中考数学专题动态几何之面积问题探讨

中考数学专题动态几何之面积问题探讨

‎【2013年中考攻略】专题17：动态几何之面积问题探讨 动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和图形存在问题等。前面我们已经对最值问题进行了探讨，本专题对面积问题行探讨。‎ 结合2011年和2012年全国各地中考的实例，我们从四方面进行动态几何之面积问题的探讨：（1）静态面积问题；（2）点动形成的动态面积问题；（3）线动形成的动态面积问题；（4）面动形成的动态面积问题。‎ 一、静态面积问题：‎ 典型例题：例1：（2012山西省2分）如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是‎6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是【 】‎ ‎　 A．米2 B．米‎2 ‎C．米2 D．米2‎ ‎【答案】 C。‎ ‎【考点】扇形面积的计算，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】连接OD，则。‎ ‎ ∵弧AB的半径OA长是‎6米，C是OA的中点，∴OC=OA=×6=3。‎ ‎∵∠AOB=90°，CD∥OB，∴CD⊥OA。‎ 在Rt△OCD中，∵OD=6，OC=3，∴。‎ 又∵，∴∠DOC=60°。‎ ‎∴（米2）。故选C。‎ 例2：（2012湖北恩施3分）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是【 】‎ A． B．‎2 ‎‎ C．3 D．‎ 例3：（2012湖北随州4分）如图，直线l与反比例函数的图象在第一象限内交于A、B两点，交x轴的正半轴于C点,若AB：BC=(m一l)：1(m>l)则△OAB的面积(用m表示)为【 】‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】反比例函数的应用，曲线上点的坐标与方程式关系，相似三角形的判定和性质，代数式化简。‎ ‎【分析】如图，过点A作AD⊥OC于点D，过点B作BE⊥OC于点E,‎ ‎ 设A(ｘA，ｙA)，B (ｘB，ｙB)，C（c¸0）。‎ ‎ ∵AB：BC=(m一l)：1(m>l)，∴AC：BC=m：1。‎ ‎ 又∵△ADC∽△BEC，∴AD：BE=DC：EC= AC：BC=m：1。‎ ‎ 又∵AD=ｙA，BE=ｙB，DC= c－ｘA，EC= c－ｘB，‎ ‎ ∴ｙA：ｙB= m：1，即ｙA= mｙB。‎ ‎ ∵直线l与反比例函数的图象在第一象限内交于A、B两点， ‎ ‎ ∴，。‎ ‎ ∴，。‎ 将 又由AC：BC=m：1得（c－ｘA）：（c－ｘB）=m：1，即 ‎ ，解得。‎ ‎ ∴‎ ‎。‎ ‎ 故选B。‎ 例4：（2012贵州贵阳12分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．‎ ‎（1）三角形有　 　条面积等分线，平行四边形有　 　条面积等分线；‎ ‎（2）如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；‎ ‎（3）如图②，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC＜S△ACD，过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由．‎ ‎【答案】解：（1）6；无数。‎ ‎ （2）这个图形的一条面积等分线如图：‎ 连接2个矩形的对角线的交点的直线即把这个图形分成2个相等的部分．即OO′为这个图形的一条面积等分线。‎ ‎（3）四边形ABCD的面积等分线如图所示：‎ 理由如下：‎ 过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE。‎ ‎∵BE∥AC，∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，∴ S△ABC=S△AEC。‎ ‎∴。‎ ‎∵S△ACD＞S△ABC，‎ ‎∴面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线。‎ ‎【考点】面积及等积变换，平行线之间的距离，三角形的面积，平行四边形的性质，矩形的性质。‎ ‎【分析】（1）读懂面积等分线的定义，不难得出：三角形的面积等分线是三角形的中线所在的直线；过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分；从而三角形有3条面积等分线，平行四边形有无数条面积等分线。‎ ‎（2）由（1）知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线；‎ ‎（3）过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．根据△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等推知S△ABC=S△AEC；由“割补法”可以求得。　‎ 例5：（2012贵州毕节3分）如图，在正方形ABCD中，以A为顶点作等边△AEF，交BC边于E，交DC边于F；又以A为圆心，AE的长为半径作。若△AEF的边长为2，则阴影部分的面积约是【 】‎ ‎（参考数据：，π取3.14）‎ A. 0.64 B. ‎1.64 ‎‎ C. 1.68 D. 0.36‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】正方形和等边三角形的性质，勾股定理，扇形和三角形面积。‎ ‎【分析】由图知，。因此，由已知，根据正方形、等边三角形的性质和勾股定理，可得等边△AEF的边长为2，高为；Rt△AEF的两直角边长为；扇形AEF的半径为2圆心角为600。‎ ‎ ∴。故选A。‎ 例6：（2012山东德州3分）如图，两个反比例函数和的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为【 】‎ A．3 B．‎4 ‎‎ C． D．5‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形的面积。‎ 例7：（2012内蒙古赤峰3分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，以点C为圆心，CD为半径的弧与BC交于点E，四边形ABED是平行四边形，AB=3，则扇形CDE（阴影部分）的面积是【 】‎ ‎　 A． B． C．π D．3π ‎【答案】A。‎ ‎【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算。‎ ‎【分析】∵四边形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，∴AB=CD。‎ 又∵四边形ABED是平行四边形，∴AB=DE（平行四边形的对边相等）。∴DE=DC=AB=3。‎ ‎∵CE=CD，∴CE=CD=DE=3，即△DCE是等边三角形。∴∠C=60°。‎ ‎∴扇形CDE（阴影部分）的面积为：。故选A。‎ 例8：（2012黑龙江绥化3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=【 】‎ A．2：5：25 B．4：9：‎25 ‎‎ C．2：3：5 D．4：10：25‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】由DE：EC=2：3得DE：DC=2：5，根据平行四边形对边相等的性质，得DE：AB=2：5‎ 由平行四边形对边平行的性质易得△DFE∽△BFA ‎∴DF：FB= DE：AB=2：5，S△DEF：S△ABF=4：25。‎ 又∵S△DEF和S△EBF是等高三角形，且DF：FB =2：5，∴S△DEF：S△EBF =2：5=4：10。‎ ‎∴S△DEF：S△EBF：S△ABF =4：10：25。故选D。‎ 例9：（2012安徽省5分）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：‎ ‎ ①S1+S2=S3+S4 ② S2+S4= S1+ S3 ‎ ‎ ③若S3=2 S1，则S4=2 S2 ④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上 其中正确的结论的序号是 ▲ （把所有正确结论的序号都填在横线上）.‎ ‎【答案】②④。‎ ‎【考点】矩形的性质，相似 ‎【分析】如图，过点P分别作四个三角形的高，‎ ‎∵△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边，‎ ‎∴此时两三角形的高的和为AB，‎ ‎∴S1+S3=S矩形ABCD；‎ 同理可得出S2+S4=S矩形ABCD。‎ ‎∴②S2+S4= S1+ S3正确，则①S1+S2=S3+S4错误。‎ 若S3=2 S1，只能得出△APD与△PBC高度之比，S4不一定等于2S2；故结论③错误。‎ 如图，若S1=S2，则×PF×AD=×PE×AB，‎ ‎∴△APD与△PBA高度之比为：PF：PE =AB：AD 。‎ ‎∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°，∴四边形AEPF是矩形，‎ ‎∴矩形AEPF∽矩形ABCD。连接AC。‎ ‎∴PF：CD =PE ：BC=AP：AC，‎ 即PF：CD =AF ：AD=AP：AC。‎ ‎∴△APF∽△ACD。∴∠PAF=∠CAD。∴点A、P、C共线。∴P点在矩形的对角线上。‎ 故结论④正确。‎ 综上所述，结论②和④正确。‎ 例10：（2012福建宁德3分）如图，点M是反比例函数y＝在第一象限内图象上的点，作MB⊥x轴于 点．过点M的第一条直线交y轴于点A1，交反比例函数图象于点C1，且A‎1C1＝A‎1M，△A‎1C1B的面积 记为S1；过点M的第二条直线交y轴于点A2，交反比例函数图象于点C2，且A‎2C2＝A‎2M，△A‎2C2B的 面积记为S2；过点M的第三条直线交y轴于点A3，交反比例函数图象于点C3，且A‎3C3＝A‎3M，△A‎3C3B 的面积记为S3；依次类推…；则S1＋S2＋S3＋…＋S8＝ ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行线分线段成比例定理。‎ ‎【分析】过点M作MD⊥y轴于点D，过点A1作A1E⊥BM于点E，过点C1作C‎1F⊥BM于点F，‎ ‎∵点M是反比例函数y＝在第一象限内图象上的点，‎ ‎∴OB×DM=1。∴。‎ ‎∵A‎1C1=A‎1M，即C1为A‎1M中点，‎ ‎∴C1到BM的距离C‎1F为A1到BM的距离A1E的一半。‎ ‎∴。‎ ‎∴。‎ ‎∵A‎2C2＝A‎2M，∴C2到BM的距离为A2到BM的距离的。‎ ‎∴。‎ 同理可得：S3=，S4=，…‎ ‎∴。‎ 练习题：‎ ‎1. （2012广东省4分）如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　 ▲ 　（结果保留π）．‎ ‎2. （2012浙江温州5分）如图，已知动点A在函数(x>o)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点Ｅ，使AE=AC.直线DE分别交x轴，y轴于点P,Q.当QE：DP=4:9时，图中的阴影部分的面积等于 ▲ _.‎ ‎3. （2012江苏常州2分）如图，已知反比例函数和。点A在y轴的正半轴上，过点A作直线BC∥x轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点B和C，连接OC、OB。若△BOC的面积为，AC：AB=2：3，则= ▲ ，= ▲ 。‎ ‎4. （2012江苏扬州3分）如图，双曲线经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA＝2AN，△OAB的面积为5，则k的值是　▲　．‎ ‎5. （2012湖南岳阳3分）如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，且AD=AB，DF∥BC，E为BD的中点．若EF⊥AC，BC=6，则四边形DBCF的面积为　 ▲ 　．‎ ‎6. （2012四川攀枝花4分）如图，以BC为直径的⊙O1与⊙O2外切，⊙O1与⊙O2的外公切线交于点D，且∠ADC=60°，过B点的⊙O1的切线交其中一条外公切线于点A．若⊙O2的面积为π，则四边形ABCD的面积是 ▲ ．‎ ‎7. （2012辽宁朝阳3分）如图，在正方形ABCD内有一折线，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE=4，EF=8，FC=12。则正方形与其外接圆形成的阴影部分的面积为 ▲ 。‎ ‎8. （2012辽宁沈阳4分）如图，菱形ABCD的边长为‎8cm，∠A=60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF的面积为 ▲ _cm2.‎ ‎9. （2012辽宁营口3分）如图，直线与双曲线（x＞0）交于A、B两点，与轴、轴 分别交于E、F两点，连结OA、OB，若，则 ▲ ．‎ ‎10. （2012贵州遵义4分）如图，平行四边形ABCD的顶点为A、C在双曲线上，B、D在双曲线上，k1=2k2（k1＞0），AB∥y轴，S△ABCD=24，则k1=　 ▲ 　．‎ 二、点动形成的动态面积问题：‎ 典型例题：例1：（2012广东广州14分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．‎ ‎（1）求点A、B的坐标；‎ ‎（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；‎ ‎（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．‎ ‎【答案】解：（1）在中，令y=0，即，解得x1=﹣4，x2=2。‎ ‎ ∵点A在点B的左侧，∴A、B点的坐标为A（﹣4，0）、B（2，0）。 ‎ ‎（2）由得，对称轴为x=﹣1。‎ ‎ 在中，令x=0，得y=3。‎ ‎ ∴OC=3，AB=6，。‎ 在Rt△AOC中，。‎ 设△ACD中AC边上的高为h，则有AC•h=9，解得h=。‎ 如图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的直线有2条，分别是L1和L2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D。‎ 设L1交y轴于E，过C作CF⊥L1于F，则CF=h=，‎ ‎∴。‎ 设直线AC的解析式为y=kx+b，‎ 将A（﹣4，0），B（0，3）坐标代入，得 ‎，解得。‎ ‎∴直线AC解析式为。‎ 直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位）而形成的，‎ ‎∴直线L1的解析式为。‎ 则D1的纵坐标为。∴D1（﹣4，）。‎ 同理，直线AC向上平移个长度单位得到L2，可求得D2（﹣1，）。‎ 综上所述，D点坐标为：D1（﹣4，），D2（﹣1，）。‎ ‎（3）如图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条．‎ 连接FM，过M作MN⊥x轴于点N。‎ ‎∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半径FM=FB=3。‎ 又FE=5，则在Rt△MEF中，-‎ ME=，sin∠MFE=，cos∠MFE=。‎ 在Rt△FMN中，MN=MN•sin∠MFE=3×，‎ FN=MN•cos∠MFE=3×。‎ 则ON=。∴M点坐标为（，）。‎ 直线l过M（，），E（4，0），‎ 设直线l的解析式为y=k1x+b1，则有，解得。‎ ‎∴直线l的解析式为y=x+3。‎ 同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3。‎ 综上所述，直线l的解析式为y=x+3或y=x﹣3。‎ 例2：（2012广东梅州11分）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．‎ ‎（1）①点B的坐标是　　；②∠CAO=　 　度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为　 　；（直接写出答案）‎ ‎（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．‎ ‎【答案】解：（1）①（6，2）。 ②30。③（3，3）。‎ ‎（2）存在。m=0或m=3﹣或m=2。‎ ‎ （3）当0≤x≤3时，‎ 如图1，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；‎ 由题意可知直线l∥BC∥OA，‎ 可得，∴EF=（3+x），‎ 此时重叠部分是梯形，其面积为：‎ 当3＜x≤5时，如图2，‎ 当5＜x≤9时，如图3，‎ 当x＞9时，如图4，‎ ‎。‎ 综上所述，S与x的函数关系式为：‎ ‎ 。‎ ‎【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。‎ ‎【分析】（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标：‎ ‎∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，‎ ‎∵A（6，0）、C（0，2），∴点B的坐标为：（6，2）。‎ ‎②由正切函数，即可求得∠CAO的度数：‎ ‎∵，∴∠CAO=30°。‎ ‎③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；如图：当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，‎ ‎∵∠PQO=60°，D（0，3），∴PE=3。‎ ‎∴。‎ ‎∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴点P的坐标为（3，3）。‎ ‎（2）分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案：‎ 情况①：MN=AN=3，则∠AMN=∠MAN=30°，‎ ‎∴∠MNO=60°。‎ ‎∵∠PQO=60°，即∠MQO=60°，∴点N与Q重合。‎ ‎∴点P与D重合。∴此时m=0。‎ 情况②，如图AM=AN，作MJ⊥x轴、PI⊥x轴。‎ MJ=MQ•sin60°=AQ•sin600‎ 又，‎ ‎∴，解得：m=3﹣。‎ 情况③AM=NM，此时M的横坐标是4.5，‎ 过点P作PK⊥OA于K，过点M作MG⊥OA于G，‎ ‎∴MG=。‎ ‎∴。‎ ‎∴KG=3﹣0.5=2.5，AG= AN=1.5。∴OK=2。∴m=2。‎ 综上所述，点P的横坐标为m=0或m=3﹣或m=2。‎ ‎（3）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案。‎ 例3：（2012广东汕头12分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．‎ ‎（1）求AB和OC的长；‎ ‎（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．‎ ‎【答案】解：（1）在中，‎ 令x=0，得y=－9，∴C（0，﹣9）；‎ 令y=0，即，解得：x1=﹣3，x2=6，∴A（﹣3，0）、B（6，0）。‎ ‎∴AB=9，OC=9。‎ ‎（2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴，即：。‎ ‎∴s=m2（0＜m＜9）。‎ ‎（3）∵S△AEC=AE•OC=m，S△AED=s=m2，‎ ‎∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED ‎=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+。‎ ‎∴△CDE的最大面积为，‎ 此时，AE=m=，BE=AB﹣AE=。‎ 又，‎ 过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：，即：。‎ ‎∴。‎ ‎∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 S⊙E=π•EF2=。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。‎ ‎【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB、OC的长。‎ ‎（2）直线l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围。‎ ‎ （3）①首先用m列出△AEC的面积表达式，△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S△CDE关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值。‎ ‎②过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径，可根据相似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。‎ 例4：（2012贵州铜仁14分）如图，已知：直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c 经过A、B、C（1，0）三点.‎ ‎（1）求抛物线的解析式;‎ ‎（2）若点D的坐标为（－1，0），在直线上有一点P，使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）由题意得，A（3，0），B（0，3），‎ ‎∵抛物线经过A、B、C三点，‎ ‎∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入y=ax2+bx+c得方程组 ‎ ，解得：。‎ ‎∴抛物线的解析式为。 ‎ ‎（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形，如图1所示，‎ 若△ABO∽△AP1D，连接DP1，则，‎ ‎∴DP1=AD=4。∴P1。‎ 若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P‎2 M⊥x轴于M，连接DP2， ‎ ‎∵△ABO为等腰三角形, ‎ ‎∴△ADP2是等腰三角形。‎ 由三线合一可得：DM=AM=2= P‎2M，即点M与点C重合。∴P2（1，2）。‎ ‎（3）不存在。理由如下：‎ ‎ 如图2设点E ，则 ‎ ‎①当P1(－1，4)时，‎ S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE ‎ ∴。 ∴。‎ ‎∵点E在x轴下方 ∴。代入得： ,即 ‎ ‎∵△=(－4)2－4×7=＋12<0，∴此方程无解。‎ ‎∴当P1(－1，4)时，在x轴下方的抛物线上，不存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE 的面积。‎ ‎②当P2（1，2）时， ‎ ‎ ∴。∴。‎ ‎∵点E在x轴下方，∴。代入得：，即 ‎ ‎∵△=(－4)2－4×5=－4<0，∴此方程无解。‎ ‎∴当P2（1，2）时，在x轴下方的抛物线上，不存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE 的面积。‎ 综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE 的面积。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的性质，一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】（1）求出A（3，0），B（0，3），由A、B、C三点坐标用待定系数法即可求得抛物线的解析式。‎ ‎（2）根据等腰三角形的判定和性质和相似三角形的性质即可求出点P的坐标。‎ ‎（3）由（2）的两解分别作出判断。‎ 例5：（2012湖南张家界12分）如图，抛物线与x轴交于C．A两点，与y轴交于点B，点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点．‎ ‎（1）分别求出点A．点B的坐标；‎ ‎（2）求直线AB的解析式；‎ ‎（3）若反比例函数的图象过点D，求k值；‎ ‎（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB．AO方向向B．O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t，问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）令y=0，即，解得。‎ ‎ ∴C（，0）、A（，0）。‎ 令x=0，得y=2。∴B（0，2）。‎ ‎∴A（，0）、B（0，2）。‎ ‎（2）∵令直线AB经过点B（0，2），∴设AB的解析式为y=k1x+2。‎ 又∵点A（，0）在直线上，∴0=k1+2，解得k1=。‎ ‎∴直线AB的解析式为y=x+2。‎ ‎（3）由A（，0）、B（0，2）得：OA=，OB=2，AB=4，∠BAO=30°，∠DOA=60°。‎ ‎∵OD与O点关于AB对称，∴OD=OA=。‎ ‎∴D点的横坐标为OD·cos600=，纵坐标为OD·sin600=3。‎ ‎∴D（，3）。‎ ‎∵过点D，∴，即k=3。‎ ‎（4）存在。‎ ‎∵AP=t，AQ=t，P到x轴的距离：AP•sin30°=t，OQ=OA﹣AQ=﹣t，‎ ‎∴。‎ 依题意， ， 得0＜t≤4。‎ ‎∴当t=时，S有最大值为。‎ 例6：（2012四川内江12分）如图，已知点A（－1，0），B（4，0），点C在y轴的正半轴上，且∠ACB=900，抛物线经过A、B、C三点，其顶点为M.‎ (1) 求抛物线的解析式；‎ (2) 试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系，并加以证明；‎ (3) 在抛物线上是否存在点N，使得?如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】解：（1）Rt△ACB中，OC⊥AB，AO=1，BO=4，‎ ‎∴△ACO∽△ABO 。∴，∴OC2=OA•OB=4。‎ ‎∴OC=2。∴点C（0，2）。‎ ‎∵抛物线经过A、B两点，‎ ‎∴设抛物线的解析式为：，将C点代入上式，得：‎ ‎，解得。‎ ‎∴抛物线的解析式：，即。‎ ‎（2）直线CM与以AB为直径的圆相切。理由如下：‎ 如图，设抛物线的对称轴与x轴的交点为D，连接CD。‎ 由于A、B关于抛物线的对称轴对称，则点D为Rt△ABC斜边AB的中点，CD=AB。‎ 由（1）知：，‎ 则点M（），ME=。‎ 而CE=OD=，OC=2，∴ME：CE=OD：OC。‎ 又∵∠MEC=∠COD=90°，∴△COD∽△CEM。∴∠CME=∠CDO。‎ ‎∴∠CME+∠CDM=∠CDO+∠CDM=90°。∠DCM=90°。‎ ‎∵CD是⊙D的半径，∴直线CM与以AB为直径的圆相切。‎ ‎（3）由B（4，0）、C（0，2）得：BC=，‎ 则：。‎ 过点B作BF⊥BC，且使BF=h=，过F作直线l∥BC交x轴于G。‎ Rt△BFG中，sin∠BGF=sin∠CBO=，‎ BG=BF÷sin∠BGF=。‎ ‎∴G（0，0）或（8，0）。‎ 易知直线BC：y= x+2，则可设直线l：y=x+b，‎ 将G点坐标代入，得：b=0或b=4，则：‎ 直线l：y= x或y=x+4；‎ 联立抛物线的解析式，得：‎ ‎ ，或。‎ 解得或或。‎ ‎∴抛物线上存在点N，使得，这样的点有3个：‎ ‎。‎ ‎【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，直线与的位置关系，平行线的性质。‎ ‎【分析】（1）Rt△ACB中，OC⊥AB，利用相似三角形能求出OC的长，即可确定C点坐标，再利用待定系数法能求出该抛物线的解析式。‎ ‎（2）证明CM垂直于过点C的半径即可。‎ ‎（3）先求出线段BC的长，根据△BCN的面积，可求出BC边上的高，那么做直线l，且直线l与直线BC的长度正好等于BC边上的高，那么直线l与抛物线的交点即为符合条件的N点。‎ 例7：（2012山东菏泽10分）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．‎ ‎（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．‎ ‎【答案】解：(1) ∵△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转900得到的，‎ 且A（0，1），B（2，0），O（0，0）‎ ‎∴。‎ 设抛物线的解析式为，‎ ‎∵抛物线经过点A′、B′、B，‎ ‎∴，解之得。‎ ‎∴满足条件的抛物线的解析式为。‎ ‎（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，‎ 设，则，P点坐标满足。‎ 连接PB，PO，PB′。‎ ‎∴‎ ‎。‎ 假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，‎ 则，即，解之得，此时。‎ ‎∴P（1，2）。‎ ‎∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍。‎ ‎（3）四边形PB′A′B为等腰梯形。它的性质有： ‎ ‎①等腰梯形同一底上的两个内角相等；‎ ‎②等腰梯形对角线相等；‎ ‎③等腰梯形上底与下底平行；‎ ‎④等腰梯形两腰相等。‎ 答案不唯一，上面性质中的任意2个均可。‎ ‎【考点】二次函数综合题，旋转的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰梯形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）利用旋转的性质得出A′（－1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可。‎ ‎（2）利用S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，再假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，得出一元二次方程，得出P点坐标即可。‎ ‎（3）利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可。‎ 例8：（2012广西柳州12分）如图，在△ABC中，AB=2，AC=BC=．‎ ‎（1）以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系如图，请你分别写出A、B、C 三点的坐标；‎ ‎（2）求过A、B、C三点且以C为顶点的抛物线的解析式；‎ ‎（3）若D为抛物线上的一动点，当D点坐标为何值时，S△ABD=S△ABC；‎ ‎（4）如果将（2）中的抛物线向右平移，且与x轴交于点A′B′，与y轴交于点C′，当平移多少个单位时，‎ 点C′同时在以A′B′为直径的圆上（解答过程如果有需要时，请参看阅读材料）．‎ 附：阅读材料 一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，对于一些特殊方程可以通过换元法转化为一元 二次方程求解．如解方程：y4－4y2＋3=0．‎ 解：令y2=x（x≥0），则原方程变为x2－4x＋3=0，解得x1=1，x2=3．‎ 当x1=1时，即y2=1，∴y1=1，y2=-1．‎ 当x2=3，即y2=3，∴y3= 3 ，y4=- 3 ．‎ 所以，原方程的解是y1=1，y2=-1，y3= 3 ，y4=- 3 ．‎ 再如 ，可设 ，用同样的方法也可求解．‎ ‎【答案】解：（1）∵AB的垂直平分线为y轴，∴OA=OB=AB=×2=1。‎ ‎∴A的坐标是（－1，0），B的坐标是（1，0）。‎ 在Rt△OBC中，，∴C的坐标为（0，2）。‎ ‎（2）设抛物线的解析式是：y=ax2+b，‎ 根据题意得： ，解得： 。‎ ‎∴抛物线的解析式是：。‎ ‎（3）∵S△ABC=AB•OC=×2×2=2，S△ABD=S△ABC，∴S△ABD=S△ABC=1。‎ 设D的纵坐标是m，则AB•|m|=1，∴m=±1。‎ 当m=1时，－2x2+2=1，解得：x=±。‎ 当m=－1时，－2x2+2=－1，解得：x=±。‎ ‎∴D的坐标是：（，1）或（－，1）或（，－1），或（－，－1）。‎ ‎（4）设抛物线向右平移c个单位长度，则0＜c≤1，OA′=1－c，OB′=1＋c。‎ 平移以后的抛物线的解析式是：。‎ 令x=0，解得y=－‎2c2+2，即OC′= ＋‎2c2+2。‎ 当点C′同时在以A′B′为直径的圆上时有：OC′2=OA′•OB′，‎ 则（－‎2c2＋2）2=（1－c）（1＋c），即（‎4c2－3）（c2－1）=0。‎ 解得：c= ，（舍去），1，－1（舍去）。‎ 故平移 或1个单位长度。‎ ‎【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，线段垂直平分线的性质，勾股定理，平移的性质，相似三角形的判定和性质，解多元方程。‎ ‎【分析】（1）根据y轴是AB的垂直平分线，则可以求得OA，OB的长度，在直角△OAC中，利用勾股 定理求得OC的长度，则A、B、C的坐标即可求解。‎ ‎（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式。‎ ‎（3）首先求得△ABC的面积，根据S△ABD= S△ABC，以及三角形的面积公式，即可求得D的 纵坐标，把D的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得横坐标。‎ ‎（4）设抛物线向右平移c个单位长度，则0＜c≤1，可以写出平移以后的函数解析式，当点C′‎ 同时在以A′B′为直径的圆上时由相似三角形的性质有：OC′2=OA•OB，据此即可得到一个关于c的方程求得c的值。‎ 例9： （2012广西桂林12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为BC的中点．‎ ‎(1)若E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝CF，求证：△AED≌△CFD；‎ ‎(2)当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B 时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；‎ ‎(3)在(2)的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵∠BAC ＝90°， AB＝AC＝6，D为BC中点，‎ ‎∴∠BAD＝∠DAC＝∠B＝∠C＝45° 。∴AD＝BD＝DC= 。‎ ‎∵AE＝CF，∴△AED≌△CFD（SAS）。‎ ‎（2）依题意有，FC＝AE＝x，AF=6－x ‎∵△AED≌△CFD，‎ ‎∴‎ ‎∴。‎ ‎∴。 ‎ ‎（3）依题意有：FC＝AE＝x，AF＝BE＝x－6，AD＝DB，∠ABD＝∠DAC＝45°，‎ ‎∴∠DAF＝∠DBE＝135° 。∴△ADF≌△BDE（SAS）。∴。‎ ‎∴。‎ ‎∴。‎ ‎【考点】动点问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等积变换。‎ ‎【分析】（1）由已知推出△ABC是等腰直角三角形后易用SAS证得结果。‎ ‎ （2）由△AED≌△CFD，根据等积变换由可得结果。‎ ‎（3）由△AED≌△CFD，根据等积变换由可得结果。‎ 例10：（2012广西玉林、防城港10分）如图，在平面直角坐标系O中，梯形AOBC的边OB在轴的正半轴上，AC//OB,BC⊥OB,过点A的双曲线的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D,交边BC于点E.‎ ‎（1）填空：双曲线的另一支在第 象限，的取值范围是 ；‎ ‎（2）若点C的坐标为（2,2），当点E 在什么位置时，阴影部分面积S最小？‎ ‎（3）若，S△OAC=2 ，求双曲线的解析式.‎ ‎【答案】解：（1）三，k＞0，‎ ‎（2）∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，‎ 而点C的坐标标为（2，2），‎ ‎∴A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），‎ 把y=2代入得；把x=2代入得。‎ ‎∴A点的坐标为（，2），E点的坐标为（2，）。‎ ‎∴。‎ 当k=2时，S阴影部分最小，最小值为1.5。‎ 此时E点的坐标为（2，1），即E点为BC的中点。‎ ‎∴当点E在BC的中点时，阴影部分的面积S最小。‎ ‎（3）设D点坐标为（a，），‎ ‎∵，∴OD=DC，即D点为OC的中点。∴C点坐标为（‎2a，）。‎ ‎∴A点的纵坐标为。‎ 把y=代入得x=，∴A点坐标为（，），‎ 又∵S△OAC=2，∴×（‎2a－）×=2，∴k=。‎ ‎∴双曲线的解析式为。‎ ‎【考点】反比例函数综合题，反比例函数图象与性质，曲线上点的坐标与方程的关系，梯形的性质，二次函数的最值。‎ ‎【分析】（1）根据反比例函数图象与性质得到：双曲线 的一支在第一象限，则k＞0，得到另一支在第三象限。‎ ‎（2）根据梯形的性质，AC∥x轴，BC⊥x轴，而点C的坐标为（2，2），则A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），再分别把y=2或x=2代入可得到A点的坐标和E点的坐标，然后计算出阴影部分面积S关于k的二次函数关系式，应用二次函数的最值求法即可求得阴影部分面积S最小时点E 的位置。‎ ‎ （3）设D点坐标为（a，），由得OD=DC，即D点为OC的中点，从而可得 C点坐标为（‎2a，），得到A点的纵坐标为，代入 可确定A点坐标为（，），根据三角形面积公式由S△OAC=2列式求解即可求出k的值，从而得到双曲线的解析式。‎ 练习题：‎ ‎1. （2012内蒙古呼和浩特12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与双曲线相交于点A，B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（﹣2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E．‎ ‎（1）求双曲线和抛物线的解析式；‎ ‎（2）计算△ABC与△ABE的面积；‎ ‎（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎2. （2012广西柳州12分）如图，在△ABC中，AB=2，AC=BC=．‎ ‎（1）以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系如图，请你分别写出A、B、C 三点的坐标；‎ ‎（2）求过A、B、C三点且以C为顶点的抛物线的解析式；‎ ‎（3）若D为抛物线上的一动点，当D点坐标为何值时，S△ABD=S△ABC；‎ ‎（4）如果将（2）中的抛物线向右平移，且与x轴交于点A′B′，与y轴交于点C′，当平移多少个单位时，‎ 点C′同时在以A′B′为直径的圆上（解答过程如果有需要时，请参看阅读材料）．‎ 附：阅读材料 一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，对于一些特殊方程可以通过换元法转化为一元 二次方程求解．如解方程：y4－4y2＋3=0．‎ 解：令y2=x（x≥0），则原方程变为x2－4x＋3=0，解得x1=1，x2=3．‎ 当x1=1时，即y2=1，∴y1=1，y2=-1．‎ 当x2=3，即y2=3，∴y3= 3 ，y4=- 3 ．‎ 所以，原方程的解是y1=1，y2=-1，y3= 3 ，y4=- 3 ．‎ 再如 ，可设 ，用同样的方法也可求解．‎ ‎3. （2012安徽省4分）如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP= x，则△PAB的面积y关于x的函数图像大致是【 】‎ ‎ ‎ ‎4. （2012浙江温州4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，动点P从点A出发，‎ 沿AC方向匀速运动到终点C,动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B.已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点.连结MP，MQ，PQ.在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是【 】‎ A.一直增大 B.一直减小 C.先减小后增大 D.先增大后减小 ‎5. （2012四川巴中3分）如图，点P是等边△ABC的边上的一个作匀速运动的动点，其由点A开始沿 AB边运动到B，再沿BC边运动到C为止，设运动时间为t，△ACP的面积为S，则S与t的大致图象是 ‎【 】‎ ‎ ‎ ‎6. （2012江苏徐州8分）如图1，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AD=‎4cm，AB=dcm。动点E、F分别从点D、B出发，点E以‎1 cm/s的速度沿边DA向点A移动，点F以‎1 cm ‎/s的速度沿边BC向点C移动，点F移动到点C时，两点同时停止移动。以EF为边作正方形EFGH，点F出发xs时，正方形EFGH的面积为ycm2。已知y与x的函数图象是抛物线的一部分，如图2所示。请根据图中信息，解答下列问题：‎ ‎（1）自变量x的取值范围是 ▲ ；‎ ‎（2）d= ▲ ，m= ▲ ，n= ▲ ；‎ ‎（3）F出发多少秒时，正方形EFGH的面积为‎16cm2？‎ ‎7. （2012福建漳州14分）如图，在OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60o，OC=‎4cm．OA=‎8cm．动 点P从点O出发，以‎1cm／s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时从点O出发，以 acm／s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．‎ ‎ 设运动时间为t秒．‎ ‎ (1)填空：点C的坐标是(______，______)，对角线OB的长度是_______cm；‎ ‎(2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大? ‎ ‎ (3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．‎ ‎8. （2012湖北咸宁12分）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒．‎ ‎（1）当点B与点D重合时，求t的值；‎ ‎（2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，?‎ ‎（3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围．‎ ‎9. （2012湖北十堰12分）抛物线y=－x2＋bx＋c经过点A、B、C，已知A（－1，0），C（0，3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；‎ ‎（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．‎ ‎10. （2012湖北孝感12分）)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)、B(3，0)，与y 轴交于点C(0，3)．‎ ‎(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；‎ ‎(2)若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此 时点P的坐标；‎ ‎(3)若点P是抛物线第一象限上的一个动点，过点P作PQ∥AC交x轴于点Q．当点P的坐标为 ‎ 时，四边形PQAC是平行四边形；当点P的坐标为 时，四边形PQAC是等腰梯形(直接写出结果，不写求解过程)．‎ 三、线动形成的动态面积问题：‎ 典型例题：例1：(2012陕西省3分）在平面内，将长度为4的线段AB绕它的中点M，按逆时针方向旋转30°，则线段AB扫过的面积为 ▲ ．‎ ‎【答案】；2.47。‎ ‎【考点】扇形面积的计算，计算器的应用。‎ ‎【分析】画出示意图，根据扇形的面积公式求解即可：‎ 由题意可得，AM=MB=AB=2。‎ ‎∵线段AB扫过的面积为扇形MCB和扇形MAB的面积和，‎ ‎∴线段AB扫过的面积=。‎ 例2：（2012湖北十堰3分）如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④；⑤．其中正确的结论是【 】‎ A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③ ‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理。‎ ‎【分析】∵正△ABC，∴AB=CB，∠ABC=600。‎ ‎∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，∴BO=BO′，∠O′AO=600。‎ ‎∴∠O′BA=600－∠ABO=∠OBA。∴△BO′A≌△BOC。‎ ‎∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到。故结论①正确。 ‎ 连接OO′，‎ ‎∵BO=BO′，∠O′AO=600，∴△OBO′是等边三角形。∴OO′=OB=4。故结论②正确。‎ ‎∵在△AOO′中，三边长为O′A=OC=5，OO′=OB=4，OA=3，是一组勾股数，‎ ‎∴△AOO′是直角三角形。‎ ‎∴∠AOB=∠AOO′＋∠O′OB =900＋600=150°。故结论③正确。‎ ‎。故结论④错误。‎ 如图所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，‎ 点O旋转至O″点．‎ 易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的 直角三角形。‎ 则。‎ 故结论⑤正确。‎ 综上所述，正确的结论为：①②③⑤。故选A。‎ 例3.（2012四川广安3分）如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为 ‎　 ▲ 　．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】二次函数图象与平移变换，平移的性质，二次函数的性质。‎ ‎【分析】根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P的坐标，过点P作PM⊥y轴于点M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPMO的面积，然后求解即可：‎ ‎ 过点P作PM⊥y轴于点M，设PQ交x轴于点N，‎ ‎∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0），‎ ‎∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3。‎ ‎∴平移后的二次函数解析式为：y=（x+3）2+h，‎ 将（﹣6，0）代入得出：0=（﹣6+3）2+h，解得：h=﹣。∴点P的坐标是（3，﹣）。‎ 根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，‎ ‎∴S=。‎ 例4：（2012广东深圳9分）如图，在平面直角坐标系中，直线：y=－2x＋b (b≥0)的位置随b的不同取值而变化．‎ ‎ (1)已知⊙M的圆心坐标为(4，2)，半径为2．‎ ‎ 当b=　　　　时，直线：y=－2x＋b (b≥0)经过圆心M：‎ ‎ 当b=　　　　时，直线：y=－2x＋b(b≥0)与OM相切：‎ ‎ (2)若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A(2，0)、B（6，0）、C(6，2).‎ ‎ 设直线扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式，‎ ‎【答案】解：（1）10；。‎ ‎（2）由A(2，0)、B（6，0）、C(6，2)，根据矩形的性质，得D（2，2）。‎ 如图，当直线经过A(2，0)时，b=4；当直线经过D（2，2）时，b=6；当直线经过B（6，0）时，b=12；当直线经过C(6，2)时，b=14。‎ 当0≤b≤4时，直线扫过矩形ABCD的面积S为0。‎ 当4＜b≤6时，直线扫过矩形ABCD的面积S为△EFA的面积（如图1），‎ 在 y=－2x＋b中，令x=2，得y=－4＋b，则E（2，－4＋b），‎ 令y=0，即－2x＋b=0，解得x=，则F（，0）。‎ ‎∴AF=，AE=－4＋b。‎ ‎∴S=。‎ 当6＜b≤12时，直线扫过矩形ABCD的面积S为直角梯形DHGA的面积（如图2），‎ 在 y=－2x＋b中，令y=0，得x=，则G（，0），‎ 令y=2，即－2x＋b=2，解得x=，则H（，2）。‎ ‎∴DH=，AG=。AD=2‎ ‎∴S=。‎ 当12＜b≤14时，直线扫过矩形ABCD的面积S为五边形DMNBA的面积=矩形ABCD的面积－△CMN的面积（如图2）‎ 在 y=－2x＋b中，令y=2，即－2x＋b=2，解得x=，则M（，0），‎ 令x=6，得y=－12＋b，，则N（6，－12＋b）。‎ ‎∴MC=，NC=14－b。‎ ‎∴S=。‎ 当b＞14时，直线扫过矩形ABCD的面积S为矩形ABCD的面积，面积为民8。‎ 综上所述。S与b的函数关系式为：‎ ‎。‎ ‎【考点】直线平移的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与圆相切的性质，勾股定理，解一元二次方程，矩形的性质。‎ ‎【分析】（1）①∵直线y=－2x＋b (b≥0)经过圆心M(4，2)，‎ ‎ ∴2=－2×4＋b，解得b=10。‎ ②如图，作点M垂直于直线y=－2x＋b于点P，过点 P作PH∥x轴，过点M作MH⊥PH，二者交于点H。设直线y=－2x＋b与x，y轴分别交于点A，B。‎ ‎ 则由△OAB∽△HMP，得。‎ ‎ ∴可设直线MP的解析式为。‎ ‎ 由M(4，2)，得，解得。∴直线MP的解析式为。‎ ‎ 联立y=－2x＋b和，解得。‎ ‎ ∴P（）。‎ ‎ 由PM=2，勾股定理得，，化简得。‎ ‎ 解得。‎ ‎（2）求出直线经过点A、B、C、D四点时b的值，从而分0≤b≤4，4＜b≤6，6＜b≤12，12＜b≤14，b＞14五种情况分别讨论即可。‎ 例5：（2012广东珠海9分）如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB=3，DC=，高CE=2，对角线AC、BD交于H，平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G；当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动．记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的图形面积为S1、被直线RQ扫过的图形面积为S2，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒．‎ ‎（1）填空：∠AHB=　 　；AC=　 ；‎ ‎（2）若S2=3S1，求x；‎ ‎（3）设S2=mS1，求m的变化范围．‎ ‎【答案】解：（1）90°；4。‎ ‎（2）直线移动有两种情况：0＜x＜及≤x≤2。‎ ‎①当0＜x＜时，∵MN∥BD，∴△AMN∽△ARQ。‎ ‎∵直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，‎ ‎∴△AMN和△ARQ的相似比为1：2。‎ ‎∴。∴S2=4S1，与题设S2=3S1矛盾。‎ ‎∴当0＜x＜时，不存在x使S2=3S1。‎ ‎②当≤x≤2时，‎ ‎ ∵AB∥CD，∴△ABH∽△CDH。‎ ‎∴CH：AH=CD：AB=DH：BH=1：3。‎ ‎∴CH=DH=AC=1，AH═BH=4﹣1=3。‎ ‎∵CG=4﹣2x，AC⊥BD，∴S△BCD=×4×1=2‎ ‎∵RQ∥BD，∴△CRQ∽△CDB。‎ ‎∴。‎ 又，‎ ‎∵MN∥BD，∴△AMN∽△ADB。∴，‎ ‎∴S1=x2，S2=8﹣8（2﹣x）2。‎ ‎∵S2=3S1，∴8﹣8（2﹣x）2=3·x2，解得：x1=（舍去），x2=2。‎ ‎∴x的值为2。‎ ‎（3）由（2）得：当0＜x＜时，m=4，‎ 当≤x≤2时，∵S2=mS1，‎ ‎∴。‎ ‎∴m是的二次函数，当≤x≤2时，即当时，m随的增大而增大，‎ ‎∴当x=时，m最大，最大值为4；当x=2时，m最小，最小值为3。‎ ‎∴m的变化范围为：3≤m≤4。‎ ‎【考点】相似三角形的判定和性质，平移的性质，二次函数的最值，等腰梯形的性质。‎ ‎【分析】（1）过点C作CK∥BD交AB的延长线于K，‎ ‎∵CD∥AB，∴四边形DBKC是平行四边形。‎ ‎∴BK=CD=，CK=BD。‎ ‎∴AK=AB+BK=。‎ ‎∵四边形ABCD是等腰梯形，∴BD=AC。‎ ‎∴AC=CK。∴AE=EK=AK=2=CE。‎ ‎∵CE是高，∴∠K=∠KCE=∠ACE=∠CAE=45°。∴∠ACK=90°。∴∠AHB=∠ACK=90°‎ ‎∴AC=AK•cos45°=。‎ ‎（2）直线移动有两种情况：0＜x＜及≤x≤2；然后分别从这两种情况分析求解：当 ‎0＜x＜时，易得S2=4S1≠3S1；当 ≤x≤2时，根据相似三角形的性质与直角三角形的面积的求解方法，可求得△BCD与△CRQ的面积，继而可求得S2与S1的值，由S2=3S1，即可求得x的值；‎ ‎（3）由（2）可得当0＜x＜ 时，m=4；当≤x≤2时，可得，化为关于的二次函数，利用二次函数的性质求得m的变化范围。‎ 例6：（2012湖北咸宁12分）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒．‎ ‎（1）当点B与点D重合时，求t的值；‎ ‎（2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，?‎ ‎（3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围．‎ ‎【答案】解：（1）∵，∴。∴Rt△CAO∽Rt△ABE。‎ ‎∴，即，解得。‎ ‎ （2）由Rt△CAO∽Rt△ABE可知：，。‎ 当0＜＜8时，，解得。‎ 当＞8时，，‎ 解得，（为负数，舍去）。‎ 当或时，。‎ ‎（3）过M作MN⊥x轴于N，则。‎ 当MB∥OA时，BE=MN=2，OA=2BE=4。‎ ‎∵，‎ ‎∴抛物线的顶点坐标为（5，）。‎ ‎∴它的顶点在直线上移动。‎ ‎∵直线交MB于点（5，2），交AB于点（5，1），‎ ‎∴1＜＜2。∴＜＜。‎ ‎【考点】动点问题，旋转的性质，矩形的性质，直角三角形两锐角的关系，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，二次函数的性质。‎ ‎【分析】（1）由Rt△CAO∽Rt△ABE得到，根据点B与点D重合的条件，代入CA=2AM=2AB，AO=1·t= t，BE（DE）=OC=4，即可求得此时t的值。‎ ‎（2）分0＜＜8和＞8两种情况讨论即可。‎ ‎（3）求出抛物线的顶点坐标为（5，），知它的顶点在直线上移动。由抛物线的顶点在△ABM内部（不包括边）得1＜＜2，解之即得a的取值范围。‎ 例7：（2012广西河池12分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所 在的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过A、B两点.‎ ‎（1）写出点A、点B的坐标；‎ ‎（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物 线于点E、M和点P，连结PA、PB.设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；‎ ‎（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】解：（1）A（8，0），B（0，4）。‎ ‎ （2）∵AB=AC，∴OB=OC。∴C（0，－4）。‎ ‎ 设直线AC：，由A（8，0），C（0，－4）得 ‎ ，解得。∴直线AC：。‎ ‎ ∵ 直线l移动的速度为2，时间为t，∴OE=2t。‎ 设P，‎ ‎ 在中，令x=2t，得，∴M（2t，）。‎ ‎ ∵BC=8，PM=，OE=2t，EA=，‎ ‎ ∴‎ ‎ 。‎ ‎ ∴四边形PBCA的面积S与t的函数关系式为（0＜t＜4）。‎ ‎ ∵，‎ ‎ ∴四边形PBCA的最大面积为41个平方单位。‎ ‎（3）存在。∵由（2），在0＜t＜4，即0＜t＜8时，∠AMP和∠APM不可能为直角。‎ ‎ 若∠PAM为直角，则PA⊥CA，∴△AOC∽△PEA。∴。‎ ‎ 设P，则OC=4，OA=8，EA=8－p，EP=，‎ ‎ ∴，整理得，解得（舍去）。‎ ‎ 当时，。∴P（3，10）。‎ ‎ ∴当P（3，10）时，△PAM是直角三角形。‎ ‎【考点】二次函数综合题，动直线问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数最值，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定。‎ ‎【分析】（1）在中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=－1或x=8。‎ ‎ ∴A（8，0），B（0，4）。‎ ‎ （2）由AB=AC，根据等腰三角形三线合一的性质可得点C的坐标，从而用待定系数法求出直线AC的解析式，得到点M关于t的表达式，根据求出四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，应用二次函数最值的求法求出四边形PBCA的最大面积。‎ ‎ （3）存在。易知，∠AMP和∠APM不可能为直角。当∠PAM为直角时，△AOC∽△PEA，根据比例关系列出方程求解即可。‎ 例8：(2012广西百色10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A(－3，0)和点B(2，0)．直线y＝h（h为常数，且0＜h＜6）与BC交于点D，与y轴交于点E，与AC交于点F，与抛物线在第二象限交于点G．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）连接BE，求h为何值时，△BDE的面积最大；‎ ‎（3）已知一定点M（－2，0）．问：是否存在这样的直线y＝h，使△OMF是等腰三角形，若存在，请 求出h的值和点G的坐标；若不存在，请说明理由．‎ y=h ‎【答案】解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A(－3，0)和点B(2，0)，‎ ‎∴。解得。‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝。‎ ‎（2）把x＝0代入y＝，得y＝6。‎ ‎∴点C的坐标为(0，6)．‎ 设经过点B和点C的直线的解析式为y＝mx＋n，则 ，解得 。‎ ‎∴经过点B和点C的直线的解析式为y＝－3x＋6。‎ ‎∵点E在直线y＝h上，∴点E的坐标为(0，h)。‎ ‎∴OE＝h。‎ ‎∵点D在直线y＝h上，∴点D的纵坐标为h。‎ 把y＝h代入y＝－3x＋6，得h＝－3x＋6．解得x＝。∴点D的坐标为(，h)。‎ ‎∴DE＝。‎ ‎∴S△BDE＝•OE•DE＝•h•＝－(h－3)2＋。‎ ‎∵－＜0且0＜h＜6，‎ ‎∴当h＝3时，△BDE的面积最大，最大面积是。‎ ‎（3）存在符合题意的直线y＝h。‎ 设经过点A和点C的直线的解析式为y＝kx＋p，则 ，解得。‎ ‎∴经过点A和点C的直线的解析式为y＝2x＋6。‎ 把y＝h代入y＝2x＋6，得h＝2x＋6．解得x＝。‎ ‎∴点F的坐标为(，h)。‎ 在△OFM中，OM＝2，OF＝，MF＝。‎ ‎①若OF＝OM，则＝2，整理，得5h2－12h＋20＝0。‎ ‎∵△＝(－12)2－4×5×20＝－256＜0，∴此方程无解。∴OF＝OM不成立。‎ ‎②若OF＝MF，则＝，解得h＝4。‎ 把y＝h＝4代入y＝，得＝4，解得x1＝－2，x2＝1。‎ ‎∵点G在第二象限，∴点G的坐标为（－2，0）。‎ ‎③若MF＝OM，则＝，解得h1＝2，h2＝－(不合题意，舍去)。‎ 把y＝h1＝2代入y＝，得＝2．解得x1＝，x2＝。‎ ‎∵点G在第二象限，∴点G的坐标为（，0）。 ‎ 综上所述，存在这样的直线y＝2或y＝4，使△OMF是等腰三角形，当h＝4时，点G的坐标为（－2，0）；当h＝2时，点G的坐标为（，0）。‎ ‎【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，等腰三角形的性质，分类讨论思想。‎ ‎【分析】（1）把A(－3，0)和点B(2，0)代入y＝ax2＋bx＋6即可求。‎ ‎（2）求出△BDE的面积关于h的表达式，应用二次函数最值即可求得△BDE的面积最大时的h值。‎ ‎（3）分OF＝OM，OF＝MF，MF＝OM三种情况讨论即可。‎ 练习题：‎ ‎1. （2011湖北随州4分）如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿轴向右平移，当点C落在直线=2﹣6上时，线段BC扫过的面积为 【 】‎ ‎ A、4 B、‎8 C、16 D、8 ‎2. （2011重庆潼南4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于轴的直线l从轴出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4），则能大致反映S与t的函数关系的图象是【 】‎ ‎3. （2011浙江宁波3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，若把Rt△绕边AB所在直线 旋转一周，则所得几何体的表面积为【 】‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎4. （2011山东济宁10分）如图，第一象限内半径为2的⊙C与轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：=k+3。‎ ‎(1) 设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式。‎ ‎(2)设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP。请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；‎ ‎(3)是否存在使△AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由。‎ ‎5. （2011江苏盐城12分）如图，已知一次函数与正比例函数 的图象交于点A，且与轴交于点B.‎ ‎（1）求点A和点B的坐标；‎ ‎（2）过点A作AC⊥轴于点C，过点B作直线l∥轴．‎ 动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.‎ ‎①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？‎ ‎②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说 明理由．‎ 四、面动形成的动态面积问题：‎ 典型例题：例1：（2012湖南岳阳3分）如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是【 】‎ A．B．C．D．‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】旋转问题的函数图象，正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】如图，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N，‎ ‎∵点E是正方形的对称中心，∴EN=EM，EMBN是正方形。‎ 由旋转的性质可得∠NEK=∠MEL，‎ 在Rt△ENK和Rt△EML中，‎ ‎∠NEK=∠MEL，EN=EM，∠ENK=∠EML，‎ ‎∴△ENK≌△ENL（ASA）。‎ ‎∴阴影部分的面积始终等于正方形面积的，即它们重叠部分的面积S不因旋转的角度θ的改变而改变。故选B。‎ 例2：（2012宁夏区3分）如图，将等边△ABC沿BC方向平移得到△A1B‎1C1．若BC＝3， ，则BB1＝ ▲ ．‎ ‎【答案】1。‎ ‎【考点】平移的性质，等边三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】由等边△ABC中BC＝3可求得高为，面积为。‎ ‎ 由平移的性质，得△ABC∽△PB‎1C。∴，即，得B‎1C＝2。‎ ‎ ∴BB1＝BC－B‎1C=1。‎ 例3：（2012山东济南3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于 ▲ ．‎ ‎【答案】8。‎ ‎【考点】平移的性质，平行四边形的判定和性质。‎ ‎【分析】根据平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，可得四边形ABED是平行四边形，‎ 再根据平行四边形的面积公式即可求解：‎ ‎ ∵将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，平移距离为2，∴AD∥BE，AD=BE=2，‎ ‎∴四边形ABED是平行四边形。∴四边形ABED的面积=BE×AC=2×4=8。‎ 例4：（2012辽宁锦州3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°.把△ABC绕点A按顺时针 方向旋转60°后得到△AB＇C ＇，若AB=4，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 ‎【 】‎ A. π B. π C. 2π D. 4π ‎【答案】C。‎ ‎【考点】旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积的计算。‎ ‎【分析】∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=4，∴AC=ABcos∠BAC=2，∠CA C′=60°。‎ ‎∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△AB′C′，∴。‎ ‎∴‎ ‎ =。‎ 故选C。‎ 例5：（2012湖南益阳12分）已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1．‎ ‎（1）求证：△ABE≌△BCF；‎ ‎（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；‎ ‎（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E落在CD边上的点E′处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC。∴∠ABF+∠CBF=90°。‎ ‎∵AE⊥BF，∴∠ABF+∠BAE=90°。∴∠BAE=∠CBF。‎ 在△ABE和△BCF中，∵∠ABE=∠BCF，AB=BC，∠BAE=∠CBF，‎ ‎∴△ABE≌△BCF（ASA）。 ‎ ‎（2）解：∵正方形面积为3，∴AB=。‎ 在△BGE与△ABE中，∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，∴△BGE∽△ABE。‎ ‎∴。‎ 又∵BE=1，∴AE2=AB2+BE2=3+1=4。‎ ‎∴。‎ ‎（3）解：没有变化。理由如下：‎ ‎∵AB=，BE=1，∴。∴∠BAE=30°。‎ ‎∵AB′=AD，∠AB′E′=∠ADE'=90°，AE′= AE′，∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，‎ ‎∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°。‎ ‎∴AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G。‎ 设BF与AE′的交点为H，‎ 则∠BAG=∠HAG=30°，而∠AGB=∠AGH=90°，AG= AG，∴△BAG≌△HAG。‎ ‎∴。 ‎ ‎∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化。‎ ‎【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形。‎ ‎【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，可得∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，又由AE⊥BF，由同角的余角相等，即可证得∠BAE=∠CBF，然后利用ASA，即可判定：△ABE≌△BCF。‎ ‎（2）由正方形ABCD的面积等于3，即可求得此正方形的边长，由在△BGE与△ABE中，∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，可证得△BGE∽△ABE，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案。‎ ‎（3）由正切函数，求得∠BAE=30°，易证得Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，可得AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G，然后设BF与AE′的交点为H，可证得△BAG≌△HAG，从而证得结论。‎ 例6：（2012江苏宿迁12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知直线l1:y=x与直线l2：y=－x+6相交于点M，直线l2与x轴相较于点N.‎ （1） 求M，N的坐标；‎ （2） 在矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个 单位长度的速度移动.设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S.移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束）。直接写出S与自变量t之间的函数关系式（不需要给出解答过程）；‎ （3） 在（2）的条件下，当t为何值时，S的值最大？并求出最大值.‎ ‎【答案】解：（1）解得。∴M的坐标为（4，2）。‎ ‎ 在y=－x+6中令y=0得x=6，∴N的坐标为（6，0）。‎ ‎ （2）S与自变量t之间的函数关系式为：‎ ‎ ‎ ‎ （3）当0≤t≤1时，S的最大值为，此时t=1。‎ ‎ 当1＜t≤4时，S的最大值为，此时t=4。‎ ‎ 当4＜t≤5时，∵，‎ ‎∴S的最大值为，此时t=。‎ ‎ 当5＜t≤6时，S随t的增大而减小，最大值不超过。‎ ‎ 当6＜t≤7时，S随t的增大而减小，最大值不超过。‎ ‎ 综上所述，当t=时，S的值最大，最大值为。‎ ‎【考点】一次函数综合题，平移问题，直线上点的坐标与方程的关系，一次函数和二次函数的最值。‎ ‎【分析】（1）联立两直线方程即可求得M的坐标，在y=－x+6中令y=0即可求得N的坐标。‎ ‎（2）先求各关键位置，自变量t的情况：‎ 起始位置时，t=0；当点A与点O重合时，如图1，t=1；当点C与点M重合时，如图2，t=4；当点D与点M重合时，如图3，t=5；当点B与点N重合时，如图4，t=6；结束位置时，点A与点N重合，t=7。‎ ①当0≤t≤1时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一三角形面积（不含t=0），三角形的底为t，高为，∴。‎ ②当1＜t≤4时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一梯形面积，梯形的上底为，下底为，高为1。∴。‎ ③当4＜t≤5时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为两梯形面积的和，第一个梯形的上底为，下底为2，高为；第二个梯形的上底为－t +6，下底为2，高为。‎ ‎∴。‎ ④当5＜t≤6时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一梯形面积，梯形的上底为 ‎6－t ，下底为7－t，高为1。∴。‎ ⑤当6＜t≤7时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一三角形面积（不含t=7），三角形的底为7－t，高为7－t，∴。‎ ‎（3）分别讨论各分段函数的最大值而得所求。‎ 例7：（2012黑龙江大庆8分） 已知半径为‎1cm的圆，在下面三个图中AC=‎10cm，AB=‎6cm，BC=‎8cm，在图2中∠ABC=90°．‎ ‎ （1）如图1，若将圆心由点A沿AC方向运动到点C，求圆扫过的区域面积；‎ ‎ （2）如图2，若将圆心由点A沿ABC方向运动到点C，求圆扫过的区域面积；‎ ‎ （3）如图3，若将圆心由点A沿ABCA方向运动回到点A．‎ ‎ 则I）阴影部分面积为_ ___；Ⅱ）圆扫过的区域面积为__ __．‎ ‎【答案】解：（1）由题意得，圆扫过的面积=DE×AC+πr2=（20+π）cm2。‎ ‎（2）圆扫过的区域面积=AB的面积+BC的面积－一个圆的面积。‎ 结合（1）的求解方法，可得所求面积 ‎=（2r×AB+πr2）+（2r×BC+πr2）﹣πr2=2r（AB+BC）+πr2=（28+π）cm2。‎ ‎（3）I） cm2；Ⅱ）（+π）cm2。‎ 例8：（2012湖北荆州12分）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；‎ ‎（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；‎ ‎（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．‎ ‎【答案】解：（1）∵抛物线经过点A（3，0），D（﹣1，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣3）（x+1）。‎ 将E（0，3）代入上式，解得：a=﹣1。‎ ‎∴抛物线的解析式为y=－（x﹣3）（x+1），即y=﹣x2+2x+3。‎ 又∵y=－x2+2x+3=－（x－1）2+4，∴点B（1，4）。‎ ‎（2）证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）．‎ 在Rt△AOE中，OA=OE=3，‎ ‎∴∠1=∠2=45°，。‎ 在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，‎ ‎∴∠MEB=∠MBE=45°，。‎ ‎∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°。‎ ‎∴AB是△ABE外接圆的直径。‎ 在Rt△ABE中，，∴∠BAE=∠CBE。‎ 在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°。∴∠CBA=90°，即CB⊥AB。‎ ‎∴CB是△ABE外接圆的切线。‎ ‎（3）存在。点P的坐标为（0，0）或（9，0）或（0，﹣）。‎ ‎（4）设直线AB的解析式为y=kx+b．‎ 将A（3，0），B（1，4）代入，得，解得。‎ ‎∴直线AB的解析式为y=﹣2x+6。‎ 过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=，∴F（，3）。‎ 情况一：如图2，当0＜t≤时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN交AE于点G。‎ 则ON=AD=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．‎ 由△AHD∽△FHM，得，即，解得HK=2t。‎ ‎∴‎ ‎=×3×3﹣（3﹣t）2﹣t•2t=﹣t2+3t。‎ 情况二：如图3，当＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V。‎ 由△IQA∽△IPF，得．即，‎ 解得IQ=2（3﹣t）。‎ ‎∴‎ ‎=×（3﹣t）×2（3﹣t）﹣（3﹣t）2=（3﹣t）2=t2﹣3t+。‎ 综上所述：。‎ ‎【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，圆的切线的判定，相似三角形的性质，平移的性质。‎ ‎【分析】（1）已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，从而能得到顶点B的坐标。‎ ‎ （2）过B作BM⊥y轴于M，由A、B、E三点坐标，可判断出△BME、△AOE都为等腰直角三角形，易证得∠BEA=90°，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可．BE、AE长易得，能求出tan∠BAE的值，结合tan∠CBE的值，可得到∠CBE=∠BAE，由此证得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°，从而得证。‎ ‎（3）在Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，sin∠BAE=，cos∠BAE=。‎ 若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形。‎ ‎①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合。‎ 由D（﹣1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3， ‎ 即tan∠DEO==tan∠BAE，‎ 即∠DEO=∠BAE，满足△DEO∽△BAE的条件。‎ 因此 O点是符合条件的P1点，坐标为（0，0）。‎ ‎②DE为短直角边时，P2在x轴上。‎ 若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，‎ ‎∠DEP2=∠AEB=90°sin∠DP2E=sin∠BAE=。‎ 而DE=，则DP2=DE÷sin∠DP2E=÷=10，OP2=DP2﹣OD=9。‎ 即P2（9，0）。‎ ‎③DE为长直角边时，点P3在y轴上。‎ 若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，‎ 则∠EDP3=∠AEB=90°cos∠DEP3=cos∠BAE=。‎ 则EP3=DE÷cos∠DEP3=÷，OP3=EP3﹣OE=。即P3（0，﹣）。‎ 综上所述，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，﹣）。‎ ‎ （4）过E作EF∥x轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，△AOE与△ABE重叠部分是个五边形；当E点运动到F点右侧时，△AOE与△ABE重叠部分是个三角形．按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解。‎ 例9：（2012重庆市12分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．‎ ‎（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；‎ ‎（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．‎ ‎【答案】解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，‎ 则BE=FG=BG=x。‎ ‎∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x。‎ ‎∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC。‎ ‎∴，即。‎ 解得：x=2，即BE=2。‎ ‎（2）存在满足条件的t，理由如下：‎ 如图②，过点D作DH⊥BC于H，‎ 则BH=AD=2，DH=AB=3，‎ 由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，‎ ‎∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC。‎ ‎∴，即。∴ME=2﹣t。‎ 在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8。‎ 在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13。‎ 过点M作MN⊥DH于N，则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，‎ ‎∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1。‎ 在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=（t+1）2+ t 2=t2+t+1。‎ ‎（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，‎ 即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），解得：t=。‎ ‎（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，‎ 即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1），解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣（舍去）。‎ ‎∴t=﹣3+。‎ ‎（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，‎ 即t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），此方程无解。‎ 综上所述，当t=或﹣3+时，△B′DM是直角三角形；‎ ‎（3）。‎ ‎【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理，正方形的性质，直角梯形的性质，平移的性质。‎ ‎【分析】（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长。‎ ‎（2）首先由△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M、‎ ‎∠DB′M和∠B′DM分别是直角，列方程求解即可。‎ ‎（3）分别从，， 和时去分析求解即可求得答案：‎ ‎①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，‎ 即2：3=CE：4，∴CE=。‎ ‎∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣。‎ ‎∵ME=2﹣t，∴FM=t，‎ ‎∴当时，S=S△FMN=×t×t=t2。‎ ‎②如图④，当G在AC上时，t=2，‎ ‎∵EK=EC•tan∠DCB= ，‎ ‎∴FK=2﹣EK=﹣1。‎ ‎∵NL=，∴FL=t﹣，‎ ‎∴当时，S=S△FMN﹣S△FKL=t2﹣（t﹣）（﹣1）=。‎ ‎③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，‎ 即B′C：4=2：3，解得：B′C=，‎ ‎∴EC=4﹣t=B′C﹣2=。∴t=。‎ ‎∵B′N=B′C=（6﹣t）=3﹣t，‎ ‎∴GN=GB′﹣B′N=t﹣1。‎ ‎∴当时，S=S梯形GNMF﹣S△FKL=×2×（t﹣1+t）﹣（t﹣）（﹣1）‎ ‎=。‎ ‎④如图⑥，当时，‎ ‎∵B′L=B′C=（6﹣t），EK=EC=（4﹣t），‎ B′N=B′C=（6﹣t）EM=EC=（4﹣t），‎ ‎∴S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL﹣S梯形B′EMN=。‎ 综上所述：。‎ 例10：（2012江苏淮安12分）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，4），C（2，0），将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转1350，得到矩形EFGH（点E与O重合）.‎ ‎（1）若GH交y轴于点M，则∠FOM＝ ，OM= ‎ ‎（2）矩形EFGH沿y轴向上平移t个单位。‎ ‎①直线GH与x轴交于点D，若AD∥BO，求t的值；‎ ‎②若矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为S个平方单位，试求当0

查看更多