广西贺州市中考数学试卷

广西贺州市中考数学试卷

‎2018年广西贺州市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分：给出的四个迭项中，只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1．（3分）在﹣1、1、、2这四个数中，最小的数是（　　）‎ A．﹣1 B．1 C． D．2‎ ‎2．（3分）如图，下列各组角中，互为对顶角的是（　　）‎ A．∠1和∠2 B．∠1和∠3 C．∠2和∠4 D．∠2和∠5‎ ‎3．（3分）4的平方根是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．±2 D．16‎ ‎4．（3分）下列图形中，属于中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（3分）若一组数据：1、2、x、4、5的众数为5，则这组数据的中位数是（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．5‎ ‎6．（3分）下列运算正确的是（　　）‎ A．a2•a2=2a2 B．a2+a2=a4 C．（a3）2=a6 D．a8÷a2=a4‎ ‎7．（3分）下列各式分解因式正确的是（　　）‎ A．x2+6xy+9y2=（x+3y）2 B．2x2﹣4xy+9y2=（2x﹣3y）2‎ C．2x2﹣8y2=2（x+4y）（x﹣4y） D．x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）（x+y）‎ ‎8．（3分）如图，这是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积为（　　）‎ A．9π B．10π C．11π D．12π ‎9．（3分）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（　　）‎ A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2 C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜2‎ ‎10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD=ED=3，则BC的长为（　　）‎ A．3 B．3 C．6 D．6‎ ‎11．（3分）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知sin∠CDB=，BD=5，则AH的长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（3分）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，依此下去，第n个正方形的面积为（　　）‎ A．（）n﹣1 B．2n﹣1 C．（）n D．2n ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分；请把答案填在答題卡对应的位置上，在试卷上作答无效。）‎ ‎13．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．‎ ‎14．（3分）医学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000029mm，用科学记数法表示为　 　mm．‎ ‎15．（3分）从﹣1、0、、π、5.1、7这6个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是　 　．‎ ‎16．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接BB'，若∠A′B′B=20°，则∠A的度数是　 　．‎ ‎17．（3分）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为　 　元．‎ ‎18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为12，点E在边AB上，BE=8，过点E作EF∥BC，分别交BD、CD于G、F两点．若点P、Q分别为DG、CE的中点，则PQ的长为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共8题，满分66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。在试卷上作答无效。)‎ ‎19．（6分）计算：（﹣1）2018+|﹣|﹣（﹣π）0﹣2sin60°．‎ ‎20．（6分）解分式方程：+1=‎ ‎21．（8分）某中学为了了解学生每周在校体育锻炼时间，在本校随机抽取了若干名学生进行调查，并依据调查结果绘制了以下不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：‎ 时间（小时）‎ ‎　频数（人数）‎ ‎　频率 ‎2≤t＜3‎ ‎4‎ ‎0.1‎ ‎3≤t＜4‎ ‎10‎ ‎0.25‎ ‎4≤t＜5‎ a ‎0.15‎ ‎5≤t＜6‎ ‎8‎ b ‎6≤t＜7‎ ‎12‎ ‎0.3‎ 合计 ‎40‎ ‎1‎ ‎（1）表中的a=　 　，b=　 　；‎ ‎（2）请将频数分布直方图补全；‎ ‎（3）若该校共有1200名学生，试估计全校每周在校参加体育锻炼时间至少有4小时的学生约为多少名？‎ ‎22．（8分）如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：≈1.41，≈1.73）‎ ‎23．（8分）某自行车经销商计划投入7.1万元购进100辆A型和30辆B型自行车，其中B型车单价是A型车单价的6倍少60元．‎ ‎（1）求A、B两种型号的自行车单价分别是多少元？‎ ‎（2）后来由于该经销商资金紧张，投入购车的资金不超过5.86万元，但购进这批自行年的总数不变，那么至多能购进B型车多少辆？‎ ‎24．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O、D分别是边AC、AB的中点，过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E，连接AE．‎ ‎（1）求证：四边形AECD是菱形；‎ ‎（2）若四边形AECD的面积为24，tan∠BAC=，求BC的长．‎ ‎25．（10分）如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE的延长线于点D，使得DB=DE．‎ ‎（1）求证：BD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AB=12，DB=5，求△AOB的面积．‎ ‎26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）．‎ ‎（1）求A、B两点的坐标；‎ ‎（2）求抛物线的解析式；‎ ‎（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2018年广西贺州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分：给出的四个迭项中，只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1．（3分）在﹣1、1、、2这四个数中，最小的数是（　　）‎ A．﹣1 B．1 C． D．2‎ ‎【分析】根据实数大小比较的法则比较即可．‎ ‎【解答】解：在实数﹣1，1，，2中，最小的数是﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了有理数的大小比较法则的应用，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数都大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）如图，下列各组角中，互为对顶角的是（　　）‎ A．∠1和∠2 B．∠1和∠3 C．∠2和∠4 D．∠2和∠5‎ ‎【分析】直接利用对顶角的定义得出答案．‎ ‎【解答】解：互为对顶角的是：∠1和∠2．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）4的平方根是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．±2 D．16‎ ‎【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．‎ ‎【解答】解：∵（±2）2=4，‎ ‎∴4的平方根是±2．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）下列图形中，属于中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据中心对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；‎ B、不是中心对称图形，故此选项错误；‎ C、不是中心对称图形，故此选项错误；‎ D、是中心对称图形，故此选项正确，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）若一组数据：1、2、x、4、5的众数为5，则这组数据的中位数是（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．5‎ ‎【分析】由众数的定义得出x=5，再将数据重新排列后由中位数的定义可得答案．‎ ‎【解答】解：∵数据1、2、x、4、5的众数为5，‎ ‎∴x=5，‎ 将数据从小到大重新排列为1、2、4、5、5，‎ 所以中位数为4，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查众数、中位数，解答本题的关键是明确题意，求出这组数据的中位数．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）下列运算正确的是（　　）‎ A．a2•a2=2a2 B．a2+a2=a4 C．（a3）2=a6 D．a8÷a2=a4‎ ‎【分析】根据合并同类项法则，单项式的乘法运算法则，单项式的除法运算法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．‎ ‎【解答】解：A、a2•a2=a4，错误；‎ B、a2+a2=2a2，错误；‎ C、（a3）2=a6，正确；‎ D、a8÷a2=a6，错误；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了整式的除法，单项式的乘法，合并同类项法则，是基础题，熟记运算法则是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）下列各式分解因式正确的是（　　）‎ A．x2+6xy+9y2=（x+3y）2 B．2x2﹣4xy+9y2=（2x﹣3y）2‎ C．2x2﹣8y2=2（x+4y）（x﹣4y） D．x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）（x+y）‎ ‎【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案．‎ ‎【解答】解：A、x2+6xy+9y2=（x+3y）2，正确；‎ B、2x2﹣4xy+9y2=无法分解因式，故此选项错误；‎ C、2x2﹣8y2=2（x+2y）（x﹣2y），故此选项错误；‎ D、x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）2，故此选项错误；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）如图，这是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积为（　　）‎ A．9π B．10π C．11π D．12π ‎【分析】由三视图可判断出几何体的形状，进而利用圆锥的侧面积公式求出答案．‎ ‎【解答】解：由题意可得此几何体是圆锥，‎ 底面圆的半径为：2，母线长为：5，‎ 故这个几何体的侧面积为：π×2×5=10π．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体的形状以及圆锥侧面积求法，正确得出几何体的形状是解题关键．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（　　）‎ A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2 C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜2‎ ‎【分析】一次函数y1=kx+b落在与反比例函数y2=图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求．‎ ‎【解答】解：∵一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，‎ ‎∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD=ED=3，则BC的长为（　　）‎ A．3 B．3 C．6 D．6‎ ‎【分析】由题意得到三角形ADE为等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE的长，再利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，求出BC即可．‎ ‎【解答】解：∵AD=ED=3，AD⊥BC，‎ ‎∴△ADE为等腰直角三角形，‎ 根据勾股定理得：AE==3，‎ ‎∵Rt△ABC中，E为BC的中点，‎ ‎∴AE=BC，‎ 则BC=2AE=6，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线，以及等腰直角三角形，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知sin∠CDB=，BD=5，则AH的长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】连接OD，由垂径定理得出AB⊥CD，由三角函数求出BH=3，由勾股定理得出DH==4，设OH=x，则OD=OB=x+3，在Rt△ODH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．‎ ‎【解答】解：连接OD，如图所示：‎ ‎∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，‎ ‎∴AB⊥CD，‎ ‎∴∠OHD=∠BHD=90°，‎ ‎∵sin∠CDB=，BD=5，‎ ‎∴BH=4，‎ ‎∴DH==4，‎ 设OH=x，则OD=OB=x+3，‎ 在Rt△ODH中，由勾股定理得：x2+42=（x+3）2，‎ 解得：x=，‎ ‎∴OH=；‎ ‎∴AH=OA+OH=，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理以及三角函数．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，依此下去，第n个正方形的面积为（　　）‎ A．（）n﹣1 B．2n﹣1 C．（）n D．2n ‎【分析】先求出第一个正方形面积、第二个正方形面积、第三个正方形面积，…探究规律后，即可解决问题．‎ ‎【解答】解：第一个正方形的面积为1=20，‎ 第二个正方形的面积为（）2=2=21，‎ 第三个正方形的边长为22，‎ ‎…‎ 第n个正方形的面积为2n﹣1，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，正方形的性质，考查了学生找规律的能力，本题中找到Sn的规律是解题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分；请把答案填在答題卡对应的位置上，在试卷上作答无效。）‎ ‎13．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是　x≥3　．‎ ‎【分析】直接利用二次根式的定义得出答案．‎ ‎【解答】解：二次根式有意义，故x﹣3≥0，‎ 则x的取值范围是：x≥3．‎ 故答案为：x≥3．‎ ‎【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）医学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000029mm，用科学记数法表示为　2.9×10﹣7　mm．‎ ‎【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ ‎【解答】解：0.00000029=2.9×10﹣7，‎ 故答案为：2.9×10﹣7．‎ ‎【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）从﹣1、0、、π、5.1、7这6个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是　　．‎ ‎【分析】在6个数中找出无理数，再根据概率公式即可求出抽到无理数的概率．‎ ‎【解答】解：∵在﹣1、0、、π、5.1、7这6个数中无理数有、π这2个，‎ ‎∴抽到无理数的概率是=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了概率公式以及无理数，根据无理数的定义找出无理数的个数是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接BB'，若∠A′B′B=20°，则∠A的度数是　65°　．‎ ‎【分析】根据旋转的性质可得BC=B′C，然后判断出△BCB′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CBB′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠B′A′C，然后根据旋转的性质可得∠A=∠B′A′C．‎ ‎【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，‎ ‎∴BC=B′C，‎ ‎∴△BCB′是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠CBB′=45°，‎ ‎∴∠B′A′C=∠A′B′B+∠CBB′=20°+45°=65°，‎ 由旋转的性质得∠A=∠B′A′C=65°．‎ 故答案为：65°．‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为　25　元．‎ ‎【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．‎ ‎【解答】解：设利润为w元，‎ 则w=（x﹣20）（30﹣x）=﹣（x﹣25）2+25，‎ ‎∵20≤x≤30，‎ ‎∴当x=25时，二次函数有最大值25，‎ 故答案是：25．‎ ‎【点评】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．‎ ‎　‎ ‎18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为12，点E在边AB上，BE=8，过点E作EF∥BC，分别交BD、CD于G、F两点．若点P、Q分别为DG、CE的中点，则PQ的长为　2　．‎ ‎【分析】根据题意作出合适的辅助线，利用三角形中位线定理、三角形的相似可以求得PH和QH的长，然后根据勾股定理即可求得PQ的长．‎ ‎【解答】解：作QM⊥EF于点M，作PN⊥EF于点N，作QH⊥PN交PN的延长线于点H，如右图所示，‎ ‎∵正方形ABCD的边长为12，BE=8，EF∥BC，点P、Q分别为DG、CE的中点，‎ ‎∴DF=4，CF=8，EF=12，‎ ‎∴MQ=4，PN=2，MF=6，‎ ‎∵QM⊥EF，PN⊥EF，BE=8，DF=4，‎ ‎∴△EGB∽△FGD，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 解得，FG=4，‎ ‎∴FN=2，‎ ‎∴MN=6﹣2=4，‎ ‎∴QH=4，‎ ‎∵PH=PN+QM，‎ ‎∴PH=6，‎ ‎∴PQ==，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查三角形中位线定理、正方形的性质、勾股定理、三角形相似，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共8题，满分66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。在试卷上作答无效。)‎ ‎19．（6分）计算：（﹣1）2018+|﹣|﹣（﹣π）0﹣2sin60°．‎ ‎【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质分别化简得出答案．‎ ‎【解答】解：原式=1+﹣1﹣2×‎ ‎=1+﹣1﹣‎ ‎=0．‎ ‎【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．‎ ‎　‎ ‎20．（6分）解分式方程：+1=‎ ‎【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ ‎【解答】解：去分母得：4+x2﹣1=x2﹣2x+1，‎ 解得：x=﹣1，‎ 经检验x=﹣1是增根，分式方程无解．‎ ‎【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）某中学为了了解学生每周在校体育锻炼时间，在本校随机抽取了若干名学生进行调查，并依据调查结果绘制了以下不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：‎ 时间（小时）‎ ‎　频数（人数）‎ ‎　频率 ‎2≤t＜3‎ ‎4‎ ‎0.1‎ ‎3≤t＜4‎ ‎10‎ ‎0.25‎ ‎4≤t＜5‎ a ‎0.15‎ ‎5≤t＜6‎ ‎8‎ b ‎6≤t＜7‎ ‎12‎ ‎0.3‎ 合计 ‎40‎ ‎1‎ ‎（1）表中的a=　6　，b=　0.2　；‎ ‎（2）请将频数分布直方图补全；‎ ‎（3）若该校共有1200名学生，试估计全校每周在校参加体育锻炼时间至少有4小时的学生约为多少名？‎ ‎【分析】（1）根据题意列式计算即可；‎ ‎（2）根据b的值画出直方图即可；‎ ‎（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可；‎ ‎【解答】解：解：（1）总人数=4÷0.1=40，‎ ‎∴a=40×0.15=6，b==0.2；‎ 故答案为6，0.2‎ ‎（2）频数分布直方图如图所示：‎ ‎（3）由题意得，估计全校每周在校参加体育锻炼时间至少有4小时的学生约为1200×（0.15+0.2+0.3）=780名．‎ ‎【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：≈1.41，≈1.73）‎ ‎【分析】直接过点C作CM⊥AB求出AM，CM的长，再利用锐角三角三角函数关系得出BM的长即可得出答案．‎ ‎【解答】解：过点C作CM⊥AB，垂足为M，‎ 在Rt△ACM中，∠MAC=90°﹣45°=45°，则∠MCA=45°，‎ ‎∴AM=MC，‎ 由勾股定理得：AM2+MC2=AC2=（20×2）2，‎ 解得：AM=CM=40，‎ ‎∵∠ECB=15°，‎ ‎∴∠BCF=90°﹣15°=75°，‎ ‎∴∠B=∠BCF﹣∠MAC=75°﹣45°=30°，‎ 在Rt△BCM中，tanB=tan30°=，即=，‎ ‎∴BM=40，‎ ‎∴AB=AM+BM=40+40≈40+40×1.73≈109（海里），‎ 答：A处与灯塔B相距109海里．‎ ‎【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题关键．‎ ‎　‎ ‎23．（8分）某自行车经销商计划投入7.1万元购进100辆A型和30辆B型自行车，其中B型车单价是A型车单价的6倍少60元．‎ ‎（1）求A、B两种型号的自行车单价分别是多少元？‎ ‎（2）后来由于该经销商资金紧张，投入购车的资金不超过5.86万元，但购进这批自行年的总数不变，那么至多能购进B型车多少辆？‎ ‎【分析】（1）设A型自行车的单价为x元/辆，B型自行车的单价为y元/辆，根据总价=单价×数量结合B型车单价是A型车单价的6倍少60元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；‎ ‎（2）设购进B型自行车m辆，则购进A型自行车（130﹣m）辆，根据总价=单价×数量结合投入购车的资金不超过5.86万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）设A型自行车的单价为x元/辆，B型自行车的单价为y元/辆，‎ 根据题意得：，‎ 解得：．‎ 答：A型自行车的单价为260元/辆，B型自行车的单价为1500元/辆．‎ ‎（2）设购进B型自行车m辆，则购进A型自行车（130﹣m）辆，‎ 根据题意得：260（130﹣m）+1500m≤58600，‎ 解得：m≤20．‎ 答：至多能购进B型车20辆．‎ ‎【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．‎ ‎　‎ ‎24．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O、D分别是边AC、AB的中点，过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E，连接AE．‎ ‎（1）求证：四边形AECD是菱形；‎ ‎（2）若四边形AECD的面积为24，tan∠BAC=，求BC的长．‎ ‎【分析】（1）由ASA证明△AOD≌△COE，得出对应边相等AD=CE，证出四边形AECD是平行四边形，即可得出四边形AECD是菱形；‎ ‎（2）由菱形的性质得出AC⊥ED，再利用三角函数解答即可．‎ ‎【解答】（1）证明：∵点O是AC中点，‎ ‎∴OA=OC，‎ ‎∵CE∥AB，‎ ‎∴∠DAO=∠ECO，‎ 在△AOD和△COE中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOD≌△COE（ASA），‎ ‎∴AD=CE，‎ ‎∵CE∥AB，‎ ‎∴四边形AECD是平行四边形，‎ 又∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，‎ ‎∴CD=AD，‎ ‎∴四边形AECD是菱形；‎ ‎（2）由（1）知，四边形AECD是菱形，‎ ‎∴AC⊥ED，‎ 在Rt△AOD中，tan∠DAO=，‎ 设OD=3x，OA=4x，‎ 则ED=2OD=6x，AC=2OA=8x，由题意可得：，‎ 解得：x=1，‎ ‎∴OD=3，‎ ‎∵O，D分别是AC，AB的中点，‎ ‎∴OD是△ABC的中位线，‎ ‎∴BC=2OD=6．‎ ‎【点评】本题考查了菱形的判定方法、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎25．（10分）如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE的延长线于点D，使得DB=DE．‎ ‎（1）求证：BD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AB=12，DB=5，求△AOB的面积．‎ ‎【分析】（1）根据等腰三角形的性质和切线的判定方法可以求得∠OBD的度数，从而可以证明结论成立；‎ ‎（2）要求△AOB的面积只要求出OE的长即可，根据题目中的条件和三角形相似的知识可以求得OE的长，从而可以解答本题．‎ ‎【解答】（1）证明：∵OA=OB，DB=DE，‎ ‎∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠DBE，‎ ‎∵EC⊥OA，∠DEB=∠AEC，‎ ‎∴∠A+∠DEB=90°，‎ ‎∴∠OBA+∠DBE=90°，‎ ‎∴∠OBD=90°，‎ ‎∵OB是圆的半径，‎ ‎∴BD是⊙O的切线；‎ ‎（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接OE，‎ ‎∵点E是AB的中点，AB=12，‎ ‎∴AE=EB=6，OE⊥AB，‎ 又∵DE=DB，DF⊥BE，DB=5，DB=DE，‎ ‎∴EF=BF=3，‎ ‎∴DF==4，‎ ‎∵∠AEC=∠DEF，‎ ‎∴∠A=∠EDF，‎ ‎∵OE⊥AB，DF⊥AB，‎ ‎∴∠AEO=∠DFE=90°，‎ ‎∴△AEO∽△DFE，‎ ‎∴，‎ 即，得EO=4.5，‎ ‎∴△AOB的面积是：=27．‎ ‎【点评】本题考查切线的判定与性质、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．‎ ‎　‎ ‎26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）．‎ ‎（1）求A、B两点的坐标；‎ ‎（2）求抛物线的解析式；‎ ‎（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据OA，OB的长，可得答案；‎ ‎（2）根据待定系数法，可得函数解析式；‎ ‎（3）根据相似三角形的判定与性质，可得EG，EF的长，根据整式的加减，可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）由抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，得 A点坐标（﹣3，0），B点坐标（1，0）；‎ ‎（2）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1），‎ 把C点坐标代入函数解析式，得 a（0+3）（0﹣1）=3，‎ 解得a=﹣1，‎ 抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3；‎ ‎（3）EF+EG=8（或EF+EG是定值），理由如下：‎ 过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，如图．‎ 设P（t，﹣t2﹣2t+3），‎ 则PQ=﹣t2﹣2t+3，AQ=3+t，QB=1﹣t，‎ ‎∵PQ∥EF，‎ ‎∴△AEF∽△AQP，‎ ‎∴=，‎ ‎∴EF===×（﹣t2﹣2t+3）=2（1﹣t）；‎ 又∵PQ∥EG，‎ ‎∴△BEG∽△BQP，‎ ‎∴=，‎ ‎∴EG===2（t+3），‎ ‎∴EF+EG=2（1﹣t）+2（t+3）=8．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用点的坐标表示方法；解（2）的关键是利用待定系数法；解（3）的关键是利用相似三角形的性质得出EG，EF的长，又利用了整式的加减．‎ ‎　‎