武汉市中考第题的解题分析

武汉市中考第题的解题分析

武汉市中考第25题的解题分析 .25．(本题12分)已知抛物线y=a(x＋1)2＋c(a＞0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M，已知直线MC的函数表达式为y=kx－3，与x轴的交点为N，且cos∠BCO=.‎ ‎⑴求抛物线的解析式；‎ ‎⑵在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎⑶如图2，过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q，若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？‎ C A N B M Q 图2‎ O x y C A N B M Q 图1‎ O x y C A N B M D P2‎ Q P1‎ 第25题 O x y 解：25．⑴抛物线为y=(x＋1)2－4=x2＋2x－3．‎ ‎⑵假设在抛物线线上存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点 ‎ 的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形．‎ ① 当∠PNC=90°时，可知M(－1，－4)，‎ ② 代入y=kx－3得k=1，‎ ‎ ∴直线MC为y=x－3，‎ ‎∴N(3，0)．‎ ‎∴OC=ON=3，‎ ‎∠CNO=45°．‎ ‎ 设NP交y轴于D，‎ ‎∵∠PNC=90°，‎ ‎∴∠DNO=∠PNC－∠CNO=45°，‎ ‎ OD=ON=3，‎ ‎∴D(0，3)．于是可得直线DN：y=－x＋3．‎ ‎ 由可得 P1(，)，P2(，)．‎ ‎②当∠PCN=90°时，同理可得P3(－3，0)，P4(0，－3)(舍去)‎ ‎ 综上，抛物线线上存在满足条件的点有3个：P1(，)，P2(，)，P3(－3，0)．‎ ‎⑶①若抛物线向上平移，最多可平移个单位长度．‎ ‎②若抛物线向下平移，最多可平移12个单位长度．‎ .25. （本题满分12分）如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-3,0),B(-1,0)两点，‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；‎ ‎（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0,3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点，问在y轴的负半轴上是否存在一点P,使△PEF的内心在y轴上，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。‎ .25.解：（1）抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-3,0),B(-1,0)两点 ‎∴‎ 解得a=1,b=4 ‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2+4x+3‎ ‎（2）由（1）配方得y=(x+2)-1 ‎ ‎∴抛物线的顶点M(-2，-1),‎ 直线OD的解析式为y=x. ‎ 于是设平移后的抛物线的顶点坐标为(h, h)‎ ‎∴平移后的抛物线解析式为y=(x-h)+ h ① 当抛物线经过点C时，‎ ‎∵C(0,9) ‎ ‎∴h+ h=9， 解得h=‎ ‎∴当≤x<时，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点 ② 当抛物线与直线CD只有一个公共点时，由方程组 得x+(-2h+2)x+ h+ h-9=0 ‎ ‎ ∴⊿=（-2h+2) -4（h+ h-9）=0 ‎ ‎ 解得h=4 ‎ ‎ 此时抛物线y=(x-4)+2与射线CD只有唯一一个公共点为（3,3），符合题意 综上所述，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点时，顶点横坐标h的取值范围为h=4或≤x<‎ ‎(3)设直线EF的解析式为y=kx+3(k≠0),点E、F的坐标分别为（m,m）,(n,n)‎ 由 得x-kx-3=0 ∴m+n=k m·n=-3 ‎ 作点E关于y轴的对称点R(-m, m）,作直线FR交y轴于点P，‎ 由对称性知∠EFP=∠FPQ,此时△PEF的内心在y轴上 ‎ ‎ ∴点P即为所求的点。‎ 由F,R的坐标可得直线FR的解析式为y=(n-m)x+mn记y=(n-m)x-3，‎ 当x=0时，y=-3 ‎ ‎∴p(0,-3)‎ ‎∴y轴的负半轴上存在点P(0，-3)使△PEF的内心在y轴上。‎ 25．(本题满分12分) 如图．抛物线经过A（－1，0），C（2，）两点，与x轴交于另一点B．‎ ‎ (1) 求此地物线的解析式；‎ ‎ (2) 若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点 (不与点B重合)，点Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=，求y2与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；‎ ‎(3) 在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m，x=n分别与抛物线交于点E，G，与(2)中的函数图象交于点F，H．问四边形EFHG能否为平行四边形? 若能，求m，n之间的数量关系；若不能，请说明理由．‎ ‎ 备用图 ‎４25.如果抛物线的顶点在抛物线上，同时，抛物线的顶点在抛物线上，那么，我们称抛物线与关联。‎ ‎(1)已知抛物线①，判断下列抛物线②；③与已知抛物线①是否关联，并说明理由。‎ ‎(2)抛物线:，动点P的坐标为（t，2），将抛物线绕点P（t，2）旋转得到抛物线，若抛物线与关联，求抛物线的解析式。‎ ‎(3)A为抛物线:的顶点，B为与抛物线关联的抛物线顶点，是否存在以AB为斜边的等腰直角，使其直角顶点C在轴上，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎５25. （本题满分12分）抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于，为抛物线的顶点，直线轴，垂足为，.‎ ‎（1）求这个抛物线的解析式；‎ ‎（2）为直线上的一动点，以为斜边构造直角三角形，使直角顶点落在轴上.若在轴上的直角顶点只有一个时，求点的坐标；‎ ‎（3）为抛物线上的一动点，过作直线，交直线于，当点在抛物线的第二象限的部分上运动时，是否存在使点三等分线段的情况，若存在，请求出所有符合条件的的坐标，若不存在，请说明理由 ‎６25．（12分）如图直角坐标系中，以M（3,0）为圆心的⊙M交x轴负半轴于A，交x轴正半轴于B,交y轴于C,D ‎(1)若C点坐标为 (0，4)，求点A坐标 ‎（2）在（1）的条件下，在⊙M上，是否存在点P，使∠CPM=45°，若存在，求出满足条件的点P ‎ (3)过C作⊙M的切线CE，过A作AN⊥CE于F,交⊙M于N，当⊙M的半径大小发生变化时．AN的长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值．‎ ‎25.(1)A(-2, 0) (2) P1 (7, 3), P2 (-1, -3).‎ ‎(3)答：AN的长不变为6．‎ 连CM,作MH⊥AN于H，则AH=NH，证△AMH≌△MCO,‎ ‎∴AH=M0=3. ∴AN=2AH=6.‎