②当取最小值时,判断的形状,并说明理由. A D C B P M Q 60° 【024】如图,已知为直角三角形,,,点、在轴上,点坐标为(,)(),线段与轴相交于点,以(1,0)为顶点的抛物线过点、. (1)求点的坐标(用表示); (2)求抛物线的解析式; (3)设点为抛物线上点至点之间的一动点,连结并延长交于点,连结 并延长交于点,试证明:为定值. 【025】如图12,直线与两坐标轴分别相交于A、B点,点M是线段AB上任意一点(A、B两点除外),过M分别作MC⊥OA于点C,MD⊥OB于D. (1)当点M在AB上运动时,你认为四边形OCMD的周长是否发生变化?并说明理由; (2)当点M运动到什么位置时,四边形OCMD的面积有最大值?最大值是多少? (3)当四边形OCMD为正方形时,将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动,设平移的距离为,正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S.试求S与的函数关系式并画出该函数的图象. B x y M C D O A 图12(1) B x y O A 图12(2) B x y O A 图12(3) 【026】如图11,在△ABC中,∠C=90°,BC=8,AC=6,另有一直角梯形DEFH (HF∥DE,∠HDE=90°)的底边DE落在CB上,腰DH落在CA上,且DE=4,∠DEF=∠CBA,AH∶AC=2∶3 (1)延长HF交AB于G,求△AHG的面积. (2)操作:固定△ABC,将直角梯形DEFH以每秒1个 单位的速度沿CB方向向右移动,直到点D与点B 重合时停止,设运动的时间为t秒,运动后的直角梯 形为DEFH′(如图12). 探究1:在运动中,四边形CDH′H能否为正方形?若能, 请求出此时t的值;若不能,请说明理由. 探究2:在运动过程中,△ABC与直角梯形DEFH′重叠 部分的面积为y,求y与t的函数关系. 【027】阅读材料: 如图12-1,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法:,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题: 如图12-2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B. (1)求抛物线和直线AB的解析式; (2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结PA,PB,当P点运动到顶点C时,求△CAB的铅垂高CD及; 图12-2 x C O y A B D 1 1 (3)是否存在一点P,使S△PAB=S△CAB,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由. 【028】如图,已知抛物线与交于A(-1,0)、E(3,0)两点,与轴交于点B(0,3)。 (1) 求抛物线的解析式; (2) 设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积; (3) △AOB与△DBE是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。 【029】已知二次函数。 (1)求证:不论a为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点。 (2)设a<0,当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时,求出此二次函数的解析式。 (3)若此二次函数图象与x轴交于A、B两点,在函数图象上是否存在点P,使得△PAB的面积为,若存在求出P点坐标,若不存在请说明理由。 【030】如图,已知射线DE与轴和轴分别交于点和点.动点从点出发,以1个单位长度/秒的速度沿轴向左作匀速运动,与此同时,动点P从点D出发,也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动.设运动时间为秒. (1)请用含的代数式分别表示出点C与点P的坐标; (2)以点C为圆心、个单位长度为半径的与轴交于A、B两点(点A在点B 的左侧),连接PA、PB. O x y E P D A B M C ①当与射线DE有公共点时,求的取值范围; ②当为等腰三角形时,求的值. 中考数学压轴题100题精选(21-30题)答案 【021】解:(1); … ………………………………3分 (2)①EF∥AB. ……………………………………4分 证明:如图,由题意可得A(–4,0),B(0,3),, . ∴PA=3,PE=,PB=4,PF=. ∴, ∴. ………………………… 6分 又∵∠APB=∠EPF. ∴△APB ∽△EPF,∴∠PAB=∠PEF. ∴EF∥AB. …………………………… 7分 ②S2没有最小值,理由如下: 过E作EM⊥y轴于点M,过F作FN⊥x轴于点N,两线交于点Q. 由上知M(0,),N(,0),Q(,). ……………… 8分 而S△EFQ= S△PEF,∴S2=S△PEF-S△OEF=S△EFQ-S△OEF=S△EOM+S△FON+S矩形OMQN == =. ………………………… 10分 当时,S2的值随k2的增大而增大,而0<k2<12. …………… 11分 ∴0<S2<24,s2没有最小值. …………………………… 12分 说明:1.证明AB∥EF时,还可利用以下三种方法.方法一:分别求出经过A、B两点和经过E、F两点的直线解析式,利用这两个解析式中x的系数相等来证明AB∥EF;方法二:利用=来证明AB∥EF;方法三:连接AF、BE,利用S△AEF=S△BFE得到点A、点B到直线EF的距离相等,再由A、B两点在直线EF同侧可得到AB∥EF. 2.求S2的值时,还可进行如下变形: S2= S△PEF-S△OEF=S△PEF-(S四边形PEOF-S△PEF)=2 S△PEF-S四边形PEOF,再利用第(1)题中的结论. 【022】解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x-m+2)(x-m-2)=a(x-m)2-4a.……2分 ∵AC⊥BC,由抛物线的对称性可知:△ACB是等腰直角三角形,又AB=4, ∴C(m,-2)代入得a=.∴解析式为:y=(x-m)2-2.………………………5分 (亦可求C点,设顶点式) (2)∵m为小于零的常数,∴只需将抛物线向右平移-m个单位,再向上平移2个单位,可以使抛物线y=(x-m)2-2顶点在坐标原点.……………………………………7分 (3)由(1)得D(0,m2-2),设存在实数m,使得△BOD为等腰三角形. ∵△BOD为直角三角形,∴只能OD=OB.……………………………………………9分 ∴m2-2=|m+2|,当m+2>0时,解得m=4或m=-2(舍). 当m+2<0时,解得m=0(舍)或m=-2(舍); 当m+2=0时,即m=-2时,B、O、D三点重合(不合题意,舍) 综上所述:存在实数m=4,使得△BOD为等腰三角形.……………………………12分 A D C B P M Q 60° 【023】(1)证明:∵是等边三角形 ∴ ∵是中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴梯形是等腰梯形. (2)解:在等边中, ∴ ∴∴ ∴ 5分 ∵ ∴ 6分 ∴ ∴ 7分 (3)解:①当时,则有 则四边形和四边形均为平行四边形∴ 当时,则有 , 则四边形和四边形均为平行四边形 ∴ ∴当或时,以P、M和A、B、C、 D 中的两个点为顶点的四边形是平行四边形.此时平行四边形有4个. 为直角三角形 ∵ ∴当取最小值时, ∴是的中点,而∴∴ 【024】(1)由可知,,又△ABC为等腰直角三角形, ∴,,所以点A的坐标是(). (2)∵ ∴,则点的坐标是(). 又抛物线顶点为,且过点、,所以可设抛物线的解析式为:,得: 解得 ∴抛物线的解析式为 ………7分 (3)过点作于点,过点作于点,设点的坐标是,则,. ∵ ∴∽ ∴ 即,得 ∵ ∴∽ ∴ 即,得 又∵ ∴ 即为定值8. 【025】解:(1)设点M的横坐标为x,则点M的纵坐标为-x+4(0查看更多