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文档介绍
中考数学压轴题
1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动． （1）求AC、BC的长； （2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由； （4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由． 解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm； （2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H， ∵AP=x，∴BP=10﹣x，BQ=2x，∵△QHB∽△ACB， ∴，∴QH=x，y=BP•QH=（10﹣x）•x=﹣x2+8x（0＜x≤3）， ②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′， ∵AP=x， ∴BP=10﹣x，AQ=14﹣2x，∵△AQH′∽△ABC， ∴，即：，解得：QH′=（14﹣x）， ∴y=PB•QH′=（10﹣x）•（14﹣x）=x2﹣x+42（3＜x＜7）； ∴y与x的函数关系式为：y=； （3）∵AP=x，AQ=14﹣x， ∵PQ⊥AB，∴△APQ∽△ACB，∴，即：， 解得：x=，PQ=，∴PB=10﹣x=，∴， ∴当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似； （4）存在． 理由：∵AQ=14﹣2x=14﹣10=4，AP=x=5，∵AC=8，AB=10， ∴PQ是△ABC的中位线，∴PQ∥AB，∴PQ⊥AC， ∴PQ是AC的垂直平分线，∴PC=AP=5，∴当点M与P重合时，△BCM的周长最小， ∴△BCM的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16．∴△BCM的周长最小值为16． 2、（12分） 如图，矩形ABCD中，点P在边CD上，且与点C、 D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，PQ的中点为M. (1)求证：△ADP∽△ABQ； (2)若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x, BM 2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM长的最小值； (3)若AD=10, AB=a， DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化，当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围。 解：(1)证明：∵ 四边形ABCD是矩形 ∴∠ADP=∠ABC=∠BAD=90° ∵∠ABC+∠ABQ=180° 10 x 20-x N ∴∠ABQ=∠ADP =90° ∵AQ⊥AP ∴∠PAQ=90° ∴∠QAB+ ∠BAP=90° 又∵∠PAD+∠BAP=90° ∴∠PAD=∠QAB 在△ADP与△ABQ中 ∵ ∴△ADP∽△ABQ （2）如图，作MN⊥QC，则∠QNM=∠QCD=90° 又∵∠MQN=∠PQC ∴△MQN∽△PQC ∴ ∵点M是PQ的中点 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵△ADP∽△ABQ ∴ ∴ ∵ ∴ 在Rt△MBN中，由勾股定理得： 即： 10 8 A B C P D Q M 10 a 10 当即时，线段BM长的最小值. (3)如图，当点PQ中点M落在AB上时，此时QB=BC=10 由△ADP∽△ABQ得解得： ∴随着a的大小的变化，点M的位置也在变化， 当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围为： 3、如图，抛物线关于直线对称，与坐标轴交于三点，且,点在抛物线上，直线是一次函数的图象，点是坐标原点.（1）求抛物线的解析式； （2）若直线平分四边形的面积，求的值. （3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于两点，问在轴正半轴上是否存在一定点，使得不论取何值，直线与总是关于轴对称？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 答案：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0), 由点D(2，1.5)在抛物线上，所以，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5, 又，即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,从而c=1.5,所以. 24．（14分）（2013•温州）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（6，0），B（0.8），点C的坐标为（0，m），过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴上的一动点，连接CD，DE，以CD，DE为边作▱CDEF． （1）当0＜m＜8时，求CE的长（用含m的代数式表示）； （2）当m=3时，是否存在点D，使▱CDEF的顶点F恰好落在y轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得▱CDEF为矩形，请求出所有满足条件的m的值． 解答： 解：（1）∵A（6，0），B（0，8）． ∴OA=6，OB=8． ∴AB=10， ∵∠CEB=∠AOB=90°， 又∵∠OBA=∠EBC， ∴△BCE∽△BAO， ∴=，即=， ∴CE=﹣m； （2）∵m=3， ∴BC=8﹣m=5，CE=﹣m=3． ∴BE=4， ∴AE=AB﹣BE=6． ∵点F落在y轴上（如图2）． ∴DE∥BO， ∴△EDA∽△BOA， ∴=即=． ∴OD=， ∴点D的坐标为（，0）． （3）取CE的中点P，过P作PG⊥y轴于点G． 则CP=CE=﹣m． （Ⅰ）当m＞0时， ①当0＜m＜8时，如图3．易证∠GCP=∠BAO， ∴cos∠GCP=cos∠BAO=， ∴CG=CP•cos∠GCP=（﹣m）=﹣m． ∴OG=OC+OG=m+﹣m=m+． 根据题意得，得：OG=CP， ∴m+=﹣m， 解得：m=； ②当m≥8时，OG＞CP，显然不存在满足条件的m的值． （Ⅱ）当m=0时，即点C与原点O重合（如图4）． （Ⅲ）当m＜0时， ①当点E与点A重合时，（如图5）， 易证△COA∽△AOB， ∴=，即=， 解得：m=﹣． ②当点E与点A不重合时，（如图6）． OG=OC﹣OG=﹣m﹣（﹣m） =﹣m﹣． 由题意得：OG=CP， ∴﹣m﹣=﹣m． 解得m=﹣． 综上所述，m的值是或0或﹣或﹣． 28、如图，过原点的直线l1：y=3x，l2：y=x．点P从原点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动．直线PQ交y轴正半轴于点Q，且分别交l1、l2于点A、B．设点P的运动时间为t秒时，直线PQ的解析式为y=﹣x+t．△AOB的面积为Sl（如图①）．以AB为对角线作正方形ACBD，其面积为S2（如图②）．连接PD并延长，交l1于点E，交l2于点F．设△PEA的面积为S3；（如图③） （1）Sl关于t的函数解析式为 _________ ；（2）直线OC的函数解析式为 _________ ； （3）S2关于t的函数解析式为 _________ ；（4）S3关于t的函数解析式为 _________ ． 解：（1）由， 得， ∴A点坐标为（，） 由 得 ∴B点坐标为（，）． ∴S1=S△AOP﹣S△BOP=t2（2）由（1）得，点C的坐标为（，）． 设直线OC的解析式为y=kx，根据题意得=， ∴k=， ∴直线OC的解析式为y=x． （3）由（1）、（2）知，正方形ABCD的边长CB=t﹣=， ∴S2=CB2=（）2=． （4）设直线PD的解析式为y=k1x+b，由（1）知，点D的坐标为（t，）， 将P（t，0）、D（）代入得， 解得 ∴直线PD的解析式为y= 由， 得 ∴E点坐标为（，） ∴S3=S△EOP﹣S△AOP=t•t﹣t•t=t2． 25．（10分）（2013•天津）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），点B（0，4），点E在OB上，且∠OAE=∠0BA． （Ⅰ）如图①，求点E的坐标； （Ⅱ）如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′． ①设AA′=m，其中0＜m＜2，试用含m的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标； ②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）． 考点： 相似形综合题．3718684 分析： （Ⅰ）根据相似三角形△OAE∽△OBA的对应边成比例得到=，则易求OE=1 ，所以E（0，1）； （Ⅱ）如图②，连接EE′．在Rt△A′BO中，勾股定理得到A′B2=（2﹣m）2+42=m2﹣4m+20，在Rt△BE′E中，利用勾股定理得到BE′2=E′E2+BE2=m2+9，则 A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2（m﹣1）2+27．所以由二次函数最值的求法知，当m=1即点E′的坐标是（1，1）时，A′B2+BE′2取得最小值． 解答： 解：（Ⅰ）如图①，∵点A（﹣2，0），点B（0，4）， ∴OA=2，OB=4． ∵∠OAE=∠0BA，∠EOA=∠AOB=90°， ∴△OAE∽△OBA， ∴=，即=， 解得，OE=1， ∴点E的坐标为（0，1）； （Ⅱ）①如图②，连接EE′． 由题设知AA′=m（0＜m＜2），则A′O=2﹣m． 在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，得A′B2=（2﹣m）2+42=m2﹣4m+20． ∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的， ∴EE′∥AA′，且EE′=AA′． ∴∠BEE′=90°，EE′=m． 又BE=OB﹣OE=3， ∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=m2+9， ∴A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2（m﹣1）2+27． 当m=1时，A′B2+BE′2可以取得最小值，此时，点E′的坐标是（1，1）． ②如图②，过点A作AB′⊥x，并使AB′=BE=3． 易证△AB′A′≌△EBE′， ∴B′A=BE′， ∴A′B+BE′=A′B+B′A′． 当点B、A′、B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值． 易证△AB′A′∽△OBA′， ∴==， ∴AA′=×2=， ∴EE′=AA′=， ∴点E′的坐标是（，1）． 点评： 本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平移的性质以及勾股定理等知识点．此题难度较大，需要学生对知识有一个系统的掌握． 17、（12分）（2013•雅安）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值； （3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S． ①求S与m的函数关系式； ②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标； 若不存在，请说明理由． 解：（1）由题意可知： 解得： ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3； （2）∵△PBC的周长为：PB+PC+BC ∵BC是定值， ∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小， ∵点A、点B关于对称轴I对称， ∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点 ∵AP=BP ∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC ∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）， ∴AC=3，BC=； （3）①∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3顶点D的坐标为（﹣1，4） ∵A（﹣3，0） ∴直线AD的解析式为y=2x+6 ∵点E的横坐标为m， ∴E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3） ∴EF=﹣m2﹣2m+3﹣（2m+6） =﹣m2﹣4m﹣3 ∴S=S△DEF+S△AEF =EF•GH+EF•AC =EF•AH =（﹣m2﹣4m﹣3）×2 =﹣m2﹣4m﹣3； ②S=﹣m2﹣4m﹣3 =﹣（m+2）2+1； ∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1 此时点E的坐标为（﹣2，2）． 16、（12分）（2013•南昌）已知抛物线yn=﹣（x﹣an）2+an（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜an）与x轴的交点为An﹣1（bn﹣1，0）和An（bn，0），当n=1时，第1条抛物线y1=﹣（x﹣a1）2+a1与x轴的交点为A0（0，0）和A1（b1，0），其他依此类推． （1）求a1，b1的值及抛物线y2的解析式； （2）抛物线y3的顶点坐标为（ ， ）；依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为（ ， ）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是 ； （3）探究下列结论： ①若用An﹣1An表示第n条抛物线被x轴截得的线段长，直接写出A0A1的值，并求出An﹣1An； ②是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵当n=1时，第1条抛物线y1=﹣（x﹣a1）2+a1与x轴的交点为A0（0，0）， ∴0=﹣（0﹣a1）2+a1，解得a1=1或a1=0． 由已知a1＞0，∴a1=1， ∴y1=﹣（x﹣1）2+1． 令y1=0，即﹣（x﹣1）2+1=0，解得x=0或x=2， ∴A1（2，0），b1=2． 由题意，当n=2时，第2条抛物线y2=﹣（x﹣a2）2+a2经过点A1（2，0）， ∴0=﹣（2﹣a2）2+a2，解得a2=1或a2=4， ∵a1=1，且已知a2＞a1， ∴a2=4， ∴y2=﹣（x﹣4）2+4． ∴a1=1，b1=2，y2=﹣（x﹣4）2+4． （2）抛物线y2=﹣（x﹣4）2+4，令y2=0，即﹣（x﹣4）2+4=0，解得x=2或x=6． ∵A1（2，0）， ∴A2（6，0）． 由题意，当n=3时，第3条抛物线y3=﹣（x﹣a3）2+a3经过点A2（6，0）， ∴0=﹣（6﹣a3）2+a3，解得a3=4或a3=9． ∵a2=4，且已知a3＞a2， ∴a3=9， ∴y3=﹣（x﹣9）2+9． ∴y3的顶点坐标为（9，9）． 由y1的顶点坐标（1，1），y2的顶点坐标（4，4），y3的顶点坐标（9，9）， 依此类推，yn的顶点坐标为（n2，n2）． ∵所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标， ∴顶点坐标满足的函数关系式是：y=x． （3）①∵A0（0，0），A1（2，0）， ∴A0A1=2． yn=﹣（x﹣n2）2+n2，令yn=0，即﹣（x﹣n2）2+n2=0， 解得x=n2+n或x=n2﹣n， ∴An﹣1（n2﹣n，0），An（n2+n，0），即An﹣1An=（n2+n）﹣（n2﹣n）=2n． ②存在． 设过点（2，0）的直线解析式为y=kx+b，则有：0=2k+b，得b=﹣2k， ∴y=kx﹣2k． 设直线y=kx﹣2k与抛物线yn=﹣（x﹣n2）2+n2交于E（x1，y1），F（x2，y2）两点， 联立两式得：kx﹣2k=﹣（x﹣n2）2+n2，整理得：x2+（k﹣2n2）x+n4﹣n2﹣2k=0， ∴x1+x2=2n2﹣k，x1•x2=n4﹣n2﹣2k． 过点F作FG⊥x轴，过点E作EG⊥FG于点G，则EG=x2﹣x1， FG=y2﹣y1=[﹣（x2﹣n2）2+n2]﹣[﹣（x1﹣n2）2+n2]=（x1+x2﹣2n2）（x1﹣x2）=k（x2﹣x1）． 在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF2=EG2+FG2， 即：EF2=（x2﹣x1）2+[k（x2﹣x1）]2=（k2+1）（x2﹣x1）2=（k2+1）[（x1+x2）2﹣4x1•x2]， 将x1+x2=2n2﹣k，x1•x2=n4﹣n2﹣2k代入，整理得：EF2=（k2+1）[4n2•（1﹣k）+k2+8k]， 当k=1时，EF2=（1+1）（1+8）=9，∴EF=3为定值， ∴k=1满足条件，此时直线解析式为y=x﹣2． ∴存在满足条件的直线，该直线的解析式为y=x﹣2． 15．（2012义乌市）如图1，已知直线y=kx与抛物线y=交于点A（3，6）． （1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度； （2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由； （3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？ 解答：解：（1）把点A（3，6）代入y=kx 得； ∵6=3k， ∴k=2， ∴y=2x．（2012义乌市） OA=．…（3分） （2）是一个定值，理由如下： 如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H． ①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合， 此时； ②当QH与QM不重合时， ∵QN⊥QM，QG⊥QH 不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上， ∴∠MQH=∠GQN， 又∵∠QHM=∠QGN=90° ∴△QHM∽△QGN…（5分）， ∴， 当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得． …（7分）①① （3）如答图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R ∵∠AOD=∠BAE， ∴AF=OF， ∴OC=AC=OA= ∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC， ∴△AOR∽△FOC， ∴， ∴OF=， ∴点F（，0）， 设点B（x，）， 过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF， ∴， 即， 解得x1=6，x2=3（舍去）， ∴点B（6，2）， ∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4， ∴AB=5 …（8分）； （求AB也可采用下面的方法） 设直线AF为y=kx+b（k≠0）把点A（3，6），点F（，0）代入得 k=，b=10， ∴， ∴， ∴（舍去），， ∴B（6，2）， ∴AB=5…（8分） （其它方法求出AB的长酌情给分） 在△ABE与△OED中 ∵∠BAE=∠BED， ∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB， ∴∠ABE=∠DEO， ∵∠BAE=∠EOD， ∴△ABE∽△OED．…（9分） 设OE=x，则AE=﹣x （）， 由△ABE∽△OED得， ∴ ∴（）…（10分） ∴顶点为（，） 如答图3，当时，OE=x=，此时E点有1个； 当时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个． ∴当时，E点只有1个…（11分） 当时，E点有2个…（12分）． 已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4，如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D。 （Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标； （Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围； （Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，且使B′D∥OB，求此时点C的坐标。 解：（Ⅰ）如图（1），折叠后点B与点A重合，连接AC， 则△ACD≌△BCD， 设点C的坐标为（0，m）（m>0）， 则BC=OB-OC=4-m， 于是AC=BC=4-m， 在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC2=OC2+OA2， 即（4-m）2=m2+22，解得m=， ∴点C的坐标为； （Ⅱ）如图（2），折叠后点B落在OA边上的点为B′连接B′C，B′D， 则△B′CD≌△BCD， 由题设OB′=x，OC=y， 则B′C=BC=OB-OC=4-y， 在Rt△B′OC中，由勾股定理， 得B′C2=OC2+OB′2， ∴（4-y）2=y2+x2， 即， 由点B′在边OA上，有0≤x≤2， ∴解析式（0≤x≤2）为所求， ∵当0≤x≤2时，y随x的增大而减小， ∴y的取值范围为； （Ⅲ）如图（3），折叠后点B落在OA边上的点为B′，连接B′C，B′D，B′D∥OB， 则∠OCB′=∠CB′D， 又∵∠CBD=∠CB′D， ∴∠CB′=∠CBD， ∴CB′∥BA， ∴Rt△COB′∽Rt△BOA， 有， 得OC=20B′， 在Rt△B′OC中，设OB′=x0（x0>0），则OC=2x0， 由（Ⅱ）的结论，得2x0=， 解得x0=， ∵x0>0， ∴x0=， ∴点C的坐标为。 12、在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴上，点P在AB上，PA=1，AO=2．经过原点的抛物线y=mx2﹣x+n的对称轴是直线x=2． （1）求出该抛物线的解析式． （2）如图1，将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在P点处，两直角边恰好分别经过点O和C．现在利用图2进行如下探究： ①将三角板从图1中的位置开始，绕点P顺时针旋转，两直角边分别交OA、OC于点E、F，当点E和点A重合时停止旋转．请你观察、猜想，在这个过程中，的值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，求出的值． ②设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为D，顶点为M，在①的旋转过程中，是否存在点F，使△DMF为等腰三角形？若不存在，请说明理由． （1）∵抛物线y=mx2﹣x+n经过原点，∴n=0． ∵对称轴为直线x=2，∴﹣=2，解得m=． ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x． （2）①的值不变．理由如下： 如答图1所示，过点P作PG⊥x轴于点G，则PG=AO=2． ∵PE⊥PF，PA⊥PG，∴∠APE=∠GPF． 在Rt△PAE与Rt△PGF中， ∵∠APE=∠GPF，∠PAE=∠PGF=90°， ∴Rt△PAE∽Rt△PGF． ∴==． ②存在． 抛物线的解析式为：y=x2﹣x， 令y=0，即x2﹣x=0，解得：x=0或x=4，∴D（4，0）． 又y=x2﹣x=（x﹣2）2﹣1，∴顶点M坐标为（2，﹣1）． 若△DMF为等腰三角形，可能有三种情形： （I）FM=FD．如答图2所示： 过点M作MN⊥x轴于点N，则MN=1，ND=2，MD===． 设FM=FD=x，则NF=ND﹣FD=2﹣x． 在Rt△MNF中，由勾股定理得：NF2+MN2=MF2， 即：（2﹣x）2+1=x2，解得：x=， ∴FD=，OF=OD﹣FD=4﹣=， ∴F（，0）； （II）若FD=DM．如答图3所示： 此时FD=DM=，∴OF=OD﹣FD=4﹣． ∴F（4﹣，0）； （III）若FM=MD． 由抛物线对称性可知，此时点F与原点O重合． 而由题意可知，点E与点A重合后即停止运动，故点F不可能运动到原点O． ∴此种情形不存在． 综上所述，存在点F（，0）或F（4﹣，0），使△DMF为等腰三角形． 如图1，两块等腰直角三角板ABC和DEF有一条边在同一条直线l上，∠ABC =∠DEF = 90°，AB = 1，DE = 2．将直线EB绕点E逆时针旋转45°，交直线AD于点M．将图1中的三角板ABC沿直线l向右平移，设C、E两点间的距离为x． 11、 （第11题图1） C D E A F M l B （第11题图2） D E F(C) A B M l 请你和艾思轲同学一起尝试探究下列问题： （1）①当点C与点F重合时，如图2所示，可得的值为 ； ②在平移过程中，的值为 （用含x的代数式表示）； （2）艾思轲同学将图2中的三角板ABC绕点C逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变． 当点A落在线段DF上时，如图3所示，请你帮他补全图形，并计算的值； （3）艾思轲同学又将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转度，，原题中的其他条件保持不变．请你计算的值（用含x的代数式表示）． （第11题备用图） D E F l （第11题图3） D E F(C) l A B 11．解：（1）① 1． ………………………………………………………………………（2分） ②． ………………………………………………………………………（2分） （2）联结AE，补全图形如图1所示．…………………………………………（1分） ∵△ABC和△DEF是等腰直角三角形， ∠ABC =∠DEF = 90°，AB = 1，DE = 2， ∴BC = 1，EF = 2，∠DFE =∠ACB = 45°． ∴，，∠EFB = 90°． ∴，∴点A为DF的中点．………………………（1分） ∴EA⊥DF，EA平分∠DEF． ∴∠MAE = 90°，∠AEF = 45°，． ∵∠MEB =∠AEF = 45°，∴∠MEA =∠BEF． ∴Rt△MAE∽Rt△BFE．……………………………………………………（1分） ∴，∴．……………………………………………（1分） （第25题图1） D E F(C) l A B M （第25题图2） D E A F M l C B G ∴，∴．……………………（1分） （3）如图2，过点B作BE的垂线交直线EM于点G，联结AG． ∵∠EBG = 90°，∠BEM = 45°，∴∠BGE = 45°． ∴BE = BG．…………………………………………………………………（1分） ∵∠ABC =∠EBG = 90°，∴∠ABG =∠CBE．……………………………（1分） 又∵BA = BC，∴△ABG≌△CBE．………………………………………（1分） ∴AG = CE = x，∠AGB =∠CEB． ∵∠AGB +∠AGM =∠CEB +∠DEM = 45°， ∴∠AGM =∠DEM，∴AG∥DE．…………………………………………（1分） ∴．…………………………………………………………（1分） 注：第（3）小题直接写出结果不得分 10、如图，抛物线：y＝ax2＋bx＋4与x轴交于点A(－2，0)和B(4，0)、与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)T是抛物线对称轴上的一点，且△ACT是以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标； 3)点M、Q分别从点A、B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行．当点M原点时，点Q立刻掉头并以每秒3/2个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动．过点M的直线l⊥轴，交AC或BC于点P．求点M的运动时间t(秒)与△APQ的面积S的函数关系式，并求出S的最大值． （1)、 ⑵ ⑶ 9、 如图 (1)，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止，不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC(或它的延长线)于G、H点，如图(2). (1)问：始终与△AGC相似的三角形有( )及( )； (2)设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式(只要求根据图(2)的情况说明理由）； (3)问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？ 解：(1)△HGA及△HAB； (2)由(1)可知△AGC∽△HAB ∴即＝，所以，y＝ (3)当CG＜BC时，∠GAC＝∠H＜∠HAC， ∴AC查看更多