上海市静安区中考数学一模试卷

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上海市静安区中考数学一模试卷

‎2017年上海市静安区中考数学一模试卷 ‎ 一、选择题(每小题4分,共24分)‎ ‎1.a(a>0)等于(  )‎ A. B.﹣ C. D.﹣‎ ‎2.下列多项式中,在实数范围不能分解因式的是(  )‎ A.x2+y2+2x+2y B.x2+y2+2xy﹣2 C.x2﹣y2+4x+4y D.x2﹣y2+4y﹣4‎ ‎3.在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上, =,要使DE∥BC,还需满足下列条件中的(  )‎ A. = B. = C. = D. =‎ ‎4.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果AB=m,∠A=α,那么AC的长为(  )‎ A.m•sinα B.m•cosα C.m•tanα D.m•cotα ‎5.如果锐角α的正弦值为,那么下列结论中正确的是(  )‎ A.α=30° B.α=45° C.30°<α<45° D.45°<α<60°‎ ‎6.将抛物线y=ax2﹣1平移后与抛物线y=a(x﹣1)2重合,抛物线y=ax2﹣1上的点A(2,3)同时平移到A′,那么点A′的坐标为(  )‎ A.(3,4) B.(1,2) C.(3,2) D.(1,4)‎ 二.填空题(每个小题4分,共48分)‎ ‎7.16的平方根是  .‎ ‎8.如果代数式有意义,那么x的取值范围为  .‎ ‎9.方程+=1的根为  .‎ ‎10.如果一次函数y=(m﹣3)x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限,那么常数m的取值范围为  .‎ ‎11.二次函数y=x2﹣8x+10的图象的顶点坐标是  .‎ ‎12.如果点A(﹣1,4)、B(m,4)在抛物线y=a(x﹣1)2+h上,那么m的值为  .‎ ‎13.如果△ABC∽△DEF,且△ABC与△DEF相似比为1:4,那么△ABC与△DEF的面积比为  .‎ ‎14.在△ABC中,如果AB=AC=10,cosB=,那么△ABC的重心到底边的距离为  .‎ ‎15.已知平行四边形ABCD中,点E是边BC的中点,DE与AC相交于点F,设=, =,那么=   (用,的式子表示)‎ ‎ ‎ 第15题图 第17题图 第18题图 ‎16.在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,△ADE∽△ABC,如果AB=4,BC=5,AC=6,AD=3,那么△ADE的周长为  .‎ ‎17.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,∠BDC=∠CED,如果DE=4,CD=6,那么AD:AE等于  .‎ ‎18.一张直角三角形纸片ABC,∠C=90°,AB=24,tanB=(如图),将它折叠使直角顶点C与斜边AB的中点重合,那么折痕的长为 _____ .‎ 三、解答题(共78分)‎ ‎19.计算:.‎ ‎20.解方程组:.‎ ‎21.已知:如图,第一象限内的点A,B在反比例函数的图象上,点C在y轴上,BC∥x轴,点A的坐标为(2,4),且cot∠ACB=‎ 求:(1)反比例函数的解析式;(2)点C的坐标;(3)∠ABC的余弦值.‎ ‎22.将笔记本电脑放置在水平桌面上,显示屏OB与底板OA夹角为115°(如图1),侧面示意图为图2;使用时为了散热,在底板下面垫入散热架O′AC后,电脑转到AO′B′的位置(如图3),侧面示意图为图4,已知OA=0B=20cm,B′O′⊥OA,垂足为C.‎ ‎(1)求点O′的高度O′C;(精确到0.1cm)‎ ‎(2)显示屏的顶部B′比原来升高了多少?(精确到0.1cm)‎ ‎(3)如图4,要使显示屏O′B′与原来的位置OB平行,显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度?‎ 参考数据:(sin65°=0.906,cos65°=0.423,tan65°=2.146.cot65°=0.446)‎ ‎23.已知:如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,BA•BD=BC•BE ‎(1)求证:DE•AB=AC•BE;(2)如果AC2=AD•AB,求证:AE=AC.‎ ‎24.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+4与x轴的正半轴相交于点A,与y轴相交于点B,点C在线段OA上,点D在此抛物线上,CD⊥x轴,且∠DCB=∠DAB,AB与CD相交于点E.‎ ‎(1)求证:△BDE∽△CAE;‎ ‎(2)已知OC=2,tan∠DAC=3,求此抛物线的表达式.‎ ‎25.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD相交于点O,AC=BC,点E在DC的延长线上,∠BEC=∠ACB,已知BC=9,cos∠ABC=.‎ ‎(1)求证:BC2=CD•BE;‎ ‎(2)设AD=x,CE=y,求y与x之间的函数解析式,并写出定义域;‎ ‎(3)如果△DBC∽△DEB,求CE的长.‎ ‎2017年上海市静安区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(每小题4分,共24分)‎ ‎1.a(a>0)等于(  )‎ A. B.﹣ C. D.﹣‎ 故选:C.‎ ‎2.下列多项式中,在实数范围不能分解因式的是(  )‎ A.x2+y2+2x+2y B.x2+y2+2xy﹣2 C.x2﹣y2+4x+4y D.x2﹣y2+4y﹣4‎ 故选A ‎3.在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上, =,要使DE∥BC,还需满足下列条件中的(  )‎ A. = B. = C. = D. =‎ 故选D.‎ ‎4.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果AB=m,∠A=α,那么AC的长为(  )‎ A.m•sinα B.m•cosα C.m•tanα D.m•cotα 故选:B.‎ ‎5.如果锐角α的正弦值为,那么下列结论中正确的是(  )‎ A.α=30° B.α=45° C.30°<α<45° D.45°<α<60°‎ 故选:C.‎ ‎6.将抛物线y=ax2﹣1平移后与抛物线y=a(x﹣1)2重合,抛物线y=ax2﹣1上的点A(2,3)同时平移到A′,那么点A′的坐标为(  )‎ A.(3,4) B.(1,2) C.(3,2) D.(1,4)‎ 故选:A.‎ 二.填空题(每个小题4分,共48分)‎ ‎7.16的平方根是 ±4 .‎ ‎8.如果代数式有意义,那么x的取值范围为 x>﹣2 .‎ ‎9.方程+=1的根为 x=2 .‎ ‎10.如果一次函数y=(m﹣3)x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限,那么常数m的取值范围为 m<2 .‎ ‎11.二次函数y=x2﹣8x+10的图象的顶点坐标是 (4,﹣6) .‎ ‎12.如果点A(﹣1,4)、B(m,4)在抛物线y=a(x﹣1)2+h上,那么m的值为 3 .‎ ‎13.如果△ABC∽△DEF,且△ABC与△DEF相似比为1:4,那么△ABC与△DEF的面积比为 1:16 .‎ ‎14.在△ABC中,如果AB=AC=10,cosB=,那么△ABC的重心到底边的距离为 2 .‎ ‎15.已知平行四边形ABCD中,点E是边BC的中点,DE与AC相交于点F,设=, =,那么= ﹣  (用,的式子表示)‎ ‎16.在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,△ADE∽△ABC,如果AB=4,BC=5,AC=6,AD=3,那么△ADE的周长为  .‎ ‎17.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,∠BDC=∠CED,如果DE=4,CD=6,那么AD:AE等于 3:2 .‎ ‎18.一张直角三角形纸片ABC,∠C=90°,AB=24,tanB=(如图),将它折叠使直角顶点C与斜边AB的中点重合,那么折痕的长为 13 .‎ 三、解答题(共78分)‎ ‎19.计算:.‎ 解:原式===.‎ ‎20.解方程组:.‎ 解:‎ 由②得:(x﹣3y)2=4,x﹣3y=±2,由①得:x(x﹣y+2)=0,x=0,x﹣y+2=0,‎ 原方程组可以化为:,,,,‎ 解得,原方程组的解为:,,,.‎ ‎21.已知:如图,第一象限内的点A,B在反比例函数的图象上,点C在y轴上,BC∥x轴,点A的坐标为(2,4),且cot∠ACB=‎ 求:(1)反比例函数的解析式;‎ ‎(2)点C的坐标;‎ ‎(3)∠ABC的余弦值.‎ 解:(1)设反比例函数解析式为y=,‎ 将点A(2,4)代入,得:k=8,∴反比例函数的解析式y=;‎ ‎(2)过点A作AE⊥x轴于点E,AE与BC交于点F,则CF=2,‎ ‎∵cot∠ACB==,∴AF=3,∴EF=1,∴点C的坐标为(0,1);‎ ‎(3)当y=1时,由1=可得x=8,∴点B的坐标为(1,8),∴BF=BC﹣CF=6,‎ ‎∴AB==3,∴cos∠ABC===.‎ ‎22.将笔记本电脑放置在水平桌面上,显示屏OB与底板OA夹角为115°(如图1),侧面示意图为图2;使用时为了散热,在底板下面垫入散热架O′AC后,电脑转到AO′B′的位置(如图3),侧面示意图为图4,已知OA=0B=20cm,B′O′⊥OA,垂足为C.‎ ‎(1)求点O′的高度O′C;(精确到0.1cm)‎ ‎(2)显示屏的顶部B′比原来升高了多少?(精确到0.1cm)‎ ‎(3)如图4,要使显示屏O′B′与原来的位置OB平行,显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度?‎ 参考数据:(sin65°=0.906,cos65°=0.423,tan65°=2.146.cot65°=0.446)‎ 解:(1)∵B′O′⊥OA,垂足为C,∠AO′B=115°,‎ ‎∴∠AO′C=65°,∵cos∠CO′A=,‎ ‎∴O′C=O′A•cos∠CO′A=20•cos65°=8.46≈8.5(cm);‎ ‎(2)如图2,过B作BD⊥AO交AO的延长线于D,‎ ‎∵∠AOB=115°,∴∠BOD=65°,∵sin∠BOD=,‎ ‎∴BD=OB•sin∠BOD=20×sin65°=18.12,‎ ‎∴O′B′+O′C﹣BD=20+8.46﹣18.12=10.34≈10.3(cm),‎ ‎∴显示屏的顶部B′比原来升高了10.3cm;‎ ‎(3)如图4,过O′作EF∥OB交AC于E,‎ ‎∴∠FEA=∠BOA=115°,∠FOB′=∠EO′C=∠FEA﹣∠O′CA=115°﹣90°=25°,‎ ‎∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转25度.‎ ‎23.已知:如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,BA•BD=BC•BE ‎(1)求证:DE•AB=AC•BE;‎ ‎(2)如果AC2=AD•AB,求证:AE=AC.‎ 证明:(1)∵BA•BD=BC•BE,∴,又∵∠B=∠B,∴△ABC∽△EBD,‎ ‎∴,∴DE•AB=AC•BE;‎ ‎(2)∵AC2=AD•AB,∴,∵∠DAC=∠CAB,∴△ADC∽△ACB,‎ ‎∴∠ACD=∠B,∵,∠B=∠B,∴△BAE∽△BCD,∴∠BAE=∠BCD,‎ ‎∵∠AEC=∠B+∠BAE,∠ACE=∠ACD+∠BCD,∴∠AEC=∠ACE,∴AE=AC.‎ ‎24.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+4与x轴的正半轴相交于点A,与y轴相交于点B,点C在线段OA上,点D在此抛物线上,CD⊥x轴,且∠DCB=∠DAB,AB与CD相交于点E.‎ ‎(1)求证:△BDE∽△CAE;‎ ‎(2)已知OC=2,tan∠DAC=3,求此抛物线的表达式.‎ ‎(1)证明:∵∠DCB=∠DAB,∠BEC=∠DEA,‎ ‎∴△BEC∽△DEA,∴=,又∠BED=∠CEA,∴△BDE∽△CAE;‎ ‎(2)解:∵抛物线y=ax2+bx+4与y轴相交于点B,‎ ‎∴点B的坐标为(0,4),即OB=4,∵tan∠DAC=3,∴=3,‎ 设AC=m,则DC=3m,OA=m+2,则点A的坐标为(m+2,0),‎ 点D的坐标为(2,3m),∵△BDE∽△CAE,∴∠DBA=∠DCA=90°,‎ ‎∴BD2+BC2=AD2,即22+(3m﹣4)2+(m+2)2+42=m2+(3m)2,解得,m=2,‎ 则点A的坐标为(4,0),点D的坐标为(2,6),‎ ‎∴,解得,,‎ ‎∴抛物线的表达式为y=﹣x2+3x+4.‎ ‎25.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD相交于点O,AC=BC,点E在DC的延长线上,∠BEC=∠ACB,已知BC=9,cos∠ABC=.‎ ‎(1)求证:BC2=CD•BE;‎ ‎(2)设AD=x,CE=y,求y与x之间的函数解析式,并写出定义域;‎ ‎(3)如果△DBC∽△DEB,求CE的长.‎ 解:(1)∵∠DCB=∠ACD+∠ACB,∠DCB=∠EBC+∠BEC,∠ACB=∠BEC,‎ ‎∴∠ACD=∠EBC,∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB=∠CEB,∴△DAC∽△CEB,‎ ‎∴=,∴BC•AC=CD•BE,∵AC=BC,∴BC2=CD•BF.‎ ‎(2)过点C作CF⊥AB于F,AG⊥BC于G,DH⊥BC于H.‎ 在Rt△CBF中,BF=BC•cos∠ABC=9×=3,∴AB=6,‎ 在Rt△ABG中,BG=AB•cos∠ABC=6×=2,∵AD∥BC,DH=AG,‎ ‎∴DH2=AG2=AB2﹣BG2=62﹣22=32,∵AG∥DH,∴GH=AD=x,‎ ‎∴CH=BC﹣BG﹣GH=7﹣x,∴CD===,‎ ‎∵△CEB∽△DAC,∴=,∴=,∴y=,‎ ‎∴y=(x>0且x≠9).‎ ‎(3)∵△DBC∽△DEB,∠CDB=∠BDE,∠CBD<∠DBC,‎ ‎∴∠DBC=∠DEB=∠ACB,∴OB=OC,∵AD∥BC,∴=,∴AC=BD,‎ ‎∴四边形ABCD是等腰梯形,∴AB=CD,∠ABC=∠DCB,∵∠AGB=∠DHC=90°,‎ ‎∴△ABG≌△DCH,∴CH=BG=2,∴x=GH=BC﹣BG﹣CH=9﹣2﹣2=5.∴CE=y=.‎
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