中考数学压轴题4

中考数学压轴题4

4．△ABC 中，BC＝AC＝5，AB＝8，CD 为 AB 边上的高．如图 1，A 在原点处，点 B 在 y 轴的正半轴上，点 C 在第一象限．若 A 从原点出发，沿 x 轴向右以每秒 1 个单位长的 速度运动，则点 B 随之沿 y 轴下滑，并带动△ABC 在平面上滑动．如图 2，设运动的时间为 t 秒，当 B 到达原点时停止运动．当以点 C 为圆心、CA 为半径的圆与坐标轴相切时，求 t 的值． 图 1 图 2 4．（1）在 Rt△ACD 中，AC＝5，AD＝4，所以 CD＝3． ①如图 1，当与 x 轴相切于时，CA⊥x 轴．此时 CA//BO，∠1＝∠A． 在 Rt△AOB 中，AB＝8，所以 3 24sin 1 8 55OA AB      ．此时 24 5t  ． ②如图 2，当与 y 轴相切于时，CB⊥y 轴．此时 BC//OA，∠2＝∠B． 在 Rt△AOB 中，AB＝8，所以 4 32cos 2 8 55OA AB      ．此时 32 5t  ． 第 4 题图 1 第 4 题图 2 10．（2014 年上海市长宁区中考模拟第 24 题） 如图 1，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是等腰梯形，其中 OA＝AB＝BC＝4， tan 3BCO． （1）求经过 O、B、C 三点的二次函数的解析式； （2）若点 P 在第四象限，且△POC 与△AOB 相似，求满足条件的所有点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，若⊙P 与以 OC 为直径的⊙D 相切，请直接写出⊙P 的半径． 10．（1）如图 1，作 AM⊥x 轴，BN⊥x 轴，垂足分别为 M、N， 那么 OM＝CN，AM＝BN，AB＝MN． 在 Rt△BCN 中，由 tan 3BCO，BC＝4， 得∠BCO＝60°，CN＝2， 23BN  ． 所以 OC＝8，ON＝6． 所以点 C 的坐标为(8, 0)，点 B 的坐标为(6,2 3) ． 第 10 题图 1 因为抛物线与 x 轴交于 O、C(8, 0)，设抛物线的解析式为 y＝ax(x－8)， 代入点 (6,2 3)B ，得 12 2 3a ．解得 3 6a  ． 所以抛物线的解析式为 23 3 4 3( 8)6 6 3y x x x x      ． （2）如图 2，△AOB 是顶角为 120°的等腰三角形，如果△POC 与△AOB 相似，那么 △POC 也是顶角为 120°的等腰三角形，存在两种情况： ①如图 2，当 PO＝PC 时，在 Rt△POD 中，OD＝4，∠OPD＝60°， 所以 43 3PD  ．此时点 P 的坐标为 43(4, )3 ． ②如图 3，延长 BC 到 P，使 CP＝CO，作 PH⊥x 轴于 H． 在 Rt△CPH 中，CP＝8，∠PCH＝60°，所以 CH＝4， 43PH  ． 此时点 P 的坐标为(12, 4 3) ． 第 10 题图 2 第 10 题图 3 （3）①如图 2，⊙D 的半径为 4，圆心距 PD＝ 43 3 ． 两圆内切，⊙P 在⊙D 内时，⊙P 半径为 434 3 ； 两圆内切，⊙D 在⊙P 内时，⊙P 半径为 434 3 ． ②如图 3，在 Rt△PDH 中，DH＝8， 43PH  ，所以圆心距 22(4 3) 8 4 7PD    ． 两圆内切时，⊙P 半径为 4 7 4 ；两圆外切时，⊙P 半径为 4 7 4 ． 9．（ 2014 年北京市丰台区中考模拟第 25 题） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2＋c 与 x 轴交于点 A(－2,0)和点 B，与 y 轴 交于点 C(0, 23)，线段 AC 上有一动点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 移动，线段 AB 上有另一个动点 Q 从点 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 移动， 两动点同时出发，设运动时间为 t 秒． （1）求该抛物线的解析式； （2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，使得以 A、P、Q 为顶点的三角形与△AOC 相似?如果存在，请求出对应的 t 的值；如果不存在，请说明理由； （3）在 y 轴上有两点 M（0, m）和 N（0, m＋1），若要使得 AM＋MN＋NP 的和最小， 请直接写出相应的 m、t 的值以及 AM＋MN＋NP 的最小值． 9．（1）因为抛物线 y＝ax2＋c 的顶点为 C(0, 23)，所以 2 23y ax ． 代入点 A(－2,0)，得 4 2 3 0a ．解得 3 2a  ． 所以抛物线的解析式为 23 232yx   ． （2）在 Rt△AOC 中，OA＝2，OC＝ ，所以 AC＝4，∠A＝60°． AP＝t，AQ＝4－2t，△APQ 与△AOC 相似，存在两种情况： ①如图 1，当 AP AO AQ AC 时， 1 4 2 2 t t  ．解得 t＝1． ②如图 2，当 AP AC AQ AO 时， 242 t t  ．解得 8 5t  ． 第 9 题图 1 第 9 题图 2 （3）AM＋MN＋NP 的最小值为 123 2 ，此时 2 33m  ， 32 2t  ．这是因为： 如图 3，当 NP⊥AC 时，NP 最小，设 NP 关于 CO 的对应线段为 NP′． 以 NP′、NM 为边构造平行四边形 NP′EM，那么 NP′＝ME． 如图 4，在△AME 中，AM＋ME＞AE． 如图 5，当 A、M、E 三点共线时，AM＋ME 取得最小值，也就是 AM＋NP 取得最小值， 此时 AE 与 BC 垂直．设垂足为 F，恰好 EF＝ 1 1 1'2 2 2P E NM． 所以 AM＋MN＋NP 的最短路径如图 5 所示． 第 9 题图 3 第 9 题图 4 第 9 题图 5 10．（2014 年从化市中考模拟第 25 题） 如图 1，射线 AM//BN，∠A＝∠B＝90°，点 D、C 分别在 AM、BN 上运动（点 D 不与 A 重合、点 C 不与 B 重合），E 是 AB 边上的动点（点 E 不与 A、B 重合），在运动过程中始终 保持 DE⊥EC，且 AD＋DE＝AB＝a． （1）求证：△ADE∽△BEC； （2）设 AE＝m，请探究：△BEC 的周长是否与 m 的值有关，若有关，请用含有 m 的 代数式表示△BEC 的周长；若无关，请说明理由． 10．（1）如图 1，因为∠1、∠2 都与∠3 互余，所以∠1＝∠2,． 又因为∠A＝∠B，所以△ADE∽△BEC． （2）由 AD＋DE＝AB＝a，AE＝m，得△ADE 的周长为 a＋m，BE＝a－m． 设 AD＝x，那么 DE＝a－x． 在 Rt△ADE 中，由勾股定理，得(a－x)2＝m2＋x2．解得 22 2 amx a  ． 由△ADE∽△BEC， 得△ADE 的周长∶△BEC 的周长＝AD∶BE． 所以(a＋m)∶△BEC 的周长＝ 22 2 am a  ∶(a－m)． 所以△BEC 的周长＝(a＋m)(a－m)∶ ＝2a． 所以△BEC 的周长是定值，与 m 的值无关． 第 10 题图 1