2012年资阳 (2)中考数学试卷

2012年资阳 (2)中考数学试卷

‎2012年四川省资阳市中考数学试卷解析 ‎ ‎ 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意．‎ ‎1．（2012•义乌市）﹣2的相反数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ ‎﹣2‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 相反数。‎ 专题：‎ 探究型。‎ 分析：‎ 根据相反数的定义进行解答即可．‎ 解答：‎ 解：由相反数的定义可知，﹣2的相反数是﹣（﹣2）=2．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数．‎ ‎2．（2012•资阳）下列事件为必然事件的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 小王参加本次数学考试，成绩是150分 ‎　‎ B．‎ 某射击运动员射靶一次，正中靶心 ‎　‎ C．‎ 打开电视机，CCTV第一套节目正在播放新闻 ‎　‎ D．‎ 口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球 考点：‎ 随机事件。‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 根据事件的分类的定义及分类对四个选项进行逐一分析即可．‎ 解答：‎ 解：A、小王参加本次数学考试，成绩是150分是随机事件，故本选项错误；‎ B、某射击运动员射靶一次，正中靶心是随机事件，故本选项错误；‎ C、打开电视机，CCTV第一套节目正在播放新闻是随机事件，故本选项错误．‎ D、口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球是必然事件，故本选项正确；‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查的是随机事件，即在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．‎ ‎3．（2012•资阳）如图是一个正方体被截去一角后得到的几何体，它的俯视图是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 简单组合体的三视图；截一个几何体。‎ 分析：‎ 根据俯视图是从上面看到的图形判定则可．‎ 解答：‎ 解：从上面看，是正方形右边有一条斜线，‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 本题考查了三视图的知识，根据俯视图是从物体的上面看得到的视图得出是解题关键．‎ ‎4．（2012•资阳）下列图形：①平行四边形；②菱形；③圆；④梯形；⑤等腰三角形；⑥直角三角形；⑦国旗上的五角星．这些图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1种 B．‎ ‎2种 C．‎ ‎3种 D．‎ ‎4种 考点：‎ 中心对称图形；轴对称图形。‎ 分析：‎ 根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．‎ 解答：‎ 解：①平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；‎ ‎②菱形是中心对称图形，也是轴对称图形；‎ ‎③圆是中心对称图形，也是轴对称图形；‎ ‎④梯形不是中心对称图形，是轴对称图形；‎ ‎⑤等腰三角形不是中心对称图形，是轴对称图形；‎ ‎⑥直角三角形不是中心对称图形，也不是轴对称图形；‎ ‎⑦国旗上的五角星不是中心对称图形，是轴对称图形，‎ 故是轴对称图形又是中心对称图形的有②③，‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴．‎ ‎5．（2012•资阳）下列计算或化简正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a2+a3=a5‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 二次根式的加减法；算术平方根；合并同类项；分式的基本性质。‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ A、根据合并同类项的法则计算；‎ B、化简成最简二次根式即可；‎ C、计算的是算术平方根，不是平方根；‎ D、利用分式的性质计算．‎ 解答：‎ 解：A、a2+a3=a2+a3，此选项错误；‎ B、+3=+，此选项错误；‎ C、=3，此选项错误；‎ D、=，此选项正确．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了合并同类项、二次根式的加减法、算术平方根、分式的性质，解题的关键是灵活掌握有关运算法则，并注意区分算术平方根、平方根．‎ ‎6．（2012•资阳）小华所在的九年级一班共有50名学生，一次体检测量了全班学生的身高，由此求得该班学生的平均身高是1.65米，而小华的身高是1.66米，下列说法错误的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1.65米是该班学生身高的平均水平 ‎　‎ B．‎ 班上比小华高的学生人数不会超过25人 ‎　‎ C．‎ 这组身高数据的中位数不一定是1.65米 ‎　‎ D．‎ 这组身高数据的众数不一定是1.65米 考点：‎ 算术平均数；中位数；众数。‎ 分析：‎ 根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息，对每一项进行分析即可．‎ 解答：‎ 解：A、1.65米是该班学生身高的平均水平，正确；‎ B、因为小华的身高是1.66米，不是中位数，‎ 所以班上比小华高的学生人数不会超过25人错误；‎ C、这组身高数据的中位数不一定是1.65米，正确；‎ D、这组身高数据的众数不一定是1.65米，正确．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查了算术平均数、中位数、众数，解答此题不是直接求平均数、中位数、众数，而是利用平均数、中位数、众数的概念进行综合分析，平均数受极值的影响较大，而中位数不易受极端值影响．‎ ‎7．（2012•资阳）如图所示的球形容器上连接着两根导管，容器中盛满了不溶于水的比空气重的某种气体，现在要用向容器中注水的方法来排净里面的气体．水从左导管匀速地注入，气体从右导管排出，那么，容器内剩余气体的体积与注水时间的函数关系的大致图象是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 函数的图象。‎ 分析：‎ 根据水从左导管匀速地注入，气体从右导管排出时，容器内剩余气体的体积随着注水时间的增加而匀速减少，即可得出函数关系的大致图象．‎ 解答：‎ 解：∵水从左导管匀速地注入，气体从右导管排出时，‎ 容器内剩余气体的体积随着注水时间的增加而匀速减少，‎ ‎∴容器内剩余气体的体积与注水时间的函数关系的大致图象是C．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题主要考查了函数的图象问题，在解题时要结合题意找出正确的函数图象是本题的关键．‎ ‎8．（2012•资阳）如图，△ABC是等腰三角形，点D是底边BC上异于BC中点的一个点，∠ADE=∠DAC，DE=AC．运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题？（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 ‎　‎ B．‎ 有一组对边平行的四边形是梯形 ‎　‎ C．‎ 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 ‎　‎ D．‎ 对角线相等的四边形是矩形 考点：‎ 平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；矩形的判定；梯形；命题与定理。‎ 分析：‎ 已知条件应分析一组边相等，一组角对应相等的四边不是平行四边形，根据全等三角形判定方法得出∠B=∠E，AB=DE，进而得出一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，得出答案即可．‎ 解答：‎ 解：A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，根据等腰梯形符合要求，得出故此选项错误；‎ B．有一组对边平行的四边形是梯形，若另一组对边也平行，则此四边形是平行四边形，故此选项错误；‎ C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形，‎ ‎∵△ABC是等腰三角形，‎ ‎∴AB=AC，∠B=∠C，‎ ‎∵DE=AC，AD=AD，∠ADE=∠DAC，‎ 即，‎ ‎∴△ADE≌△DAC，‎ ‎∴∠E=∠C，‎ ‎∴∠B=∠E，AB=DE，‎ 但是四边形ABDE不是平行四边形，‎ 故一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，因此C符合题意，‎ 故此选项正确；‎ D．对角线相等的四边形是矩形，根据等腰梯形符合要求，得出故此选项错误；‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 此题主要考查了平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定，结合已知选项，得出已知条件应分析一组边相等，一组角对应相等的四边不是平行四边形是解题关键．‎ ‎9．（2012•资阳）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣1＜x＜5‎ B．‎ x＞5‎ C．‎ x＜﹣1且x＞5‎ D．‎ x＜﹣1或x＞5‎ 考点：‎ 二次函数与不等式（组）。‎ 分析：‎ 利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c＜0的解集．‎ 解答：‎ 解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），‎ ‎∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．‎ 利用图象可知：‎ ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，‎ ‎∴x＜﹣1或x＞5．‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况，很好地利用数形结合，题目非常典型．‎ ‎10．（2012•资阳）如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC=6，NC=，则四边形MABN的面积是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 翻折变换（折叠问题）。‎ 分析：‎ 首先连接CD，交MN于E，由将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，即可得MN⊥CD，且CE=DE，又由MN∥AB，易得△CMN∽△CAB，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比等于相似比，即可得，又由MC=6，NC=，即可求得四边形MABN的面积．‎ 解答：‎ 解：连接CD，交MN于E，‎ ‎∵将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，‎ ‎∴MN⊥CD，且CE=DE，‎ ‎∴CD=2CE，‎ ‎∵MN∥AB，‎ ‎∴CD⊥AB，‎ ‎∴△CMN∽△CAB，‎ ‎∴，‎ ‎∵在△CMN中，∠C=90°，MC=6，NC=，‎ ‎∴S△CMN=CM•CN=×6×2=6，‎ ‎∴S△CAB=4S△CMN=4×6=24，‎ ‎∴S四边形MABN=S△CAB﹣S△CMN=24﹣6=18．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，解此题的关键是注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎11．（2012•资阳）为了保护人类居住环境，我国的火电企业积极做好节能环保工作．2011年，我国火电企业的平均煤耗继续降低，仅为330000‎ 毫克/千瓦时，用科学记数法表示并保留三个有效数字为　3.30×105　毫克/千瓦时．‎ 考点：‎ 科学记数法与有效数字。‎ 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ 解答：‎ 解：根据题意330 000用科学记数法表示为3.30×105人．‎ 故答案为：3.30×105．‎ 点评：‎ 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎12．（2012•资阳）直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是　10或8　．‎ 考点：‎ 三角形的外接圆与外心；勾股定理。‎ 专题：‎ 探究型。‎ 分析：‎ 直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜边的一半，分两种情况：①16为斜边长；②16和12为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径．‎ 解答：‎ 解：由勾股定理可知：‎ ‎①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；‎ ‎②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长==20，‎ 因此这个三角形的外接圆半径为10．‎ 综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10．‎ 故答案为：10或8．‎ 点评：‎ 本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．‎ ‎13．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　k＜且k≠0　．‎ 考点：‎ 根的判别式。‎ 专题：‎ 方程思想。‎ 分析：‎ 根据一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，知△=b2﹣4ac＞0，然后据此列出关于k的方程，解方程即可．‎ 解答：‎ 解：∵kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴△=1﹣4k＞0，且k≠0，‎ 解得，k＜且k≠0；‎ 故答案是：k＜且k≠0．‎ 点评：‎ 本题主要考查了一元二次方程的根的判别式．解题时，注意一元二次方程的“二次项系数不为0”这一条件．‎ ‎14．（2012•资阳）某果园有苹果树100棵，为了估计该果园的苹果总产量，小王先按长势把苹果树分成了A、B、C三个级别，其中A级30棵，B级60棵，C级10棵，然后从A、B、C三个级别的苹果树中分别随机抽取了3棵、6棵、1棵，测出其产量，制成了如下的统计表．小李看了这个统计表后马上正确估计出了该果园的苹果总产量，那么小李的估计值是　7600　千克．‎ 苹果树长势 A级 B级 C级 随机抽取棵数（棵）‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎1‎ 所抽取果树的平均产量（千克）‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎70‎ 考点：‎ 用样本估计总体；加权平均数。‎ 分析：‎ 利用样本估计总体的方法结合图表可以看出：A级每颗苹果树平均产量是80千克，B级每颗苹果树平均产量是75千克，C级每颗苹果树平均产量是70千克，用A级每颗苹果树平均产量是80千克×30棵+B级每颗苹果树平均产量是75千克×60棵+C级每颗苹果树平均产量是70千克×10棵=该果园的苹果总产量．‎ 解答：‎ 解：由题意得：80×30+75×60+70×10=7600．‎ 故答案为：7600．‎ 点评：‎ 此题主要考查了用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．‎ ‎15．（2012•资阳）如图，O为矩形ABCD的中心，M为BC边上一点，N为DC边上一点，ON⊥OM，若AB=6，AD=4，设OM=x，ON=y，则y与x的函数关系式为　　．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；矩形的性质。‎ 分析：‎ 求两条线段的关系，把两条线段放到两个三角形中，利用两个三角形的关系求解．‎ 解答：‎ 解：如图，作OF⊥BC于F，OE⊥CD于E，‎ ‎∵ABCD为矩形 ‎∴∠C=90°‎ ‎∵OF⊥BC，OE⊥CD ‎∴∠EOF=90°‎ ‎∴∠EON+∠FON=90°‎ ‎∵ON⊥OM ‎∴∠EON=∠FOM ‎∴△OEN∽△OFM ‎=‎ ‎∵O为中心 ‎∴===‎ ‎∴=‎ 即y=x，‎ 故答案为：y=x，‎ 点评：‎ 此题主要考查的是相似三角形的判定与性质，解题的关键是合理的在图中作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质．‎ ‎16．（2012•资阳）观察分析下列方程：①，②，③；请利用它们所蕴含的规律，求关于x的方程（n为正整数）的根，你的答案是：　x=n+3或x=n+4　．‎ 考点：‎ 分式方程的解。‎ 专题：‎ 规律型。‎ 分析：‎ 首先求得分式方程①②③的解，即可得规律：方程x+=a+b的根为：x=a或x=b，然后将x+=2n+4化为（x﹣3）+=n+（n+1），利用规律求解即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：∵由①得，方程的根为：x=1或x=2，‎ 由②得，方程的根为：x=2或x=3，‎ 由②得，方程的根为：x=3或x=4，‎ ‎∴方程x+=a+b的根为：x=a或x=b，‎ ‎∴x+=2n+4可化为（x﹣3）+=n+（n+1），‎ ‎∴此方程的根为：x﹣3=n或x﹣3=n+1，‎ 即x=n+3或x=n+4．‎ 故答案为：x=n+3或x=n+4．‎ 点评：‎ 此题考查了分式方程的解的知识．此题属于规律性题目，注意找到规律：方程x+=a+b的根为：x=a或x=b是解此题的关键．‎ 三、解答题：本大题共9个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（2012•资阳）先化简，再求值：，其中a是方程x2﹣x=6的根．‎ 考点：‎ 分式的化简求值；一元二次方程的解。‎ 分析：‎ 先根据分式混合运算的顺序把原式进行化简，再根据a是方程x2﹣x=6的根求出a的值，代入原式进行计算即可．‎ 解答：‎ 解：原式=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=．‎ ‎∵a是方程x2﹣x=6的根，‎ ‎∴a2﹣a=6，‎ ‎∴原式=．‎ 点评：‎ 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．‎ ‎18．（2012•资阳）为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场券，甲和乙设计了如下的一个游戏：‎ 口袋中有编号分别为1、2、3的红球三个和编号为4的白球一个，四个球除了颜色或编号不同外，没有任何别的区别，摸球之前将小球搅匀，摸球的人都蒙上眼睛．先甲摸两次，每次摸出一个球；把甲摸出的两个球放回口袋后，乙再摸，乙只摸一个球．如果甲摸出的两个球都是红色，甲得1分，否则，甲得0分；如果乙摸出的球是白色，乙得1分，否则，乙得0分；得分高的获得入场券，如果得分相同，游戏重来．‎ ‎（1）运用列表或画树状图求甲得1分的概率；‎ ‎（2）这个游戏是否公平？请说明理由．‎ 考点：‎ 游戏公平性；列表法与树状图法。‎ 分析：‎ ‎（1）首先根据题意列出表格或画出树状图图，然后求得所有等可能的结果与甲得1分的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；‎ ‎（2）由（1）求得乙的得分，比较概率不相等，即可得这个游戏是不公平．‎ 解答：‎ 解：（1）列表得：…（3分）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎﹣‎ ‎1分 ‎1分 ‎0分 ‎2‎ ‎1分 ‎﹣‎ ‎1分 ‎0分 ‎3‎ ‎1分 ‎1分 ‎﹣‎ ‎0分 ‎4‎ ‎0分 ‎0分 ‎0分 ‎﹣‎ ‎∴P（甲得1分）=…（4分）‎ ‎（2）不公平．…（5分）‎ ‎∵P（乙得1分）=…（6分）‎ ‎∴P（甲得1分）≠P（乙得1分），‎ ‎∴不公平．…（7分）‎ 点评：‎ 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．‎ ‎19．（2012•资阳）已知：一次函数y=3x﹣2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1．‎ ‎（1）求该反比例函数的解析式；‎ ‎（2）将一次函数y=3x﹣2的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标；‎ ‎（3）请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式：‎ ‎①函数的图象能由一次函数y=3x﹣2的图象绕点（0，﹣2）旋转一定角度得到；‎ ‎②函数的图象与反比例函数的图象没有公共点．‎ 考点：‎ 反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与几何变换。‎ 分析：‎ ‎（1）先求出两函数的交点坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；‎ ‎（2）平移后的图象对应的解析式为y=3x+2，联立两函数解析式，进而求得交点坐标；‎ ‎（3）常数项为﹣2，一次项系数小于﹣1的一次函数均可．‎ 解答：‎ 解：（1）把x=1代入y=3x﹣2，得y=1，‎ 设反比例函数的解析式为，‎ 把x=1，y=1代入得，k=1，‎ ‎∴该反比例函数的解析式为；‎ ‎（2）平移后的图象对应的解析式为y=3x+2，‎ 解方程组，得 或．‎ ‎∴平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为（，3）和（﹣1，﹣1）；‎ ‎（3）y=﹣2x﹣2．‎ ‎（结论开放，常数项为﹣2，一次项系数小于﹣1的一次函数均可）‎ 点评：‎ 考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象与几何变换，解题的关键是待定系数法求函数解析式，掌握各函数的图象和性质．‎ ‎20．（2012•资阳）小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼．为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离，小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°，测得办公大楼底部点B的俯角为60°，已知办公大楼高46米，CD=10米．求点P到AD的距离（用含根号的式子表示）．‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题。‎ 分析：‎ 连接PA、PB，过点P作PM⊥AD于点M；延长BC，交PM于点N，将实际问题中的已知量转化为直角三角形中的有关量，设PM=x米，在Rt△PMA中，表示出AM，在Rt△PNB中，表示出BN，由AM+BN=46米列出方程求解即可．‎ 解答：‎ 解：连接PA、PB，过点P作PM⊥AD于点M；延长BC，交PM于点N 则∠APM=45°，∠BPM=60°，NM=10米 设PM=x米 在Rt△PMA中，AM=PM×tan∠APM=xtan45°=x（米）‎ 在Rt△PNB中，BN=PN×tan∠BPM=（x﹣10）tan60°=（x﹣10）（米）‎ 由AM+BN=46米，得x+（x﹣10）=46‎ 解得，，‎ ‎∴点P到AD的距离为米．（结果分母有理化为米也可）‎ 点评：‎ 此题考查了解直角三角形的知识，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．‎ ‎21．（2012•资阳）已知a、b是正实数，那么，是恒成立的．‎ ‎（1）由恒成立，说明恒成立；‎ ‎（2）填空：已知a、b、c是正实数，由恒成立，猜测：　　也恒成立；‎ ‎（3）如图，已知AB是直径，点P是弧上异于点A和点B的一点，PC⊥AB，垂足为C，AC=a，BC=b，由此图说明恒成立．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；完全平方公式；一元一次不等式的应用；圆周角定理。‎ 分析：‎ ‎（1）由（﹣）2≥0，利用完全平方公式，即可证得恒成立；‎ ‎（2）由a3+b3+c3﹣3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）=（a+b+c）[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]，可证得a3+b3+c3≥3abc，即可得也恒成立；‎ ‎（3）首先证得Rt△APC∽Rt△PBC，由相似三角形的对应边成比例，可求得PC的值，又由OP是半径，可求得OP=，然后由点到线的距离垂线段最短，即可证得恒成立．‎ 解答：‎ 解：（1）∵（﹣）2≥0，‎ ‎∴a﹣2+b≥0，…（1分）‎ ‎∴a+b≥2，…（2分）‎ ‎∴≥；…（3分）‎ ‎（2）…（6分）‎ 理由：a3+b3+c3﹣3abc ‎ ‎=（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac） ‎ ‎=（a+b+c）（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac） ‎ ‎=（a+b+c）[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]‎ ‎∵a、b、c是正实数，‎ ‎∴a3+b3+c3﹣3abc≥0，‎ ‎∴a3+b3+c3≥3abc，‎ 同理：也恒成立；‎ 故答案为：；‎ ‎（3）如图，连接OP，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠APB=90°，‎ 又∵PC⊥AB，‎ ‎∴∠ACP=∠ACB=90°，‎ ‎∴∠A+∠B=∠A+∠APC=90°，‎ ‎∴∠APC=∠B，‎ ‎∴Rt△APC∽Rt△PBC，‎ ‎∴，‎ ‎∴PC2=AC•CB=ab，‎ ‎∴PC=，…（7分）‎ 又∵PO=，‎ ‎∵PO≥PC，‎ ‎∴．…（8分）‎ 点评：‎ 此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、几何不等式的应用与证明以及完全平方公式等知识．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想的应用，注意完全平方式的非负性的应用．‎ ‎22．（2012•资阳）为了解决农民工子女就近入学问题，我市第一小学计划2012年秋季学期扩大办学规模．学校决定开支八万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑，要求购买的课桌凳与办公桌椅的数量比为20：1，购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000元．已知一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元，用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅．（课桌凳和办公桌椅均成套购进）‎ ‎（1）一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元？‎ ‎（2）求出课桌凳和办公桌椅的购买方案．‎ 考点：‎ 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用。‎ 分析：‎ ‎（1）根据一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元以及用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅，得出等式方程求出即可；‎ ‎（2）利用购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000元，得出16000≤80000﹣120×20m﹣200×m≤24000求出即可．‎ 解答：‎ 解：（1）设一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为x元、y元，得：‎ ‎，…（2分）‎ 解得 ‎∴一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为120元、200元…（3分）；‎ ‎（2）设购买办公桌椅m套，则购买课桌凳20m套，由题意得：‎ ‎16000≤80000﹣120×20m﹣200×m≤24000…（5分）‎ 解得：…（6分），‎ ‎∵m为整数，‎ ‎∴m=22、23、24，有三种购买方案：…（7分）‎ 方案一 方案二 方案三 课桌凳（套）‎ ‎440‎ ‎460‎ ‎480‎ 办公桌椅（套）‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ 点评：‎ 此题主要考查了二元一次方程组的应用和不等式组的应用，根据已知得出不等式关系是解题关键．‎ ‎23．（2012•资阳）（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；‎ ‎（2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD：GC：EB；‎ ‎（3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA：AB=HA：AE=m：n，此时HD：GC：EB的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质。‎ 分析：‎ ‎（1）首先连接AG，由正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，易证得∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，即A，G，C共线，继而可得HD=BE，GC=BE，即可求得HD：GC：EB的值；‎ ‎（2）连接AG、AC，由△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，易证得△DAH∽△CAG与△DAH≌△BAE，利用相似三角形的对应边成比例与正方形的性质，即可求得HD：GC：EB的值；‎ ‎（3）由矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上，由DA：AB=HA：AE=m：n，易证得△ADC∽△AHG，△DAH∽△CAG，△ADH∽△ABE，利用相似三角形的对应边成比例与勾股定理即可求得HD：GC：EB的值．‎ 解答：‎ 解：（1）连接AG，‎ ‎∵正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，‎ ‎∴∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，‎ ‎∴A，G，C共线，AB﹣AE=AD﹣AH，‎ ‎∴HD=BE，‎ ‎∵AG==AE，AC==AB，‎ ‎∴GC=AC﹣AG=AB﹣AE=（AB﹣AE）=BE，‎ ‎∴HD：GC：EB=1：：1…（3分）‎ ‎（2）连接AG、AC，‎ ‎∵△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，‎ ‎∴AD：AC=AH：AG=1：，∠DAC=∠HAG=45°，‎ ‎∴∠DAH=∠CAG，…（4分）‎ ‎∴△DAH∽△CAG，‎ ‎∴HD：GC=AD：AC=1：，…（5分）‎ ‎∵∠DAB=∠HAE=90°，‎ ‎∴∠DAH=∠BAE，‎ 在△DAH和△BAE中，‎ ‎，‎ ‎∴△DAH≌△BAE（SAS），‎ ‎∴HD=EB，‎ ‎∴HD：GC：EB=1：：1；…（6分）‎ ‎（3）有变化，‎ 连接AG、AC，‎ ‎∵矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上，DA：AB=HA：AE=m：n，‎ ‎∴∠ADC=∠AHG=90°，‎ ‎∴△ADC∽△AHG，‎ ‎∴AD：AC=AH：AG=m：，∠DAC=∠HAG，‎ ‎∴∠DAH=∠CAG，…（4分）‎ ‎∴△DAH∽△CAG，‎ ‎∴HD：GC=AD：AC=m：，…（5分）‎ ‎∵∠DAB=∠HAE=90°，‎ ‎∴∠DAH=∠BAE，‎ ‎∵DA：AB=HA：AE=m：n，‎ ‎∴△ADH∽△ABE，‎ ‎∴DH：BE=AD：AB=m：n，‎ ‎∴HD：GC：EB=m：：n．…（8分）‎ 点评：‎ 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．‎ ‎24．（2012•资阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接EP、CP、OP．‎ ‎（1）BD=DC吗？说明理由；‎ ‎（2）求∠BOP的度数；‎ ‎（3）求证：CP是⊙O的切线；‎ 如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：‎ 为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证△AOG∽△CPG”；小强说：“过点C作CH⊥AB于点H，证四边形CHOP是矩形”．‎ 考点：‎ 切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理。‎ 专题：‎ 探究型。‎ 分析：‎ ‎（1）连接AD，由圆周角定理可知∠ADB=90°，再由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，故BD=DC；‎ ‎（2）由于AD是等腰三角形ABC底边上的中线，所以∠BAD=∠CAD，故=，进而可得出BD=DE，故BD=DE=DC，‎ 所以∠DEC=∠DCE，△ABC中由等腰三角形的性质可得出∠ABC=75°，故∠DEC=75°由三角形内角和定理得出∠EDC的度数，再根据BP∥DE可知∠PBC=∠EDC=30°，进而得出∠ABP的度数，再由OB=OP，可知∠OBP=∠OPB，由三角形内角和定理即可得出∠BOP=90°；‎ ‎（3）设OP交AC于点G，由∠BOP=90°可知∠AOG=90°在Rt△AOG中，由∠OAG=30°，可知=，由于==，所以=，=，再根据∠AGO=∠CGP可得出△AOG∽△CPG，由相似三角形形的性质可知∠GPC=∠AOG=90°，故可得出CP是⊙O的切线．‎ 解答：‎ ‎（1）解：BD=DC．‎ 连接AD，如图1，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴BD=DC；‎ ‎（2）解：∵AD是等腰三角形ABC底边上的中线，‎ ‎∴∠BAD=∠CAD，‎ ‎∴=，‎ ‎∴BD=DE，‎ ‎∴BD=DE=DC，‎ ‎∴∠DEC=∠DCE，‎ ‎∵△ABC中，AB=AC，∠A=30°‎ ‎∴∠DCE=∠ABC=（180°﹣30°）=75°，‎ ‎∴∠DEC=75°‎ ‎∴∠EDC=180°﹣75°﹣75°=30°‎ ‎∵BP∥DE，‎ ‎∴∠PBC=∠EDC=30°，‎ ‎∴∠ABP=∠ABC﹣∠PBC=75°﹣30°=45°‎ ‎∵OB=OP，‎ ‎∴∠OBP=∠OPB=45°，‎ ‎∴∠BOP=90°；‎ ‎（3）证明：证法一：设OP交AC于点G，则∠AOG=∠BOP=90°‎ 在Rt△AOG中，‎ ‎∵∠OAG=30°，‎ ‎∴=，‎ 又∵==，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ 又∵∠AGO=∠CGP ‎∴△AOG∽△CPG，‎ ‎∴∠GPC=∠AOG=90°，‎ ‎∴CP是⊙O的切线）‎ 证法二：过点C作CH⊥AB于点H，如图2，则∠BOP=∠BHC=90°，‎ ‎∴PO∥CH 在Rt△AHC中，‎ ‎∵∠HAC=30°，‎ ‎∴CH=AC，‎ 又∵PO=AB=AC，‎ ‎∴PO=CH，‎ ‎∵四边形CHOP是平行四边形 ‎∴四边形CHOP是矩形，‎ ‎∴∠OPC=90°，‎ ‎∴CP是⊙O的切线．‎ 点评：‎ 本题考查的是切线的判定定理、等腰三角形的性质、圆周角定理及相似三角形的判定与性质，在判定圆的切线时构造直角三角形，再利用直角三角形的性质去证明过圆心的直线与切线垂直．‎ ‎25．（2012•资阳）抛物线的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．‎ ‎（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；‎ ‎（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；‎ ‎（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB=，求点M的坐标．‎ 考点：‎ 二次函数综合题。‎ 专题：‎ 压轴题。‎ 分析：‎ ‎（1）利用配方法将二次函数整理成顶点式即可，再利用点在直线上的性质得出答案即可；‎ ‎（2）首先利用点N在抛物线上，得出N点坐标，再利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2，进而得出NF2=NB2，即可得出答案；‎ ‎（3）求点M的坐标，需要先求出直线PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，然后连接AF、FB，通过证明△PFA∽△PBF，利用相关的比例线段将PA•PB的值转化为PF的值，进而求出点F的坐标和直线PF的解析式，即可得解．‎ 解答：‎ 解：（1）y=x2+x+m=（x+2）2+（m﹣1）‎ ‎∴顶点坐标为（﹣2，m﹣1）‎ ‎∵顶点在直线y=x+3上，‎ ‎∴﹣2+3=m﹣1，‎ 得m=2；‎ ‎（2）∵点N在抛物线上，‎ ‎∴点N的纵坐标为：a2+a+2，‎ 即点N（a，a2+a+2）‎ 过点F作FC⊥NB于点C，‎ 在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB﹣CB=a2+a，‎ ‎∴NF2=NC2+FC2=（a2+a）2+（a+2）2，‎ ‎=（a2+a）2+（a2+4a）+4，‎ 而NB2=（a2+a+2）2，‎ ‎=（a2+a）2+（a2+4a）+4‎ ‎∴NF2=NB2，‎ NF=NB；‎ ‎（3）连接AF、BF，‎ 由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的结论知，MF=MA，‎ ‎∴∠MAF=∠MFA，‎ ‎∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，‎ ‎∴MA∥NB，∴∠AMF+∠BNF=180°‎ ‎∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，‎ ‎∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°，‎ ‎∵∠MAB+∠NBA=180°，‎ ‎∴∠FBA+∠FAB=90°，‎ 又∵∠FAB+∠MAF=90°，‎ ‎∴∠FBA=∠MAF=∠MFA，‎ 又∵∠FPA=∠BPF，‎ ‎∴△PFA∽△PBF，‎ ‎∴=，PF2=PA×PB=，‎ 过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△PFG中，‎ PG==，‎ ‎∴PO=PG+GO=，‎ ‎∴P（﹣，0）‎ 设直线PF：y=kx+b，把点F（﹣2，2）、点P（﹣，0）代入y=kx+b，‎ 解得k=，b=，‎ ‎∴直线PF：y=x+，‎ 解方程x2+x+2=x+，‎ 得x=﹣3或x=2（不合题意，舍去），‎ 当x=﹣3时，y=，‎ ‎∴M（﹣3，）．‎ 点评：‎ 考查了二次函数综合题，在该二次函数综合题中，融入了勾股定理、相似三角形等重点知识，（3）题通过构建相似三角形将PA•PB转化为PF的值是解题的关键，也是该题的难点．‎