中考数学压轴题精选一及答案

中考数学压轴题精选一及答案

‎2010中考数学压轴题精选（一）‎ ‎★★1、（2010北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= -x2+x+m2-‎3m+2‎ ‎ 与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条抛物线上。‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E。延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）‎ ‎ j 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；‎ ‎ k 若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一 点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F。延长QF 到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q 点运动时，M点，N点也随之运动)。若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值。‎ x y O ‎1‎ ‎1‎ ‎★★2、（2010北京）问题：已知△ABC中，ÐBAC=2ÐACB，点D是△ABC 内的一点，且AD=CD，BD=BA。探究ÐDBC与ÐABC度数的比值。‎ ‎ 请你完成下列探究过程：‎ 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。‎ ‎ (1) 当ÐBAC=90°时，依问题中的条件补全右图。观察图形，AB与AC的数量关系为 ； 当推出ÐDAC=15°时，可进一步推出ÐDBC的度数为 ；可得到ÐDBC与ÐABC度数的比值为 ；‎ ‎ (2) 当ÐBAC¹90°时，请你画出图形，研究ÐDBC与ÐABC度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。‎ A C B ‎★★3、（2010郴州）如图（1），抛物线与y轴交于点A，E（0，b）为y 轴上一动点，过点E的直线与抛物线交于点B、C.‎ ‎（1）求点A的坐标；‎ ‎（2)当b=0时（如图（2）），与的面积大小关系如何？当时，上述关系还成立吗，为什么？‎ ‎（3）是否存在这样的b，使得是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由. ‎ 第26题 图（1）‎ 图（2）‎ ‎★★4、（2010滨州）如图，四边形ABCD是菱形，点 D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线恰好经过轴上A、B两点．‎ ‎（1）求A、B、C三点的坐标；‎ ‎（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；‎ ‎（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位?‎ ‎★★5、（2010长沙）已知：二次函数的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b），其中且、为实数．‎ ‎（1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）；‎ ‎（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；‎ ‎（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求| x1－x2 |的范围．‎ ‎★★6、（2010长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上， cm， OC=‎8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒 cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒 ‎1 cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．‎ ‎（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；‎ ‎（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；‎ ‎（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线经过B、P两点，过线段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．‎ B A P x C Q O y 第26题图 ‎★★7、（2010常德）如图9，已知抛物线轴交于点A（-4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点.‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）设E是线段AB上的动点，作EF∥AC交BC于F，连接CE，当的面积是面积的2倍时，求E点的坐标；‎ ‎（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标.‎ A B O C 图9‎ y x ‎★★8、（2010常德）如图10，若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.‎ ‎（1）当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE 是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.‎ ‎（2）当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M.‎ ‎①求证：AG⊥CH;‎ ‎②当AD=4，DG=时，求CH的长。‎ A B C D E F 图10‎ G A D 图11‎ F E B C G A D B C E F H M 图12‎ ‎★★9、（2010丹东）如图， 已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，‎ BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时， △DMN 也随之整体移动） ．‎ ‎（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；‎ ‎ （2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由． ‎ 图①‎ 图②‎ 图③‎ 第25题图 A ‎·‎ B C D E F ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎★★10、（2010丹东）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为 ‎（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．‎ ‎（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；‎ ‎（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式； ‎ ‎（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；‎ ‎ （4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出 此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．‎ 第26题图 参考答案 ‎★★1、（2010北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= -x2+x+m2-‎3m+2‎ ‎ 与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条抛物线上。‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E。延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）‎ ‎ j 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；‎ ‎ k 若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一 点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F。延长QF 到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q 点运动时，M点，N点也随之运动)。若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值。‎ x y O ‎1‎ ‎1‎ O A B C D E P y x 图1‎ 解：（1）∵拋物线y= -x2+x+m2-‎3m+2经过原点，∴m2-‎3m+2=0，解得m1=1，m2=2，由题意知m¹1，∴m=2，‎ ‎∴拋物线的解析式为y= -x2+x，‎ ‎∵点B(2，n)在拋物线y= -x2+x上，‎ ‎∴n=4，∴B点的坐标为(2，4)。‎ ‎ （2）j 设直线OB的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为 y=2x，∵A点是拋物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标为(10，0)，设P点的坐标为(a，0)，则E点的坐标为（a，‎2a），根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1。可求得点C的坐标为（‎3a，‎2a），由C点在拋物线上，得‎2a= -´(‎3a)2+´‎3a，即a‎2-a=0，解得a1=，a2=0（舍去），∴OP=。‎ ‎ k 依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2x+b，由点A(10，0)，‎ 点B(2，4)，求得直线AB的解析式为y= -x+5，当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：‎ ‎ 第一种情况：CD与NQ在同一条直线上。‎ 如图2所示。可证△DPQ为等腰直角三角形。此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位。∴PQ=DP=4t，∴t+4t+2t=10，∴t=。‎ ‎ 第二种情况：PC与MN在同一条直线上。‎ 如图3所示。可证△PQM为等腰直角三角形。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴OQ=10-2t，∵F点在直线AB上，∴FQ=t，∴MQ=2t，∴PQ=MQ=CQ=2t，‎ ‎∴t+2t+2t=10，∴t=2。‎ ‎ 第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，‎ 如图4所示。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴t+2t=10，‎ 图4‎ y x B O Q(P)‎ N C D M E F ‎∴t=。综上，符合题意的t值分别为，2， 。‎ x y O A M ‎(C)‎ B ‎(E)‎ D P Q F N 图3‎ E x O A B C y P M Q N F D 图2‎ ‎★★2、（2010北京）问题：已知△ABC中，ÐBAC=2ÐACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。探究ÐDBC与ÐABC度数的比值。‎ ‎ 请你完成下列探究过程：‎ 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。‎ ‎ (1) 当ÐBAC=90°时，依问题中的条件补全右图。观察图形，AB与AC的数量关系为 ； 当推出ÐDAC=15°时，可进一步推出ÐDBC的度数为 ；可得到ÐDBC与ÐABC度数的比值为 ；‎ ‎ (2) 当ÐBAC¹90°时，请你画出图形，研究ÐDBC与ÐABC度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。‎ A C B 解：(1) 相等；15°；1：3。‎ ‎(2) 猜想：ÐDBC与ÐABC度数的比值与(1)中结论相同。‎ ‎ 证明：如图2，作ÐKCA=ÐBAC，过B点作BK//AC交CK于点K，‎ ‎ 连结DK。∵ÐBAC¹90°，∴四边形ABKC是等腰梯形，‎ ‎ ∴CK=AB，∵DC=DA，∴ÐDCA=ÐDAC，∵ÐKCA=ÐBAC，‎ B A C D K ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 图2‎ ‎ ∴ÐKCD=Ð3，∴△KCD@△BAD，∴Ð2=Ð4，KD=BD，‎ ‎ ∴KD=BD=BA=KC。∵BK//AC，∴ÐACB=Ð6，‎ ‎ ∵ÐKCA=2ÐACB，∴Ð5=ÐACB，∴Ð5=Ð6，∴KC=KB，‎ ‎ ∴KD=BD=KB，∴ÐKBD=60°，∵ÐACB=Ð6=60°-Ð1，‎ ‎ ∴ÐBAC=2ÐACB=120°-2Ð1，‎ ‎ ∵Ð1+(60°-Ð1)+(120°-2Ð1)+Ð2=180°，∴Ð2=2Ð1，‎ ‎ ∴ÐDBC与ÐABC度数的比值为1：3。‎ ‎★★3、（2010郴州）如图（1），抛物线与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线与抛物线交于点B、C.‎ ‎（1）求点A的坐标；‎ ‎（2)当b=0时（如图（2）），与的面积大小关系如何？当时，上述关系还成立吗，为什么？‎ ‎（3）是否存在这样的b，使得是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由. ‎ 第26题 图（1）‎ 图（2）‎ 解：（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，－4）‎ ‎（2）当b＝0时，直线为，由解得， ‎ 所以B、C的坐标分别为（－2，－2），（2，2） ‎ ‎，‎ 所以（利用同底等高说明面积相等亦可）‎ 当时，仍有成立. 理由如下 由，解得， ‎ 所以B、C的坐标分别为（－，－+b），（，+b），‎ 作轴，轴，垂足分别为F、G，则，‎ 而和是同底的两个三角形，‎ 所以. ‎ ‎（3）存在这样的b.‎ 因为 所以，所以，即E为BC的中点 所以当OE=CE时，为直角三角形，因为 所以 ，而 所以，解得，‎ 所以当b＝4或－2时，ΔOBC为直角三角形. ‎ ‎★★4、（2010滨州）如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线恰好经过轴上A、B两点．‎ ‎（1）求A、B、C三点的坐标；‎ ‎（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；‎ ‎（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位?‎ 解：‎ 解：①由抛物线的对称性可知AM=BM 在Rt△AOD和Rt△BMC中，∵OD=MC，AD=BC，‎ ‎∴△AOD≌△BMC．∴OA=MB=MA．‎ 设菱形的边长为‎2m，在Rt△AOD中，‎ ‎，解得m=1．∴DC=2，OA=1，OB=3．‎ ‎∴A、B、C三点的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（2，）‎ ‎②设抛物线的解析式为y=（—2）2+ ‎ 代入A点坐标可得=—‎ 抛物线的解析式为y=—（—2）2+‎ ‎③设抛物线的解析式为y=—（一2）2+k，代入D（0，）可得k=5‎ 所以平移后的抛物线的解析式为y=—（一2）2+5，平移了5一=4个单位． ‎ ‎★★5、（2010长沙）已知：二次函数的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b），其中且、为实数．‎ ‎（1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）；‎ ‎（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；‎ ‎（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求| x1－x2 |的范围．‎ 解：（1）∵一次函数过原点∴设一次函数的解析式为y=kx ‎∵一次函数过（1，－b） ∴y=－bx ‎ ‎（2）∵y=ax2+bx－2过（1，0）即a+b=2 ‎ 由得 ① ‎ ‎ ∵△＝‎ ‎∴方程①有两个不相等的实数根∴方程组有两组不同的解 ‎∴两函数有两个不同的交点． ‎ ‎（3）∵两交点的横坐标x1、x2分别是方程①的解 ‎∴ ‎ ‎∴＝‎ 或由求根公式得出。 ∵a>b>0，a+b=2 ∴2>a>1‎ 令函数 ∵在1

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