2018静安区中考数学一模

2018静安区中考数学一模

‎ 静安区2017-2018学年第一学期期末教学质量调研（一模）‎ ‎ 九年级数学试卷 2018.1‎ ‎（完成时间：100分钟 满分：150分 ） ‎ 考生注意：‎ ‎1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．‎ ‎2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．‎ ‎3. 答题时可用函数型计算器．‎ 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）‎ ‎【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】‎ ‎1．化简所得的结果是 ‎（A）； （B）； （C）； （D）．‎ ‎2．下列方程中，有实数根的是 ‎（A）； （B）； （C） ；（D）．‎ a A B D C 第3题图 ‎3．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，‎ 利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，‎ 使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开 ‎ 两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时， ‎ AB的长是 ‎（A）7.2 cm ； （B）5.4 cm ； （C）3.6 cm ； （D）0.6 cm ． ‎ ‎4．下列判断错误的是 ‎ ‎（A）如果或，那么；（B）设m为实数，则； ‎ ‎（C）如果∥，那么 ；（D）在平行四边形ABCD中，．‎ ‎5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，那么sinB的值是 ‎（A）； （B）； （C）； （D）．‎ ‎6．将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，与抛物线重合，现有一直线与抛物线相交，当≤时，利用图像写出此时的取值范围是 ‎（A）≤； （B）≥； （C）≤≤； （D）≥．‎ 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）‎ ‎【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】‎ ‎7．已知，那么的值是 ▲ ．‎ ‎8．已知线段AB长是2厘米，P是线段AB上的一点，且满足AP 2 =AB · BP，那么AP长为 ▲ 厘米． ‎ ‎9．已知△ABC的三边长分别是、、，△DEF的两边长分别是和，如果△ABC与△DEF相似，那么△DEF的第三边长应该是 ▲ ． ‎ ‎10．如果一个反比例函数图像与正比例函数图像有一个公共点A（1，a），那么这个反比例函数的解析式是 ▲ ．‎ ‎11．如果抛物线（其中a、b、c是常数，且a≠0）在对称轴左侧的部分是上升的，那么a ▲ 0．(填“＜”或“＞”)‎ ‎12．将抛物线向右平移2个单位后，对称轴是轴，那么m的值是 ▲ ． ‎ ‎13．如图，斜坡AB的坡度是1∶4，如果从点B测得离地面的铅垂高度BC是6米，那么斜坡AB的长度是 ▲ 米． ‎ ‎14．在等腰△ABC中，已知AB=AC=5，BC=8，点G是重心，联结BG，那么∠CBG的余切值是 ▲ ．‎ A 第15题图 B C D ‎15．如图，△ABC中，点D在边AC上，∠ABD =∠C，AD=9，DC=7，那么AB = ‎ ‎▲ ．‎ C 第13题图 A B ‎16．已知梯形ABCD，AD∥BC，点E和F分别在两腰AB和DC上，且EF是梯形的中 位线，AD=3，BC=4．设，那么向量xiangLIANG ▲ ．（用向量表示）‎ 第17题图 A B C M N ‎17．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BC=6，直线MN∥BC，‎ 且分别交边AB、AC于点M、N，已知直线MN将△ABC分为面积 第18题图 A B C D 相等的两部分，如果将线段AM绕着点A旋转，使点M落在边 BC 上的点D处，那么BD= ▲ ．‎ ‎18. 如图，矩形纸片ABCD，AD=4，AB=3．如果点E在z 边BC上，‎ ‎ 将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，联结FC，当△EFC是 直角三角形时，那么BE的长为 ▲ ． ‎ 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）‎ ‎19．（本题满分10分）计算：．‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎20．（本题满分10分）解方程组： ．‎ ‎21．（本题满分10分, 其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）‎ 已知：二次函数图像的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点A（1，3）．‎ ‎ （1）求此抛物线的表达式； ‎ ‎ （2）如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积．‎ ‎22．（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分）‎ 第22题图 N A M B 如图，在一条河的北岸有两个目标M、N，现在位于它的对岸设定两个观测点A、B，已知AB∥MN，在A点测得∠MAB=60°，在B点测得∠MBA=45°，AB=600米． ‎ ‎（1）求点M到AB的距离；（结果保留根号）‎ ‎（2）在B点又测得∠NBA=53°，求MN的长．‎ ‎（结果精确到1米） ‎ ‎（参考数据：，，，，．） ‎ ‎23．（本题满分12分，其中第（1）小题6分，第（2）小题6分）‎ 第23题图 A B E F C D 已知：如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BD ，AD⊥DB，点E是腰AD上一点，作∠EBC＝45°，联结CE，交DB于点F．‎ ‎（1）求证：△ABE∽△DBC；‎ ‎（2）如果，求的值． ‎ y O 第24题图 x ‎24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题8分）‎ ‎ 在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线 经过点A（－1，0）、B（5，0）．‎ ‎（1）求此抛物线顶点C的坐标；‎ ‎（2）联结AC交y轴于点D，联结BD、BC，过点C作 CH⊥BD，垂足为点H，抛物线对称轴交x轴于点G，联结HG，‎ 求HG的长．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）‎ 已知：如图，四边形ABCD中，0°＜∠BAD ≤90°，AD=DC，AB=BC，AC平分∠BAD． ‎ ‎（1）求证：四边形ABCD是菱形；‎ F 第25题图②‎ A B D C E G ‎（2）如果点E在对角线AC上，联结BE并延长，交边DC于点G，交线段AD的延长线于点F（点F可与点D重合），∠AFB =∠ACB，设AB长度是（是常数，且），AC=，AF=，求关于的函数解析式，并写出定义域；‎ ‎（3）在第（2）小题的条件下，当△CGE是等腰三角形时，‎ 求AC的长．（计算结果用含的代数式表示） ‎ 第25题图①‎ A D C B 静安区2017学年第一学期期末学习质量调研九年级数学试卷 参考答案及评分说明2018.1‎ 一、选择题： 1．B； 2．D； 3．B； 4．C； 5．A； 6．C．‎ 二、填空题：7． ； 8．； 9．； 10． ； 11．＜； 12．2；‎ ‎ 13．； 14． 4； 15．12； 16． ； 17．3； 18． 或3．‎ 三、解答题：‎ ‎19．解：原式＝ …………………………………（5分）‎ ‎＝ ……………………………………………………（3分）‎ ‎＝1 ……………………………………………………（2分）‎ ‎20．解：由②得, ……………………………………（2分）‎ 得或, ………………………………（2分）‎ 原方程组可化为 …………………………………（2分）‎ 解得，原方程组的解为 …………………………………（4分）‎ ‎∴原方程组的解为 ．‎ ‎21．解：（1）∵二次函数图像的顶点坐标是（3，5）, ‎ ‎∴设二次函数的解析式为 …………………………………（2分）‎ 又∵抛物线经过点A（1，3），代入解析式 解得： ……（1分）‎ ‎∴此二次函数的解析式为，即 ……（1分）‎ ‎（2）∵B点是点A关于该抛物线对称轴的对称点，∴B（5，3），AB= 5-1= 4，……（2分）‎ ‎∵与y轴的交点是C点，∴C（0， ）， ……（2分）‎ ‎∴△ABC的面积= ………………………………………………（2分）‎ ‎22．解：（1）过点M作MC⊥AB，垂足是点C，‎ 在Rt△AMC和Rt△BMC中，∠MAB=60°，∠MBA=45°，‎ ‎，， ………………………………（2分）‎ 设AC是x米，则MC=BC= 米 ‎ ‎∵AB=600米，AC+BC=600，即， ……………………………………（1分）‎ 解得x = ∴MC= (米) ……………………………………（2分）‎ 答：点M到AB的距离是（）米．‎ ‎（2）过点N作ND⊥AB，垂足是点D， ………………………………………（1分）‎ ‎∴∠NDC=∠MCD=90°，∴MC∥ND，又∵AB∥MN，∴四边形MDBE是矩形． ‎ ‎∴MN=CD, ND=MC= CB=， …………………………………………（1分）‎ 在Rt△NBD中,∠NBD=53°,cot∠NBD= ‎ ‎∴米 …………………………（1分）‎ 米，即MN =95米 …………（2分）‎ 答：MN的长约为95米． ‎ ‎23．证明：（1）∵AD＝BD ，AD⊥DB，∴∠A＝∠DBA =45°………………………（1分）‎ 又∵DC∥AB ，∴∠CDB =∠DBA＝45°, ∴∠CDB =∠A, ………………………（2分）‎ ‎∵∠EBC＝45°，∴∠EBC=∠DBA， ……………………………………………（1分）‎ ‎∴∠EBC－∠DBE =∠DBA－∠DBE，即∠DBC =∠ABE ………………………（1分）‎ ‎∴△ABE∽△DBC ……………………………………………………………………（1分）‎ ‎（2）∵△ABE∽△DBC, ∴ ………………………………………………（2分）‎ ‎∴，且∠EBC=∠DBA，∴△BCE∽△BDA ………………………………（2分）‎ 又∵，∴． ……………………………………………（2分）‎ ‎24．解：（1）∵抛物线抛物线经过点A（－1，0）、B（5，0）．‎ ‎∴ ，解得……………………………………………（2分）‎ ‎∴此二次函数的解析式为 ‎∴，∴C（2，-3）…………………………………（2分）‎ O x A B C D G H y ‎（2）由题意可知：抛物线对称轴交x轴于点G, ‎ ‎∴CG⊥AB, AB=5－（－1）=6，AG=BG =3, ‎ ‎∴G（2，0）,CG= AG=BG=3, AC=BC= …（1分）‎ ‎, ∴△ACB是等腰直角三角形 ‎ ‎∵OD⊥x轴，∴∠AOD =∠AGC=90°，∴OD∥CG，‎ ‎∴，∴OD=1，∴D（0，﹣1）…（1分）‎ ‎∴DA=，DB= ‎ 在Rt△DCB中，CH⊥BD, ∴∠BHC =∠BCD=90°，‎ 又∵∠HBC =∠CBD，∴△BCH∽△BDC ，……………………………………………（1分）‎ ‎∴，∴，，∴ …（1分）‎ ‎∵，∴ ………………………………………………（1分）‎ 又∵∠HBG =∠ABD，∴△HBG∽△ABD ………………………………………………（1分）‎ ‎∴，∴，∴………………………………………（2分）‎ 答：HG的长为．‎ ‎25．（1）证明：∵四边形ABCD中， AD=DC，AB=BC，‎ ‎∴∠DAC＝∠DCA，∠BAC＝∠BCA ………………………………………………（1分）‎ ‎∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，‎ ‎∴∠DCA＝∠BCA， ……………………………………………………………………（1分）‎ 在△ABC和△ADC中，‎ F 第25题图②‎ A B D C E G ‎ ∴△ABC≌△ADC …………（1分）‎ ‎∴AB＝AD，BC＝DC，∴AB＝AD＝DC＝BC， …（1分）‎ ‎∴四边形ABCD是菱形．‎ ‎（2）解：如图②，∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AD∥BC，∴∠FAC＝∠ACB，∠AFB＝∠FBC，‎ ‎∵∠AFB =∠ACB，∴∠F＝∠FAC， ‎ 又∵AC平分∠BAD，∴∠ACB＝∠FBC＝∠CAB，‎ ‎∵∠ECB＝∠BCA，∴△CEB∽△CBA，∴，………………………………（2分）‎ ‎∵AB长度是（是常数，且），AC=，AF=，‎ ‎∴， ∴， ‎ ‎∴， ……………………………………………………………（1分）‎ 又∵AF∥BC，∴ ∴…………………………………………（1分）‎ ‎∴ ． ………………………………………………………………………（1分）‎ 又∵0°＜∠BAD ≤90°∴此函数定义域为（）． ……………………（1分）‎ ‎（3）解：∵四边形ABCD是菱形， DC∥AB，∴△CGE∽△ABE ‎ ‎∴当△CGE是等腰三角形时，△ABE是等腰三角形． ‎ ‎∵△CEB∽△CBA ∴， 即，∴BE＝…………………………（1分）‎ ‎①当AE＝AB时， ，即，‎ 解得（经检验是原方程的根且符合题意，负值舍去）‎ ‎ ∴AC＝……………………………………………………………………………（1分）‎ ‎②当AE＝BE时，，‎ 解得 （经检验是原方程的根且符合题意，负值舍去）‎ ‎ ∴AC＝ ……………………………………………………………………………（1分）‎ ‎③当AB＝BE时，，解得（经检验不合题意，舍去） ……………（1分）‎ ‎∴AC的长为 或 ．‎