娄底市中考数学试题

娄底市中考数学试题

‎2017年湖南省娄底市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）‎ ‎1．（3分）2017的倒数是（　　）‎ A．‎1‎‎2017‎ B．2017 C．﹣2017 D．﹣‎‎1‎‎2017‎ ‎2．（3分）十八大以来，以习近平同志为核心的党中央把脱贫攻坚摆到治国理政的突出位置，2013﹣2017年这5年约有6600万人将脱贫，相当于一个法国的人口，将“6600万”这个数用科学记数法表示是（　　）‎ A．6.6×103 B．6.6×107 C．6.6×108 D．6.6×1011‎ ‎3．（3分）甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（3分）在射击训练中，小强哥哥射击了五次，成绩（单位：环）分别为：8，9，7，10，9，这五次成绩的众数和中位数分别是（　　）‎ A．9，9 B．7，9 C．9，7 D．8，9‎ ‎5．（3分）“珍爱生命，拒绝毒品”，学校举行的2017年禁毒知识竞赛共有60道题，曾浩同学答对了x道题，答错了y道题（不答视为答错），且答对题数比答错题数的7倍还多4道，那么下面列出的方程组中正确的是（　　）‎ A．‎&x+y=60‎‎&x-7y=4‎ B．‎‎&x+y=60‎‎&y-7x=4‎ C．‎&x=60-y‎&x=7y-4‎ D．‎‎&y=60-x‎&y=7x-4‎ ‎6．（3分）如图的几何体中，主视图是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ 第13页（共13页）‎ ‎7．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）‎ A．k=4 B．k＞4 C．k≤4且k≠0 D．k≤4‎ ‎8．（3分）如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=kx与一次函数y=kx﹣1（k为常数，且k＞0）的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（3分）如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1的度数是（　　）‎ A．30° B．25° C．20° D．15°‎ ‎10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′，使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上，则点B′的坐标是（　　）‎ A．（5，0） B．（8，0） C．（0，5） D．（0，8）‎ ‎11．（3分）湖南省2017年公务员录用考试是这样统计成绩的，综合成绩=笔试成绩×60%+面试成绩×40%，小红姐姐的笔试成绩是82分，她的竞争对手的笔试成绩是86分，小红姐姐要使自己的综合成绩追平竞争对手，则她的面试成绩必须比竞争对手多（　　）‎ A．2.4分 B．4分 C．5分 D．6分 第13页（共13页）‎ ‎12．（3分）已知x‎2‎a‎2‎﹣y‎2‎b‎2‎=1（a，b为常数，且ab≠0）表示焦点在x轴上的双曲线，若x‎2‎m+3‎+y‎2‎‎2m-4‎=1表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围是（　　）‎ A．m＞2 B．m＞﹣3 C．m≥﹣3 D．﹣3＜m＜2‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎13．（3分）要使二次根式x-2‎有意义，则x的取值范围是　 　．‎ ‎14．（3分）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是　 　．‎ ‎15．（3分）在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是　 　．‎ ‎16．（3分）湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》，将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1：6700000表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图，若在这种地图上量得我国南北的图上距离是82.09厘米，则我国南北的实际距离大约是　 　千米（结果精确到1千米）‎ ‎17．（3分）刘莎同学用火柴棒依图的规律摆六边形图案，用10086根火柴棒摆出的图案应该是第　 　个．‎ 第13页（共13页）‎ ‎18．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB=2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF=90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是　 　（用含m的代数式表示）‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）‎ ‎19．（6分）计算：‎8‎﹣（‎1‎‎3‎）﹣1﹣4cos45°+（π﹣‎3‎）0．‎ ‎20．（6分）先化简，再求值：‎ ‎（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2﹣（2a2﹣ab），其中a，b是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根．‎ ‎　‎ 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）‎ ‎21．（8分）为给研究制定《中考改革实施方案》提出合理化建议，教研人员对九年级学生进行了随机抽样调查，要求被抽查的学生从物理、化学、政治、历史、生物和地理这六个选考科目中，挑选出一科作为自己的首选科目，将调查数据汇总整理后，绘制出了如图的两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：‎ ‎（1）被抽查的学生共有多少人？‎ ‎（2）将折线统计图补充完整；‎ ‎（3）我市现有九年级学生约40000人，请你估计首选科目是物理的人数．‎ 第13页（共13页）‎ ‎22．（8分）数学“综合与实践”课中，老师带领同学们来到娄底市郊区，测算如图所示的仙女峰的高度，李红盛同学利用已学的数学知识设计了一个实践方案，并实施了如下操作：先在水平地面A处测得山顶B的仰角∠BAC为38.7°，再由A沿水平方向前进377米到达山脚C处，测得山坡BC的坡度为1：0.6，请你求出仙女峰的高度（参考数据：tan38.7°≈0.8）‎ ‎　‎ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）‎ ‎23．（9分）坐火车从上海到娄底，高铁G1329次列车比快车K575次列车少需要9小时，已知上海到娄底的铁路长约1260千米，G1329的平均速度是K575的2.5倍．‎ ‎（1）求K575的平均速度；‎ ‎（2）高铁G1329从上海到娄底只需几小时？‎ ‎24．（9分）如图，在▱ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．‎ ‎（1）求证：△ABG≌△CDE；‎ ‎（2）猜一猜：四边形EFGH是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；‎ ‎（3）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积．‎ 第13页（共13页）‎ ‎　‎ 六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）‎ ‎25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F．‎ ‎（1）若∠BCD=36°，BC=10，求BD的长；‎ ‎（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（3）求证：2CE2=AB•EF．‎ ‎26．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒．‎ ‎（1）求抛物线的解析式和对称轴；‎ ‎（2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式．‎ ‎　‎ 第13页（共13页）‎ ‎　24．（9分）（2017•娄底）如图，在▱ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．‎ ‎（1）求证：△ABG≌△CDE；‎ ‎（2）猜一猜：四边形EFGH是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；‎ ‎（3）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积．‎ ‎【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】（1）根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得到AB=CD，∠BAG=∠DCE，∠ABG=∠CDE，进而判定△ABG≌△CDE；‎ ‎（2）根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得出∠AGB=90°，∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，进而判定四边形EFGH是矩形；‎ ‎（3）根据含30°角的直角三角形的性质，得到BG=‎1‎‎2‎AB=3，AG=3‎3‎=CE，BF=‎1‎‎2‎BC=2，CF=2‎3‎，进而得出EF和GF的长，可得四边形EFGH的面积．‎ ‎【解答】解：（1）∵GA平分∠BAD，EC平分∠BCD，‎ ‎∴∠BAG=‎1‎‎2‎∠BAD，∠DCE=‎1‎‎2‎∠DCB，‎ ‎∵▱ABCD中，∠BAD=∠DCB，AB=CD，‎ ‎∴∠BAG=∠DCE，‎ 同理可得，∠ABG=∠CDE，‎ ‎∵在△ABG和△CDE中，‎ ‎&∠BAG=∠DCE‎&AB=CD‎&∠ABG=∠CDE‎，‎ ‎∴△ABG≌△CDE（ASA）；‎ ‎（2）四边形EFGH是矩形．‎ 证明：∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC，‎ ‎∴∠GAB=‎1‎‎2‎∠BAD，∠GBA=‎1‎‎2‎∠ABC，‎ 第13页（共13页）‎ ‎∵▱ABCD中，∠DAB+∠ABC=180°，‎ ‎∴∠GAB+∠GBA=‎1‎‎2‎（∠DAB+∠ABC）=90°，‎ 即∠AGB=90°，‎ 同理可得，∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，‎ ‎∴四边形EFGH是矩形；‎ ‎（3）依题意得，∠BAG=‎1‎‎2‎∠BAD=30°，‎ ‎∵AB=6，‎ ‎∴BG=‎1‎‎2‎AB=3，AG=3‎3‎=CE，‎ ‎∵BC=4，∠BCF=‎1‎‎2‎∠BCD=30°，‎ ‎∴BF=‎1‎‎2‎BC=2，CF=2‎3‎，‎ ‎∴EF=3‎3‎﹣2‎3‎=‎3‎，GF=3﹣2=1，‎ ‎∴矩形EFGH的面积=EF×GF=‎3‎．‎ ‎【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．‎ ‎　‎ 六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）‎ ‎25．（10分）（2017•娄底）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F．‎ ‎（1）若∠BCD=36°，BC=10，求BD的长；‎ ‎（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（3）求证：2CE2=AB•EF．‎ 第13页（共13页）‎ ‎【考点】S9：相似三角形的判定与性质；MB：直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）在Rt△BCD中，解直角三角形即可；‎ ‎（2）欲证明DE是切线，只要证明OD⊥DE即可；‎ ‎（3）首先证明EF是△ADC的中位线，再证明△ACD∽△ABC即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）∵BC是直径，‎ ‎∴∠BDC=90°，‎ 在Rt△BCD中，∵BC=10，∠BCD=36°，‎ ‎∴BD=BC•sin36°=10•sin36°≈5.9．‎ ‎（2）连接OD．‎ ‎∵AE=EC，OB=OC，‎ ‎∴OE∥AB，‎ ‎∵CD⊥AB，‎ ‎∴OE⊥CD，‎ ‎∵OD=OC，‎ ‎∴∠DOE=∠COE，‎ 在△EOD和△EOC中，‎ ‎&OD=OC‎&∠DOE=∠COE‎&OE=OE‎，‎ ‎∴△EOD≌△EOC，‎ ‎∴∠EDO=∠ECO=90°，‎ ‎∴OD⊥DE，‎ ‎∴DE是⊙O的切线．‎ ‎（3）∵OE⊥CD，‎ 第13页（共13页）‎ ‎∴DF=CF，∵AE=EC，‎ ‎∴AD=2EF，‎ ‎∵∠CAD=∠CAB，∠ADC=∠ACB=90°，‎ ‎∴△ACD∽△ABC，‎ ‎∴AC2=AD•AB，‎ ‎∵AC=2CE，‎ ‎∴4CE2=2EF•AB，‎ ‎∴2CE2=EF•AB．‎ ‎【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、切线的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎26．（10分）（2017•娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒．‎ ‎（1）求抛物线的解析式和对称轴；‎ ‎（2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式．‎ 第13页（共13页）‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）把A（﹣4，0），B（1，0），点C（0，2）即可得到结论；‎ ‎（2）由题意得AD=2t，DF=AD=2t，OF=4﹣4t，由于直线AC的解析式为：y=‎1‎‎2‎x+2，得到E（2t﹣4，t），①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC，根据相似三角形的性质得到结论；②当∠FEC=90°，根据等腰直角三角形的性质得到结论；③当∠ACF=90°，根据勾股定理得到结论；‎ ‎（3）求得直线BC的解析式为：y=﹣2x+2，当D在y轴的左侧时，当D在y轴的右侧时，如图2，根据梯形的面积公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0），点C（0，2）代入y=ax2+bx+c得，‎&16a-4b+c=0‎‎&a+b+c=0‎‎&c=2‎，‎ ‎∴‎&a=-‎‎1‎‎2‎‎&b=-‎‎3‎‎2‎‎&c=2‎，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=﹣‎1‎‎2‎x2﹣‎3‎‎2‎bx+2，‎ 对称轴为：直线x=﹣‎3‎‎2‎；‎ ‎（2）存在，‎ ‎∵AD=2t，‎ ‎∴DF=AD=2t，‎ ‎∴OF=4﹣4t，‎ ‎∴D（2t﹣4，0），‎ 第13页（共13页）‎ ‎∵直线AC的解析式为：y=‎1‎‎2‎x+2，‎ ‎∴E（2t﹣4，t），‎ ‎∵△EFC为直角三角形，‎ ‎①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC，‎ ‎∴DEOF‎=‎DFOC，即t‎4-4t=‎2t‎2‎，‎ 解得：t=‎3‎‎4‎，‎ ‎②当∠FEC=90°，‎ ‎∴∠AEF=90°，‎ ‎∴△AEF是等腰直角三角形，‎ ‎∴DE=‎1‎‎2‎AF，即t=2t，‎ ‎∴t=0，（舍去），‎ ‎③当∠ACF=90°，‎ 则AC2+CF2=AF2，即（42+22）+[22+（4t﹣4）2]=（4t）2，‎ 解得：t=‎5‎‎4‎，‎ ‎∴存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形，此时，t=‎3‎‎4‎或‎5‎‎4‎；‎ ‎（3）∵B（1，0），C（0，2），‎ ‎∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+2，‎ 当D在y轴的左侧时，S=‎1‎‎2‎（DE+OC）•OD=‎1‎‎2‎（t+2）•（4﹣2t）=﹣t2+4 （0＜t＜2），‎ 当D在y轴的右侧时，如图2，‎ ‎∵OD=4t﹣4，DE=﹣8t+10，‎ S=‎1‎‎2‎（DE+OC）•OD=‎1‎‎2‎（﹣8t+10+2）•（4t﹣4）=﹣16t2+40t﹣24 （2＜t＜‎5‎‎2‎）．‎ 第13页（共13页）‎ ‎【点评】本题考查了待定系数法确定函数关系式，梯形的面积公式，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．‎ ‎　‎ 第13页（共13页）‎