中考数学压轴题型研究——动点几何问题解题方法

中考数学压轴题型研究——动点几何问题解题方法

中考数学压轴题型研究（一）——动点几何问题 下面以具体实例简单的说一说此类题的解题方法。‎ 一、利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题 例1：（北京市石景山区2010年数学期中练习）在△ABC中，∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM,‎ ‎(1)求△ABC的面积；‎ A C B ‎(2)现有动点P从A点出发，沿射线AB向点B方向运动，动点Q从C点出发，沿射线CB也向点B方向运动。如果点P的速度是4CM/秒，点Q的速度是2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，△PBQ的面积是△ABC的面积的一半？‎ ‎(3)在第（2）问题前提下，P,Q两点之间的距离是多少？‎ 点评：此题关键是明确点P、Q在△ABC边上的位置，有三种情况。‎ ‎（1）当0﹤t≦6时，P、Q分别在AB、BC边上；‎ ‎（2）当6﹤t≦8时，P、Q分别在AB延长线上和BC边上；‎ ‎（3）当t >8时, P、Q分别在AB、BC边上延长线上.‎ 然后分别用第一步的方法列方程求解.‎ 例2: (北京市顺义2010年初三模考)已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点， P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P从A点出发，沿A →B → C →E运动，到达点E.若点P经过的路程为自变量x，△APE的面积为函数y， ‎ ‎（1）写出y与x的关系式 ‎ ‎(2)求当y＝时，x的值等于多少？ ‎ 点评:这个问题的关键是明确点P在四边形ABCD边上的位置,根据题意点P的位置分三种情况:分别在AB上、BC边上、EC边上.‎ 例3：(北京市顺义2010年初三模考)如图1 ，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，DC∥AB，动点P从B点出发，沿梯形的边由B→C → D → A 运动，设点P运动的路程为x ,△ABP的面积为y , 如果关于x 的函数y的图象如图2所示 ，那么△ABC 的面积为（ ）‎ x A O Q P B y A．32 B．18 C．16 D．10 ‎ 例4：（09齐齐哈尔）直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段 运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动．（1）直接写出两点的坐标；‎ ‎（2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；‎ ‎（3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．‎ 点评：本题关键是区分点P的位置：点P在OB上，点P在BA上。‎ 例5：（2009宁夏）已知：等边三角形的边长为4厘米，长为1厘米的线段在的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动（运动开始时，点与点重合，点到达点时运动终止），过点分别作边的垂线，与的其它边交于两点，线段运动的时间为秒．‎ ‎（1）线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形？并求出该矩形的面积；‎ C P Q B A M N ‎（2）线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间为．求四边形 ‎ 6 / 6‎ 的面积随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围．‎ 解：（1）过点作，垂足为．则，‎ 当运动到被垂直平分时，四边形是矩形，即时，‎ C P Q B A M N 四边形是矩形，秒时，四边形是矩形．‎ ‎，‎ C P Q B A M N ‎（2）当时， ‎ 当时， ‎ 当时，‎ ‎ 点评：此题关键也是对P、Q两点的不同位置进行分类。‎ 图（3）‎ Cc Dc Ac Bc Qc Pc Ec 例6：（2009四川乐山）．如图（15），在梯形中，厘米，厘米，的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为秒．‎ ‎（1）求边的长；‎ ‎（2）当为何值时，与相互平分；‎ ‎（3）连结设的面积为探求与的函数关系式，求为何值时，有最大值？最大值是多少？‎ ‎6. 解：（1）作于点，如图（3）所示，则四边形为矩形．‎ 又 2分 在中，由勾股定理得：‎ ‎（2）假设与相互平分．由则是平行四边形（此时在上）． ‎ 即解得即秒时，与相互平分．‎ ‎（3）①当在上，即时，作于，则 ‎ 6 / 6‎ 即= ‎ 当秒时，有最大值为 ‎②当在上，即时，=‎ 易知随的增大而减小．故当秒时，有最大值为 综上，当时，有最大值为 二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。‎ A Q C D B P ‎ 例7：（包头）如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．‎ ‎（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．‎ ‎①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；‎ ‎②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？‎ ‎（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？‎ 解：（1）①∵秒，∴厘米，‎ ‎∵厘米，点为的中点，∴厘米．‎ 又∵厘米，∴厘米，∴．‎ 又∵，∴，∴．‎ ‎②∵， ∴，‎ 又∵，，则，‎ ‎∴点，点运动的时间秒，∴厘米/秒．‎ ‎（2）设经过秒后点与点第一次相遇，由题意，得，解得秒．‎ ‎ 6 / 6‎ ‎∴点共运动了厘米．‎ ‎∵，∴点、点在边上相遇，∴经过秒点与点第一次在边上相遇．‎ 例8：（09济南）如图，在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．‎ ‎（1）求的长． （2）当时，求的值．（3）试探究：为何值时，为等腰三角形．‎ 解：（1）如图①，过、分别作于，于，则四边形是矩形 ‎∴在中，‎ 在，中，由勾股定理得，‎ ‎（图①）‎ A D C B K H ‎（图②）‎ A D C B G M N ‎∴‎ ‎（2）如图②，过作交于点，则四边形是平行四边形 ‎∵∴∴∴‎ 由题意知，当、运动到秒时，‎ ‎∵∴又 ‎∴∴即解得，‎ A D C B M N ‎（图③）‎ ‎（图④）‎ A D C B M N H E ‎（3）分三种情况讨论：①当时，如图③，即∴‎ ‎②当时，如图④，过作于 解法一：由等腰三角形三线合一性质得 在中，又在中，∴解得 ‎ 6 / 6‎ ‎∵∴∴即∴ ‎ ‎③当时，如图⑤，过作于点.‎ ‎（图⑤）‎ A D C B H N M F 解法一：（方法同②中解法一）‎ 解得 解法二：‎ ‎∵∴‎ ‎∴即∴‎ 综上所述，当、或时，为等腰三角形 A B O C D P Q 例9：（呼和浩特）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90º，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝22cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端 点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t(s)．‎ ‎(1)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？‎ ‎(2)当t为何值时，PQ与⊙O相切？‎ 解：(1)∵直角梯形 当时，四边形为平行四边形．‎ O A P D B Q C 由题意可知：‎ ‎，，‎ O A P D B Q C H E 当时，四边形为平行四边形． ‎ ‎（2）解：设与相切于点过点作垂足为 直角梯形 由题意可知：‎ 为的直径，为的切线 ‎ ‎ ‎ 6 / 6‎ 在中，即：‎ ‎， 7分 因为在边运动的时间为秒，而（舍去）‎ A B D C P Q M N 当秒时，与相切．‎ 例10.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm()，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．‎ ‎（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；‎ ‎（2）当x 为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；‎ ‎（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．‎ 解：‎ ‎（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．‎ ‎①当点P与点N重合时，‎ ‎（舍去）．因为BQ+CM=，此时点Q与点M不重合．所以符合题意．‎ ‎②当点Q与点M重合时，‎ ‎．此时，不符合题意．故点Q与点M不能重合．‎ 所以所求x的值为． ‎ ‎（2）由（1）知，点Q 只能在点M的左侧，‎ ‎①当点P在点N的左侧时，由，解得．‎ 当x=2时四边形PQMN是平行四边形．‎ ‎②当点P在点N的右侧时，由， 解得．‎ 当x=4时四边形NQMP是平行四边形．所以当时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． ‎ ‎（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2x>x，所以点E一定在点P的左侧．‎ 若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形， 则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，‎ 即．解得．‎ 由于当x=4时， 以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以,以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形． ‎ ‎ 6 / 6‎