淄博市2016年中考数学卷

淄博市2016年中考数学卷

山东省淄博市2016年中考数学试卷(word版含解析)‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）‎ ‎1．（4分）（2016•淄博）人类的遗传物质是DNA，DNA是一个很长的链，最短的22号染色体与长达30000000个核苷酸，30000000用科学记数法表示为（　　）‎ A．3×107 B．30×104 C．0.3×107 D．0.3×108‎ ‎【分析】先确定出a和n的值，然后再用科学计数法的性质表示即可．‎ ‎【解答】解：30000000=3×107．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查的是科学计数法，熟练掌握用科学计数法表示较大数的方法是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）（2016•淄博）计算|﹣8|﹣（﹣）0的值是（　　）‎ A．﹣7 B．7 C．7 D．9‎ ‎【分析】先依据绝对值和零指数幂的性质计算，然后再依据有理数的减法法则计算即可．‎ ‎【解答】解：原式=8﹣1‎ ‎=7．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查的是零指数幂的性质、绝对值的化简，熟练掌握相关法则是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）（2016•淄博）如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（　　）‎ A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 ‎【分析】直接利用点到直线的距离的定义分析得出答案．‎ ‎【解答】解：如图所示：线段AB是点B到AC的距离，‎ 线段CA是点C到AB的距离，‎ 线段AD是点A到BC的距离，‎ 线段BD是点B到AD的距离，‎ 线段CD是点C到AD的距离，‎ 故图中能表示点到直线距离的线段共有5条．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了点到直线的距离，正确把握定义是解题关键．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）（2016•淄博）关于x的不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．‎ ‎【解答】解：，由①得，x＞﹣1，由②得，x≤2，‎ 故不等式组的解集为：﹣1＜x≤2．‎ 在数轴上表示为：‎ ‎．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）（2016•淄博）下列特征量不能反映一组数据集中趋势的是（　　）‎ A．众数 B．中位数 C．方差 D．平均数 ‎【分析】根据中位数、众数、平均数和方差的意义进行判断．‎ ‎【解答】解：数据的平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，极差、方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小（即波动大小）的特征数．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了统计量的选择：此在实际应用中应根据具体问题情景进行具体分析，选用适当的量度刻画数据的波动情况，一般来说，只有在两组数据的平均数相等或比较接近时，才用极差、方差或标准差来比较两组数据的波动大小．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）（2016•淄博）张老师买了一辆启辰R50X汽车，为了掌握车的油耗情况，在连续两次加油时做了如下工作：‎ ‎（1）把油箱加满油；‎ ‎（2）记录了两次加油时的累计里程（注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程），以下是张老师连续两次加油时的记录：‎ ‎ 加油时间 加油量（升） ‎ 加油时的累计里程（千米） ‎ ‎ ‎‎2016年4月28日 ‎ 18‎ ‎ 6200‎ ‎ ‎‎2016年5月16日 ‎ 30‎ ‎ 6600‎ 则在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（　　）‎ A．3升 B．5升 C．7.5升 D．9升 ‎【分析】根据图表得出总的耗油量以及行驶的总路程，进而求出平均油耗．‎ ‎【解答】解：由题意可得：400÷30=7.5（升）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了算术平均数，正确从图表中获取正确信息是解题关键．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）（2016•淄博）如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD=BC，点G是AB上一点，点H在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形，则图中阴影部分的面积是（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【分析】设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h1，△CGH底边GH上的高为h2，根据图形可知h=h1+h2．利用三角形的面积公式结合平行四边形的性质即可得出S阴影=S△ABC，由此即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h1，△CGH底边GH上的高为h2，‎ 则有h=h1+h2．‎ S△ABC=BC•h=16，‎ S阴影=S△AGH+S△CGH=GH•h1+GH•h2=GH•（h1+h2）=GH•h．‎ ‎∵四边形BDHG是平行四边形，且BD=BC，‎ ‎∴GH=BD=BC，‎ ‎∴S阴影=×（BC•h）=S△ABC=4．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的面积公式以及平行四边形的性质，解题的关键是找出S阴影=S△ABC．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形的面积公式找出阴影部分的面积与△ABC的面积之间的关系是关键．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）（2016•淄博）如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（　　）‎ A． B．2 C． D．10﹣5‎ ‎【分析】延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE=BE﹣BG=2、HE=CH﹣CE=2、∠HEG=90°，由勾股定理可得GH的长．‎ ‎【解答】解：如图，延长BG交CH于点E，‎ 在△ABG和△CDH中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABG≌△CDH（SSS），‎ AG2+BG2=AB2，‎ ‎∴∠1=∠5，∠2=∠6，∠AGB=∠CHD=90°，‎ ‎∴∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°，‎ 又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，‎ ‎∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，‎ 在△ABG和△BCE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABG≌△BCE（ASA），‎ ‎∴BE=AG=8，CE=BG=6，∠BEC=∠AGB=90°，‎ ‎∴GE=BE﹣BG=8﹣6=2，‎ 同理可得HE=2，‎ 在RT△GHE中，GH===2，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE为等腰直角三角形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）（2016•淄博）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（　　）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎【分析】根据题意得出△PAM∽△QBM，进而结合勾股定理得出AP=3，BQ=，AB=2，进而求出答案．‎ ‎【解答】解：连接AP，QB，‎ 由网格可得：∠PAB=∠QBA=90°，‎ 又∵∠AMP=∠BMQ，‎ ‎∴△PAM∽△QBM，‎ ‎∴=，‎ ‎∵AP=3，BQ=，AB=2，‎ ‎∴=，‎ 解得：AM=，‎ ‎∴tan∠QMB=tan∠PMA===．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题主要考查了勾股定理以及相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系，正确得出△PAM∽△QBM是解题关键．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）（2016•淄博）小明用计算器计算（a+b）c的值，其按键顺序和计算器显示结果如表：‎ 这时他才明白计算器是先做乘法再做加法的，于是他依次按键：‎ 从而得到了正确结果，已知a是b的3倍，则正确的结果是（　　）‎ A．24 B．39 C．48 D．96‎ ‎【分析】根据题意得出关于a，b，c的方程组，进而解出a，b，c的值，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：由题意可得：，‎ 则，‎ 解得：，‎ 故（9+3）×4=48．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了计算器的应用以及方程组的解法，正确得出关于a，b，c的等式是解题关键．‎ ‎　‎ ‎11．（4分）（2016•淄博）如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】先作出作BF⊥l3，AE⊥l3，再判断△ACE≌△CBF，求出CE=BF=3，CF=AE=4，然后由l2∥l3，求出DG，即可．‎ ‎【解答】解：如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴∠BCF+∠ACE=90°，‎ ‎∵∠BCF+∠CFB=90°，‎ ‎∴∠ACE=∠CBF，‎ 在△ACE和△CBF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACE≌△CBF，‎ ‎∴CE=BF=3，CF=AE=4，‎ ‎∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，‎ ‎∴AG=1，BG=EF=CF+CE=7‎ ‎∴AB==5，‎ ‎∵l2∥l3，‎ ‎∴=‎ ‎∴DG=CE=，‎ ‎∴BD=BG﹣DG=7﹣=，‎ ‎∴=．‎ 故选A．‎ ‎【点评】此题是平行线分线段成比例试题，主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解本题的关键是构造全等三角形．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2016•淄博）反比例函数y=（a＞0，a为常数）和y=在第一象限内的图象如图所示，点M在y=的图象上，MC⊥x轴于点C，交y=的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y=的图象于点B，当点M在y=的图象上运动时，以下结论：‎ ‎①S△ODB=S△OCA；‎ ‎②四边形OAMB的面积不变；‎ ‎③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点．‎ 其中正确结论的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【分析】①由反比例系数的几何意义可得答案；‎ ‎②由四边形OAMB的面积=矩形OCMD面积﹣（三角形ODB面积+面积三角形OCA），解答可知；‎ ‎③连接OM，点A是MC的中点可得△OAM和△OAC的面积相等，根据△ODM的面积=△OCM的面积、△ODB与△OCA的面积相等解答可得．‎ ‎【解答】解：①由于A、B在同一反比例函数y=图象上，则△ODB与△OCA的面积相等，都为×2=1，正确；‎ ‎②由于矩形OCMD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形MAOB的面积不会发生变化，正确；‎ ‎③连接OM，点A是MC的中点，‎ 则△OAM和△OAC的面积相等，‎ ‎∵△ODM的面积=△OCM的面积=，△ODB与△OCA的面积相等，‎ ‎∴△OBM与△OAM的面积相等，‎ ‎∴△OBD和△OBM面积相等，‎ ‎∴点B一定是MD的中点．正确；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数y=（k≠0）中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．‎ ‎　‎ 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）‎ ‎13．（5分）（2016•淄博）计算的结果是　1﹣2a　．‎ ‎【分析】分子是多项式1﹣4a2，将其分解为（1﹣2a）（1+2a），然后再约分即可化简．‎ ‎【解答】解：原式=‎ ‎=1﹣2a．‎ ‎【点评】本题考查分式的约分，若分子和分母有多项式，先将其因式分解，然后将相同的因式约去即可．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2016•淄博）由一些相同的小正方体搭成的几何体的左视图和俯视图如图所示，请在网格中涂出一种该几何体的主视图，且使该主视图是轴对称图形．‎ ‎【分析】根据俯视图和左视图可知，该几何体共两层，底层有9个正方体，上层中间一行有正方体，若使主视图为轴对称图形可使中间一行、中间一列有一个小正方体即可．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ ‎【点评】本题主要考查三视图还原几何体及轴对称图形，解题的关键是根据俯视图和左视图抽象出几何体的大概轮廓．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2016•淄博）若x=3﹣，则代数式x2﹣6x+9的值为　2　．‎ ‎【分析】根据完全平方公式，代数式求值，可得答案．‎ ‎【解答】解：x2﹣6x+9=（x﹣3）2，‎ 当x=3﹣时，原式=（3﹣﹣3）2=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查了代数式求值，利用完全平方公式是解题关键．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2016•淄博）某快递公司的分拣工小王和小李，在分拣同一类物件时，小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同．已知小王每小时比小李多分拣8个物件，设小李每小时分拣x个物件，根据题意列出的方程是　　．‎ ‎【分析】先求得小王每小时分拣的件数，然后根据小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同列方程即可．‎ ‎【解答】解：小李每小时分拣x个物件，则小王每小时分拣（x+8）个物件．‎ 根据题意得：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查的是分式方程的应用，根据找出题目的相等关系是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．（5分）（2016•淄博）如图，⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为4，有一内角为60°的菱形，当菱形的一边在直线l上，另有两边所在的直线恰好与⊙O相切，此时菱形的边长为　4　．‎ ‎【分析】过点O作直线l的垂线，交AD于E，交BC于F，作AG直线l于G，根据题意求出EF的长，得到AG的长，根据正弦的概念计算即可．‎ ‎【解答】解：过点O作直线l的垂线，交AD于E，交BC于F，作AG直线l于G，‎ 由题意得，EF=2+4=6，‎ ‎∵四边形AGFE为矩形，‎ ‎∴AG=EF=6，‎ 在Rt△ABG中，AB===4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查的是切线的性质和菱形的性质，根据题意正确画出图形、灵活运用解直角三角形的知识是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（共7小题，满分52分）‎ ‎18．（5分）（2016•淄博）如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．‎ ‎【分析】根据同位角相等，两直线平行证明OB∥AC，根据同旁内角互补，两直线平行证明OA∥BC．‎ ‎【解答】解：OA∥BC，OB∥AC．‎ ‎∵∠1=50°，∠2=50°，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∴OB∥AC，‎ ‎∵∠2=50°，∠3=130°，‎ ‎∴∠2+∠3=180°，‎ ‎∴OA∥BC．‎ ‎【点评】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（5分）（2016•淄博）解方程：x2+4x﹣1=0．‎ ‎【分析】首先进行移项，得到x2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．‎ ‎【解答】解：∵x2+4x﹣1=0‎ ‎∴x2+4x=1‎ ‎∴x2+4x+4=1+4‎ ‎∴（x+2）2=5‎ ‎∴x=﹣2±‎ ‎∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．‎ ‎【点评】配方法的一般步骤：‎ ‎（1）把常数项移到等号的右边；‎ ‎（2）把二次项的系数化为1；‎ ‎（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．‎ 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2016•淄博）下面是淄博市2016年4月份的天气情况统计表：‎ 日期 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ 天气 多云 ‎ 阴 多云 晴 多云 阴 晴 晴 晴 多云 多云 多云 晴 晴 雨 日期 ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ 天气 雨 多云 多云 多云 多云 晴 多云 多云 晴 多云 多云 多云 晴 晴 晴 ‎（1）请完成下面的汇总表：‎ ‎ 天气 晴 多云 ‎ 阴 ‎ 雨 ‎ ‎ 天数 ‎　11　‎ ‎　15　‎ ‎　2　‎ ‎　2　‎ ‎（2）根据汇总表绘制条形图；‎ ‎（3）在该月中任取一天，计算该天多云的概率．‎ ‎【分析】（1）由天气情况统计表可得晴、多云、阴、雨的天数；‎ ‎（2）以天气为横轴、天数为纵轴，各种天气的天数为长方形的高，绘制四个长方形即可；‎ ‎（3）根据概率公式计算可得．‎ ‎【解答】解：（1）由4月份的天气情况统计表可知，晴天共11天，多云15天，阴2天，雨2天；完成汇总表如下：‎ 天气 晴 多云 阴 雨 天数 ‎11‎ ‎15‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎（2）条形图如图：‎ ‎（3）在该月中任取一天，共有30种等可能结果，其中多云的结果由15种，‎ ‎∴该天多云的概率为=．‎ 故答案为：（1）11、15、2、2．‎ ‎【点评】本题主要考查条形图的绘制与概率的计算，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，确定每个项目的具体数目并绘制相应长方形是关键．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）（2016•淄博）如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．‎ ‎（1）求这条抛物线对应的函数解析式；‎ ‎（2）求直线AB对应的函数解析式．‎ ‎【分析】（1）利用△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点得到4a2﹣4a=0，然后解关于a的方程求出a，即可得到抛物线解析式；‎ ‎（2）利用点C是线段AB的中点可判断点A与点B的横坐标互为相反数，则可以利用抛物线解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求直线AB的解析式．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，‎ ‎∴△=4a2﹣4a=0，解得a1=0（舍去），a2=1，‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2+2x+1；‎ ‎（2）∵y=（x+1）2，‎ ‎∴顶点A的坐标为（﹣1，0），‎ ‎∵点C是线段AB的中点，‎ 即点A与点B关于C点对称，‎ ‎∴B点的横坐标为1，‎ 当x=1时，y=x2+2x+1=1+2+1=4，则B（1，4），‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b，‎ 把A（﹣1，0），B（1，4）代入得，解得，‎ ‎∴直线AB的解析式为y=2x+2．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了利用待定系数法求函数解析式．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）（2016•淄博）如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．‎ ‎（1）求证：AE=AF；‎ ‎（2）求证：BE=（AB+AC）．‎ ‎【分析】（1）欲证明AE=AF，只要证明∠AEF=∠AFE即可．‎ ‎（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G，先证明AC=AG，再证明BE=EG即可解决问题．‎ ‎【解答】证明：（1）∵DA平分∠BAC，‎ ‎∴∠BAD=∠CAD，‎ ‎∵AD∥EM，‎ ‎∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，‎ ‎∴∠AEF=∠AFE，‎ ‎∴AE=AF．‎ ‎（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G．‎ ‎∵EF∥CG，‎ ‎∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，‎ ‎∵∠AEF=∠AFE，‎ ‎∴∠G=∠ACG，‎ ‎∴AG=AC，‎ ‎∵BM=CM．EM∥CG，‎ ‎∴BE=EG，‎ ‎∴BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）．‎ ‎【点评】本题考查三角形中位线定理、角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造等腰三角形，以及三角形中位线，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎23．（9分）（2016•淄博）已知，点M是二次函数y=ax2（a＞0）图象上的一点，点F的坐标为（0，），直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q的纵坐标为．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；‎ ‎（3）当点M在第一象限时，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，求证：MF=MN+OF．‎ ‎【分析】（1）设Q（m，），F（0，），根据QO=QF列出方程即可解决问题．‎ ‎（2）设M（t，t2），Q（m，），根据KOM=KOQ，求出t、m的关系，根据QO=QM列出方程即可解决问题．‎ ‎（3）设M（n，n2）（n＞0），则N（n，0），F（0，），利用勾股定理求出MF即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）∵圆心O的纵坐标为，‎ ‎∴设Q（m，），F（0，），‎ ‎∵QO=QF，‎ ‎∴m2+（）2=m2+（﹣）2，‎ ‎∴a=1，‎ ‎∴抛物线为y=x2．‎ ‎（2）∵M在抛物线上，设M（t，t2），Q（m，），‎ ‎∵O、Q、M在同一直线上，‎ ‎∴KOM=KOQ，‎ ‎∴=，‎ ‎∴m=，‎ ‎∵QO=QM，‎ ‎∴m2+（）2=（m﹣t）2=（﹣t2）2，‎ 整理得到：﹣ t2+t4+t2﹣2mt=0，‎ ‎∴4t4+3t2﹣1=0，‎ ‎∴（t2+1）（4t2﹣1）=0，‎ ‎∴t1=，t2=﹣，‎ 当t1=时，m1=，‎ 当t2=﹣时，m2=﹣．‎ ‎∴M1（，），Q1（，），M2（﹣，），Q2（﹣，）．‎ ‎（3）设M（n，n2）（n＞0），‎ ‎∴N（n，0），F（0，），‎ ‎∴MF===n2+，MN+OF=n2+，‎ ‎∴MF=MN+OF．‎ ‎【点评】本题考查二次函数的应用、三点共线的条件、勾股定理等知识，解题的关键是设参数解决问题，把问题转化为方程解决，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎24．（9分）（2016•淄博）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变．‎ ‎（1）求证： =；‎ ‎（2）求证：AF⊥FM；‎ ‎（3）请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN=∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明．‎ ‎【分析】（1）先证明A、B、M、F四点共圆，根据圆内接四边形对角互补即可证明∠AFM=90°，根据等腰直角三角形性质即可解决问题．‎ ‎（2）由（1）的结论即可证明．‎ ‎（3）由：A、B、M、F四点共圆，推出∠BAM=∠EFM，因为∠BAM=∠FMN，所以∠EFM=∠FMN，推出MN∥BD，得到=，推出BM=DN，再证明△ABM≌△ADN即可解决问题．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=90°，‎ ‎∵∠MAN=45°，‎ ‎∴∠MAF=∠MBE，‎ ‎∴A、B、M、F四点共圆，‎ ‎∴∠ABM+∠AFM=180°，‎ ‎∴∠AFM=90°，‎ ‎∴∠FAM=∠FMA=45°，‎ ‎∴AM=AF，‎ ‎∴=．‎ ‎（2）由（1）可知∠AFM=90°，‎ ‎∴AF⊥FM．‎ ‎（3）结论：∠BAM=22.5时，∠FMN=∠BAM 理由：∵A、B、M、F四点共圆，‎ ‎∴∠BAM=∠EFM，‎ ‎∵∠BAM=∠FMN，‎ ‎∴∠EFM=∠FMN，‎ ‎∴MN∥BD，‎ ‎∴=，∵CB=DC，‎ ‎∴CM=CN，‎ ‎∴MB=DN，‎ 在△ABM和△ADN中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABM≌△ADN，‎ ‎∴∠BAM=∠DAN，‎ ‎∵∠MAN=45°，‎ ‎∴∠BAM+∠DAN=45°，‎ ‎∴∠BAM=22.5°．‎ ‎【点评】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形性质、四点共圆、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用四点共圆的性质解决问题，题目有点难，用到四点共圆．‎ ‎　‎