衢州市2013年中考数学卷

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衢州市2013年中考数学卷

浙江省2013年初中毕业生学业考试(衢州卷)‎ 数学试题卷 考生须知:‎ ‎1.全卷共有三大题,24小题,共6页.满分为120分,考试时间为120分钟.‎ ‎2.答题前,请用黑色字迹的钢笔或签字笔将姓名、准考证号分别填写在“答题纸”的相应位置上,不要漏写.‎ ‎3.全卷分为卷I(选择题)和卷II(非选择题)两部分,全部在“答题纸”上作答,做在试题卷上无效.卷I的答案必须用2B铅笔填涂;卷II的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在“答题纸”相应位置上.本次考试不允许使用计算器.画图先用2B铅笔,确定无误后用钢笔或签字笔描黑.‎ ‎4.参考公式:二次函数()图象的顶点坐标是(,);‎ 一组数据的方差:(其中是这组数据的平均数).‎ 卷 Ⅰ ‎ 说明:本卷共有1大题,10小题,共30分.请用2B铅笔在“答题纸”上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满.‎ 一、选择题(本大题共有10小题,每小题3分,共30分.请选出各题中一个符合题意的选项,不选、多选、错选均不给分.)‎ ‎1.比1小2的数是( ▲ )‎ A.3 B.‎1 ‎‎ C. D. ‎ ‎2. 下列计算正确的是( ▲ )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎3. 衢州新闻网‎2月16日讯,2013年春节“黄金周”全市接待游客总数为833100人次.将数833100用科学记数法表示应为( ▲ )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 下面简单几何体的左视图是( ▲ )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 正面 ‎5. 若函数的图象在其所在的每一象限内,函数值随自变量的增大而增大,则的取值范围是( ▲ )‎ A. B. C. D. ‎ ‎30°‎ 第6题 ‎6. 如图,将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为‎3cm的矩形纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角,则三角板最大边的长为( ▲ )‎ A.‎3cm B. ‎6cm C. 3cm D. 6cm ‎7.一次数学测试,某小组五名同学的成绩如下表所示(有两个数据被遮盖).‎ 组员日期 甲 乙 丙 丁 戊 方差 平均成绩 得分 ‎81‎ ‎79‎ ‎■‎ ‎80‎ ‎82‎ ‎■‎ ‎80‎ 那么被遮盖的两个数据依次是( ▲ )‎ A.80,2 B.80, C.78,2 D. 78,‎ 第8题 A B ‎8. 如图,小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶,测得仰角为30°,再往大树的方向前进‎4 m,测得仰角为60°,已知小敏同学身高(AB)为‎1.6m,则这棵树的高度为( ▲ )(结果精确到‎0.1m,≈1.73).‎ A. ‎3.5m B. ‎3.6 m C. ‎4.3m D. ‎‎5.1m ‎9. 抛物线的图象先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,所得图象的函数解析式为,则、的值为( ▲ )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎10.如图,正方形ABCD的边长为4,P为正方形边上一动点,沿A D CBA 的路径匀速移动,设P点经过的路径长为x,△APD的面积是y,则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是( ▲ )‎ P D A B C A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 第10题 卷 Ⅱ 说明:本卷共有2大题,14小题,共90分.请用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在“答题纸”相应位置上.‎ 二、填空题(本大题共有6小题,每小题4分,共24分.凡需填空的位置均有“ ▲ ”标记.)‎ ‎11.不等式组的解集是 ▲ .‎ ‎12. 化简: ▲ .‎ ‎13. 小芳同学有两根长度为‎4cm、‎10cm的木棒,她想钉一个三角形相框,桌上有五根木棒供她选择(如图所示),从中任选一根,能钉成三角形相框的概率是 ▲ .‎ O A CAOOO B 第14题 ‎6cm ‎10cm ‎15cm ‎3cm ‎12cm 第13题 ‎14. 如图,将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放,三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合,重叠部分的量角器弧()对应的圆心角(∠AOB)为120°,OC的长为‎2cm ,则三角板和量角器重叠部分的面积为 ▲ .‎ A B D C A1‎ C1‎ B1‎ D1‎ A2‎ B2‎ C2‎ D2‎ A3‎ C3‎ B3‎ D3‎ ‎…‎ 第16题 ‎15. 某果园有100棵橘子树,平均每一棵树结600个橘子.根据经验估计,每多种一颗树,平均每棵树就会少结5个橘子.设果园增种棵橘子树,果园橘子总个数为个,则果园里增种 ▲ 棵橘子树,橘子总个数最多.‎ ‎16.如图,在菱形ABCD中,边长为10,∠A=60°.顺次连结菱形 ABCD各边中点,可得四边形A1B‎1C1D1;顺次连结四边形 A1B‎1C1D1各边中点,可得四边形A2B‎2C2D2;顺次连结四边 形A2B‎2C2D2各边中点,可得四边形A3B‎3C3D3;按此规律继 续下去…….则四边形A2B‎2C2D2的周长是 ▲ ;四边 形A2013B‎2013C2013D2013的周长是 ▲ .‎ 三、简答题(本大题共有8小题,共66分.务必写出解答过程.)‎ ‎17.(本题6分)‎ 第18题 ‎18.(本题6分)‎ 如图,在长和宽分别是、的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形.‎ (1) 用含、、的代数式表示纸片剩余部分的面积;‎ (2) 当=6,=4,且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时,求正方形的边长.‎ ‎19.(本题6分)‎ 第19题 A B 如图,函数的图象与函数()的图象 交于A(,1)、B(1,)两点.‎ ‎(1)求函数的表达式;‎ ‎(2)观察图象,比较当时,与的大小.‎ ‎20.(本题8分)‎ 第20题 如图,已知AB是⊙O的直径,BC⊥AB,连结OC,弦AD∥OC,直线CD交BA的延长线于点E.‎ ‎ (1)求证:直线CD是⊙O的切线;‎ ‎ (2)若DE=2BC,求AD :OC的值.‎ ‎21. (本题8分)‎ 据《2012年衢州市国民经济和社会发展统计公报》(‎2013年2月5日发布),衢州市固定资产投资的相关数据统计图如下:‎ 亿元 ‎2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012‎ 衢州市2005-2012年固定资产投资统计图 图1‎ ‎2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012‎ 衢州市2005-2012年固定资产投资增长速度统计图 图2‎ 第21题 ‎%‎ ‎??‎ 根据以上信息,解答下列问题:‎ ‎(1)求2012年的固定资产投资增长速度(年增长速度即年增长率);‎ ‎(2)求2005-2012年固定资产投资增长速度这组数据的中位数;‎ ‎(3)求2006年的固定资产投资金额,并补全条形图;‎ ‎(4)如果按照2012年的增长速度,请预测2013年衢州市的固定资产投资金额可达到多少亿元(精确到1亿元)? ‎ ‎22.(本题10分)‎ 提出问题 ‎ ‎(1)如图1,在等边△ABC中,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等边△AMN,连结CN. 求证:∠ABC=∠ACN.‎ 类比探究 ‎ ‎(2)如图2,在等边△ABC中,点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件不变,(1)中结论∠ABC=∠ACN还成立吗?请说明理由. ‎ 拓展延伸 ‎(3)如图3,在等腰△ABC中, BA=BC,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN =∠ABC. 连结CN. 试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由.‎ 图1‎ 图3‎ 图2‎ 第22题 ‎23.(本题10分)‎ 第23题 ‎(人)‎ a ‎30‎ ‎52080‎ ‎640‎ ‎(分钟)‎ ‎“五·一”假期,某火车客运站旅客流量不断增大,旅客往往需要长时间排队等候检票.经调查发现,在车站开始检票时,有640人排队检票.检票开始后,仍有旅客继续前来排队检票进站.设旅客按固定的速度增加,检票口检票的速度也是固定的.检票时,每分钟候车室新增排队检票进站16人,每分钟每个检票口检票14人.已知检票的前a分钟只开放了两个检票口.某一天候车室排队等候检票的人数y(人)与检票时间x(分钟)的关系如图所示.‎ ‎(1)求a的值.‎ ‎(2)求检票到第20分钟时,候车室排队等候检票的旅客人数.‎ ‎(3)若要在开始检票后15分钟内让所有排队的旅客都能检票进站,以便后来到站的旅客随到随检,问检票一开始至少需要同时开放几个检票口?‎ ‎24.(本题12分) ‎ 在平面直角坐标系O中,过原点O及点A(0,2) 、C(6,0)作矩形OABC,∠AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发,以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动;同时点Q从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为t秒.‎ ‎(1)当点P移动到点D时,求出此时t的值;‎ ‎(2)当t为何值时,△PQB为直角三角形;‎ ‎(3)已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为().问是否存在某一时刻t,将△PQB绕某点旋转180°后,三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由. ‎ 备用图 第24题 浙江省2013年初中毕业生学业考试(衢州卷)‎ 数学参考答案及评分标准 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 C D C A A D C D B B 二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分.)‎ ‎11.≥2;12. ;13. ;14. ;15.10 ;16.20(1分);(3分).‎ 三、(本大题共8小题,第17、18、19小题各6分,第20、21小题各8分,第22、23小题各10分,第24小题12分,共66分.)‎ ‎17.解:(1)‎ ‎=2-8÷2×(-2)…………………4分 ( 各个部分化简正确,各1分,共4分)‎ ‎=2+8……………………………………………………………5分 ‎=10…………………………………………………………… 6分 ‎18.解:(1)面积=………………………………………………………3分 ‎(2)根据题意可得:(或),……………4分 整理得:,解得 …………………………………… 5分 ‎∵,∴正方形边长为. …………………………6分 ‎19.解:(1)把点A坐标代入 ,得………………………1分 ‎∴ ∴ ………………………………………3分 ‎(2)∴由图象可知,‎ 当或时, ………………………4分 当或时, …………………………5分 第20题 当时, …………………………6分 ‎20.(1)证明:连结DO.∵AD//OC,‎ ‎∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠COD.………………1分 又∵OA=OD,∴∠DAO=∠ADO,∴∠COD=∠COB.…2分 ‎ 又∵CO=CO,OD=OB,∴△COD≌△COB………3分 ‎∴∠CDO=∠CBO=90°.又∵点D在⊙O上,∴CD是⊙O的切线.……4分 ‎(2)解:∵△COD≌△COB.∴CD=CB.…………………………5分 ‎∵DE=2BC ∴ED=2CD. ………6分 ‎∵ AD//OC,∴△EDA∽△ECO.…………………………7分 ‎∴.…………………………8分 ‎21.解:(1) …………………………2分(列式、计算各1分)‎ ‎(2) ……4分(列式、计算各1分,%未加扣1分)‎ ‎(3)设2006年的固定资产投资金额为亿元,则有:‎ ‎(或),解得……6分(列式、计算各1分)‎ 条形图(略). ………………………… 7分 ‎(4)(亿元)………………………… 8分 答:2012年的固定资产投资增长速度为13%;2005-2012年固定资产投资增长速度这组数据的中位数是14.72%;2006年的投资额是250亿元;预测2013年可达638亿元.‎ ‎22.(1)证明:∵等边△ABC,等边△AMN ‎∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°‎ ‎∴∠BAM=∠CAN …………………………1分 ‎∴△BAM≌△CAN(SAS) …………………………2分 ‎∴∠ABC=∠ACN …………………………3分 ‎(2)解:结论∠ABC=∠ACN仍成立 . ………………………4分 理由如下:∵等边△ABC,等边△AMN ‎ ‎∴AB=AC, AM=AN, ∠BAC=∠MAN=60°‎ ‎∴∠BAM=∠CAN ∴△BAM≌△CAN ………………………5分 ‎∴∠ABC=∠ACN ………………………6分 ‎(3)解:∠ABC=∠ACN ………………………7分 理由如下:∵BA=BC, MA=MN,顶角∠ABC =∠AMN ‎∴底角∠BAC=∠MAN ∴△ABC∽△AMN, …………………8分 ‎∴ 又∠BAM=∠BAC-∠MAC,∠CAN =∠MAN-∠MAC ‎ ‎ ∴∠BAM=∠CAN ∴△BAM∽△CAN ……………9分 ‎ ‎∴∠ABC=∠ACN ………………………10分 图1‎ 图3‎ 图2‎ 第22题 ‎23.(1)由图象知,,……………………2分 所以; ……3分 ‎(2)解法1:设过(10,520)和(30,0)的直线解析式为,‎ 得, ………………………4分 解得, ………………………5分 因此,当时,, ‎ 即检票到第20分钟时,候车室排队等候检票的旅客有260人. ……………………6分 解法2:由图象可知,从检票开始后第10分钟到第30分钟,候车室排队检票人数每分钟减少26人, …………………5分 所以检票到第20分钟时,候车室排队等候检票的旅客有520-26×10=260人. …………6分 解法3:设10分钟后开放m个检票口,由题意得,520+16×20‎-14m×20=0, ………4分 解得m =3,………………………5分 所以检票到第20分钟时,候车室排队等候检票的旅客有520+16×10-3×10×14=260人. 6分 ‎(3)设需同时开放个检票口,则由题意知 ‎, ……………………8分 解得, ∵为整数,∴, ……………………9分 ‎ 答:至少需要同时开放5个检票口. ………10分 ‎(说明:若通过列方程解得,并得到正确答案5的,得3分;若列出方程并解得,但未能得到正确答案的,得2分;若只列出方程,得1分)‎ ‎24. 解:(1)∵矩形OABC, ∴∠AOC=∠OAB=90°‎ ‎∵OD平分∠AOC ∴∠AOD=∠DOQ=45°……………………………………1分 ‎ ‎∴在Rt△AOD中,∠ADO=45° ∴AO=AD=2, OD= ……2分 ‎ 图1‎ G ‎ ∴……………………………3分 ‎(2)要使△PQB为直角三角形,显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°.‎ 解法1:如图1,作PG⊥OC于点G,在Rt△POG中,‎ ‎∵∠POQ =45°,∴ ∠OPG =45° ∵OP=,∴OG=PG=t, ‎ ‎∴点P(t,,t) ‎ 又∵Q(2t,0),B(6,2),根据勾股定理可得:‎ ‎ ,,………4分 ‎①若∠PQB=90°,则有, ‎ 即:,‎ 整理得:,解得(舍去),‎ ‎∴ ………6分 ‎②若∠PBQ=90°,则有, ‎ ‎∴, ‎ 整理得,解得. ‎ 图2‎ Q PQ ‎∴当t=2或或时,△PQB为直角三角形. .… 8分 解法2:①如图2,当∠PQB=90°时,‎ 易知∠OPQ=90°,∴BQ∥OD ∴∠BQC=∠POQ=45° ‎ 可得QC=BC=2 ∴OQ=4 ∴2t=4 ∴t=2 ……………5分 ‎②如图3,当∠PBQ=90°时,若点Q在OC上,‎ 作PN⊥x轴于点N,交AB于点M,‎ 则易证∠PBM=∠CBQ∴△PMB∽△QCB ‎ ‎∴,∴,∴, 化简得,‎ 解得 ……… 6分图4‎ M N ∴ ………………… 7分 ‎③如图4,当∠PBQ=90°时,若点Q在OC的延长线上,‎ 作PN⊥x轴于点N,交AB延长线于点M,‎ 则易证∠BPM=∠MBQ=∠BQC ∴△PMB∽△QCB ‎ ‎∴,∴,‎ ‎∴,化简得,‎ 解得 ∴ ……………… 8分 ‎(3)存在这样的t值,理由如下:将△PQB绕某点旋转180°,三个对应顶点恰好都落在抛物线上,则旋转中心为PQ中点,此时四边形为平行四边形. ………………9分 ‎∵PO=PQ ,由P(t,t),Q(2t,0),知旋转中心坐标可表示为()………………10分 ‎∵点B坐标为(6,2), ∴点的坐标为(3t-6,t-2), .………………11分 代入,得: ,解得 ……12分 ‎(另解:第二种情况也可以直接由下面方法求解:当点P与点D重合时,PB=4,OQ=4,又PB ∥OQ,∴四边形为平行四边形,此时绕PQ中点旋转180°,点B的对应点恰好落在O处,点即点O.由(1)知,此时t=2. (说明:解得此t值,可得2分.)‎
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