岳阳市2016年中考数学卷

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岳阳市2016年中考数学卷

‎2016年湖南省岳阳市中考数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题(本大题8道小题,每小题3分,满分24分)‎ ‎1.下列各数中为无理数的是(  )‎ A.﹣1 B.3.14 C.π D.0‎ ‎2.下列运算结果正确的是(  )‎ A.a2+a3=a5 B.(a2)3=a6 C.a2•a3=a6 D.3a﹣2a=1‎ ‎3.函数y=中自变量x的取值范围是(  )‎ A.x≥0 B.x>4 C.x<4 D.x≥4‎ ‎4.某小学校足球队22名队员年龄情况如下:‎ ‎ 年龄(岁)‎ ‎ 12‎ ‎ 11‎ ‎ 10‎ ‎ 9‎ ‎ 人数 ‎ 4‎ ‎ 10‎ ‎ 6‎ ‎ 2‎ 则这个队队员年龄的众数和中位数分别是(  )‎ A.11,10 B.11,11 C.10,9 D.10,11‎ ‎5.如图是某几何体的三视图,则该几何体可能是(  )‎ A.圆柱 B.圆锥 C.球 D.长方体 ‎6.下列长度的三根小木棒能构成三角形的是(  )‎ A.2cm,3cm,5cm B.7cm,4cm,2cm C.3cm,4cm,8cm D.3cm,3cm,4cm ‎7.下列说法错误的是(  )‎ A.角平分线上的点到角的两边的距离相等 B.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C.菱形的对角线相等 D.平行四边形是中心对称图形 ‎8.对于实数a,b,我们定义符号max{a,b}的意义为:当a≥b时,max{a,b}=a;当a<b时,max{a,b]=b;如:max{4,﹣2}=4,max{3,3}=3,若关于x的函数为y=max{x+3,﹣x+1},则该函数的最小值是(  )‎ A.0 B.2 C.3 D.4‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,满分32分)‎ ‎9.如图所示,数轴上点A所表示的数的相反数是      .‎ ‎10.因式分解:6x2﹣3x=      .‎ ‎11.在半径为6cm的圆中,120°的圆心角所对的弧长为      cm.‎ ‎12.为加快“一极三宜”江湖名城建设,总投资124000万元的岳阳三荷机场及交通产业园,预计2016年建好主体工程,将124000万元用科学记数法表示为      元.‎ ‎13.如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,已知∠BCD=110°,则∠BAD=      度.‎ ‎14.如图,一山坡的坡度为i=1:,小辰从山脚A出发,沿山坡向上走了200米到达点B,则小辰上升了      米.‎ ‎15.如图,一次函数y=kx+b(k、b为常数,且k≠0)和反比例函数y=(x>0)的图象交于A、B两点,利用函数图象直接写出不等式<kx+b的解集是      .‎ ‎16.如图,在平面直角坐标系中,每个最小方格的边长均为1个单位长,P1,P2,P3,…,均在格点上,其顺序按图中“→”方向排列,如:P1(0,0),P2(0,1),P3(1,1),P4(1,﹣1),P5(﹣1,﹣1),P6(﹣1,2)…根据这个规律,点P2016的坐标为      .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共8道小题,满分64分)‎ ‎17.计算:()﹣1﹣+2tan60°﹣(2﹣)0.‎ ‎18.已知:如图,在矩形ABCD中,点E在边AB上,点F在边BC上,且BE=CF,EF⊥DF,求证:BF=CD.‎ ‎19.已知不等式组 ‎(1)求不等式组的解集,并写出它的所有整数解;‎ ‎(2)在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘,请用画树状图或列表的方法求积为正数的概率.‎ ‎20.我市某学校开展“远是君山,磨砺意志,保护江豚,爱鸟护鸟”为主题的远足活动.已知学校与君山岛相距24千米,远足服务人员骑自行车,学生步行,服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍,服务人员与学生同时从学校出发,到达君山岛时,服务人员所花时间比学生少用了3.6小时,求学生步行的平均速度是多少千米/小时.‎ ‎21.某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查,从全年365天中随机抽取了80天的空气质量指数(AQI)数据,绘制出三幅不完整的统计图表.请根据图表中提供的信息解答下列问题:‎ ‎ AQI指数 ‎ 质量等级 ‎ 天数(天)‎ ‎ 0﹣50‎ ‎ 优 m ‎ 51﹣100‎ ‎ 良 ‎ 44‎ ‎ 101﹣150‎ ‎ 轻度污染 n ‎ 151﹣200‎ ‎ 中度污染 ‎ 4‎ ‎ 201﹣300‎ ‎ 重度污染 ‎ 2‎ ‎ 300以上 ‎ 严重污染 ‎ 2‎ ‎(1 )统计表中m=      ,n=      .扇形统计图中,空气质量等级为“良”的天数占      %;‎ ‎(2)补全条形统计图,并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共多少天?‎ ‎(3)据调查,严重污染的2天发生在春节期间,燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因,据此,请你提出一条合理化建议.‎ ‎22.已知关于x的方程x2﹣(2m+1)x+m(m+1)=0.‎ ‎(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;‎ ‎(2)已知方程的一个根为x=0,求代数式(2m﹣1)2+(3+m)(3﹣m)+7m﹣5的值(要求先化简再求值).‎ ‎23.数学活动﹣旋转变换 ‎(1)如图①,在△ABC中,∠ABC=130°,将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C,连接BB′,求∠A′B′B的大小;‎ ‎(2)如图②,在△ABC中,∠ABC=150°,AB=3,BC=5,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C,连接BB′,以A′为圆心,A′B′长为半径作圆.‎ ‎(Ⅰ)猜想:直线BB′与⊙A′的位置关系,并证明你的结论;‎ ‎(Ⅱ)连接A′B,求线段A′B的长度;‎ ‎(3)如图③,在△ABC中,∠ABC=α(90°<α<180°),AB=m,BC=n,将△ABC绕点C逆时针旋转2β角度(0°<2β<180°)得到△A′B′C,连接A′B和BB′,以A′为圆心,A′B′长为半径作圆,问:角α与角β满足什么条件时,直线BB′与⊙A′相切,请说明理由,并求此条件下线段A′B的长度(结果用角α或角β的三角函数及字母m、n所组成的式子表示)‎ ‎24.如图①,直线y=x+4交于x轴于点A,交y轴于点C,过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B(1,0).‎ ‎(1)求抛物线F1所表示的二次函数的表达式;‎ ‎(2)若点M是抛物线F1位于第二象限图象上的一点,设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S四边形MAOC和S△BOC,记S=S四边形MAOC﹣S△BOC,求S最大时点M的坐标及S的最大值;‎ ‎(3)如图②,将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2,点A、B与(2)中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′,过点M′作M′E⊥x轴于点E,交直线A′C于点D,在x轴上是否存在点P,使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2016年湖南省岳阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(本大题8道小题,每小题3分,满分24分)‎ ‎1.下列各数中为无理数的是(  )‎ A.﹣1 B.3.14 C.π D.0‎ ‎【考点】无理数.菁优网版权所有 ‎【分析】π是圆周率,是无限不循环小数,所以π是无理数.‎ ‎【解答】解:∵π是无限不循环小数,‎ ‎∴π是无理数.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎2.下列运算结果正确的是(  )‎ A.a2+a3=a5 B.(a2)3=a6 C.a2•a3=a6 D.3a﹣2a=1‎ ‎【考点】幂的乘方与积的乘方;合并同类项;同底数幂的乘法.菁优网版权所有 ‎【分析】利用幂的有关运算性质逐一计算后即可确定正确的选项.‎ ‎【解答】解:A、a2与a3不是同类项,不能合并,故错误;‎ B、(a2)3=a6,正确,符合题意;‎ C、a2•a3=a5,故错误;‎ D、3a﹣2a=a,故错误,‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎3.函数y=中自变量x的取值范围是(  )‎ A.x≥0 B.x>4 C.x<4 D.x≥4‎ ‎【考点】函数自变量的取值范围;二次根式有意义的条件.菁优网版权所有 ‎【分析】根据二次根式有意义的条件可得出x﹣4≥0,解该不等式即可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵x﹣4≥0,‎ ‎∴x≥4.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎4.某小学校足球队22名队员年龄情况如下:‎ ‎ 年龄(岁)‎ ‎ 12‎ ‎ 11‎ ‎ 10‎ ‎ 9‎ ‎ 人数 ‎ 4‎ ‎ 10‎ ‎ 6‎ ‎ 2‎ 则这个队队员年龄的众数和中位数分别是(  )‎ A.11,10 B.11,11 C.10,9 D.10,11‎ ‎【考点】众数;中位数.菁优网版权所有 ‎【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可.‎ ‎【解答】解:年龄是11岁的人数最多,有10个人,则众数是11;‎ 把这些数从小到大排列,中位数是第11,12个数的平均数,‎ 则中位数是=11;‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎5.如图是某几何体的三视图,则该几何体可能是(  )‎ A.圆柱 B.圆锥 C.球 D.长方体 ‎【考点】由三视图判断几何体.菁优网版权所有 ‎【分析】根据一个空间几何体的主视图和俯视图都是宽度相等的长方形,可判断该几何体是柱体,进而根据左视图的形状,可判断柱体侧面形状,得到答案.‎ ‎【解答】解:∵几何体的主视图和俯视图都是宽度相等的长方形,‎ ‎∴该几何体是一个柱体,‎ 又∵俯视图是一个圆,‎ ‎∴该几何体是一个圆柱.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎6.下列长度的三根小木棒能构成三角形的是(  )‎ A.2cm,3cm,5cm B.7cm,4cm,2cm C.3cm,4cm,8cm D.3cm,3cm,4cm ‎【考点】三角形三边关系.菁优网版权所有 ‎【分析】依据三角形任意两边之和大于第三边求解即可.‎ ‎【解答】解:A、因为2+3=5,所以不能构成三角形,故A错误;‎ B、因为2+4<6,所以不能构成三角形,故B错误;‎ C、因为3+4<8,所以不能构成三角形,故C错误;‎ D、因为3+3>4,所以能构成三角形,故D正确.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎7.下列说法错误的是(  )‎ A.角平分线上的点到角的两边的距离相等 B.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C.菱形的对角线相等 D.平行四边形是中心对称图形 ‎【考点】中心对称图形;角平分线的性质;直角三角形斜边上的中线;菱形的性质.菁优网版权所有 ‎【分析】A:根据角平分线的性质,可得角平分线上的点到角的两边的距离相等.‎ B:根据直角三角形斜边上的中线的性质,可得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.‎ C:根据菱形的性质,菱形的对角线互相垂直,但是不一定相等.‎ D:根据中心对称图形的性质,可得常见的中心对称图形有:平行四边形、圆形、正方形、长方形,据此判断即可.‎ ‎【解答】解:∵角平分线上的点到角的两边的距离相等,‎ ‎∴选项A正确;‎ ‎∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,‎ ‎∴选项B正确;‎ ‎∵菱形的对角线互相垂直,但是不一定相等,‎ ‎∴选项C不正确;‎ ‎∵平行四边形是中心对称图形,‎ ‎∴选项D正确.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎8.对于实数a,b,我们定义符号max{a,b}的意义为:当a≥b时,max{a,b}=a;当a<b时,max{a,b]=b;如:max{4,﹣2}=4,max{3,3}=3,若关于x的函数为y=max{x+3,﹣x+1},则该函数的最小值是(  )‎ A.0 B.2 C.3 D.4‎ ‎【考点】分段函数.菁优网版权所有 ‎【分析】分x≥﹣1和x<﹣1两种情况进行讨论计算,‎ ‎【解答】解:当x+3≥﹣x+1,‎ 即:x≥﹣1时,y=x+3,‎ ‎∴当x=﹣1时,ymin=2,‎ 当x+3<﹣x+1,‎ 即:x<﹣1时,y=﹣x+1,‎ ‎∵x<﹣1,‎ ‎∴﹣x>1,‎ ‎∴﹣x+1>2,‎ ‎∴y>2,‎ ‎∴ymin=2,‎ 故选B ‎ ‎ 二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,满分32分)‎ ‎9.如图所示,数轴上点A所表示的数的相反数是 2 .‎ ‎【考点】相反数;数轴.菁优网版权所有 ‎【分析】根据相反数的定义,即可解答.‎ ‎【解答】解:数轴上点A所表示的数是﹣2,﹣2的相反数是2,‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎10.因式分解:6x2﹣3x= 3x(2x﹣1) .‎ ‎【考点】因式分解-提公因式法.菁优网版权所有 ‎【分析】根据提公因式法因式分解的步骤解答即可.‎ ‎【解答】解:6x2﹣3x=3x(2x﹣1),‎ 故答案为:3x(2x﹣1).‎ ‎ ‎ ‎11.在半径为6cm的圆中,120°的圆心角所对的弧长为 4π cm.‎ ‎【考点】弧长的计算.菁优网版权所有 ‎【分析】直接利用弧长公式求出即可.‎ ‎【解答】解:半径为6cm的圆中,120°的圆心角所对的弧长为: =4π(cm).‎ 故答案为:4π.‎ ‎ ‎ ‎12.为加快“一极三宜”江湖名城建设,总投资124000万元的岳阳三荷机场及交通产业园,预计2016年建好主体工程,将124000万元用科学记数法表示为 1.24×109 元.‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数.菁优网版权所有 ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.‎ ‎【解答】解:124000万=124000 0000=1.24×109,‎ 故答案为:1.24×109.‎ ‎ ‎ ‎13.如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,已知∠BCD=110°,则∠BAD= 70 度.‎ ‎【考点】圆内接四边形的性质;圆周角定理.菁优网版权所有 ‎【分析】根据圆内接四边形的对角互补求∠BAD的度数即可.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形,‎ ‎∴∠BCD+∠BAD=180°(圆内接四边形的对角互补);‎ 又∵∠BCD=110°,‎ ‎∴∠BAD=70°.‎ 故答案为:70.‎ ‎ ‎ ‎14.如图,一山坡的坡度为i=1:,小辰从山脚A出发,沿山坡向上走了200米到达点B,则小辰上升了 100 米.‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.菁优网版权所有 ‎【分析】根据坡比的定义得到tan∠A=,∠A=30°,然后根据含30度的直角三角形三边的关系求解.‎ ‎【解答】解:根据题意得tan∠A==,‎ 所以∠A=30°,‎ 所以BC=AB=×200=100(m).‎ 故答案为100.‎ ‎ ‎ ‎15.如图,一次函数y=kx+b(k、b为常数,且k≠0)和反比例函数y=(x>0)的图象交于A、B两点,利用函数图象直接写出不等式<kx+b的解集是 1<x<4 .‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.菁优网版权所有 ‎【分析】先根据图形得出A、B的坐标,根据两点的坐标和图形得出不等式的解集即可.‎ ‎【解答】解:∵由图象可知:A(1,4),B(4,1),x>0,‎ ‎∴不等式<kx+b的解集为1<x<4,‎ 故答案为:1<x<4.‎ ‎ ‎ ‎16.如图,在平面直角坐标系中,每个最小方格的边长均为1个单位长,P1,P2,P3,…,均在格点上,其顺序按图中“→”方向排列,如:P1(0,0),P2(0,1),P3(1,1),P4(1,﹣1),P5(﹣1,﹣1),P6(﹣1,2)…根据这个规律,点P2016的坐标为  .‎ ‎【考点】规律型:点的坐标.菁优网版权所有 ‎【分析】根据各个点的位置关系,可得出下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上,被4除余1的点在第三象限的角平分线上,被4除余2的点在第二象限的角平分线上,被4除余3的点在第一象限的角平分线上,点P2016的在第四象限的角平分线上,且横纵坐标的绝对值=2016÷4,再根据第四项象限内点的符号得出答案即可.‎ ‎【解答】解:由规律可得,2016÷4=504,‎ ‎∴点P2016的在第四象限的角平分线上,‎ ‎∵点P4(1,﹣1),点P8(2,﹣2),点P12(3,﹣3),‎ ‎∴点P2016,‎ 故答案为.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共8道小题,满分64分)‎ ‎17.计算:()﹣1﹣+2tan60°﹣(2﹣)0.‎ ‎【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.菁优网版权所有 ‎【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则,二次根式性质,以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果.‎ ‎【解答】解:原式=3﹣2+2﹣1‎ ‎=2.‎ ‎ ‎ ‎18.已知:如图,在矩形ABCD中,点E在边AB上,点F在边BC上,且BE=CF,EF⊥DF,求证:BF=CD.‎ ‎【考点】矩形的性质;全等三角形的判定与性质.菁优网版权所有 ‎【分析】由四边形ABCD为矩形,得到四个角为直角,再由EF与FD垂直,利用平角定义得到一对角互余,利用同角的余角相等得到一对角相等,利用ASA得到三角形BEF与三角形CFD全等,利用全等三角形对应边相等即可得证.‎ ‎【解答】证明:∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴∠B=∠C=90°,‎ ‎∵EF⊥DF,‎ ‎∴∠EFD=90°,‎ ‎∴∠EFB+∠CFD=90°,‎ ‎∵∠EFB+∠BEF=90°,‎ ‎∴∠BEF=∠CFD,‎ 在△BEF和△CFD中,‎ ‎,‎ ‎∴△BEF≌△CFD(ASA),‎ ‎∴BF=CD.‎ ‎ ‎ ‎19.已知不等式组 ‎(1)求不等式组的解集,并写出它的所有整数解;‎ ‎(2)在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘,请用画树状图或列表的方法求积为正数的概率.‎ ‎【考点】列表法与树状图法;解一元一次不等式组;一元一次不等式组的整数解.菁优网版权所有 ‎【分析】(1)首先分别解不等式①②,然后求得不等式组的解集,继而求得它的所有整数解;‎ ‎(2)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与积为正数的情况,再利用概率公式即可求得答案.‎ ‎【解答】解:(1)由①得:x>﹣2,‎ 由②得:x≤2,‎ ‎∴不等式组的解集为:﹣2<x≤2,‎ ‎∴它的所有整数解为:﹣1,0,1,2;‎ ‎(2)画树状图得:‎ ‎∵共有12种等可能的结果,积为正数的有2种情况,‎ ‎∴积为正数的概率为: =.‎ ‎ ‎ ‎20.我市某学校开展“远是君山,磨砺意志,保护江豚,爱鸟护鸟”为主题的远足活动.已知学校与君山岛相距24千米,远足服务人员骑自行车,学生步行,服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍,服务人员与学生同时从学校出发,到达君山岛时,服务人员所花时间比学生少用了3.6小时,求学生步行的平均速度是多少千米/小时.‎ ‎【考点】分式方程的应用.菁优网版权所有 ‎【分析】设学生步行的平均速度是每小时x千米,服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x千米,根据学校与君山岛距离为24千米,服务人员所花时间比学生少用了3.6小时,可列方程求解.‎ ‎【解答】解:设学生步行的平均速度是每小时x千米.‎ 服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x千米,‎ 根据题意:﹣=3.6,‎ 解得:x=3,‎ 经检验,x=3是所列方程的解,且符合题意.‎ 答:学生步行的平均速度是每小时3千米.‎ ‎ ‎ ‎21.某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查,从全年365天中随机抽取了80天的空气质量指数(AQI)数据,绘制出三幅不完整的统计图表.请根据图表中提供的信息解答下列问题:‎ ‎ AQI指数 ‎ 质量等级 ‎ 天数(天)‎ ‎ 0﹣50‎ ‎ 优 m ‎ 51﹣100‎ ‎ 良 ‎ 44‎ ‎ 101﹣150‎ ‎ 轻度污染 n ‎ 151﹣200‎ ‎ 中度污染 ‎ 4‎ ‎ 201﹣300‎ ‎ 重度污染 ‎ 2‎ ‎ 300以上 ‎ 严重污染 ‎ 2‎ ‎(1 )统计表中m= 20 ,n= 8 .扇形统计图中,空气质量等级为“良”的天数占 55 %;‎ ‎(2)补全条形统计图,并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共多少天?‎ ‎(3)据调查,严重污染的2天发生在春节期间,燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因,据此,请你提出一条合理化建议.‎ ‎【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.菁优网版权所有 ‎【分析】(1)由A占25%,即可求得m的值,继而求得n的值,然后求得空气质量等级为“良”的天数占的百分比;‎ ‎(2)首先由(1)补全统计图,然后利用样本估计总体的知识求解即可求得答案;‎ ‎(3)提出合理建议,比如不燃放烟花爆竹或少燃放烟花爆竹等.‎ ‎【解答】解:(1)∵m=80×25%=20,n=80﹣20﹣44﹣4﹣2﹣2=8,‎ ‎∴空气质量等级为“良”的天数占:×100%=55%.‎ 故答案为:20,8,55;‎ ‎(2)估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共:365×(25%+55%)=292(天),‎ 答:估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共292天;‎ 补全统计图:‎ ‎(3)建议不要燃放烟花爆竹.‎ ‎ ‎ ‎22.已知关于x的方程x2﹣(2m+1)x+m(m+1)=0.‎ ‎(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;‎ ‎(2)已知方程的一个根为x=0,求代数式(2m﹣1)2+(3+m)(3﹣m)+7m﹣5的值(要求先化简再求值).‎ ‎【考点】根的判别式;一元二次方程的解.菁优网版权所有 ‎【分析】(1)找出a,b及c,表示出根的判别式,变形后得到其值大于0,即可得证.‎ ‎(2)把x=0代入方程即可求m的值,然后将其整体代入所求的代数式并求值即可.‎ ‎【解答】解:(1)∵关于x的一元二次方程x2﹣(2m+1)x+m(m+1)=0.‎ ‎∴△=(2m+1)2﹣4m(m+1)=1>0,‎ ‎∴方程总有两个不相等的实数根;‎ ‎(2)∵x=0是此方程的一个根,‎ ‎∴把x=0代入方程中得到m(m+1)=0,‎ ‎∴m=0或m=﹣1,‎ 把m=0或m=﹣1代入(2m﹣1)2+(3+m)(3﹣m)+7m﹣5=4m2﹣4m+1+9﹣m2+7m﹣5=3m2+3m+5,‎ 可得:(2m﹣1)2+(3+m)(3﹣m)+7m﹣5=5,或(2m﹣1)2+(3+m)(3﹣m)+7m﹣5=3﹣3+5=5.‎ ‎ ‎ ‎23.数学活动﹣旋转变换 ‎(1)如图①,在△ABC中,∠ABC=130°,将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C,连接BB′,求∠A′B′B的大小;‎ ‎(2)如图②,在△ABC中,∠ABC=150°,AB=3,BC=5,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C,连接BB′,以A′为圆心,A′B′长为半径作圆.‎ ‎(Ⅰ)猜想:直线BB′与⊙A′的位置关系,并证明你的结论;‎ ‎(Ⅱ)连接A′B,求线段A′B的长度;‎ ‎(3)如图③,在△ABC中,∠ABC=α(90°<α<180°),AB=m,BC=n,将△ABC绕点C逆时针旋转2β角度(0°<2β<180°)得到△A′B′C,连接A′B和BB′,以A′为圆心,A′B′长为半径作圆,问:角α与角β满足什么条件时,直线BB′与⊙A′相切,请说明理由,并求此条件下线段A′B的长度(结果用角α或角β的三角函数及字母m、n所组成的式子表示)‎ ‎【考点】圆的综合题.菁优网版权所有 ‎【分析】(1)根据∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C,只要求出∠A′B′B即可.‎ ‎(2)(Ⅰ)结论:直线BB′、是⊙A′的切线.只要证明∠A′B′B=90°即可.(Ⅱ)在RT△ABB′中,利用勾股定理计算即可.‎ ‎(3)如图③中,当α+β=180°时,直线BB′、是⊙A′的切线.只要证明∠A′B′B=90°即可解决问题.在△CBB′中求出BB′,再在RT△A′B′B中利用勾股定理即可.‎ ‎【解答】解;(1)如图①中,∵△A′B′C是由△ABC旋转得到,‎ ‎∴∠A′B′C=∠ABC=130°,CB=CB′,‎ ‎∴∠CBB′=∠CB′B,∵∠BCB′=50°,‎ ‎∴∠CBB′=∠CB′B=65°,‎ ‎∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=65°.‎ ‎(2)(Ⅰ)结论:直线BB′、是⊙A′的切线.‎ 理由:如图②中,∵∠A′B′C=∠ABC=150°,CB=CB′,‎ ‎∴∠CBB′=∠CB′B,∵∠BCB′=60°,‎ ‎∴∠CBB′=∠CB′B=60°,‎ ‎∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=90°.‎ ‎∴AB′⊥BB′,‎ ‎∴直线BB′、是⊙A′的切线.‎ ‎(Ⅱ)∵在RT△ABB′中,∵∠AB′B=90°,BB′=BC=5,AB′=AB=3,‎ ‎∴A′B==.‎ ‎(3)如图③中,当α+β=180°时,直线BB′、是⊙A′的切线.‎ 理由:∵∠A′B′C=∠ABC=α,CB=CB′,‎ ‎∴∠CBB′=∠CB′B,∵∠BCB′=2β,‎ ‎∴∠CBB′=∠CB′B=,‎ ‎∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=α﹣90°+β=180°﹣90°=90°.‎ ‎∴AB′⊥BB′,‎ ‎∴直线BB′、是⊙A′的切线.‎ 在△CBB′中∵CB=CB′=n,∠BCB′=2β,‎ ‎∴BB′=2•nsinβ,‎ 在RT△A′BB′中,A′B==.‎ ‎ ‎ ‎24.如图①,直线y=x+4交于x轴于点A,交y轴于点C,过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B(1,0).‎ ‎(1)求抛物线F1所表示的二次函数的表达式;‎ ‎(2)若点M是抛物线F1位于第二象限图象上的一点,设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S四边形MAOC和S△BOC,记S=S四边形MAOC﹣S△BOC,求S最大时点M的坐标及S的最大值;‎ ‎(3)如图②,将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2,点A、B与(2)中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′,过点M′作M′E⊥x轴于点E,交直线A′C于点D,在x轴上是否存在点P,使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】二次函数综合题.菁优网版权所有 ‎【分析】(1)利用一次函数的解析式求出点A、C的坐标,然后再利用B点坐标即可求出二次函数的解析式;‎ ‎(2)由于M在抛物线F1上,所以可设M(a,﹣a2﹣a+4),然后分别计算S四边形MAOC和S△BOC,过点M作MD⊥x轴于点D,则S四边形MAOC的值等于△ADM的面积与梯形DOCM的面积之和.‎ ‎(3)由于没有说明点P的具体位置,所以需要将点P的位置进行分类讨论,当点P在A′的右边时,此情况是不存在;当点P在A′的左边时,此时∠DA′P=∠CAB′,若以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似,则分为以下两种情况进行讨论:①=;②=.‎ ‎【解答】解:(1)令y=0代入y=x+4,‎ ‎∴x=﹣3,‎ A(﹣3,0),‎ 令x=0,代入y=x+4,‎ ‎∴y=4,‎ ‎∴C(0,4),‎ 设抛物线F1的解析式为:y=a(x+3)(x﹣1),‎ 把C(0,4)代入上式得,a=﹣,‎ ‎∴y=﹣x2﹣x+4,‎ ‎(2)如图①,设点M(a,﹣a2﹣a+4)‎ 其中﹣3<a<0‎ ‎∵B(1,0),C(0,4),‎ ‎∴OB=1,OC=4‎ ‎∴S△BOC=OB•OC=2,‎ 过点M作MD⊥x轴于点D,‎ ‎∴MD=﹣a2﹣a+4,AD=a+3,OD=﹣a,‎ ‎∴S四边形MAOC=AD•MD+(MD+OC)•OD ‎=AD•MD+OD•MD+OD•OC ‎=+‎ ‎=+‎ ‎=×3(﹣a2﹣a+4)+×4×(﹣a)‎ ‎=﹣2a2﹣6a+6‎ ‎∴S=S四边形MAOC﹣S△BOC ‎=(﹣2a2﹣6a+6)﹣2‎ ‎=﹣2a2﹣6a+4‎ ‎=﹣2(a+)2+‎ ‎∴当a=﹣时,‎ S有最大值,最大值为 此时,M(﹣,5);‎ ‎(3)如图②,由题意知:M′(),B′(﹣1,0),A′(3,0)‎ ‎∴AB′=2‎ 设直线A′C的解析式为:y=kx+b,‎ 把A′(3,0)和C(0,4)代入y=kx+b,‎ 得:,‎ ‎∴‎ ‎∴y=﹣x+4,‎ 令x=代入y=﹣x+4,‎ ‎∴y=2‎ ‎∴‎ 由勾股定理分别可求得:AC=5,DA′=‎ 设P(m,0)‎ 当m<3时,‎ 此时点P在A′的左边,‎ ‎∴∠DA′P=∠CAB′,‎ 当=时,△DA′P∽△CAB′,‎ 此时, =(3﹣m),‎ 解得:m=2,‎ ‎∴P(2,0)‎ 当=时,△DA′P∽△B′AC,‎ 此时, =(3﹣m)‎ m=﹣,‎ ‎∴P(﹣,0)‎ 当m>3时,‎ 此时,点P在A′右边,‎ 由于∠CB′O≠∠DA′E,‎ ‎∴∠AB′C≠∠DA′P ‎∴此情况,△DA′P与△B′AC不能相似,‎ 综上所述,当以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似时,点P的坐标为(2,0)或(﹣,0).‎ ‎ ‎ ‎2016年6月29日
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