中考数学方程与不等式复习资料

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第二章　方程（组）与不等式（组）‎ 一、方程与方程（组）‎ ‎（一）、课标要求 具体内容 知识技能要求 过程性要求 ‎⑴‎ ‎⑵‎ ‎⑶‎ ‎⑷‎ ‎⑸‎ ‎⑹‎ ‎⑺‎ 方程（组）的解的检验 ‎√‎ 估计方程的解 ‎√‎ 一元一次方程及解法 ‎√‎ 二元一次方程组及解法 ‎√‎ 可化为一元一次方程的分式方程（方程中分式不超过2个）‎ ‎√‎ 一元二次方程及其解法 ‎√‎ 列方程解决实际问题 ‎√‎ ‎（二）、知识要点 ‎1.方程与方程（组）有关概念 ‎（1）方程：含有未知数的等式。‎ ‎（2）整式方程：重点研究一元一次方程（）和一元二次方程（）。‎ ‎（3）分式方程（可化为一元一次方程的分式方程）‎ ‎（4）二元一次方程组 ‎2.方程（组）的解与解方程（组）‎ ‎（1）方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，只含有一个未知数的方程的解也叫做根。‎ ‎（2）方程组的解：使方程组中每个方程左右两边的值都相等的所有未知数的值，叫做该方程组的解。‎ ‎（3）解方程：求方程解的过程。‎ ‎（4）等式的基本性质：‎ 等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式；‎ 等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不是零），所得的结果仍是等式。‎ ‎（5）一元一次方程（包括含字母系数的一元一次方程）解法的一般步骤：‎ 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1‎ ‎（6）一元二次方程的解法：直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法；‎ ‎（7）一次方程组的解法：一次方程组通过代入消元或加减消元转化为一次方程来解决。‎ ‎（8）可化为一元一次方程的分式方程的解法；分式方程通过去分母或换元转化为整式方程来解决，注意验根。‎ ‎（9）二元一次方程组的解法：通过代入消元或加减消元转化为一元一次方程来解决。‎ ‎※3.一元二次方程根的判别式。‎ 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根 ‎4.应用问题 解应用题时，应该有两步检验，一是检验所求得的解是否为原方程（组）的解；二是检验它是否符合实际意义。‎ ‎（1）列方程（组）解应用问题常用的基本数量关系：‎ ‎①数量的和、差、倍、分；‎ ‎②距离＝速度×时间，注意变式的情况；‎ ‎③工作量＝工作效率×工作时间；‎ ‎④‎ ‎⑤数字问题。‎ ‎⑥面积问题：同底等高（等底等高）三角形的面积相等。‎ ‎（2）列方程（组）解应用问题的一般步骤：审、设、表、列、解、检、答。‎ ‎（3）用方程的思想解综合性问题。‎ ‎（三）、考点解读 例1.代数式与代数式的值相等时，求k的取值。‎ 分析：由代数式的值的意义，给定k的一个值，两个代数式都分别有不同的取值，若令两代数式相等，求其字母的值，就用到了方程的思想。‎ 解：根据题意，得：‎ 解得：‎ 答：k的值为8。‎ 说明：本题考察了方程的思想，根的意义及解一元一次方程。‎ 例2.如果a是关于x的方程的根，且，那么的值是多少？‎ 分析：由方程根的意义，将a代入其方程能使两边相等。‎ 解：∵a是方程的根 而 即 说明：本题考察了方程根的意义、因式分解等知识，同时还考察了恒等变形的能力。‎ 例3.解方程组 简析：本题特点适用于代入消元和加减消元两种方法，若在平面直角坐标系中画出两个方程所代表的两条直线，然后标出交点坐标，也可以求出方程组的解，即为图象法解方程组。‎ 解法一：（代入消元法）‎ 由<1>得：‎ 把<3>代入<2>，得：‎ 把代入<3>，得：‎ 所以是原方程组的解。‎ 解法二：加减消元法 将<1>两边同时乘以3，得：‎ 由<2>－<3>，得：‎ 把代入<1>，得：‎ 所以是原方程组的解。‎ 解法三：由<1>可得：‎ 由<2>可得：‎ 在同一个平面直角坐标系中作出一次函数和一次函数的图象，观察图象得交点为（-1，-4）。‎ 所以方程组的解是 说明：‎ 代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：‎ ‎（1）在方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程变形成用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式（一般称这个等式为关系式）；‎ ‎（2）将关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；‎ ‎（3）解这个一元一次方程求得一个未知数的值，再将它代入关系式，求得另一个未知数的值；‎ ‎（4）把求得的未知数的值用联立符号表示出来。‎ 加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：‎ ‎（1）使方程组中准备消掉的未知数在两个方程中的系数的绝对值相等；‎ ‎（2）把两个方程的两边分别相加或相减，得到一个一元一次方程；‎ ‎（3）解这个一元一次方程求得一个未知数的值，再将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值；‎ ‎（4）把求得的两个未知数的值按字母顺序用联立符号表示出来。‎ 图象法的使用不如上面两种方法普遍，它只对交点的横、纵坐标都是整数值时适宜，其他情况下得进行估值。‎ 例4.选择适当方法解下列方程：‎ ‎（1）（2）（3）‎ 分析：一元二次方程的解法有直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法等。在解答时应根据题目特点，选择适当的方法，如：（1）适于使用直接开平方法；（2）使用因式分解法较为简捷；（3）可以使用配方法或公式法。‎ 解：（1）方程两边直接开平方，得 ‎（2）移项，得：‎ 合并同类项得：‎ 方程左边分解因式得：‎ 或 ‎（3）‎ 说明：在用公式法和因式分解法解一元二次方程时，要注意把方程化为的形式。‎ 例5.求证：对于任意实数k关于x的方程总有两个不相等的实数根。‎ 证明：∵‎ ‎∴对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根。‎ 例6.解分式方程 分析：先将等号右边分式的分母因式分解，求出最简公分母，不能忽视验根，解题关键是将分式方程转化为整式方程。‎ 解：①方程两边同乘以，得：‎ 解这个整式方程，得：‎ 检验：把得 所以，是原方程的解。‎ 例7.某农户种植花生，原来种植的花生的亩产量为‎200kg，出油率为50%（即每‎100kg花生可加工成花生油‎50kg），现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油‎132kg，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的，求：新品种花生亩产量的增长率。‎ 解：设新品种花生亩产量的增长率为x，‎ 则有 解得（不合题意，舍去）‎ 答：新品种花生亩产量的增长率是20%。‎ 注：对于增长率问题，解这类问题的公式是 ，其中，a是原来的量，x是平均变化率，n是改变次数，b为变化后的量。‎ ‎（四）、智能训练 练习一 ‎（方程与方程组）‎ ‎（一）、精心选一选 ‎1.下列各方程中，属于一元一次方程的是：‎ A.　B.　C.　D.‎ ‎2.如果单项式是同类项，则m、n的值是：‎ A.　B.　C.　D.‎ ‎3.若代数式的值比的值大5，则x等于：‎ A.13　B.　C.3　D.A.　B.　C.　D.‎ ‎4.把方程化为一元二次方程的一般形式是（）‎ A.　B.　C.　D.‎ ‎5.若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（）‎ A.a≠2　B.a≥‎0　‎C.a≥0且a≠2　D.a为任意实数 ‎6.已知2是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为（）‎ A.2　B.　C.3　D.‎ ‎7.某工厂原计划每天生产a个零件，现实际每天多生产b个零件，则生产m个零件提前的天数为____________‎ A.　B.　C.　D.‎ ‎（二）、细心填一填 ‎8.“某数的与某数的的差等于‎9”‎，设某数为x，根据题意可列出方程____________。‎ ‎9.方程的解有__________个。‎ ‎10.已知方程是关于x的一元一次方程，则____________。‎ ‎11.若关于x的方程和方程有相同的解，则____________。‎ ‎12.关于x的方程，当k____________时，它是一元二次方程，当k____________时，它是一元一次方程。‎ ‎13.若关于x的二次方程有实根，则a的取值范围是____________。‎ ‎14.已知甲数、乙数之和为43，甲数的3倍比乙数的4倍大3，若设甲数为x，乙数为y，由题意得方程组_____________。‎ ‎15.某市财政收入连续三年以8%的速度递增，若第一年的财政收入为a亿元，则第三年的财政收入为____________。‎ ‎（三）、用心做一做 ‎16.解下列方程 ‎（1）（2）（3）‎ ‎（4）（5）（6）‎ ‎17.已知，求的值。‎ ‎18.列方程解应用题 ‎（1）某工厂第一车间人数比第二车间人数的少30人，如果从第二车间调10人到第一车间，那么第一车间的人数就是第二车间人数的，求原来每个车间的人数。‎ ‎（2）某商场门口沿马路向东是公园，向西是某中学，该校两名学生从商场出来准备去公园，他们商议了两种方案：‎ I.先步行回学校取自行车，然后骑车去公园。‎ II.直接从商场步行去公园 已知他们骑车的速度是他们步行速度的4倍，从商场到学校的距离为‎3千米，若两种方案所用的时间相同，则商场到公园有多远？‎ ‎(3)、某工厂二月份生产钢铁500吨，因管理不善，三月份的钢产量减少了10%，从四月份加强了管理，产量逐月上升，五月份的产量达到648吨，则该厂四、五月份的平均增长率为多少？‎ ‎【智能训练答案】‎ 一、精心选一选1.B2.A3.B4.A5.C6.C7.B ‎ 二、细心填一填：‎ ‎8.，9.无数个10.，11.4，12.≠－3且k≠1；＝－3, 13.,14. ,15.‎ 三、用心做一做 ‎16.解下列方程 ‎（1）（2）（3）.. (4).当时，,，无实数根。‎ ‎ (5). (6).,17.－3,18.（1）第一车间有170人，第二车间有250人。（2）商场到公园的距离为‎5千米,(3),20%‎ 二、不等式与不等式组 ‎（一）、课标要求 具体内容 知识技能要求 过程性要求 ‎⑴‎ ‎⑵‎ ‎⑶‎ ‎⑷‎ ‎⑸‎ ‎⑹‎ ‎⑺‎ 列不等式 ‎√‎ 不等式的基本性质 ‎√‎ 一元一次不等式 ‎√‎ 一元一次不等式组 ‎√‎ 不等式（组）的运用 ‎√‎ ‎（二）、知识要点 ‎1.不等式的解集与解不等式 ‎（1）不等式的基本性质：‎ ‎①不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。‎ ‎②不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。‎ ‎③不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。‎ ‎（2）一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合。‎ ‎（3）求不等式的解集的过程，叫做解不等式。‎ ‎2.不等式组的解集与解不等式组 ‎（1）几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集。‎ ‎（2）求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。‎ ‎（3）解一元一次不等式组的步骤：‎ ‎①分别求出不等式组中各个不等式的解集；‎ ‎②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。‎ ‎3.应用问题 列一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤：‎ ‎（1）找出实际问题的不等关系，设定未知数，列出不等式（组）；‎ ‎（2）解不等式（组）；‎ ‎（3）从不等式组的解集中求出符合题意的答案。‎ ‎（三）、考点解读 例1.解不等式，并在数轴上表示它的解集 解：去分母，得 去括号，得 移项后，合并得 不等式两边同乘以11，得 它的解集在数轴上表示如图：‎ 说明：一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法相类似。应特别注意的是，当不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向必须改变。本题可先去分母，此时不要漏乘，再去括号，然后化成或的形式，最后得出解集。‎ 例2.求不等式组的整数解 解：解不等式，得 解不等式，得 不等式组的解集为 其中整数解为－1，0，1，2‎ 说明：不等式组的解集是组成不等式组的每一个不等式解集的公共部分，因此，解一元一次不等式是解一元一次不等式组的基础，会用数轴表示一元一次不等式的解集是正确求出一元一次不等式组解集的可靠保证。‎ 例3.已知：关于x的方程有两个不相等的实根，求k的取值范围。‎ 分析：这道题往往容易把注意力集中在根的判别式上，因而忽视了“二次项系数不等于‎0”‎这一方程条件，使解题出现漏洞，本题虽没有明确指出方程的次数，但从“有两个不相等的实数根”中隐含着方程的次数是2这一事实。‎ 解：方程有两个不相等的实数根 且 例4.解不等式 解：将原不等式的两边和中间都加上1，得 将这个不等式的两边和中间都除以3，得 所以原不等式解集为 说明：本题的另一种解法：解原不等式相当于解不等式组 例5、若方程组的解为x、y，且，则的取值范围是（）‎ A.B.‎ C.D.‎ 分析：不等式中的未知数k隐含在方程组中，因此应从解方程组入手，考虑到要确定的取值范围，故不能简单地求出k值，而需采用整体的方法来解。两方程相减，得，即，由，得 ‎，选B 例6.乘某城市的一种出租汽车起价是10元（即行驶路程在‎5km以内都需付10元车费），达到或超过‎5km后，每增加‎1km加价1.2元（不足‎1km部分按‎1km计）。现在某人乘这种出租汽车从甲地到乙地，支付车费17.2元，从甲地到乙地的路程大约是多少km？‎ 解：设从甲地到乙地的路程大约是xkm，根据题意，得 解此不等式组，得 答：从甲地到乙地的路程大于‎10km，小于或等于‎11km。‎ 说明：将生活中的实际问题抽象化，建立恰当的数学模型，再根据模型使问题获解，这是中考着意突出的应用意识考查的热点。此例的设计取材于学生熟悉的生活中的问题，考查了同学们对不等式知识的掌握和应用程度。‎ ‎（四）、智能训练 练习二 ‎（不等式和不等式组）‎ ‎（一）、精心选一选 ‎1.根据不等式的性质，下列变形正确的是（）‎ A.由得　　B.由得 C.由得　　D.由得 ‎2.x与5的和不大于－1，用不等式表示为（）‎ A.　B.　C.　D.‎ ‎3.下列不等式组的求解结果正确的是（）‎ A.不等式组的解集是　B.不等式组的解集是 C.不等式组无解　D.不等式组的解集是 ‎4.若的解集是，则a必须满足是（）‎ A.　B.　C.　D.‎ ‎5.不等式的正整数解的个数是（）‎ A.2　B‎.3　‎C.4　D.5‎ ‎6.“x的2倍与3的和是非负数”列成不等式为（）‎ A.　B.　C.　D.‎ ‎7.如图在数轴上表示是哪一个不等式的解集（）‎ A.　B.　C.　D.‎ ‎8.不等式组的解集为（）‎ A.　B.　C.　D.‎ ‎（二）、细心填一填 ‎9.不等式的解集为____________。‎ ‎10.代数式的值小于－2，m的取值范围是_______________。‎ ‎11.若，则关于x的不等式的解集是__________。‎ ‎12.若，则__________。‎ ‎13.如果，则___________。‎ ‎14.如果的值不是正数，则x___________。‎ ‎15.当m_________时，代数式的值是非负数。‎ ‎（三）、用心做一做 ‎16.解不等式，并将解集在数轴上表示出来。‎ ‎17.解不等式组 ‎18.求不等式的整数解。‎ ‎19.已知方程组的解x、y都不大于1，求a的取值范围。‎ ‎20.把若干苹果分给几只猴子，若每只猴分3个，则余8个；若每只猴分5个，则最后一只猴分得的不足5个，问共有多少只猴子？多少个苹果？‎ ‎【智能训练答案】‎ 一.精心选一选 ‎1.B2.D3.B4.C 5.C6. A 7.C8.D 二.细心填一填 ‎9. ，10 ，11. ，12.> ，13.> ， 14.15.‎ 三.用心做一做 ‎16不等式的解集为：‎ 其解集在数轴上表示如图：‎ ‎17.原不等式组无解 ‎18.原不等式的整数解为：x＝－2‎ ‎19. ‎ ‎20.猴子有5只或6只，苹果有23个或26个。‎ 练习三 ‎（综合练习）‎ ‎（一）、精心选一选。‎ ‎1.三角形两边长分别为4和8，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是（）‎ A.14B‎.18C.14和18D.14或18‎ ‎2.已知关于x的方程有实根，则m的取值范围是（）‎ A.B.C.D.且 ‎3.下边给出的是2005年4月份的日历，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请运用方程的思想来研究，你发现这三个数的和不可能是（）A.69B‎.50C.42D.57‎ 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ ‎4.不等式组的解集为（）‎ A.B.C.D.空集 ‎5.不等式的最大整数解为（）‎ A.11B‎.12C.13D.14‎ ‎6.在下列命题中，正确命题个数为（）‎ ‎①若，则；②若，则；‎ ‎③若，则；④若，则。‎ A.1个B.2个C.3个D.4个 ‎（二）、细心填一填。‎ ‎7、方程的解是___________；方程的解是__________。‎ ‎8、如果，则‎3a_______3b；ab_______；_______0；_____（用不等号连接）‎ ‎9、代数式的值是非正数，则x的取值范围是______________。‎ ‎10、若0是一元二次方程的一个根，则另一个根是______，_______。‎ ‎11、若关于x的方程有两个相等的实根，则的值是______________。‎ ‎12、已知与是同类项，则______________。‎ ‎13、不等式组的整数解为______________。‎ ‎14、若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是______________。‎ ‎15、一个长方形足球场的长为xm，宽为‎70m，如果它的周长大于‎350m，面积小于，则x的取值范围是______________。这个足球场______________（填符合或不符合）国际足球比赛的要求。（注：用于国际足球比赛的场地长在‎100m到‎110m之间，宽在‎64m到‎75m之间）。‎ ‎（三）、用心做一做 ‎16.解不等式组，并把解集在数轴上表示出来。‎ ‎17.用适当的方法解方程：‎ ‎（1）（2）（配方法）‎ ‎（3）（公式法）（4）‎ ‎18.若方程组的解为x、y，且，求的取值范围。‎ ‎19.张掖市某中学要印制本校高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务，甲厂的优惠条件是：按每份定价1.5元的八折收费，另收900元的制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1.5元的价格不变，而制版费900元则六折优惠。且甲、乙两厂都规定：一次印刷数量至少是500份。‎ ‎（1）分别求两个印刷厂收费y（元）与印刷数量x（份）的函数关系，并求出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）如何根据印刷数量选择比较合算的方案？如果这个中学要印制2000份录取通知书，那么应该选择哪一个厂？需要多少费用？‎ ‎20.如图，某小区规划在一个长‎40m、宽‎26m的矩形ABCD上修三条同样宽的甬路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余地方种草，若使每一块草坪的面积都为144，求甬路的宽。‎ ‎【综合训练答案】‎ 一.精心选一选。‎ ‎1.B2.C3.B4.D5.B6.A 二.细心填一填。‎ ‎（7）0或2；4或-4（8）＜；＞；＜；＞（9）x≤2（10）‎ ‎（11）5（12）（13）‎ ‎（14）（15）；符合 三.用心做一做。‎ ‎16.17.（1）（2）（3）（4）无解18 .，19.（1）（整数）（整数）（2），选乙合算，甲、乙收费同，选甲合算，当时，选甲厂合算。20.‎