中考数学相似难题压轴题汇编

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中考数学相似难题压轴题汇编

‎(2010年浙江杭州)提出问题:如图,有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕(,且),在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力,小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分(要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样).[来源:Z。xx。k.Com]‎ 背景介绍:这条分割直线即平分了三角形的面积,又平分了三角形的周长,我们称这条线为三角 形的“等分积周线”.‎ 尝试解决:‎ ‎ A B C ‎ A B C ‎ 图 1 图 2‎ ‎ (1)小明很快就想到了一条分割直线,而且用尺规作图作出.请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”,从而平分蛋糕.‎ ‎(2) 小华觉得小明的方法很好,所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB 于点D.你觉得小华会成功吗?如能成功,说出确定的方法;如不能成功,请说明理由.‎ ‎(3)通过上面的实践,你一定有了更深刻的认识.请你解决下面的问题:若AB=BC=5 cm,‎ AC=6 cm,请你找出△ABC的所有“等分积周线”,并简要的说明确定的方法.‎ 解:(1) 作线段AC的中垂线BD即可. ‎ ‎(2) 小华不会成功.‎ 若直线CD平分△ABC的面积 那么 ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ 小华不会成功. ‎ ‎(3)① 若直线经过顶点,则AC边上的中垂线即为所求线段. ‎ ‎ ② 若直线不过顶点,可分以下三种情况:‎ ‎(a)直线与BC、AC分别交于E、F,如图所示 ‎ 过点E作EH⊥AC于点H,过点B作BG⊥AC于点G 易求,BG=4,AG=CG=3‎ 设CF=x,则CE=8-x 由△CEH∽△CBG,可得EH=‎ 根据面积相等,可得 ‎ ‎∴ (舍去,即为①)或 ‎∴ CF=5,CE=3,直线EF即为所求直线. ‎ ‎(b)直线与AB、AC分别交于M、N, 如图所示 ‎ 由 (a)可得,AM=3,AN=5,直线MN即为所求直线.‎ ‎(仿照上面给分)‎ ‎ (c) 直线与AB、BC分别交于P、Q,如图所示 ‎ 过点A作AY⊥BC于点Y,过点P作PX⊥BC于点X 由面积法可得, AY=‎ 设BP=x,则BQ=8-x 由相似,可得PX= ‎ 根据面积相等,可得 ‎ ‎∴ (舍去)或 而当BP时,BQ=,舍去.‎ ‎∴ 此种情况不存在. ‎ 综上所述,符合条件的直线共有三条.‎ ‎(2010年教育联合体)如图,点P是菱形ABCD的对角线BD上一点,连结CP并延长,交AD于E,交BA的延长线点F.问:‎ ‎(1) 图中△APD与哪个三角形全等?并说明理由.‎ ‎ (2) 求证:△APE ∽△FPA.‎ ‎ (3) 猜想:线段PC、PE、PF之间存在什么关系?并说明理由.‎ ‎(1) △APD≌△CPD ‎ 理由: ∵四边形ABCD菱形 ‎    ∴AD=CD, ∠ADP=∠CDP ‎ 又∵PD=PD ‎ ∴△APD≌△CPD ‎ ‎ (2) 证明:∵△APD≌△CPD ∴∠DAP=∠DCP ‎∵CD∥BF ∴∠DCP=∠F ∴∠DAP= ∠F ‎ 又∵∠APE=∠FPA ∴△APE ∽△FPA ‎ ‎ (3) 猜想: ‎ 理由: ∵△APE ∽△FPA ‎ ∴ ∴ ‎ ‎ ∵△APD≌△CPD ‎∴PA=PC ∴ ‎ ‎(2009年湖州)如图,在正三角形中,,,分别是,,上的点,,,,则的面积与的面积之比等于( )‎ A.1∶3 B.2∶3 C.∶2 D.∶3 ‎ ‎【关键词】等边三角形的性质,相似的性质 ‎【答案】A ‎(2009年山西省)如图,在中,的垂直平分线交的延长线于点,则的长为( )‎ A. B. C. D.2‎ ‎【关键词】相似三角形判定和性质;勾股定理;线段和角的概念、性质 ‎【答案】B ‎(2009武汉)如图1,在中,,于点,点是边上一点,连接交于,交边于点.‎ B B A A C O E D D E C O F 图1‎ 图2‎ F ‎(1)求证:;‎ ‎(2)当为边中点,时,如图2,求的值;‎ ‎(3)当为边中点,时,请直接写出的值.‎ ‎【关键词】相似三角形的判定和性质 ‎ ‎【答案】解:(1),.‎ ‎.‎ B A D E C O F G ‎,‎ ‎,.‎ ‎;‎ ‎(2)解法一:作,交的延长线于.‎ ‎,是边的中点,.‎ 由(1)有,,‎ ‎.‎ ‎,,‎ 又,.‎ ‎,.‎ ‎,,,‎ ‎,.‎ B A D E C O F 解法二:于,‎ ‎..‎ 设,则,‎ ‎.‎ ‎,‎ ‎.‎ 由(1)知,设,,.‎ 在中,.‎ ‎..‎ ‎(3).‎ ‎(2009年上海市)已知∠ABC=90°,AB=2,BC=3,AD∥BC,P为线段BD上的动点,点Q在射线AB上,且满足(如图1所示).‎ ‎(1)当AD=2,且点与点重合时(如图2所示),求线段的长;‎ ‎(2)在图中,联结.当,且点在线段上时,设点之间的距离为,,其中表示△APQ的面积,表示的面积,求关于的函数解析式,并写出函数定义域; ‎ ‎(3)当,且点在线段的延长线上时(如图3所示),求的大小.‎ A D P C B Q 图1‎ D A P C B ‎(Q)‎ ‎)‎ 图2‎ 图3‎ C A D P B Q ‎【关键词】等腰直角三角形 相似三角形 共高三角形的面积 直角三角形相似的判定 ‎【答案】(1)∵Rt△ABD中,AB=2,AD=2,‎ ‎∴=1,∠D=45°‎ ‎∴PQ=PC即PB=PC,‎ 过点P作PE⊥BC,则BE=。‎ 而∠PBC=∠D=45°‎ ‎∴PC=PB=‎ ‎(2)在图8中,过点P作PE⊥BC,PF⊥AB于点F。‎ ‎∵∠A=∠PEB=90°,∠D=∠PBE ‎∴Rt△ABD∽Rt△EPB ‎∴‎ 设EB=3k,则EP=4k,PF=EB=3k ‎∴,‎ ‎=‎ ‎∴‎ 函数定义域为 F E F E A D P C B Q 图1‎ D A P C B ‎(Q)‎ ‎)‎ 图2‎ 图3‎ C A D P B Q ‎(3)答:90°‎ 证明:在图8中,过点P作PE⊥BC,PF⊥AB于点F。‎ ‎∵∠A=∠PEB=90°,∠D=∠PBE ‎∴Rt△ABD∽Rt△EPB ‎∴‎ ‎∴=‎ ‎∴Rt△PQF∽Rt△PCE ‎∴∠FPQ=∠EPC ‎∴∠EPC+∠QPE=∠FPQ+∠QPE=90°‎ ‎(2009年宁波市)如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为,直线BC经过点,,将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形,此时直线、直线分别与直线BC相交于点P、Q.‎ ‎(1)四边形OABC的形状是 ,‎ 当时,的值是 ;‎ ‎(2)①如图2,当四边形的顶点落在轴正半轴时,求的值;‎ ‎②如图3,当四边形的顶点落在直线上时,求的面积.‎ ‎(Q)‎ C B A O x P ‎(图3)‎ y Q C B A O x P ‎(图2)‎ y C B A O y x ‎(备用图)‎ ‎(第26题)‎ ‎(3)在四边形OABC旋转过程中,当时,是否存在这样的点P和点Q,使?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【关键词】相似三角形有关的计算和证明 ‎【答案】解:(1)矩形(长方形); ‎ ‎.‎ ‎(2)①,,‎ ‎.‎ ‎,即,‎ ‎,.‎ 同理,‎ ‎,即,‎ ‎,. ‎ ‎. ‎ ‎②在和中,‎ ‎.‎ ‎.‎ 设,‎ 在中, ,解得.‎ ‎. ‎ ‎(3)存在这样的点和点,使. ‎ 点的坐标是,. ‎ 对于第(3)题,我们提供如下详细解答,对学生无此要求.‎ 过点画于,连结,则,‎ ‎,,‎ ‎.‎ Q C B A O x P y H 设,‎ ‎,‎ ‎,‎ ① 如图1,当点P在点B左侧时, ‎ ‎,‎ 在中,,‎ 解得,(不符实际,舍去).‎Q C B A O x P y H ‎,‎ ‎.‎ ‎②如图2,当点P在点B右侧时,‎ ‎,.‎ 在中,,解得.‎ ‎,‎ ‎.‎ 综上可知,存在点,,使.‎ ‎(2009年义乌)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动,设AP=,现将纸片折叠,使点D与点P重合,得折痕EF(点E、F为折痕与矩形边的交点),再将纸片还原。‎ ‎ ‎ ‎(1)当时,折痕EF的长为;当点E与点A重合时,折痕EF的长为;‎ ‎(2)请写出使四边形EPFD为菱形的的取值范围,并求出当时菱形的边长;‎ ‎(3)令,当点E在AD、点F在BC上时,写出与的函数关系式。当取最大值时,判断与是否相似?若相似,求出的值;若不相似,请说明理由。‎ ‎【关键词】相似三角形 ‎【答案】‎ 解:(1)3, ‎ ‎(2).‎ D C B A P E F 图1‎ 当时,如图1,连接,‎ 为折痕,,‎ 令为,则,‎ 在中,,‎ ‎,‎ D C F B A P E O 图2‎ H 解得,此时菱形边长为.‎ ‎(3)如图2,过作,‎ 易证,‎ ‎,‎ D C ‎(F)‎ H B A P E O 图3‎ 当与点重合时,如图3,连接,‎ ‎,,‎ ‎.‎ 显然,函数的值在轴的右侧随的增大而增大,‎ 当时,有最大值.‎ 此时,.‎ 综上所述,当取最大值时,,(不写不扣分).‎ ‎(2009恩施市)如图,在中,的面积为25,点为边上的任意一点(不与、重合),过点作,交于点.设,以为折线将翻折(使落在四边形所在的平面内),所得的与梯形重叠部分的面积记为.‎ E D B C A B C A ‎(1)用表示的面积; ‎ ‎(2)求出时与的函数关系式;‎ ‎(3)求出时与的函数关系式;‎ ‎(4)当取何值时,的值最大?最大值是多少? ‎ ‎【关键词】相似、二次函数 ‎【答案】解:(1) ∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C ‎ ‎ ∴△ADE∽△ABC ∴‎ 即 ‎ ‎(2)∵BC=10 ∴BC边所对的三角形的中位线长为5‎ ‎∴当0﹤ 时 ‎ ‎(3)﹤10时,点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形 ‎∵S△A'DE=S△ADE=‎ ‎∴DE边上的高AH=AH'=‎ 由已知求得AF=5‎ ‎∴A'F=AA'-AF=x-5‎ 由△A'MN∽△A'DE知 ‎∴ ‎ ‎(4)在函数中 ‎∵0﹤x≤5‎ ‎∴当x=5时y最大为: ‎ ‎ 在函数中 当时y最大为: ‎ ‎∵﹤‎ ‎∴当时,y最大为: ‎ ‎(2009泰安)将一个量角器和一个含30度角的直角三角板如图(1)放置,图(2)是由他抽象出的几何图形,其中点B在半圆O的直径DE的延长线上,AB切半圆O于点F,且BC=OD。‎ (1) 求证:DB∥CF。‎ (2) 当OD=2时,若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似,求OB。‎ ‎【关键词】相似、切线 ‎【答案】证明:‎ ‎(1)连接OF,如图 ‎∵AB且半圆O于F,‎ ‎∴OF⊥AB。‎ ‎∵CB⊥AB ,∴BC∥OF。‎ ‎∵BC=OD,OD=OF,‎ ‎∴BC=OF。‎ ‎∴四边形OBCF是平行四边形,‎ ‎∴DB∥CF。‎ ‎(2)‎ ‎∵以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似,∠OFB=∠ABC=90°,‎ ‎∴∠A∠OBF∠BOF ‎∵∠OBF=∠BFC,∠BFC>∠A,‎ ‎∴∠OBF>∠A ‎∴∠OBF与∠A不可能是对顶角。‎ ‎∴∠A与∠BOF是对应角。‎ ‎∴∠BOF=30° ∴OB=OF/cos30°=‎ ‎(2009江西)问题背景 在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:‎ 甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.‎ 乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.‎ 丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为200cm,影长为156cm.‎ 任务要求 ‎(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;‎ ‎(2)如图3,设太阳光线与相切于点.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径(友情提示:如图3,景灯的影长等于线段的影长;需要时可采用等式).‎ D D F E ‎900cm 图2‎ B C A ‎60cm ‎80cm 图1‎ G H NE ‎156cm ME OE ‎200cm 图3‎ KE ‎【关键词】相似、光影 ‎【答案】解:(1)由题意可知:‎ ‎∴‎ ‎∴即 ‎∴DE=1200(cm).‎ 所以,学校旗杆的高度是12m. ‎ ‎(2)解法一:‎ 与①类似得:即 ‎∴GN=208.‎ 在中,根据勾股定理得:‎ ‎∴NH=260. ‎ 设的半径为rcm,连结OM,‎ ‎∵NH切于M,∴‎ 则又 ‎∴∴ ‎ 又.‎ ‎∴解得:r=12.‎ 所以,景灯灯罩的半径是12cm. ‎ D D F E ‎900cm 图2‎ B C A ‎60cm ‎80cm 图1‎ 图3‎ G H NE ‎156cm ME OE ‎200cm KE 解法二:‎ 与①类似得:即 ‎∴GN=208.‎ 设的半径为rcm,连结OM,‎ ‎∵NH切于M,∴ ‎ 则又 ‎∴‎ ‎∴即 ‎∴又. ‎ 在中,根据勾股定理得:‎ 即 解得:(不合题意,舍去)‎ 所以,景灯灯罩的半径是12cm. ‎ ‎(2009年清远)如图,已知一个三角形纸片,边的长为8,边上的高为,和都为锐角,为一动点(点与点不重合),过点作,交于点,在中,设 的长为,上的高为.‎ ‎(1)请你用含的代数式表示.‎ ‎(2)将沿折叠,使落在四边形所在平面,设点落在平面的点为,与四边形重叠部分的面积为,当为何值时,最大,最大值为多少?‎ ‎【关键词】分类讨论思想 ‎【答案】解:(1)‎ ‎(2)‎ 的边上的高为,‎ 当点落在四边形内或边上时,‎ ‎=(0)‎ 当落在四边形外时,如下图,‎ 设的边上的高为,‎ 则 ‎ ‎ 所以 ‎ 综上所述:当时,,取,‎ M N C B E F A A1‎ 当时,,‎ 取,‎ 当时,最大,‎ ‎(2009年济宁市)如图,中,,,.半径为1的圆的圆心以1个单位/的速度由点沿方向在上移动,设移动时间为(单位:).‎ ‎(1)当为何值时,⊙与相切;‎ ‎(2)作交于点,如果⊙和线段交于点,证明:当时,四边形为平行四边形.‎ ‎【关键词】相似 ‎【答案】(1)解:当⊙在移动中与相切时,设切点为,连,‎ 则.‎ ‎∴∽.∴.‎ ‎∵,,‎ ‎∴.∴.‎ ‎(2)证明:∵,,∴∥. ‎ 当时,.‎ ‎∴.∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵∽,∴.∴,‎ ‎∴.∴.‎ ‎∴当时,四边形为平行四边形.‎ ‎(2009年广西钦州)如图,已知抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点, A点的坐标为(-1,0),过点C的直线y=x-3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点,过P作PH⊥OB于点H.若PB=5t,且0<t<1.‎ ‎(1)填空:点C的坐标是_▲_,b=_▲_,c=_▲_;‎ ‎(2)求线段QH的长(用含t的式子表示);‎ ‎(3)依点P的变化,是否存在t的值,使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似?若存在,求出所有t的值;若不存在,说明理由.‎ ‎【关键词】二次函数、相似三角形.‎ ‎【答案】‎ 解:(1)(0,-3),b=-,c=-3.‎ ‎(2)由(1),得y=x2-x-3,它与x轴交于A,B两点,得B(4,0).‎ ‎∴OB=4,又∵OC=3,∴BC=5.‎ 由题意,得△BHP∽△BOC,‎ ‎∵OC∶OB∶BC=3∶4∶5,‎ ‎∴HP∶HB∶BP=3∶4∶5,‎ ‎∵PB=5t,∴HB=4t,HP=3t.‎ ‎∴OH=OB-HB=4-4t.‎ 由y=x-3与x轴交于点Q,得Q(4t,0).‎ ‎∴OQ=4t.‎ ‎①当H在Q、B之间时,‎ QH=OH-OQ ‎=(4-4t)-4t=4-8t.‎ ‎②当H在O、Q之间时,‎ QH=OQ-OH ‎=4t-(4-4t)=8t-4.‎ 综合①,②得QH=|4-8t|;‎ ‎(3)存在t的值,使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似.‎ ‎①当H在Q、B之间时,QH=4-8t,‎ 若△QHP∽△COQ,则QH∶CO=HP∶OQ,得=,‎ ‎∴t=.‎ 若△PHQ∽△COQ,则PH∶CO=HQ∶OQ,得=,‎ 即t2+2t-1=0.‎ ‎∴t1=-1,t2=--1(舍去).‎ ‎②当H在O、Q之间时,QH=8t-4.‎ 若△QHP∽△COQ,则QH∶CO=HP∶OQ,得=,‎ ‎∴t=.‎ 若△PHQ∽△COQ,则PH∶CO=HQ∶OQ,得=,‎ 即t2-2t+1=0.‎ ‎∴t1=t2=1(舍去).‎ 综上所述,存在的值,t1=-1,t2=,t3=.‎ ‎(2009临沂)如图,抛物线经过三点.‎ ‎(1)求出抛物线的解析式;‎ ‎(2)P是抛物线上一动点,过P作轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得的面积最大,求出点D的坐标.‎ ‎【关键词】抛物线的解析式,相似的性质,二次函数的最值问题 ‎【答案】解:(1)该抛物线过点,可设该抛物线的解析式为.‎ 将,代入,‎ 得解得 此抛物线的解析式为.‎ ‎(2)存在.‎ 如图,设点的横坐标为,‎ 则点的纵坐标为,‎ 当时,‎ ‎,.‎ 又,‎ ‎①当时,‎ ‎,‎ 即.‎ 解得(舍去),.‎ ‎②当时,,即.‎ 解得,(均不合题意,舍去)‎ 当时,.‎ 类似地可求出当时,.‎ 当时,.‎ 综上所述,符合条件的点为或或.‎ ‎(3)如图,设点的横坐标为,则点的纵坐标为.‎ 过作轴的平行线交于.‎ 由题意可求得直线的解析式为.‎ 点的坐标为.‎ ‎.‎ ‎.‎ 当时,面积最大.‎ ‎(2009泰安)如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线交于点F。‎ (1) 求证:FD2=FB●FC。‎ (2) 若G是BC的中点,连接GD,GD与EF垂直吗?并说明理由。‎ ‎【关键词】相似、垂直 ‎【答案】证明:(1)∵E是Rt△ACD斜边中点 ‎∴DE=EA ‎∴∠A=∠2 ‎ ‎∵∠1=∠2‎ ‎∴∠1=∠A…‎ ‎∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1,∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A ‎∴∠FDC=∠FBD ‎∵F是公共角 ‎∴△FBD∽△FDC ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎(2)GD⊥EF 理由如下:‎ ‎∵DG是Rt△CDB斜边上的中线,‎ ‎∴DG=GC ‎∴∠3=∠4‎ 由(1)得∠4=∠1‎ ‎∴∠3=∠1 ‎ ‎∵∠3+∠5=90°‎ ‎∴∠5+∠1=90°‎ ‎∴DG⊥EF ‎ ‎(2009年中山)正方形边长为4,、分别是、上的两个动点,当点在上运动时,保持和垂直,‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)设,梯形的面积为,求与之间的函数关系式;当点运动到什么位置时,四边形面积最大,并求出最大面积;‎ ‎(3)当点运动到什么位置时,求的值.‎ ‎【关键词】相似三角形有关的计算和证明 ‎【答案】(1)在正方形中,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 在中,,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎(2),‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 当时,取最大值,最大值为10.‎ ‎(3),‎ 要使,必须有,‎ 由(1)知,‎ ‎,‎ 当点运动到的中点时,,此时.‎ ‎(2009年牡丹江)如图,在平面直角坐标系中,若、的长是关于的一元二次方程的两个根,且 ‎ (1)求的值.‎ ‎ (2)若为轴上的点,且求经过、两点的直线的解析式,并判断与是否相似?‎ ‎ (3)若点在平面直角坐标系内,则在直线上是否存在点使以、、、为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ x y A D B O C ‎【关键词】三角函数,一次函数,菱形,相似三角形的综合应用 ‎【答案】(1)解得 ‎ ‎ 在中,由勾股定理有 ‎(2)∵点在轴上,‎ 由已知可知D(6,4)‎ 设当时有 解得 同理时,‎ 在中,‎ 在中,‎ ‎(3)满足条件的点有四个 ‎(2009年宁德市)如图(1),已知正方形ABCD在直线MN的上方,BC在直线MN上,E是BC上一点,以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG.‎ ‎(1)连接GD,求证:△ADG≌△ABE;‎ ‎(2)连接FC,观察并猜测∠FCN的度数,并说明理由;‎ N M B E C D F G 图(1)‎ ‎(3)如图(2),将图(1)中正方形ABCD改为矩形ABCD,AB=a,BC=b(a、b为常数),E是线段BC上一动点(不含端点B、C),以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG,使顶点G恰好落在射线CD上.判断当点E由B向C运动时,∠FCN的大小是否总保持不变,若∠FCN的大小不变,请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值;若∠FCN的大小发生改变,请举例说明.‎ ‎【关键词】四边形中三角形全等和相似的运用 解:(1)∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形 ‎ ∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90º ‎∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD ‎∴∠BAE=∠DAG ‎∴△ BAE≌△DAG ‎ M B E A C N D F G 图(1)‎ H ‎(2)∠FCN=45º ‎ 理由是:作FH⊥MN于H ‎ ‎ ∵∠AEF=∠ABE=90º ‎ ∴∠BAE +∠AEB=90º,∠FEH+∠AEB=90º ‎ ∴∠FEH=∠BAE ‎ ‎ 又∵AE=EF,∠EHF=∠EBA=90º ‎∴△EFH≌△ABE ‎ ‎∴FH=BE,EH=AB=BC,∴CH=BE=FH ‎∵∠FHC=90º,∴∠FCH=45º ‎ ‎(3)当点E由B向C运动时,∠FCN的大小总保持不变, ‎ 理由是:作FH⊥MN于H ‎ 由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90º 结合(1)(2)得∠FEH=∠BAE=∠DAG 又∵G在射线CD上 ‎∠GDA=∠EHF=∠EBA=90º ‎ ∴△EFH≌△GAD,△EFH∽△ABE ‎ ‎ ∴EH=AD=BC=b,∴CH=BE,‎ ‎∴== ‎∴在Rt△FEH中,tan∠FCN=== ‎ ‎∴当点E由B向C运动时,∠FCN的大小总保持不变,tan∠FCN= ‎(09湖南怀化)如图11,已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、,与轴的交点为.设的外接圆的圆心为点.‎ ‎(1)求与轴的另一个交点D的坐标;‎ ‎(2)如果恰好为的直径,且的面积等于,求和的值. ‎ ‎【关键词】圆的基本性质、三角形相似的判定和性质 ‎【答案】解 (1)易求得点的坐标为 由题设可知是方程即 的两根,‎ 所以,‎ 所 如图3,∵⊙P与轴的另一个交点为D,由于AB、CD是⊙P的两条相交弦,设它们的交点为点O,连结DB,∴△AOC∽△DOC,则 由题意知点在轴的负半轴上,从而点D在轴的正半轴上,‎ 所以点D的坐标为(0,1)‎ ‎(2)因为AB⊥CD, AB又恰好为⊙P的直径,则C、D关于点O对称,‎ 所以点的坐标为,即 又,‎ 所以解得 ‎(09湖北宜昌)(09湖北宜昌)已知:如图1,把矩形纸片ABCD折叠,使得顶点A与边DC上的动点P重合(P不与点D,C重合), MN为折痕,点M,N分别在边BC, AD上,连接AP,MP,AM, AP与MN相交于点F.⊙O过点M,C,P.‎ ‎(1)请你在图1中作出⊙O(不写作法,保留作图痕迹);‎ ‎(2)与 是否相等?请你说明理由;‎ ‎(3)随着点P的运动,若⊙O与AM相切于点M时,⊙O又与AD相切于点H.‎ 设AB为4,请你通过计算,画出这时的图形.(图2,3供参考) ‎ 图1 图2 图3‎ ‎【关键词】矩形的性质与判定、线段的比和比例线段 ‎【答案】解:(1)如图; ‎ ‎(2)与不相等.‎ 假设,则由相似三角形的性质,得MN∥DC. ‎ ‎∵∠D=90°,∴DC⊥AD,∴MN⊥AD.‎ ‎∵据题意得,A与P关于MN对称,∴MN⊥AP.‎ ‎∵据题意,P与D不重合,‎ ‎∴这与“过一点(A)只能作一条直线与已知直线(MN)垂直”矛盾. ‎ ‎∴假设不成立.‎ ‎∴不成立. ‎ ‎(2) 解法2:与不相等.‎ 理由如下:‎ ‎∵P, A关于MN对称,∴MN垂直平分AP.‎ ‎∴cos∠FAN=. ‎ ‎∵∠D=90°, ∴cos∠PAD=.‎ ‎∵∠FAN=∠PAD,∴=.‎ ‎∵P不与D重合,P在边DC上;∴AD≠AP.‎ ‎∴≠;从而≠. ‎ ‎(3)∵AM是⊙O的切线,∴∠AMP=90°,‎ ‎∴∠CMP+∠AMB=90°.‎ ‎∵∠BAM+∠AMB=90°,∴∠CMP=∠BAM.‎ ‎∵MN垂直平分,∴MA=MP,‎ ‎∵∠B=∠C=90°, ∴△ABM≌△MCD. ‎ ‎∴MC=AB=4, 设PD=x,则CP=4-x,‎ ‎∴BM=PC=4-x. (5分)‎ 连结HO并延长交BC于J.‎ ‎∵AD是⊙O的切线,∴∠JHD=90°.‎ ‎∴矩形HDCJ. (7分)‎ ‎∴OJ∥CP, ∴△MOJ∽△MPC, ‎ ‎∴OJ:CP=MO:MP=1:2,‎ ‎∴OJ=(4-x),OH=MP=4-OJ=(4+x). ‎ ‎∵MC2= MP2-CP2,∴(4+x)2-(4-x)2=16. ‎ 解得:x=1.即PD=1,PC=3,‎ ‎∴BC=BM+MC=PC+AB=3+4=7.‎ 由此画图(图形大致能示意即可). ‎ ‎(3)解法2:‎ 连接HO,并延长HO交BC于J点,连接AO. ‎ 由切线性质知,JH⊥AD,∵BC∥AD,∴HJ⊥BC,‎ ‎∴OJ⊥MC,∴MJ=JC. ‎ ‎∵AM,AH与⊙O相切于点M,H,‎ ‎∴∠AMO=∠AHO=90°,‎ ‎∵OM=OH, AO=AO,‎ ‎∴Rt△AMO≌Rt△AHO. ‎ ‎∴设AM=x,则 AM=AH=x,‎ 由切线性质得,AM⊥PM,‎ ‎∴∠AMP=90°,∴∠BMA+∠CMP=90°.‎ ‎∵∠BMA+∠BAM=90°,∴∠BAM=∠CMP ,‎ ‎∵∠B=∠MCP=90°,‎ ‎∵MN为AP的中垂线,∴AM=MP.‎ ‎∴△ABM≌△MCP . ‎ ‎∴四边形ABJH为矩形,得BJ=AH=x,‎ Rt△ABM中,BM=,‎ ‎∴MJ==JC,(9分)‎ ‎∴AB=MC.∴4=2(),∴ ‎ ‎∴AD=BC==7,‎ ‎∴PC==3. ‎ 由此画图(图形大致能示意即可).‎ ‎(2009年茂名市)如图,在中,点是边上的动点(点与点不重合),过动点作交于点 ‎ (1)若与相似,则是多少度? (2分)‎ ‎ (2)试问:当等于多少时,的面积最大?最大面积是多少? (4分)‎ ‎ (3)若以线段为直径的圆和以线段为直径的圆相外切,求线段的长.(4分)‎ ‎【关键词】二次函数、圆、相似综合题 ‎【答案】(1)当△ABC 与△DAP 相似时,∠APD的度数是60°或30°.‎ ‎(2)设,∵,,∴, ‎ 又∵,∴,, ‎ ‎∴,而, ‎ ‎∴ ‎ ‎. ‎ ‎∴PC 等于12时,的面积最大,最大面积是. ‎ ‎(3)设以和为直径的圆心分别为、,过 作 于点, ‎ 设的半径为,则.显然,,∴,∴, ‎ ‎∴,‎ ‎, ‎ 又∵和外切,‎ ‎∴. ‎ 在中,有, ‎ ‎∴, ‎ 解得:, ∴.‎ ‎(2009年山东青岛市)如图,在梯形ABCD中,,,,,点由B出发沿BD方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动,速度为1cm/s,交于Q,连接PE.若设运动时间为(s)().解答下列问题:‎ ‎(1)当为何值时,?‎ ‎(2)设的面积为(cm2),求与之间的函数关系式;‎ ‎(3)是否存在某一时刻,使?若存在,求出此时的值;若不存在,说明理由.‎ ‎(4)连接,在上述运动过程中,五边形的面积是否发生变化?说明理由.‎ ‎【关键词】全等三角形的性质与判定、相似三角形判定和性质、平行四边形有关的计算 ‎【答案】解:(1)∵‎ ‎∴.‎ 而,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎∴当. ‎ ‎(2)∵平行且等于,‎ ‎∴四边形是平行四边形.‎ ‎∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎.‎ ‎∴.‎ 过B作,交于,过作,交于.‎ ‎.‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ 又,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎. ‎ ‎(3).‎ 若,‎ 则有,‎ 解得.‎ ‎(4)在和中,‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎∴在运动过程中,五边形的面积不变. ‎ ‎(2009年广东省)正方形边长为4,、分别是、上的两个动点, 当点在上运动时,保持和垂直,‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)设,梯形的面积为,求与之间的函数关系式;当点运动到什么位置时,四边形面积最大,并求出最大面积;‎ ‎(3)当点运动到什么位置时,求此时的值.‎ ‎【关键词】正方形的性质;相似三角形判定和性质;直角梯形;与二次函数有关的面积问题;二次函数的极值问题;相似三角形有关的计算和证明 ‎【答案】‎ 解:(1)在正方形中,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 在中,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎(2),‎ ‎,‎ ‎, ‎ ‎,‎ 当时,取最大值,最大值为10.‎ ‎(3),‎ 要使,必须有,‎ 由(1)知,‎ ‎,‎ 当点运动到的中点时,,此时.‎ A D B E O C F x y y ‎(G)‎ ‎(2009年山西省)如图,已知直线与直线相交于点分别交轴于两点.矩形的顶点分别在直线上,顶点都在轴上,且点与点重合.‎ ‎(1)求的面积;‎ ‎(2)求矩形的边与的长;‎ ‎(3)若矩形从原点出发,沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,设移动时间为秒,矩形与重叠部分的面积为,求关于的函数关系式,并写出相应的的取值范围.‎ ‎【关键词】一次函数的几何应用;一次函数与二元一次方程;矩形的性质;特殊平行四边形相关的面积问题;相似三角形有关的计算 ‎【答案】(1)解:由得点坐标为 由得点坐标为 ‎∴‎ 由解得∴点的坐标为 ‎∴‎ ‎ (2)解:∵点在上且 ‎ ∴点坐标为 又∵点在上且 ‎∴点坐标为 ‎∴‎ ‎ (3)解法一:当时,如图1,矩形与重叠部分为五边形(时,为四边形).过作于,则 A D B E O R F x y y M ‎(图3)‎ G C A D B E O C F x y y G ‎(图1)‎ R M A D B E O C F x y y G ‎(图2)‎ R M ‎∴即∴‎ ‎∴‎ 即 ‎ 当时,如图2,为梯形面积,∵G(8-t,0)∴GR=,‎ ‎∴‎ 当时,如图3,为三角形面积,‎ Q P C B A O ‎(2009年绵阳市)如图,A、P、B、C是⊙O上的四点,∠APC =∠BPC = 60°,‎ AB与PC交于Q点.‎ ‎(1)判断△ABC的形状,并证明你的结论;‎ ‎(2)求证:;‎ ‎(3)若∠ABP = 15°,△ABC的面积为4,求PC的长.‎ ‎【关键词】圆的性质,相似三角形,三角函数 ‎【答案】(1) ∵ ∠ABC =∠APC = 60°,∠BAC =∠BPC = 60°,‎ ‎∴ ∠ACB = 180°-∠ABC-∠BAC = 60°,‎ ‎∴ △ABC是等边三角形.‎ ‎(2)如图,过B作BD∥PA交PC于D,则 ∠BDP =∠APC = 60°.‎ 又 ∵ ∠AQP =∠BQD,∴ △AQP∽△BQD, .‎ ‎∵ ∠BPD =∠BDP = 60°, ∴ PB = BD. ∴ .‎ ‎(3)设正△ABC的高为h,则 h = BC· sin 60°.‎ ‎∵ BC · h = 4, 即BC · BC· sin 60° = 4,解得BC = 4.‎ 连接OB,OC,OP,作OE⊥BC于E.‎ 由△ABC是正三角形知∠BOC = 120°,从而得∠OCE = 30°,‎ ‎∴ .‎ 由∠ABP = 15° 得 ∠PBC =∠ABC +∠ABP = 75°,于是 ∠POC = 2∠PBC = 150°.‎ ‎∴ ∠PCO =(180°-150°)÷2 = 15°.‎ 如图,作等腰直角△RMN,在直角边RM上取点G,使∠GNM = 15°,则∠RNG = 30°,作GH⊥RN,垂足为H.设GH = 1,则 cos∠GNM = cos15° = MN.‎ ‎∵ 在Rt△GHN中,NH = GN · cos30°,GH = GN · sin30°.‎ 于是 RH = GH,MN = RN · sin45°,∴ cos15° =.‎ 在图中,作OF⊥PC于E,∴ PC = 2FD = 2 OC ·cos15° =.‎ ‎(2009年梅州市)如图 ,梯形ABCD中,,点在上,连与的延长线交于点G.‎ D C F E A B G ‎(1)求证:; ‎ ‎(2)当点F是BC的中点时,过F作交于点,若,求的长.‎ ‎【关键词】相似三角形 ‎【答案】(1)证明:∵梯形,, ‎ ‎∴, ‎ ‎∴. ‎ ‎(2) 由(1),‎ 又是的中点,‎ ‎∴, ‎ ‎∴ ‎ 又∵,, ‎ ‎∴,得. ‎ ‎ ∴, ‎ ‎∴.‎ ‎9、(2008 湖南 益阳)△ABC是一块等边三角形的废铁片,利用其剪裁一个正方形DEFG,使正方形的一条边DE落在BC上,顶点F、G分别落在AC、AB上.‎ Ⅰ.证明:△BDG≌△CEF;‎ A B C D E F G 图 (3)‎ G′‎ F′‎ E′‎ D′‎ A B C D E F G 图 (1)‎ A B C D E F G 图 (2)‎ Ⅱ. 探究:怎样在铁片上准确地画出正方形.‎ 小聪和小明各给出了一种想法,请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答. 如果两题都解,只以Ⅱa的解答记分.‎ Ⅱa. 小聪想:要画出正方形DEFG,只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长,从而确定D点和E点,再画正方形DEFG就容易了. ‎ 设△ABC的边长为2 ,请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示,不要求分母有理化) .‎ Ⅱb. 小明想:不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是:‎ ‎ ①在AB边上任取一点G’,如图作正方形G’D’E’F’;‎ ‎②连结BF’并延长交AC于F;‎ ‎③作FE∥F’E’交BC于E,FG∥F′G′交AB于G,GD∥G’D’交BC于D,则四边形DEFG即为所求.‎ 你认为小明的作法正确吗?说明理由.‎ ‎10、(2008 湖北 恩施) 如图11,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起,A为公共顶点,∠BAC=∠AGF=90°,它们的斜边长为2,若∆ABC固定不动,∆AFG绕点A旋转,AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m,CD=n.‎ ‎(1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形,并选取其中一对进行证明.‎ ‎(2)求m与n的函数关系式,直接写出自变量n的取值范围.‎ ‎ (3)以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴,BC边上的高所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D,使BD=CE,求出D点的坐标,并通过计算验证BD+CE=DE.‎ G y x O F E D C B A G F E D C B A ‎ (4)在旋转过程中,(3)中的等量关系BD+CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A B C D E R P H Q ‎(第1题图)‎ ‎11、 (08浙江温州)如图,在中,,,,分别是边的中点,点从点出发沿方向运动,过点作于,过点作交于,当点与点重合时,点停止运动.设,.‎ ‎(1)求点到的距离的长;‎ ‎(2)求关于的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);‎ ‎(3)是否存在点,使为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎12、(08山东省日照市)在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x. ‎ ‎(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S; ‎ ‎(2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切? ‎ ‎(3)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?‎ A B C M N P 图 1‎ O ‎18、在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x. ‎ ‎(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S; ‎ ‎(2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切? ‎ ‎(3)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?‎ A B C M N D 图 2‎ O A B C M N P 图 3‎ O A B C M N P 图 1‎ O ‎9、Ⅰ.证明:∵DEFG为正方形,‎ ‎∴GD=FE,∠GDB=∠FEC=90°‎ ‎ ∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°‎ ‎ ∴△BDG≌△CEF(AAS) ‎ ‎ Ⅱa.解法一:设正方形的边长为x,作△ABC的高AH,‎ A B C D E F G 解图 (2)‎ H 求得 由△AGF∽△ABC得:‎ 解之得:(或) ‎ ‎       ‎ 解法二:设正方形的边长为x,则 ‎         在Rt△BDG中,tan∠B=,‎ ‎∴‎ A B C D E F G 解图 (3)‎ G’‎ F’‎ E’‎ D’‎ 解之得:(或) ‎ 解法三:设正方形的边长为x,‎ 则 ‎ 由勾股定理得:‎ ‎ 解之得:‎ Ⅱb.解: 正确 ‎ 由已知可知,四边形GDEF为矩形 ‎ ∵FE∥F’E’ , ‎ ‎∴,‎ 同理,‎ ‎∴‎ ‎ 又∵F’E’=F’G’, ‎ ‎∴FE=FG 因此,矩形GDEF为正方形 ‎10、解:(1)∆ABE∽∆DAE, ∆ABE∽∆DCA ‎ ∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°‎ ‎ ∴∠BAE=∠CDA ‎ 又∠B=∠C=45°‎ ‎ ∴∆ABE∽∆DCA ‎ (2)∵∆ABE∽∆DCA ‎ ∴‎ ‎ 由依题意可知CA=BA=‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴m=‎ ‎ 自变量n的取值范围为1
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