中考数学真题演练动态几何类比探究专项训练

中考数学真题演练动态几何类比探究专项训练

中考数学真题演练-----------‎ 动态几何、类比探究专项训练 训练目标 1. 熟悉题型结构及解题方法；‎ 2. 书写框架明晰，踩点得分（完整、快速、简洁）。‎ 题型结构及解题方法 中考数学第22题常考查方程不等式或二次函数应用题、动态几何、类比探究。‎ 本讲重点对动态几何、类比探究进行专项训练。‎ 题型 题型特征 解题方法 动态几何 动点问题：‎ 速度已知的几何问题。‎ 1. 研究基本图形；‎ 2. 分析起点、终点、状态转折点，确定分段；‎ 3. 根据几何特征表达线段长，建等式求解。‎ 几何综合问题：‎ 常以三角形、四边形为背景，结合几何变换、几何模型、几何结构等进行考查。‎ 1. 找特征（中点、特殊角、折叠等）、找模型（相似结构、三线合一、面积等）； ‎ 2. 借助问与问之间的联系，寻找条件和思路。‎ 类比探究 图形结构类似、问法类似，常含探究、类比等关键词。‎ 1. 照搬：照搬上一问的方法、思路解决问题。如照搬字母、照搬辅助线、照搬全等、照搬相似。‎ 2. 找结构：寻找不变的结构，利用不变结构的特征解决问题。‎ 常见不变结构及方法：‎ ① 直角，作横平竖直的线，找全等或相似；‎ ② 中点，作倍长，通过全等转移边和角；‎ ③ 平行，找相似，转比例。‎ 答题规范动作 1. 试卷上探索思路、在演草纸上演草。‎ 2. 合理规划答题卡的答题区域：两栏书写，先左后右。‎ 作答前根据思路，提前规划，确保在答题区域内写完答案；同时方便修改。‎ 3. 作答要求：框架明晰，结论突出，过程简洁。‎ ‎22题作答要明确关键步骤，通过关键步骤之间的顺承关系来表达思路。如动点问题，先分段，再对每种情形做出解答；类比探究问题，问与问的关键步骤要相对应，书写框架保持一致，对于变化的部分需要模块书写进行论证。‎ 在过程书写上关键步骤不可或缺，否则会因为漏掉得分点而丢分，但过程要简洁、结论要突出，以便于清晰地展示解题思路，方便阅卷老师快速捕捉信息、快速评分。‎ 1. ‎15分钟内完成。‎ 需注意，实力才是考试发挥的前提。若在训练过程中，发现自己的知识漏洞，需查课本，请教老师、同学。‎ ‎1.如图1，在△ABC中，∠ACB=，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F，AC=mBC，CE=nEA(m，n为实数).试探究线段EF与EG的数量关系．‎ ‎（1）如图2，当m=1，n=1时，求EF与EG的数量关系. ‎ ‎（2）如图3，当m=1，n为任意实数时，求EF与EG的数量关系．‎ ‎（3）如图1，当m，n均为任意实数时，求EF与EG的数量关系．‎ ‎ ‎ ‎2.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠DOC＝α，将△DOC绕点O按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°），连接AC′、BD′，AC′ 与BD′ 相交于点M．‎ ‎（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想AC′ 与BD′ 的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；‎ ‎（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，已知AC＝kBD，请猜想此时AC′ 与BD′ 的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；‎ ‎（3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，AD∥BC，此时（1）AC′ 与BD′ 的数量关系是否成立？∠AMB与α的大小关系是否成立？不必证明，直接写出结论．‎ M B C A O D C′‎ D′‎ 图2‎ M B C A O D C′‎ D′‎ 图3‎ M B C A O D C′‎ D′‎ 图1‎ ‎3.矩形纸片ABCD中，AD＝12cm，现将这张纸片按下列图示方式折叠，AE是折痕．‎ ‎（1）如图1，P，Q分别为AD，BC的中点，点D的对应点F在PQ上，求PF和AE的长；‎ ‎（2）如图2，DP＝ AD，CQ＝ BC，点D的对应点F在PQ上，求AE的长；‎ ‎（3）如图3，DP＝ AD，CQ＝ BC，点D的对应点F在PQ上．‎ ‎①直接写出AE的长（用含n的代数式表示）；‎ ‎②当n越来越大时，AE的长越来越接近于_________．‎ 图2‎ C A F B D E P Q 图1‎ C A F B D E P Q 图3‎ C A F B D E P Q ‎4.操作发现：如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90°，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．‎ ‎（1）若m = n时，如图，求证：EF = AE；‎ 深入思考：（2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ x O E B A y C F x O E B A y C F x O E B A y C F 类比探究：（3）若m = tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF =（t + 1）AE成立？并求出点E的坐标．‎ ‎（1）由题意得m = n时，AOBC是正方形．‎ 如图，在OA上取点C，使AG = BE，则OG = OE．‎ ‎∴ ∠EGO = 45°，从而 ∠AGE = 135°．‎ 由BF是外角平分线，得 ∠EBF = 135°，∴ ∠AGE =∠EBF．‎ ‎∵ ∠AEF = 90°，∴ ∠FEB +∠AEO = 90°．‎ 在Rt△AEO中，∵ ∠EAO +∠AEO = 90°，‎ ‎∴ ∠EAO =∠FEB，∴ △AGE≌△EBF，EF = AE．‎ ‎（2）假设存在点E，使EF = AE．设E（a，0）．作FH⊥x轴于H，如图．‎ 由（1）知∠EAO =∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF．‎ ‎∴ FH = OE，EH = OA．‎ ‎∴ 点F的纵坐标为a，即 FH = a．‎ 由BF是外角平分线，知∠FBH = 45°，∴ BH = FH = a．‎ 又由C（m，n）有OB = m，∴ BE = OB－OE = m－a，‎ x O E B A y C F G ‎∴ EH = m－a + a = m．‎ 又EH = OA = n， ∴ m = n，这与已知m≠n相矛盾．‎ 因此在边OB上不存在点E，使EF = AE成立．‎ ‎（3）如（2）图，设E（a，0），FH = h，则EH = OH－OE = h + m－a．‎ 由 ∠AEF = 90°，∠EAO =∠FEH，得 △AOE∽△EHF，‎ ‎∴ EF =（t + 1）AE等价于 FH =（t + 1）OE，即h =（t + 1）a，‎ H x O E B A y C F 且，即，‎ 整理得 nh = ah + am－a2，∴ ．‎ 把h =（t + 1）a 代入得 ，‎ 即 m－a =（t + 1）（n－a）．‎ 而 m = tn，因此 tn－a =（t + 1）（n－a）．‎ 化简得 ta = n，解得．‎ ‎∵ t＞1， ∴ ＜n＜m，故E在OB边上．‎ ‎∴当E在OB边上且离原点距离为处时满足条件，此时E（，0）．‎ ‎5.在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，如图1．‎ ‎（1）将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转90°，取DF的中点G，连接EG，CG，如图2，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想；‎ ‎（2）将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转180°，取DF的中点G，连接EG，CG，如图3，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明；‎ ‎（3）将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转任意角度，取DF的中点G，连接EG，CG，如图3，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．‎ C A B D E F 图1‎ C A B D E G F 图2‎ C A B D E G F 图4‎ C A B D E G F 图3‎ ‎20．解：（1）EG＝CG，EG⊥CG 2分 ‎（2）EG＝CG，EG⊥CG 4分 证明：如图3，延长FE交DC延长线于H，连接GH C A B D E G F 图2‎ H ‎∵∠AEH＝90°，∠EBC＝90°，∠BCH＝90°‎ ‎∴四边形BEHC是矩形，∴BE＝CH，∠EHC＝90°‎ 又∵BE＝EF，∴EF＝CH ‎∵∠EHC＝90°，FG＝DG，∴HG＝ DF＝FG ‎∵BC＝EH，BC＝CD，∴EH＝CD ‎∵EF＝CH，∴FH＝DH，∴∠F＝45°‎ C A B D E G F 图3‎ H 又FG＝DG，∴∠CHG＝ ∠EHC＝45°‎ ‎∴∠F＝∠CHG，∴△EFG≌△CHG ‎∴EG＝CG，∠EGF＝∠CGH 6分 ‎∵∠FHC＝90°，FH＝DH，FG＝DG，∴HG⊥DF ‎∴∠EGF＋∠EGH＝90°‎ ‎∴∠CGH＋∠EGH＝90°，即∠EGC＝90°‎ ‎∴EG⊥CG 8分 ‎（3）EG＝CG，EG⊥CG 9分 证明：如图4，延长CG至H，使GH＝CG，连接HF、HE、EC ‎∵GF＝GD，∠HGF＝∠CGD，GH＝GC，∴△HFG≌△CDG C A B D E G F 图4‎ H ‎∴HF＝CD，∠GHF＝∠GCD，∴HF∥CD ‎∵正方形ABCD，∴HF＝BC，HF⊥BC ‎∵△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BE，EF⊥BE ‎∴∠HFE＝∠CBE，∴△HFE≌△CBE ‎∴EH＝EC，∠FEH＝∠BEC，∴∠HEC＝∠BEF＝90°‎ ‎∴△ECH为等腰直角三角形 又∵GH＝GC ‎∴EG＝CG，EG⊥CG 12分 ‎6.如图，在△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，点P从B出发，以a厘米/秒（a>0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t秒．‎ ‎（1）若a=2，△BPQ∽△BDA，求t的值；‎ ‎（2）设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．‎ ‎①若a=，求PQ的长；‎ ‎②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）△ABC中，AB=AC=‎10cm，BC=‎12cm，D是BC的中点，‎ ‎∴BD=CD=BC=6cm，∵a=2，∴BP=2tcm，DQ=tcm，‎ ‎∴BQ=BD－QD=6－t（cm），∵△BPQ∽△BDA，‎ ‎∴即，解得：t=；‎ ‎（2）①过点P作PE⊥BC于E，‎ ‎∵四边形PQCM为平行四边形，∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，∴，‎ ‎∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ，∴BE=BQ=（6-t）cm，‎ ‎∵a=，∴PB=tcm，‎ ‎∵AD⊥BC，∴PE∥AD，∴，即，‎ 解得：t=，∴PQ=PB=t= （cm）；‎ ‎②不存在．理由如下：∵四边形PQCM为平行四边形，‎ ‎∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，∴∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ．‎ 若点P在∠ACB的平分线上，则∠PCQ=∠PCM，∵PM∥CQ，∴∠PCQ=∠CPM，‎ ‎∴∠CPM=∠PCM，∴PM=CM，∴四边形PQCM是菱形，‎ ‎∴PQ=CQ，∴PB=CQ，‎ ‎∵PB=atcm，CQ=BD+QD=6+t（cm），∴PM=CQ=6+t（cm），AP=AB-PB=10-at（cm），‎ 即at=6+t①，∵PM∥CQ，∴ ‎∴化简得：6at+5t=30②，‎ 把①代入②得，t=，∴不存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上．‎ ‎7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm．现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（）．‎ ‎（1）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行，为什么？‎ ‎（2）连接DP，当t为何值时，四边形EQDP能成为平行四边形？ ‎ ‎（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形？‎ ‎ ‎ 变式：（1）AE=------DE=-------（用含x的代数式表示的长度） （2）当x为何值时，四边形PCQE为矩形； （3）当x为何值时，△EDQ为等腰三角形． （4）在点Q，E运动过程中，直线QE与AB是否能平行？（直接作答）‎ 如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。‎ ‎（1）当时x=0，折痕EF的长为_____；当点E与点A重合时，折痕EF的长为_____；‎ ‎（2）请写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长；‎ ‎（3）令EF2=y，当点E在AD、点F在BC上时，写出y与x的函数关系式。当y取最大值时，判断⊿EAP与⊿ PBF是否相似？若相似，求出x的值；若不相似，请说明理由。‎ 如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. （1）求AD的长； （2）设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值； （3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由 ‎ ‎（1）如图1过A作AE⊥CD，垂足为E . 依题意，DE= 在Rt△ADE中，AD=； （2）∵CP=x，h为PD边上的高,依题意，△PDQ的面积S可表示为： S=PD·h = == 由题意，知0≤x≤5 .  当x=时（满足0≤x≤5），S最大值=；‎ ‎（3）假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ . 于是9-x=x，x=  此时，点P、Q的位置如图3所示，连QP . △PDQ恰为等边三角形 . 过点Q作QM∥DC，交BC于M， 点M即为所求. 连结MP，以下证明四边形PDQM是菱形 .  易证△MCP≌△QDP，∴∠D=∠3 . MP=PD ∴MP∥QD ,  ∴四边形PDQM是平行四边形  2012南通如图，经过点A(0,－4)的抛物线y=x²+bx+c与x轴相交于B(－2, 0)，C两点，O为坐标原点．‎ （1） 求抛物线的解析式；‎ （2） 将抛物线y=x²+bx+c向上平移个单位长度，再向左平移m（m ＞ 0‎ ‎）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；‎ （1） 设点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求AM的长． ‎