中考数学复习专题21特殊的平行四边形含中考真题解析

中考数学复习专题21特殊的平行四边形含中考真题解析

专题21 特殊的平行四边形 ‎☞解读考点 知　识　点 名师点晴 矩形 ‎1．矩形的性质 会从边、角、对角线方面通过合情推理提出性质猜想，并用演绎推理加以证明；能运用矩形的性质解决相关问题．‎ ‎2．矩形的判定 会用判定定理判定平行四边形是否是矩形及一般四边形是否是矩形 菱形 ‎1．菱形性质 能应用这些性质计算线段的长度 ‎2．菱形的判别 能利用定理解决一些简单的问题 正方形 ‎1．正方形的性质 了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关系，能够熟练运用正方形的性质解决具体问题 ‎2．正方形判定 掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题，发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明 ‎☞2年中考 ‎【2015年题组】‎ ‎1．（2015崇左）下列命题是假命题的是（ ）‎ A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．‎ B．对角线互相垂直的矩形是正方形．‎ C．对角线相等的菱形是正方形．‎ D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形．‎ ‎【答案】D．‎ 考点：1．正方形的判定；2．平行四边形的判定；3．菱形的判定；4．矩形的判定．‎ ‎2．（2015连云港）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（　　）‎ A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形 B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形 C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形 D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形 ‎【答案】B．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；‎ ‎∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；‎ ‎∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；‎ ‎∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确；‎ 故选B．‎ 考点：1．平行四边形的判定；2．矩形的判定；3．正方形的判定．‎ ‎3．（2015徐州）如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（　　）‎ A．3.5 B．‎4 C．7 D．14‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=AB=×7=3.5．故选A．‎ 考点：菱形的性质．‎ ‎4．（2015柳州）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH 其中，正确的结论有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】B．‎ 考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．相似三角形的判定与性质；4．综合题．‎ ‎5．（2015内江）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B．‎ 考点：1．轴对称-最短路线问题；2．最值问题；3．正方形的性质．‎ ‎6．（2015南充）如图，菱形ABCD的周长为‎8cm，高AE长为 cm，则对角线AC长和BD长之比为（　　）‎ A．1：2 B．1：‎3 C．1： D．1：‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如图，设AC，BD相较于点O，∵菱形ABCD的周长为‎8cm，∴AB=BC=‎2cm，∵高AE长为cm，∴BE==1（cm），∴CE=BE=‎1cm，∴AC=AB=‎2cm，∵OA=‎1cm，AC⊥BD，∴OB==（cm），∴BD=2OB=cm，∴AC：BD=1：．故选D．‎ 考点：菱形的性质．‎ ‎7．（2015安徽省）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ）‎ A． B． C．5 D．6‎ ‎【答案】C．‎ 考点：1．菱形的性质；2．矩形的性质．‎ ‎8．（2015十堰）如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=，且∠ECF=45°，则CF的长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A．‎ 考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质；4．综合题；5．压轴题．‎ ‎9．（2015鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B‎2C2D2、D2E3E4B3、A3B‎3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B‎1C1D1的边长为1，∠B‎1C1O=60°，B‎1C1∥B‎2C2∥B‎3C3…则正方形A2015B‎2015C2015D2015的边长是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D．‎ 考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题．‎ ‎10．（2015广安）如图，已知E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点，AB=‎6cm，∠ABC=60°，则四边形EFGH的面积为 cm2．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：连接AC，BD，相交于点O，如图所示，∵E、F、G、H分别是菱形四边上的中点，∴EH=BD=FG，EH∥BD∥FG，EF=AC=HG，∴四边形EHGF是平行四边形，∵菱形ABCD中，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∵AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴AO=AB=3，∴AC=6，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB==，∴BD=，∵EH=BD，EF=AC，∴EH=，EF=3，∴矩形EFGH的面积=EF•FG=cm2．故答案为：．‎ 考点：1．中点四边形；2．菱形的性质．‎ ‎11．（2015凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为 ．‎ ‎【答案】（，）．‎ 的交点，∴点P的坐标为方程组的解，解方程组得：，所以点P的坐标为（，），故答案为：（，）．‎ 考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题；4．动点型；5．压轴题；6．综合题．‎ ‎12．（2015潜江）菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P的坐标为 ．‎ ‎【答案】（0.5，）．‎ 考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．规律型；4．综合题．‎ ‎13．（2015北海）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE= ．‎ ‎【答案】8．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，∴∠BAC=45°，AB∥DC，∠ADC=90°，∵∠CAE=15°，∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°．∵在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，∴AE=2AD=8．故答案为：8．‎ 考点：1．含30度角的直角三角形；2．正方形的性质．‎ ‎14．（2015南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是 ．‎ ‎【答案】45°．‎ 考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质．‎ ‎15．（2015玉林防城港）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是 ．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如图1所示，作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，∴AA′=6，AE′=4．∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，∴DQ是△AA′E′的中位线，∴DQ=AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，∵BP∥AA′，∴△BE′P∽△AE′A′，∴，即，BP=，CP=BC﹣BP==，S四边形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP=9﹣AD•DQ﹣CQ•CP﹣BE•BP=9﹣×3×2﹣×1×﹣×1×=，故答案为：．‎ 考点：1．轴对称-最短路线问题；2．正方形的性质．‎ ‎16．（2015达州）在直角坐标系中，直线与y轴交于点A，按如图方式作正方形A1B‎1C1O、A2B‎2C2C1、A3B‎3C1C2…，A1、A2、A3…在直线上，点C1、C2、C3…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到游依次记为、、、…，则 的值为 （用含n的代数式表示，n为正整数）．‎ ‎【答案】．‎ 故答案为：．‎ 考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．‎ ‎17．（2015齐齐哈尔）如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B‎1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B‎2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B‎3C3D4，…，依此规律，则A‎2014A2015= ．‎ ‎【答案】．‎ 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．‎ ‎18．（2015梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．‎ ‎（1）求证：HF=AP；‎ ‎（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．‎ ‎【答案】（1）证明见试题解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ 考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．综合题．‎ ‎19．（2015恩施州）如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE．‎ ‎（1）求证：AG=CE；‎ ‎（2）求证：AG⊥CE．‎ ‎【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由ABCD、BEFG均为正方形，得出AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，得出∠ABG=∠CBE，从而得到△ABG≌△CBE，即可得到结论；‎ ‎（2）由△ABG≌△CBE，得出∠BAG=∠BCE，由∠BAG+∠AMB=90°，对顶角∠AMB=∠CMN，得出∠BCE+∠CMN=90°，证出∠CNM=90°即可．‎ 试题解析：（1）∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，∴AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，∴∠ABG=∠CBE，在△ABG和△CBE中，∵AB=CB，∠ABG=∠CBE，BG=BE，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴AG=CE；‎ ‎（2）如图所示：∵△ABG≌△CBE，∴∠BAG=∠BCE，∵∠ABC=90°，∴∠BAG+∠AMB=90°，∵∠AMB=∠CMN，∴∠BCE+∠CMN=90°，∴∠CNM=90°，∴AG⊥CE．‎ 考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质．‎ ‎20．（2015武汉）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．‎ ‎（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．‎ ‎①求的值；‎ ‎②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；‎ ‎（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．‎ ‎【答案】（1）①；②， S的最大值是24；（2）或．‎ 试题解析：（1）①∵EF∥BC，∴，∴==，即的值是；‎ 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．二次函数的最值；3．矩形的性质；4．正方形的性质；5．分类讨论；6．综合题；7．压轴题．‎ ‎21．（2015荆州）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．‎ ‎（1）PC=PE；‎ ‎（2）求∠CPE的度数；‎ ‎（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见试题解析；（2）90°；（3）AP=CE．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先证出△ABP≌△CBP，得到PA=PC，由PA=PE，得到PC=PE；‎ ‎（2）由△ABP≌△CBP，得到∠BAP=∠BCP，进而得到∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；‎ ‎（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．‎ 考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的性质；4．探究型；5．综合题；6．压轴题．‎ ‎【2014年题组】‎ ‎1．（2014·宜宾） 如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（ ）‎ ‎ ‎ ‎　 A．n B．n﹣‎1 C．（）n﹣1 D．n ‎【答案】B．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即是×4=1，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n﹣1）=n﹣1．‎ 故选B．‎ 考点：1．正方形的性质2．全等三角形的判定与性质．‎ ‎2．（2014·山东省淄博市）如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB的长度为（　　）‎ ‎　 A． 1 B． C． D． 2‎ ‎【答案】C．‎ 考点：1．勾股定理；2．线段垂直平分线的性质；3．矩形的性质．‎ ‎3．（2014山东省聊城市）如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为（　　）‎ ‎　 A． 2 B． 3 C．6 D．‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，即BA⊥BF，∵四边形BEDF是菱形，∴EF⊥BD，∠EBO=∠DBF，∴AB=BO=3，∠ABE=∠EBO，∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，∴BE=，∴BF=BE=，∵EF=AE+FC，AE=CF，EO=FO ‎∴CF=AE=，∴BC=BF+CF=3，故选B．‎ 考点：1．矩形的性质；2．菱形的性质．‎ ‎4．（2014·广西来宾市）顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（　　）‎ ‎　 A． 等腰梯形 B． 矩形 C． 菱形 D． 正方形 ‎【答案】B．‎ 考点：1．正方形的判定；2．三角形中位线定理；3．菱形的性质．‎ ‎5．（2014·贵州铜仁市）如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE=3，AE=2，则MF的长是（　　）‎ ‎　 A． B． C．1 D． ‎ ‎【答案】D．‎ 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．勾股定理；4．矩形的性质．‎ ‎6．（2014·襄阳）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（ ）‎ A．①② B．②③ C．①③ D．①④‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵AE=AB，∴BE=2AE．‎ 由翻折的性质得，PE=BE，∴∠APE=30°．∴∠AEP=90°﹣30°=60°，∴∠BEF=（180°﹣∠AEP）=（180°﹣60°）=60°．∴∠EFB=90°﹣60°=30°．‎ ‎∴EF=2BE．故①正确．‎ ‎∵BE=PE，∴EF=2PE．‎ ‎∵EF＞PF，∴PF＞2PE．故②错误．‎ 由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°．∴BE=2EQ，EF=2BE．‎ ‎∴FQ=3EQ．故③错误．‎ 由翻折的性质，∠EFB=∠BFP=30°，∴∠BFP=30°+30°=60°．‎ ‎∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，∴∠PBF=∠PFB=60°．‎ ‎∴△PBF是等边三角形．故④正确；‎ 综上所述，结论正确的是①④．‎ 故选D．‎ 考点：1．矩形的性质；2．含30度角直角三角形的判定和性质；3．等边三角形的判定．‎ ‎7．（2014·宁夏）菱形ABCD中，若对角线长AC=‎8cm，BD=‎6cm，则边长AB= cm．‎ ‎【答案】5．‎ 考点：1．菱形的性质；2．勾股定理．‎ ‎8．（2014·山东省聊城市）如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF交BE与G点，交DF与F点，CE交DF于H点、交BE于E点．‎ 求证：△EBC≌△FDA．‎ ‎【答案】证明见解析．‎ 考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定．‎ ‎9．（2014·梅州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．‎ ‎（1）求证：CE=CF；‎ ‎（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）GE=BE+GD成立，理由见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．‎ ‎（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．‎ 试题解析：（1）在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF（SAS）．∴CE=CF．‎ ‎（2）GE=BE+GD成立．理由是：‎ 考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定和性质；3．等腰直角三角形的性质．‎ ‎☞考点归纳 归纳 1：矩形 基础知识归纳：‎ ‎1、矩形的概念 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．‎ ‎2、矩形的性质 ‎（1）具有平行四边形的一切性质 ‎（2）矩形的四个角都是直角 ‎（3）矩形的对角线相等 ‎（4）矩形是轴对称图形 ‎3、矩形的判定 ‎（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 ‎（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形 ‎（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 基本方法归纳：关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．‎ 注意问题归纳：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．‎ ‎【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为（ ）‎ A、30° B、60° C、90° D、120°‎ ‎【答案】B．‎ 考点：矩形的性质．‎ 归纳 2：菱形 基础知识归纳：‎ ‎1、菱形的概念 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 ‎2、菱形的性质 ‎（1）具有平行四边形的一切性质 ‎（2）菱形的四条边相等 ‎（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 ‎（4）菱形是轴对称图形 ‎3、菱形的判定 ‎（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ‎（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形 ‎（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ‎4、菱形的面积 S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半 注意问题归纳：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．‎ ‎【例2】如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（ ）．‎ ‎ （A）△ABD与△ABC的周长相等； （B）△ABD与△ABC的面积相等；‎ ‎ （C）菱形的周长等于两条对角线之和的两倍； （D）菱形的面积等于两条对角线之积的两倍．‎ ‎【答案】B．‎ 考点：菱形的性质．‎ 归纳 3：正方形 基础知识归纳：‎ ‎ 1、正方形的概念 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．‎ ‎2、正方形的性质 ‎（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质 ‎（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等 ‎（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 ‎（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴 ‎（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形 ‎（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等．‎ 注意问题归纳：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．‎ ‎【例3】如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F．有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A﹣B﹣F﹣C的路径行走至C，乙沿着A﹣F﹣E﹣C﹣D的路径行走至D，丙沿着A﹣F﹣C﹣D的路径行走至D．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（　　）‎ ‎　 A． 甲乙丙 B． 甲丙乙 C． 乙丙甲 D． 丙甲乙 ‎【答案】B．‎ 考点：正方形的性质．‎ ‎☞1年模拟 ‎1．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）下列说法中，错误的是（ ）‎ A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．菱形的对角线互相垂直 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 ‎【答案】D．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据平行四边形的菱形的性质得到A、B、C选项均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形．故选D．‎ 考点：1．菱形的判定与性质；2．平行四边形的判定与性质．‎ ‎2．（2015届广东省广州市中考模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（ ）‎ A．30° B．60° C．90° D．120°‎ ‎【答案】B．‎ 考点：矩形的性质．‎ ‎3．（2015届山东省日照市中考模拟）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积为（ ）‎ A．0.7 B．‎0.9 C．2−2 D．‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如图，∵∠B=45°，AE⊥BC，∴∠BAE=∠B=45°，∴AE=BE，由勾股定理得：BE2+AE2=22，解得：BE=，由题意得：△ABE≌△AB1E，∴∠BAB1=2∠BAE=90°，BE=B1E=，∴BB1=2，B‎1C=2-2，∵四边形ABCD为菱形，∴∠FCB1=∠B=45°，∠CFB1=∠BAB1=90°，∴∠CB‎1F=45°，CF=B‎1F，∵CF∥AB，∴△CFB1∽△BAB1，∴，解得：CF=2-，∴△AEB1、△CFB1的面积分别为：，，∴△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积=．故选C．‎ 考点：1．菱形的性质；2．翻折变换（折叠问题）．‎ ‎4．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）如图，菱形OABC的顶点O在坐标系原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（ ）‎ A．（-，） B．（，-） C．（2，-2） D．（，-）‎ ‎【答案】B．‎ 考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形变化-旋转．‎ ‎5．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（ ）‎ A．①② B．②③ C．①③ D．①④‎ ‎【答案】D．‎ 综上所述，结论正确的是①④．故选D．‎ 考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质．‎ ‎6．（2015届山东省日照市中考一模）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）‎ A．①② B．②③ C．①③ D．②④‎ ‎【答案】B．‎ 考点：正方形的判定．‎ ‎7．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=，AD=1，把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是 ．‎ ‎【答案】．‎ 考点：1．旋转的性质；2．矩形的性质；3．扇形面积的计算．‎ ‎8．（2015届河北省中考模拟二）如图，在矩形ABCD中，AB=3，⊙O与边BC，CD相切，现有一条过点B的直线与⊙O相切于点E，连接BE，△ABE恰为等边三角形，则⊙O的半径为 ．‎ ‎【答案】6-3．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：过O点作GH⊥BC于G，交BE于H，连接OB、OE，∴G是BC的切点，OE⊥BH，∴BG=BE，∵△ABE为等边三角形，∴BE=AB=3，∴BG=BE=3，∵∠HBG=30°，∴GH=，BH=2，设OG=OE=x，则EH=2-3，OH=-x，在RT△OEH中，EH2+OE2=OH2，即（2-3）2+x2=（-x）2，解得x=6-3，∴⊙O的半径为6-3．故答案为：6-3．‎ 考点：1．切线的性质；2．矩形的性质．‎ ‎9．（2015届山东省日照市中考一模）边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为 ．‎ ‎【答案】．‎ 考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形．‎ ‎10．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是 ．‎ ‎【答案】．‎ 考点：1．正方形的性质；2．直角三角形斜边上的中线；3．勾股定理．‎ ‎11．（2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．‎ ‎（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．‎ ‎【答案】（1）FG⊥ED．理由见解析；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】‎ 考点：1．旋转的性质；2．正方形的判定；3．平移的性质；4．探究型．‎ ‎12．（2015届北京市平谷区中考二模）如图，已知点E，F分别是□ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°．‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：四边形AECF是菱形；‎ ‎（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用平行四边形的性质和菱形的性质即可判定四边形AECF是菱形；‎ ‎（2）连接EF交于点O，运用解直角三角形的知识点，可以求得AC与EF的长，再利用菱形的面积公式即可求得菱形AECF的面积．‎ 试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．‎ 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC边的中点，∴AE=CE=BC．‎ 同理，AF=CF=AD．‎ ‎∴AF=CE．‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形．‎ ‎∴平行四边形AECF是菱形．‎ 考点：1．菱形的性质；2．平行四边形的性质；3．解直角三角形．‎ ‎13．（2015届山东省日照市中考模拟）如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．‎ ‎（1）求sin∠ABC的值； ‎ ‎（2）若E为x轴上的点，且S△AOE=，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？ ‎ ‎（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）．（2）△AOE∽△DAO．（3）F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（，），F4（-，）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求得一元二次方程的两个根后，判断出OA、OB长度，根据勾股定理求得AB长，那么就能求得sin∠ABC的值；‎ ‎（2）易得到点D的坐标为（6，4），还需求得点E的坐标，OA之间的距离是一定的，那么点E的坐标可能在点O的左边，也有可能在点O的右边．根据所给的面积可求得点E的坐标，把A、E代入一次函数解析式即可．然后看所求的两个三角形的对应边是否成比例，成比例就是相似三角形；‎ ‎（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．‎ 试题解析：（1）解x2-7x+12=0，得x1=4，x2=3．∵OA＞OB ，∴OA=4，OB=3．在Rt△AOB中，由勾股定理有AB=，∴sin∠ABC=；‎ ‎（3）根据计算的数据，OB=OC=3，∴AO平分∠BAC，①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，所以点F与B重合，即F（-3，0）；‎ ‎②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，点F（3，8）；‎ ‎③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为y=-x+4，直线L过（，2），且k值为（平面内互相垂直的两条直线k值乘积为-1），L解析式为y=x+，联立直线L与直线AB求交点， ‎ ‎∴F（，）；‎ ‎④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法求出CN=‎ ‎，勾股定理得出，AN=，做A关于N的对称点即为F，AF=，过F做y轴垂线，垂足为G，FG=×=，∴F（-，）．‎ 综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（，），F4（-，）．‎ 考点：1．相似三角形的判定；2．解一元二次方程-因式分解法；3．待定系数法求一次函数解析式；4．平行四边形的性质；5．菱形的判定；6．分类讨论；7．存在型；8．探究型．‎ ‎14．（2015届河北省中考模拟二）如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，连接BF、EF，恰有BF=EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B作EF的垂线，交EF于点M，交DA的延长线于点N，连接NG．‎ ‎（1）求证：BE=2CF；‎ ‎（2）试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明．‎ ‎【答案】（1）证明见解析．（2）四边形BFGN为菱形，证明见解析．‎ ‎（2）解：四边形BFGN为菱形，证明如下：‎ 考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的判定；4．旋转的性质；5．和差倍分．‎ ‎15．（2015届广东省广州市中考模拟）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为 ．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：连接CD′和BC′，∵∠DAB=60°，∴∠DAC=∠CAB=30°，∵∠C′AB′=30°，∴A、D′、C及A、B、C′分别共线∴AC=，∴扇形ACC′的面积为：．∵AC=AC′，AD′=AB，∴在△OCD′和△OC'B中，，∴△OCD′≌△OC′B（AAS），∴OB=OD′，CO=C′O．∵∠CBC′=60°，∠BC′O=30°，∴∠COD′=90°．∵CD′=AC-AD′=-1，OB+C′O=1，∴在Rt△BOC′中，BO2+（1-BO）2=（-1）2，解得BO=，，∴‎ 考点：1．菱形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．扇形面积的计算；4．旋转的性质．‎