中考数学一轮复习 专题练习9 圆1 浙教版

中考数学一轮复习 专题练习9 圆1 浙教版

圆 （1）‎ ‎ 班级 姓名 学号 ‎ 一、选择题 ‎1.如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°，则∠CAB的度数为（　　）‎ A．20° 　　　　B．40° 　　　　C．50° 　　　　D．70°‎ ‎2.如图，从一张腰长为‎60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（　　）‎ A．‎10cm　　　　 B．‎15cm 　　　　C．‎10cm 　　　D．‎20cm ‎3.如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是（　　）‎ A．15° B．20° C．25° D．30°‎ ‎4.如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°，则∠P的度数为（　　）‎ A．140° B．70° C．60° D．40°‎ ‎5.如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是‎60cm，则这块扇形铁皮的半径是( )‎ A‎.40cm B‎.50cm C‎.60cm D‎.80cm ‎6.如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（ ）‎ A． B．π C． D．2‎ ‎7.如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（　　）‎ A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．‎ ‎8.如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P=40°，则∠ABC的度数为（　　）‎ A．20° B．25° C．40° D．50°‎ ‎9.如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（　　）‎ A．25° B．40° C．50° D．65°‎ ‎10.在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（　　）‎ A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F 二、填空题 ‎11.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C=∠D，则AB与CD的位置关系是　 　．‎ ‎12.如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ABD的面积为______________.‎ ‎13.如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧上，AB=8，BC=3，则DP=　 　．‎ ‎14.如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，则AC长为　 　．‎ ‎15.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为　 　．‎ 三、解答题 ‎16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°‎ ‎（1）先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）‎ ‎（2）请你判断（1）中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．‎ ‎17.如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．‎ ‎（1）求证：BD=CD；‎ ‎（2）若圆O的半径为3，求的长．‎ ‎18.如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．‎ ‎（1）求证：∠A=∠BDC；‎ ‎（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．‎ ‎19.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．‎ ‎（1）判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．‎ ‎20.如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F．‎ ‎（1）求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AB=8，BC=6，求DE的长．‎ ‎21.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．‎ ‎（1）求证：∠1=∠F．‎ ‎（2）若sinB=，EF=2，求CD的长．‎ ‎22.如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．‎ ‎（1）求证：CD是半圆O的切线；‎ ‎（2）若DH=6﹣3，求EF和半径OA的长．‎ ‎23.如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．‎ ‎（1）求证：∠ACD=∠B；‎ ‎（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；‎ ‎①求tan∠CFE的值；‎ ‎②若AC=3，BC=4，求CE的长．‎ ‎24.如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、QC．‎ ‎（1）当t为何值时，点Q与点D重合？‎ ‎（2）当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长．‎ ‎（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．‎ 答案详解 一、选择题 ‎2.如图，从一张腰长为‎60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（　　）‎ A．‎10cm　　　　 B．‎15cm 　　　　C．‎10cm 　　　D．‎20cm ‎【考点】圆锥的计算．‎ ‎【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长，设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到r，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．‎ ‎【解答】解：过O作OE⊥AB于E，∵OA=OD=‎60cm，∠AOB=120°，‎ ‎∴∠A=∠B=30°，‎ ‎∴OE=OA=‎30cm，‎ ‎∴弧CD的长==20π，‎ 设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，解得r=10，‎ ‎∴圆锥的高==20．‎ 故选D．‎ ‎3.如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是（　　）‎ A．15° B．20° C．25° D．30°‎ ‎【分析】根据四边形的内角和，可得∠BOA，根据等弧所对的圆周角相等，根据圆周角定理，可得答案．‎ ‎【解答】解；如图，‎ 由四边形的内角和定理，得 ‎∠BOA=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°，‎ 由=，得 ‎∠AOC=∠BOC=50°．‎ 由圆周角定理，得 ‎∠ADC=∠AOC=25°，‎ 故选：C．‎ ‎4.如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°，则∠P的度数为（　　）‎ A．140° B．70° C．60° D．40°‎ ‎【考点】圆周角定理．‎ ‎【分析】先根据四边形内角和定理求出∠DOE的度数，再由圆周角定理即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°，‎ ‎∴∠DOE=180°﹣40°=140°，‎ ‎∴∠P=∠DOE=70°．‎ 故选B．‎ ‎5.如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是‎60cm，则这块扇形铁皮的半径是( )‎ A‎.40cm B‎.50cm C‎.60cm D‎.80cm ‎【知识点】圆中的计算问题——弧长、圆锥的侧面积 ‎【答案】A.‎ ‎【解析】设这块扇形铁皮的半径为Rcm，∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，∴×2πR＝2π×.解得R＝40. ‎ 故选择A.‎ ‎6.如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（ ）‎ A． B．π C． D．2‎ ‎【考点】轨迹，等腰直角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】取AB的中点E，取CE的中点F，连接PE，CE，MF，则FM＝PE＝1，故M的轨迹为以F为圆心，1为半径的半圆弧，轨迹长为.‎ ‎7.如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（　　）‎ A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．‎ ‎【考点】锐角三角函数的定义．‎ ‎【分析】连接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根据点D（0，3），C（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD即可．‎ ‎【解答】解：∵D（0，3），C（4，0），‎ ‎∴OD=3，OC=4，‎ ‎∵∠COD=90°，‎ ‎∴CD==5，‎ 连接CD，如图所示：‎ ‎∵∠OBD=∠OCD，‎ ‎∴sin∠OBD=sin∠OCD==．‎ 故选：D．‎ ‎8.如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P=40°，则∠ABC的度数为（　　）‎ A．20° B．25° C．40° D．50°‎ ‎【考点】切线的性质．‎ ‎【分析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠PAO的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．‎ ‎【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，‎ ‎∴∠PAO=90°．‎ 又∵∠P=40°，‎ ‎∴∠∠PAO=50°，‎ ‎∴∠ABC=∠PAO=25°．‎ 故选：B．‎ ‎9.如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（　　）‎ A．25° B．40° C．50° D．65°‎ ‎【考点】切线的性质；圆周角定理．‎ ‎【分析】首先连接OC，由∠A=25°，可求得∠BOC的度数，由CD是圆O的切线，可得OC⊥CD，继而求得答案．‎ ‎【解答】解：连接OC，‎ ‎∵圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，‎ ‎∴AB是直径，‎ ‎∵∠A=25°，‎ ‎∴∠BOC=2∠A=50°，‎ ‎∵CD是圆O的切线，‎ ‎∴OC⊥CD，‎ ‎∴∠D=90°﹣∠BOC=40°．‎ 故选B．‎ ‎10.在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（　　）‎ A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F ‎【考点】点与圆的位置关系．‎ ‎【分析】根据网格中两点间的距离分别求出，OE，OF，OG，OH然后和OA比较大小．最后得到哪些树需要移除．‎ ‎【解答】解：∵OA==，‎ ‎∴OE=2＜OA，所以点E在⊙O内，‎ OF=2＜OA，所以点E在⊙O内，‎ OG=1＜OA，所以点E在⊙O内，‎ OH==2＞OA，所以点E在⊙O外，‎ 故选A 二、填空题 ‎11.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C=∠D，则AB与CD的位置关系是　AB∥CD　．‎ ‎【考点】圆内接四边形的性质．‎ ‎【分析】由圆内接四边形的对角互补的性质以及等角的补角相等求解即可．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，‎ ‎∴∠A+∠C=180°‎ 又∵∠C=∠D，‎ ‎∴∠A+∠D=180°．‎ ‎∴AB∥CD．‎ 故答案为：AB∥CD ‎12.如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ABD的面积为______________.‎ ‎【知识点】圆中的计算问题——扇形的计算.‎ ‎【答案】25.‎ ‎【解析】∵扇形ABD的弧长等于正方形两边长的和BC＋DC＝10，扇形ABD的半径为正方形的边长5，∴S扇形ABD＝×10×5＝25.‎ ‎13.如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧上，AB=8，BC=3，则DP=　5.5　．‎ ‎【考点】圆周角定理；垂径定理．‎ ‎【分析】解：由AB和DE是⊙O的直径，可推出OA=OB=OD=4，∠C=90°，又有DE⊥AC，得到OP∥BC，于是有△AOP∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵AB和DE是⊙O的直径，‎ ‎∴OA=OB=OD=4，∠C=90°，‎ 又∵DE⊥AC，‎ ‎∴OP∥BC，‎ ‎∴△AOP∽△ABC，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴OP=1.5．‎ ‎∴DP=OP+OP=5.5，‎ 故答案为：5.5．‎ ‎14.如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，则AC长为　2　．‎ ‎【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．‎ ‎【分析】连接CD，由∠ABC=∠DAC可得，得出则AC=CD，又∠ACD=90°，由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得AC的长．‎ ‎【解答】解：连接CD，如图所示：‎ ‎∵∠B=∠DAC，‎ ‎∴，‎ ‎∴AC=CD，‎ ‎∵AD为直径，‎ ‎∴∠ACD=90°，‎ 在Rt△ACD中，AD=6，‎ ‎∴AC=CD=AD=×4=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎15.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为　　．‎ ‎【考点】切线的性质．‎ ‎【分析】过点0作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．根据切线的性质，知OE、OF是⊙O的半径；然后由三角形的面积间的关系（S△ABO+S△BOD=S△ABD=S△ACD）列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径即可．‎ ‎【解答】解：过点0作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．‎ ‎∵AB、BC是⊙O的切线，‎ ‎∴点E、F是切点，‎ ‎∴OE、OF是⊙O的半径；‎ ‎∴OE=OF；‎ 在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，‎ ‎∴由勾股定理，得BC=4；‎ 又∵D是BC边的中点，‎ ‎∴S△ABD=S△ACD，‎ 又∵S△ABD=S△ABO+S△BOD，‎ ‎∴AB•OE+BD•OF=CD•AC，即5×OE+2×0E=2×3，‎ 解得OE=，‎ ‎∴⊙O的半径是．‎ 故答案为：．‎ 三、解答题 ‎16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°‎ ‎（1）先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）‎ ‎（2）请你判断（1）中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；作图—复杂作图．‎ ‎【分析】（1）根据题意作出图形，如图所示；‎ ‎（2）BC与⊙P相切，理由为：过P作PD⊥BC，交BC于点P，利用角平分线定理得到PD=PA，而PA为圆P的半径，即可得证．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示，⊙P为所求的圆；‎ ‎（2）BC与⊙P相切，理由为：‎ 过P作PD⊥BC，交BC于点P，‎ ‎∵CP为∠ACB的平分线，且PA⊥AC，PD⊥CB，‎ ‎∴PD=PA，‎ ‎∵PA为⊙P的半径．‎ ‎∴BC与⊙P相切．‎ ‎17.如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．‎ ‎（1）求证：BD=CD；‎ ‎（2）若圆O的半径为3，求的长．‎ ‎【考点】圆内接四边形的性质；弧长的计算．‎ ‎【分析】（1）直接利用圆周角定理得出∠DCB的度数，再利用∠DCB=∠DBC求出答案；‎ ‎（2）首先求出的度数，再利用弧长公式直接求出答案．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆O，‎ ‎∴∠DCB+∠BAD=180°，‎ ‎∵∠BAD=105°，‎ ‎∴∠DCB=180°﹣105°=75°，‎ ‎∵∠DBC=75°，‎ ‎∴∠DCB=∠DBC=75°，‎ ‎∴BD=CD；‎ ‎（2）解：∵∠DCB=∠DBC=75°，‎ ‎∴∠BDC=30°，‎ 由圆周角定理，得，的度数为：60°，‎ 故===π，‎ 答：的长为π．‎ ‎18.如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．‎ ‎（1）求证：∠A=∠BDC；‎ ‎（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．‎ ‎【考点】切线的性质．‎ ‎【分析】（1）由圆周角推论可得∠A+∠ABD=90°，由切线性质可得∠CDB+∠ODB=90°，而∠ABD=∠ODB，可得答案；‎ ‎（2）由角平分线及三角形外角性质可得∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，根据勾股定理可求得MN的长．‎ ‎【解答】解：（1）如图，连接OD，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，‎ 又∵CD与⊙O相切于点D，‎ ‎∴∠CDB+∠ODB=90°，‎ ‎∵OD=OB，‎ ‎∴∠ABD=∠ODB，‎ ‎∴∠A=∠BDC；‎ ‎（2）∵CM平分∠ACD，‎ ‎∴∠DCM=∠ACM，‎ 又∵∠A=∠BDC，‎ ‎∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，‎ ‎∵∠ADB=90°，DM=1，‎ ‎∴DN=DM=1，‎ ‎∴MN==．‎ ‎19.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．‎ ‎（1）判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；扇形面积的计算．‎ ‎【分析】（1）MN是⊙O切线，只要证明∠OCM=90°即可．‎ ‎（2）求出∠AOC以及BC，根据S阴=S扇形OAC﹣S△OAC计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）MN是⊙O切线．‎ 理由：连接OC．‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠OAC=∠OCA，‎ ‎∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，∠BCM=2∠A，‎ ‎∴∠BCM=∠BOC，‎ ‎∵∠B=90°，‎ ‎∴∠BOC+∠BCO=90°，‎ ‎∴∠BCM+∠BCO=90°，‎ ‎∴OC⊥MN，‎ ‎∴MN是⊙O切线．‎ ‎（2）由（1）可知∠BOC=∠BCM=60°，‎ ‎∴∠AOC=120°，‎ 在RT△BCO中，OC=OA=4，∠BCO=30°，‎ ‎∴BO=OC=2，BC=2‎ ‎∴S阴=S扇形OAC﹣S△OAC=﹣=﹣4．‎ ‎20.如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F．‎ ‎（1）求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AB=8，BC=6，求DE的长．‎ ‎【考点】切线的判定．‎ ‎【分析】（1）由AE=AB，可得∠ABE=90°﹣∠BAC，又由∠BAC=2∠CBE，可求得∠ABC=∠ABE+∠CBE=90°，继而证得结论；‎ ‎（2）首先连接BD，易证得△ABD∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AE=AB，‎ ‎∴△ABE是等腰三角形，‎ ‎∴∠ABE=（180°﹣∠BAC=）=90°﹣∠BAC，‎ ‎∵∠BAC=2∠CBE，‎ ‎∴∠CBE=∠BAC，‎ ‎∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=（90°﹣∠BAC）+∠BAC=90°，‎ 即AB⊥BC，‎ ‎∴BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：连接BD，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ ‎∵∠ABC=90°，‎ ‎∴∠ADB=∠ABC，‎ ‎∵∠A=∠A，‎ ‎∴△ABD∽△ACB，‎ ‎∴=，‎ ‎∵在Rt△ABC中，AB=8，BC=6，‎ ‎∴AC==10，‎ ‎∴，‎ 解得：AD=6.4，‎ ‎∵AE=AB=8，‎ ‎∴DE=AE﹣AD=8﹣6.4=1.6．‎ ‎21.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．‎ ‎（1）求证：∠1=∠F．‎ ‎（2）若sinB=，EF=2，求CD的长．‎ ‎【考点】圆周角定理；解直角三角形．‎ ‎【分析】（1）连接DE，由BD是⊙O的直径，得到∠DEB=90°，由于E是AB的中点，得到DA=DB，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠B等量代换即可得到结论；‎ ‎（2）g根据等腰三角形的判定定理得到AE=EF=2，推出AB=2AE=4，在Rt△ABC中，根据勾股定理得到BC==8，设CD=x，则AD=BD=8﹣x，根据勾股定理列方程即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）证明：连接DE，‎ ‎∵BD是⊙O的直径，‎ ‎∴∠DEB=90°，‎ ‎∵E是AB的中点，‎ ‎∴DA=DB，‎ ‎∴∠1=∠B，‎ ‎∵∠B=∠F，‎ ‎∴∠1=∠F；‎ ‎（2）∵∠1=∠F，‎ ‎∴AE=EF=2，‎ ‎∴AB=2AE=4，‎ 在Rt△ABC中，AC=AB•sinB=4，‎ ‎∴BC==8，‎ 设CD=x，则AD=BD=8﹣x，‎ ‎∵AC2+CD2=AD2，‎ 即42+x2=（8﹣x）2，‎ ‎∴x=3，即CD=3．‎ ‎22.如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．‎ ‎（1）求证：CD是半圆O的切线；‎ ‎（2）若DH=6﹣3，求EF和半径OA的长．‎ ‎【分析】（1）连接OB，根据已知条件得到△AOB是等边三角形，得到∠AOB=60°，根据圆周角定理得到∠AOF=∠BOF=30°，根据平行线的性质得到OC⊥CD，由切线的判定定理即可得到结论；‎ ‎（2）根据平行线的性质得到∠DBC=∠EAO=60°，解直角三角形得到BD=BC=AB，推出AE=AD，根据相似三角形的性质得到，求得EF=2﹣，根据直角三角形的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）连接OB，‎ ‎∵OA=OB=OC，‎ ‎∵四边形OABC是平行四边形，‎ ‎∴AB=OC，‎ ‎∴△AOB是等边三角形，‎ ‎∴∠AOB=60°，‎ ‎∵∠FAD=15°，‎ ‎∴∠BOF=30°，‎ ‎∴∠AOF=∠BOF=30°，‎ ‎∴OF⊥AB，‎ ‎∵CD∥OF，‎ ‎∴CD⊥AD，‎ ‎∵AD∥OC，‎ ‎∴OC⊥CD，‎ ‎∴CD是半圆O的切线；‎ ‎（2）∵BC∥OA，‎ ‎∴∠DBC=∠EAO=60°，‎ ‎∴BD=BC=AB，‎ ‎∴AE=AD，‎ ‎∵EF∥DH，‎ ‎∴△AEF∽△ADH，‎ ‎∴，‎ ‎∵DH=6﹣3，‎ ‎∴EF=2﹣，‎ ‎∵OF=OA，‎ ‎∴OE=OA﹣（2﹣），‎ ‎∵∠AOE=30°，‎ ‎∴==，‎ 解得：OA=2．‎ ‎23.如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．‎ ‎（1）求证：∠ACD=∠B；‎ ‎（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；‎ ‎①求tan∠CFE的值；‎ ‎②若AC=3，BC=4，求CE的长．‎ ‎【考点】切线的性质．‎ ‎【分析】（1）利用等角的余角相等即可证明．‎ ‎（2）①只要证明∠CEF=∠CFE即可．‎ ‎②由△DCA∽△DBC，得===，设DC=3k，DB=4k，由CD2=DA•DB，得9k2=（4k﹣5）•4k，由此求出DC，DB，再由△DCE∽△DBF，得=，设EC=CF=x，列出方程即可解决问题．‎ ‎【解答】（1）证明：如图1中，连接OC．‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∵CD是⊙O切线，‎ ‎∴OC⊥CD，‎ ‎∴∠DCO=90°，‎ ‎∴∠3+∠2=90°，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠1+∠B=90°，‎ ‎∴∠3=∠B．‎ ‎（2）解：①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE，∠CFE=∠B+∠FDB，‎ ‎∵∠CDE=∠FDB，∠ECD=∠B，‎ ‎∴∠CEF=∠CFE，∵∠ECF=90°，‎ ‎∴∠CEF=∠CFE=45°，‎ ‎∴tan∠CFE=tan45°=1．‎ ‎②在RT△ABC中，∵AC=3，BC=4，‎ ‎∴AB==5，‎ ‎∵∠CDA=∠BDC，∠DCA=∠B，‎ ‎∴△DCA∽△DBC，‎ ‎∴===，设DC=3k，DB=4k，‎ ‎∵CD2=DA•DB，‎ ‎∴9k2=（4k﹣5）•4k，‎ ‎∴k=，‎ ‎∴CD=，DB=，‎ ‎∵∠CDE=∠BDF，∠DCE=∠B，‎ ‎∴△DCE∽△DBF，‎ ‎∴=，设EC=CF=x，‎ ‎∴=，‎ ‎∴x=．‎ ‎∴CE=．‎ ‎24.如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、QC．‎ ‎（1）当t为何值时，点Q与点D重合？‎ ‎（2）当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长．‎ ‎（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．‎ ‎【考点】圆的综合题．‎ ‎【分析】（1）由题意知CD⊥OA，所以△ACD∽△ABO，利用对应边的比求出AD的长度，若Q与D重合时，则，AD+OQ=OA，列出方程即可求出t的值；‎ ‎（2）由于0＜t≤5，当Q经过A点时，OQ=4，此时用时为4s，过点P作PE⊥OB于点E，利用垂径定理即可求出⊙P被OB截得的弦长；‎ ‎（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，分以下两种情况，①当QC与⊙P相切时，计算出此时的时间；②当Q与D重合时，计算出此时的时间；由以上两种情况即可得出t的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵OA=6，OB=8，‎ ‎∴由勾股定理可求得：AB=10，‎ 由题意知：OQ=AP=t，‎ ‎∴AC=2t，‎ ‎∵AC是⊙P的直径，‎ ‎∴∠CDA=90°，‎ ‎∴CD∥OB，‎ ‎∴△ACD∽△ABO，‎ ‎∴，‎ ‎∴AD=，‎ 当Q与D重合时，‎ AD+OQ=OA，‎ ‎∴+t=6，‎ ‎∴t=；‎ ‎（2）当⊙Q经过A点时，如图1，‎ OQ=OA﹣QA=4，‎ ‎∴t==4s，‎ ‎∴PA=4，‎ ‎∴BP=AB﹣PA=6，‎ 过点P作PE⊥OB于点E，⊙P与OB相交于点F、G，‎ 连接PF，‎ ‎∴PE∥OA，‎ ‎∴△PEB∽△AOB，‎ ‎∴，‎ ‎∴PE=，‎ ‎∴由勾股定理可求得：EF=，‎ 由垂径定理可求知：FG=2EF=；‎ ‎（3）当QC与⊙P相切时，如图2，‎ 此时∠QCA=90°，‎ ‎∵OQ=AP=t，‎ ‎∴AQ=6﹣t，AC=2t，‎ ‎∵∠A=∠A，‎ ‎∠QCA=∠ABO，‎ ‎∴△AQC∽△ABO，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴t=，‎ ‎∴当0＜t≤时，⊙P与QC只有一个交点，‎ 当QC⊥OA时，‎ 此时Q与D重合，‎ 由（1）可知：t=，‎ ‎∴当＜t≤5时，⊙P与QC只有一个交点，‎ 综上所述，当，⊙P与QC只有一个交点，t的取值范围为：0＜t≤或＜t≤5．‎