中考数学专题突破 几何综合

中考数学专题突破 几何综合

‎2016年北京中考专题突破 几何综合　‎ ‎ ‎ 在北京中考试卷中，几何综合题通常出现在后两题，分值为8分或7分．几何综合题主要包含三角形(全等、相似)、四边形、锐角三角函数、圆等知识，主要研究图形中的数量关系、位置关系、几何计算以及图形的运动、变换等规律．‎ 求解几何综合题时，关键是抓住“基本图形”，能在复杂的几何图形中辨认、分解出基本图形，或通过添加辅助线补全、构造基本图形，或运用图形变换的思想将分散的条件集中起来，从而产生基本图形，再根据基本图形的性质，合理运用方程、三角函数的运算等进行推理与计算．‎ ‎2011－2015年北京几何综合题考点对比 年份 ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ 考点 平行四边形的性质、从特殊到一般、构造图形(全等三角形或等边三角形或特殊平行四边形)‎ 旋转变换、对称变换、构造全等三角形 全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，等腰直角三角形旋转的性质 以轴对称和正方形为载体，考查了等腰三角形、全等三角形、勾股定理、圆及圆周角定理 以正方形为载体，考查了平移作图，利用轴对称图形的性质证明线段相等及写出求线段长的过程 ‎1．[2015·北京] 在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上(与点C，D不重合)，连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH，PH.‎ ‎(1)若点P在线段CD上，如图Z9－1(a)．‎ ‎①依题意补全图(a)；‎ ‎②判断AH与PH的数量关系与位置关系，并加以证明．‎ ‎(2)若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．(可以不写出计算结果)‎ 图Z9－1‎ ‎2．[2014·北京] 在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F.‎ ‎(1)依题意补全图Z9－2①；‎ ‎(2)若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；‎ ‎(3)如图②，若45°<∠PAB<90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．‎ 图Z9－2‎ ‎3．[2013·北京] 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°<α<60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.‎ ‎(1)如图Z9－3①，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；‎ ‎(2)如图②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；‎ ‎(3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．‎ 图Z9－3‎ ‎4．[2012·北京] 在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.‎ ‎(1)若α＝60°且点P与点M重合(如图Z9－4①)，线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；‎ ‎(2)在图②中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明；‎ ‎(3)对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B，M重合)时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝DQ，请直接写出α的范围．‎ 图Z9－4‎ ‎5．[2011·北京] 在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F.‎ ‎(1)在图Z9－5①中证明CE＝CF；‎ ‎(2)若∠ABC＝90°，G是EF的中点(如图②)，直接写出∠BDG的度数；‎ ‎(3)若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB，DG(如图③)，求∠BDG的度数．‎ 图Z9－5‎ ‎1．[2015·怀柔一模] 在等边三角形ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD，CD，其中CD交直线AP于点E.‎ ‎(1)依题意补全图Z9－6①；‎ ‎(2)若∠PAB＝30°，求∠ACE的度数；‎ ‎(3)如图②，若60°<∠PAB<120°，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明．‎ 图Z9－6‎ ‎2．[2015·朝阳一模] 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D在射线BC上(不与点B，C重合)，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE.‎ ‎(1)如图Z9－7(a)，点D在BC边上．‎ ‎①依题意补全图(a)；‎ ‎②作DF⊥BC交AB于点F，若AC＝8，DF＝3，求BE的长．‎ ‎(2)如图(b)，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB，BD，BE之间的数量关系(直接写出结论)．‎ 图Z9－7‎ ‎3．[2015·海淀一模] 在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E是对角线AC上一点，连接DE，∠DEC＝50°，将线段BC绕点B逆时针旋转50°并延长得到射线BF，交ED的延长线于点G.‎ ‎(1)依题意补全图形；‎ ‎(2)求证：EG＝BC；‎ ‎(3)用等式表示线段AE，EG，BG之间的数量关系：________．‎ 图Z9－8‎ ‎4．[2015·海淀二模] 如图Z9－9①，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＋∠BAC＝180°.‎ ‎(1)直接写出∠ADE的度数(用含α的式子表示)．‎ ‎(2)以AB，AE为边作平行四边形ABFE.‎ ‎①如图②，若点F恰好落在DE上，求证：BD＝CD；‎ ‎②如图③，若点F恰好落在BC上，求证：BD＝CF.‎ 图Z9－9‎ ‎5．[2015·西城一模] 在△ABC中，AB＝AC，取BC边的中点D，作DE⊥AC于点E，取DE的中点F，连接BE，AF交于点H.‎ ‎(1)如图Z9－10①，如果∠BAC＝90°，那么∠AHB＝________°，＝________；‎ ‎(2)如图②，如果∠BAC＝60°，猜想∠AHB的度数和的值，并证明你的结论；‎ ‎(3)如果∠BAC＝α，那么＝________．(用含α的代数式表示)‎ 图Z9－10‎ ‎6．[2015·丰台一模] 在△ABC中，CA＝CB，CD为AB边上的中线，点P是线段AC上任意一点(不与点C重合)，过点P作PE交CD于点E，使∠CPE＝∠CAB，过点C作CF⊥PE交PE的延长线于点F，交AB于点G.‎ ‎(1)如果∠ACB＝90°，‎ ‎①如图Z9－11(a)，当点P与点A重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG全等的一个三角形；‎ ‎②如图(b)，当点P不与点A重合时，求的值．‎ ‎(2)如果∠CAB＝a，如图(c)，请直接写出的值．(用含a的式子表示)‎ 图Z9－11‎ ‎7．[2015·海淀] 将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α(0°<α<120°)得到线段AD，连接CD.‎ ‎(1)连接BD，‎ ‎①如图Z9－12(a)，若α＝80°，则∠BDC的度数为________．‎ ‎②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．‎ ‎(2)如图(b)，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD，连接CE，DE.若∠CED＝90°，求α的值．‎ 图Z9－12‎ ‎8．[2015·西城二模] 正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE＝DF.连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.‎ ‎(1)如图Z9－13①，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是________．‎ ‎(2)如图②，当点E在DC边上且不是DC的中点时，(1)中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由．‎ ‎(3)如图③，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．‎ 图Z9－13‎ 参考答案 北京真题体验 ‎1.解：(1)①如图(a)所示．‎ ‎②AH＝PH，AH⊥PH.‎ 证明：连接CH，‎ 由条件易得：△DHQ为等腰直角三角形，‎ 又∵DP＝CQ，∴△HDP≌△HQC，‎ ‎∴PH＝CH，∠HPC＝∠HCP.‎ ‎∵BD为正方形ABCD的对称轴，‎ ‎∴AH＝CH，∠DAH＝∠HCP，‎ ‎∴AH＝PH，∠DAH＝∠HPC，‎ ‎∴∠AHP＝180°－∠ADP＝90°，‎ ‎∴AH＝PH且AH⊥PH.‎ ‎(2)如图(b)，‎ 过点H作HR⊥PC于点R，‎ ‎∵∠AHQ＝152°，∴∠AHB＝62°，∴∠DAH＝17°，∴∠DCH＝17°.‎ 设DP＝x，则DR＝HR＝RQ＝.由tan17°＝得＝tan17°，∴x＝.‎ ‎2．解：(1)补全图形如图①所示：‎ ‎(2)如图①，连接AE，‎ 则∠PAB＝∠PAE＝20°，AE＝AB.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠BAD＝90°，AB＝AD，‎ ‎∴∠EAD＝130°，AE＝AD.‎ ‎∴∠ADF＝25°.‎ ‎(3)如图②，连接AE，BF，BD.‎ 由轴对称的性质可得EF＝BF，AE＝AB＝AD，∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，‎ ‎∴∠BFD＝∠BAD＝90°.‎ ‎∴BF2＋FD2＝BD2.‎ ‎∴EF2＋FD2＝2AB2.‎ ‎3．解：(1)∵AB＝AC，∠A＝α，‎ ‎∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－∠A)＝90°－α.‎ ‎∵∠ABD＝∠ABC－∠DBC，∠DBC＝60°，‎ ‎∴∠ABD＝30°－α.‎ ‎(2)△ABE是等边三角形．‎ 证明：连接AD，CD，ED，‎ ‎∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，‎ 则BC＝BD，∠DBC＝60°.‎ ‎∴△BCD为等边三角形．‎ ‎∴BD＝CD.‎ ‎∵∠ABE＝60°，‎ ‎∴∠ABD＝60°－∠DBE＝∠EBC＝30°－α.‎ 在△ABD与△ACD中，‎ ‎∴△ABD≌△ACD，‎ ‎∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝α.‎ ‎∵∠BCE＝150°，‎ ‎∴∠BEC＝180°－(30°－α)－150°＝α＝∠BAD.‎ 在△ABD和△EBC中，‎ ‎∴△ABD≌△EBC，‎ ‎∴AB＝BE.‎ 又∵∠ABE＝60°，‎ ‎∴△ABE是等边三角形．‎ ‎(3)∵∠BCD＝60°，∠BCE＝150°，‎ ‎∴∠DCE＝150°－60°＝90°.‎ ‎∵∠DEC＝45°，‎ ‎∴△DEC为等腰直角三角形，‎ ‎∴DC＝CE＝BC.‎ ‎∵∠BCE＝150°.‎ ‎∴∠EBC＝(180°－150°)＝15°.‎ ‎∵∠EBC＝30°－α＝15°，‎ ‎∴α＝30°.‎ ‎4．解：(1)如图①，∵BA＝BC，∠BAC＝60°，M是AC的中点，‎ ‎∴BM⊥AC，AM＝MC.‎ ‎∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，‎ ‎∴AM＝MQ，∠AMQ＝120°，‎ ‎∴CM＝MQ，∠ CMQ＝60°，‎ ‎∴△CMQ是等边三角形，‎ ‎∴∠ACQ＝60°，‎ ‎∴∠CDB＝30°.‎ ‎(2)连接PC，AD，‎ ‎∵AB＝BC，M是AC的中点，‎ ‎∴BM⊥AC，‎ ‎∴AD＝CD，AP＝PC.‎ 在△APD与△CPD中，‎ ‎∵ ‎∴△APD≌△CPD，‎ ‎∴∠ADB＝∠CDB，∠PAD＝∠PCD，‎ ‎∴∠ADC＝2∠CDB.‎ 又∵PQ＝PA，‎ ‎∴PQ＝PC，∴∠PQC＝∠PCD＝∠PAD，‎ ‎∴∠PAD＋∠PQD＝∠PQC＋∠PQD＝180°，‎ ‎∴∠APQ＋∠ADC＝360°－(∠PAD＋∠PQD)＝180°，‎ ‎∴∠ADC＝180°－∠APQ＝180°－2α，‎ ‎∴2∠CDB＝180°－2α，‎ ‎∴∠CDB＝90°－α.‎ ‎(3)∵∠CDB＝90°－α，且PQ＝QD，‎ ‎∴∠PAD＝∠PCQ＝∠PQC＝2∠CDB＝180°－2α.‎ ‎∵点P不与点B，M重合，‎ ‎∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，‎ ‎∴2α＞180°－2α＞α，‎ ‎∴45°＜α＜60°.‎ ‎5．解：(1)∵AF平分∠BAD，‎ ‎∴∠BAF＝∠DAF.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，AB∥CD，‎ ‎∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠F.‎ ‎∴∠CEF＝∠F.‎ ‎∴CE＝CF.‎ ‎(2)∠BDG＝45°.‎ ‎(3)如图，分别连接GB，GE，GC，‎ ‎∵AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝120°，‎ ‎∴∠ECF＝∠ABC＝120°.‎ ‎∵FG∥CE且FG＝CE，‎ ‎∴四边形CEGF是平行四边形．‎ 由(1)得CE＝CF.‎ ‎∴四边形CEGF是菱形，‎ ‎∴GE＝EC，①‎ ‎∠GCF＝∠GCE＝∠ECF＝60°，‎ ‎∴△ECG与△FCG是等边三角形，‎ ‎∴∠GEC＝∠FCG，‎ ‎∴∠BEG＝∠DCG，②‎ 由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE＝∠AEB，‎ ‎∴AB＝BE.‎ 在▱ABCD中，AB＝DC，‎ ‎∴BE＝DC.③‎ 由①②③得△BEG≌△DCG，‎ ‎∴BG＝DG，∠1＝∠2，‎ ‎∴∠BGD＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠EGC＝60°，‎ ‎∴∠BDG＝＝60°.‎ 北京专题训练 ‎1.解：(1)补全图形，如图①所示．‎ ‎(2)连接AD，如图①.∵点D与点B关于直线AP对称，∴AD＝AB，∠DAP＝∠BAP＝30°，‎ ‎∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴AD＝AC，∠DAC＝120°，‎ ‎∴2∠ACE＋120°＝180°.∴∠ACE＝30°.‎ ‎ (3)线段AB，CE，ED可以构成一个含有60°角的三角形．‎ 证明：连接AD，EB，如图②.‎ ‎∵点D与点B关于直线AP对称，‎ ‎∴AD＝AB，DE＝BE，‎ 可证得∠EDA＝∠EBA.‎ ‎∵AB＝AC，AB＝AD，‎ ‎∴AD＝AC，∴∠ADE＝∠ACE，‎ ‎∴∠ABE＝∠ACE.‎ 设AC，BE交于点F，‎ ‎∵∠AFB＝∠CFE，∴∠BAC＝∠BEC＝60°，‎ ‎∴线段AB，CE，ED可以构成一个含有60°角的三角形．‎ ‎2．解：(1)①补全图形，如图(a)所示．‎ ‎②如图(b)，由题意可知AD＝DE，∠ADE＝90°.‎ ‎∵DF⊥BC，‎ ‎∴∠FDB＝90°.‎ ‎∴∠ADF＝∠EDB.‎ ‎∵∠C＝90°，AC＝BC，‎ ‎∴∠ABC＝∠DFB＝45°.‎ ‎∴DB＝DF.‎ ‎∴△ADF≌△EDB.‎ ‎∴AF＝EB.‎ 在△ABC和△DFB中，‎ ‎∵AC＝8，DF＝3，‎ ‎∴AB＝8 ，BF＝3 .‎ AF＝AB－BF＝5 ，‎ 即BE＝5 ，‎ ‎(2)BD＝BE＋AB.‎ ‎3．解：(1)补全图形，如图①所示．‎ ‎ (2)方法一：证明：连接BE，如图②.‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AD∥BC.‎ ‎∵∠ADC＝120°，‎ ‎∴∠DCB＝60°.‎ ‎∵AC]是菱形ABCD的对角线，‎ ‎∴∠DCA＝∠DCB＝30°.‎ ‎∴∠EDC＝180°－∠DEC－∠DCA＝100°.‎ 由菱形的对称性可知，∠BEC＝∠DEC＝50°，∠EBC＝∠EDC＝100°，‎ ‎∴∠GEB＝∠DEC＋∠BEC＝100°.‎ ‎∴∠GEB＝∠CBE.‎ ‎∵∠FBC＝50°，‎ ‎∴∠EBG＝∠EBC－∠FBC＝50°.‎ ‎∴∠EBG＝∠BEC.‎ 在△GEB与△CBE中，‎ ‎∴△GEB≌△CBE.‎ ‎∴EG＝BC.‎ 方法二：证明：连接BE，设BG与EC交于点H，如图②.‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AD∥BC.‎ ‎∵∠ADC＝120°，‎ ‎∴∠DCB＝60°.‎ ‎∵AC是菱形ABCD的对角线，‎ ‎∴∠DCA＝∠DCB＝30°.‎ ‎∴∠EDC＝180°－∠DEC－∠DCA＝100°.‎ 由菱形的对称性可知，∠BEC＝∠DEC＝50°，∠EBC＝∠EDC＝100°，‎ ‎∵∠FBC＝50°，‎ ‎∴∠EBG＝∠EBC－∠FBC＝50°＝∠BEC.‎ ‎∴BH＝EH.‎ 在△GEH与△CBH中，‎ ‎∴△GEH≌△CBH.‎ ‎∴EG＝BC.‎ ‎(3)AE＋BG＝EG.‎ ‎4．解：(1)∠ADE＝90°－α.‎ ‎(2)①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，‎ ‎∴AB∥EF.‎ ‎∴∠EDC＝∠ABC＝α.‎ 由(1)知∠ADE＝90°－α，‎ ‎∴∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝90°.‎ ‎∴AD⊥BC.‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴BD＝CD.‎ ‎②证明：∵AB＝AC，∠ABC＝α，‎ ‎∴∠C＝α.‎ ‎∵四边形ABFE是平行四边形，‎ ‎∴AE∥BF，AE＝BF.‎ ‎∴∠EAC＝∠C＝α.‎ 由(1)知∠DAE＝180°－2∠ADE＝180°－2(90°－α)＝2α，‎ ‎∴∠DAC＝α.‎ ‎∴∠DAC＝∠C.∴AD＝CD.‎ ‎∵AD＝AE＝BF，∴BF＝CD.∴BD＝CF.‎ ‎5．解：(1)90　 ‎(2)结论：∠AHB＝90°，＝.‎ 证明：如图，连接AD.‎ ‎∵AB＝AC，∠BAC＝60°，‎ ‎∴△ABC是等边三角形．‎ ‎∵D为BC的中点，‎ ‎∴AD⊥BC.‎ ‎∴∠1＋∠2＝90°.‎ 又∵DE⊥AC，‎ ‎∴∠DEC＝90°.‎ ‎∴∠2＋∠C＝90°.‎ ‎∴∠1＝∠C＝60°.‎ 设AB＝BC＝k(k>0)，‎ 则CE＝CD＝，DE＝k.‎ ‎∵F为DE的中点，‎ ‎∴DF＝DE＝k，AD＝AB＝k.‎ ‎∴＝，＝.‎ ‎∴＝.‎ 又∵∠1＝∠C，‎ ‎∴△ADF∽△BCE.‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∠3＝∠4.‎ 又∵∠4＋∠5＝90°，∠5＝∠6，‎ ‎∴∠3＋∠6＝90°.‎ ‎∴∠AHB＝90°.‎ ‎(3)tan(90°－)．‎ ‎6．解：(1)①作图．‎ ‎△ADE(或△PDE)．‎ ‎②过点P作PN∥AG交CG于点N，交CD于点M，‎ ‎∴∠CPM＝∠CAB.‎ ‎∵∠CPE＝∠CAB，‎ ‎∴∠CPE＝∠CPN.∴∠CPE＝∠FPN.‎ ‎∵PF⊥CG，∴∠PFC＝∠PFN＝90°.‎ ‎∵PF＝PF，∴△PFC≌△PFN.∴CF＝FN.‎ 由①得：△PME≌△CMN.‎ ‎∴PE＝CN.∴＝＝.‎ ‎(2)tanα.‎ ‎7．解：(1)①30°.‎ ‎②不改变，∠BDC的度数为30°.‎ 方法一：由题意知AB＝AC＝AD.‎ ‎∴点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上．‎ ‎∴∠BDC＝∠BAC＝30°.‎ 方法二：由题意知AB＝AC＝AD.‎ ‎∵AC＝AD，∠CAD＝α，‎ ‎∴∠ADC＝∠ABD＝＝90°－α.‎ ‎∵AB＝AD，∠BAD＝60°＋α，‎ ‎∴∠ADB＝∠ABD＝＝＝60°－α.‎ ‎∴∠BDC＝∠ADC－∠ADB＝(90°－α)－(60°－α)＝30°.‎ ‎(2)过点A作AM⊥CD于点M，连接EM.‎ ‎∴∠AMC＝90°.‎ 在△AEB与△AMC中，‎ ‎∴△AEB≌△AMC.‎ ‎∴AE＝AM，∠BAE＝∠CAM.‎ ‎∴∠EAM＝∠EAC＋∠CAM＝∠EAC＋∠BAE＝∠BAC＝60°.‎ ‎∴△AEM是等边三角形．‎ ‎∴EM＝AM＝AE.‎ ‎∵AC＝AD，AM⊥CD，‎ ‎∴CM＝DM.‎ 又∵∠DEC＝90°，‎ ‎∴EM＝CM＝DM.‎ ‎∴AM＝CM＝DM.‎ ‎∴点A，C，D在以M为圆心，MC为半径的圆上．‎ ‎∴α＝∠CAD＝90°.‎ ‎8．解：(1)CH＝AB ‎(2)结论成立．‎ 证明：如图，连接BE. ‎ 在正方形ABCD中，‎ AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠BCD＝∠ABC＝90°.‎ ‎∵DE＝DF，‎ ‎∴AF＝CE.‎ 在△ABF和△CBE中，‎ ‎∴△ABF≌△CBE.‎ ‎∴∠1＝∠2.‎ ‎∵EH⊥BF，∠BCE＝90°，‎ ‎∴H，C两点都在以BE为直径的圆上．‎ ‎∴∠3＝∠2.‎ ‎∴∠3＝∠1.‎ ‎∵∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠HBC＝90°，‎ ‎∴∠4＝∠HBC.‎ ‎∴CH＝CB.‎ ‎∴CH＝AB.‎ ‎(3)3 ＋3.‎