中考数学几何最值问题解法探讨

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中考数学几何最值问题解法探讨

几何最值问题解法探讨 在平面几何的动态问题中,当某几何元素在给定条件变动时,求某几何量(如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差)的最大值或最小值问题,称为最值问题。‎ 解决平面几何最值问题的常用的方法有:‎ ‎(1)应用两点间线段最短的公理(含应用三角形的三边关系)求最值;‎ ‎(2)应用垂线段最短的性质求最值;‎ ‎(3)应用轴对称的性质求最值;‎ ‎(4)应用二次函数求最值;‎ ‎(5)应用其它知识求最值。‎ 一、应用两点间线段最短的公理(含应用三角形的三边关系)求最值:‎ 典型例题:‎ 例1. (2012山东济南3分)如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上,当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,点D到点O的最大距离为【 】‎ A.   B.   C.5   D.‎ 例2.(2012湖北鄂州3分)在锐角三角形ABC中,BC=,∠ABC=45°,BD平分∠ABC,M、N分别是BD、BC上的动点,则CM+MN的最小值是 。‎ 例3、已知A(1,5),B(3,-1)两点,在x轴上取一点M,使AM-BM取得最大值时,则M的坐标为( )‎ ‎ ‎ 练习题:‎ ‎1.(2011广西贵港2分)如图所示,在边长为2的正三角形ABC中,E、F、G分别为AB、AC、BC的中点,点P为线段EF上一个动点,连接BP、GP,则△BPG的周长的最小值是 _ ▲ .‎ ‎2、(2012四川眉山3分)在△ABC中,AB=5,AC=3,AD是BC边上的中线,则AD的取值范围是 .‎ 二、应用垂线段最短的性质求最值:‎ 典型例题:‎ 例4.(2012浙江台州4分)如图,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为【 】‎ ‎  A. 1 B. C. 2 D.+1‎ 例5.(2012四川广元3分) 如图,点A的坐标为(-1,0),点B在直线上运动,当线段AB最短时,点B的坐标为【 】‎ A.(0,0) B.(,) C.(,) D.(,)‎ 例6. (2012浙江宁波3分)如图,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=2,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值为 .‎ 练习题:‎ ‎1. (2011浙江衢州3分)如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为【 】‎ ‎ A、1 B、‎2 C、3 D、4‎ ‎2.(2011四川南充8分)如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=60°,M是BC的中点.‎ ‎(1)求证:△MDC是等边三角形;‎ ‎(2)将△MDC绕点M旋转,当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC(即MC′)同时与AD交于一点F时,点E,F和点A构成△AEF.试探究△AEF的周长是否存在最小值.如果不存在,请说明理由;如果存在,请计算出△AEF周长的最小值.‎ ‎5.(2011云南昆明12分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=‎10cm,AC:BC=4:3,点P从点A出发沿AB方向向点B运动,速度为‎1cm/s,同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动,速度为‎2cm/s,当一个运动点到达终点时,另一个运动点也随之停止运动.‎ ‎(4)当x=5秒时,在直线PQ上是否存在一点M,使△BCM得周长最小,若存在,求出最小周长,若不存在,请说明理由.‎ 三、应用轴对称的性质求最值:‎ 典型例题:‎ 例7. (2012四川攀枝花4分)如图,正方形ABCD中,AB=4,E是BC的中点,点P是对角线AC上一动点,则PE+PB的最小值为 .‎ 例8. (2012广西贵港2分)如图,MN为⊙O的直径,A、B是O上的两点,过A作AC⊥MN于点C,‎ 过B作BD⊥MN于点D,P为DC上的任意一点,若MN=20,AC=8,BD=6,则PA+PB的最小值是 ‎  ▲  。‎ 例9. (2012湖北十堰6分)阅读材料:‎ 例:说明代数式 的几何意义,并求它的最小值.‎ ‎(1)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与 点A(1,1)、点B 的距离之和.(填写点B的坐标)‎ ‎(2)代数式 的最小值为 .‎ 练习题:‎ ‎1. (2011黑龙江大庆3分)如图,已知点A(1,1)、B(3,2),且P为x轴上一动点,则△ABP的周长的 最小值为 .‎ ‎2. (2011辽宁营口3分)如图,在平面直角坐标系中,有A(1,2),B(3,3)两点,现另取一点C(a,1),当a= 时,AC+BC的值最小.‎ ‎3.(2011甘肃天水4分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=6,对角线AC平分∠BAD,点E在AB上,且AE=2(AE<AD),点P是AC上的动点,则PE+PB的最小值是 ▲ .‎ 四、应用二次函数求最值:典型例题:‎ 例10. (2012四川自贡4分)正方形ABCD的边长为‎1cm,M、N分别是BC.CD上两个动点,且始终保持AM⊥MN,当BM= ▲ cm时,四边形ABCN的面积最大,最大面积为 ▲ cm2.‎ 例11.(2012江苏扬州3分)如图,线段AB的长为2,C为AB上一个动点,分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE,那么DE长的最小值是 ▲ .‎ 例3.(2012广东广州14分)如图,在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,F为AD的中点,CE⊥AB于E,设∠ABC=α(60°≤α<90°).‎ ‎(1)当α=60°时,求CE的长;‎ ‎(2)当60°<α<90°时,‎ ‎①是否存在正整数k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎②连接CF,当CE2﹣CF2取最大值时,求tan∠DCF的值.‎ 例6.(2012江苏苏州8分)如图,已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A,点P是直径AB左侧半圆上 的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为C,PC与⊙O交于点D,连接PA、PB,设PC的长为.‎ ‎ ⑴当 时,求弦PA、PB的长度;‎ ‎⑵当x为何值时,的值最大?最大值是多少?‎ 例7.(2012山东德州12分)如图所示,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合)将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH.‎ ‎(1)求证:∠APB=∠BPH;‎ ‎(2)当点P在边AD上移动时,△PDH的周长是否发生变化?并证明你的结论;‎ ‎(3)设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式,试问S是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)如图1,∵PE=BE,∴∠EBP=∠EPB.‎ 又∵∠EPH=∠EBC=90°,‎ ‎∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP,即∠PBC=∠BPH。‎ 又∵AD∥BC,∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。‎ ‎(2)△PHD的周长不变为定值8。证明如下:‎ 如图2,过B作BQ⊥PH,垂足为Q。‎ 由(1)知∠APB=∠BPH,‎ 又∵∠A=∠BQP=90°,BP=BP,‎ ‎∴△ABP≌△QBP(AAS)。∴AP=QP,AB=BQ。‎ 又∵AB=BC,∴BC=BQ。‎ 又∵∠C=∠BQH=90°,BH=BH,∴△BCH≌△BQH(HL)。∴CH=QH。‎ ‎∴△PHD的周长为:PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。‎ ‎(3)如图3,过F作FM⊥AB,垂足为M,则FM=BC=AB。‎ 又∵EF为折痕,∴EF⊥BP。‎ ‎∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。∴∠EFM=∠ABP。‎ 又∵∠A=∠EMF=90°,AB=ME,∴△EFM≌△BPA(ASA)。‎ ‎∴EM=AP=x.‎ ‎∴在Rt△APE中,(4﹣BE)2+x2=BE2,即。‎ ‎∴。‎ 又∵四边形PEFG与四边形BEFC全等,‎ ‎∴。‎ ‎∵,∴当x=2时,S有最小值6。‎ ‎【考点】翻折变换(折叠问题),正方形的性质,折叠的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,二次函数的最值。‎ ‎【分析】(1)根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH,进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案。‎ ‎(2)先由AAS证明△ABP≌△QBP,从而由HL得出△BCH≌△BQH,即可得CH=QH。因此,△PDH的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。‎ ‎(3)利用已知得出△EFM≌△BPA,从而利用在Rt△APE中,(4﹣BE)2+x2=BE2,利用二次函数的最值求出即可。‎ 例8.(2012陕西省12分)如图,正三角形ABC的边长为.‎ ‎(1)如图①,正方形EFPN的顶点E、F在边AB上,顶点N在边AC上.在正三角形ABC及其内部,以A为位似中心,作正方形EFPN的位似正方形,且使正方形的面积最大(不要求写作法);‎ ‎(2)求(1)中作出的正方形的边长;‎ ‎(3)如图②,在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得D、EF在边AB上,点P、N分别在边CB、CA上,求这两个正方形面积和的最大值及最小值,并说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)如图①,正方形即为所求。‎ ‎ (2)设正方形的边长为x.‎ ‎ ∵△ABC为正三角形,∴。‎ ‎∴。∴,即。‎ ‎ (3)如图②,连接NE,EP,PN,则。‎ ‎ 设正方形DEMN和正方形EFPH的边长分别为m、n(m≥n),‎ 它们的面积和为S,则,。‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴。‎ ‎ 延长PH交ND于点G,则PG⊥ND。‎ ‎ 在中,。‎ ‎ ∵,即,‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴①当时,即时,S最小。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ②当最大时,S最大,即当m最大且n最小时,S最大。‎ ‎ ∵,由(2)知,。‎ ‎ ∴。‎ ‎∴。‎ ‎【考点】位似变换,等边三角形的判定和性质,勾股定理,正方形的性质。‎ ‎【分析】(1)利用位似图形的性质,作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′,如答图①所示。‎ ‎(2)根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系,利用等式E′F′+AE′+BF′=AB,列方程求得正方形E′F′P′N′的边长 ‎ ‎(3)设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n(m≥n),求得面积和的表达式为:,可见S的大小只与m、n的差有关:①当m=n时,S取得最小值;②当m最大而n最小时,S取得最大值.m最大n最小的情形见第(1)(2)问。‎ 练习:‎ ‎1.(2012山东日照9分)如图,矩形ABCD的两边长AB=‎18cm,AD=‎4cm,点P、Q分别从A、B同时出发,P在边AB上沿AB方向以每秒‎2cm的速度匀速运动,Q在边BC上沿BC方向以每秒‎1cm的速度匀速运动.设运动时间为x秒,△PBQ的面积为y(cm2).‎ ‎(1)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;‎ ‎(2)求△PBQ的面积的最大值.‎ ‎【答案】解:(1)∵, PB=AB-AP=18-2x,BQ=x,‎ ‎∴y=(18-2x)x,即y=-x2+9x(0
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