中考数学压轴题型研究——动点几何问题解题方法

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中考数学压轴题型研究——动点几何问题解题方法

中考数学压轴题型研究(一)——动点几何问题 下面以具体实例简单的说一说此类题的解题方法。‎ 一、利用动点(图形)位置进行分类,把运动问题分割成几个静态问题,然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题 例1:(北京市石景山区2010年数学期中练习)在△ABC中,∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM,‎ ‎(1)求△ABC的面积;‎ A C B ‎(2)现有动点P从A点出发,沿射线AB向点B方向运动,动点Q从C点出发,沿射线CB也向点B方向运动。如果点P的速度是4CM/秒,点Q的速度是2CM/秒,它们同时出发,几秒钟后,△PBQ的面积是△ABC的面积的一半?‎ ‎(3)在第(2)问题前提下,P,Q两点之间的距离是多少?‎ 点评:此题关键是明确点P、Q在△ABC边上的位置,有三种情况。‎ ‎(1)当0﹤t≦6时,P、Q分别在AB、BC边上;‎ ‎(2)当6﹤t≦8时,P、Q分别在AB延长线上和BC边上;‎ ‎(3)当t >8时, P、Q分别在AB、BC边上延长线上.‎ 然后分别用第一步的方法列方程求解.‎ 例2: (北京市顺义2010年初三模考)已知正方形ABCD的边长是1,E为CD边的中点, P为正方形ABCD边上的一个动点,动点P从A点出发,沿A →B → C →E运动,到达点E.若点P经过的路程为自变量x,△APE的面积为函数y, ‎ ‎(1)写出y与x的关系式 ‎ ‎(2)求当y=时,x的值等于多少? ‎ 点评:这个问题的关键是明确点P在四边形ABCD边上的位置,根据题意点P的位置分三种情况:分别在AB上、BC边上、EC边上.‎ 例3:(北京市顺义2010年初三模考)如图1 ,在直角梯形ABCD中,∠B=90°,DC∥AB,动点P从B点出发,沿梯形的边由B→C → D → A 运动,设点P运动的路程为x ,△ABP的面积为y , 如果关于x 的函数y的图象如图2所示 ,那么△ABC 的面积为( )‎ x A O Q P B y A.32 B.18 C.16 D.10 ‎ 例4:(09齐齐哈尔)直线与坐标轴分别交于两点,动点同时从点出发,同时到达点,运动停止.点沿线段 运动,速度为每秒1个单位长度,点沿路线→→运动.(1)直接写出两点的坐标;‎ ‎(2)设点的运动时间为秒,的面积为,求出与之间的函数关系式;‎ ‎(3)当时,求出点的坐标,并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标.‎ 点评:本题关键是区分点P的位置:点P在OB上,点P在BA上。‎ 例5:(2009宁夏)已知:等边三角形的边长为4厘米,长为1厘米的线段在的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动(运动开始时,点与点重合,点到达点时运动终止),过点分别作边的垂线,与的其它边交于两点,线段运动的时间为秒.‎ ‎(1)线段在运动的过程中,为何值时,四边形恰为矩形?并求出该矩形的面积;‎ C P Q B A M N ‎(2)线段在运动的过程中,四边形的面积为,运动的时间为.求四边形 ‎ 6 / 6‎ 的面积随运动时间变化的函数关系式,并写出自变量的取值范围.‎ 解:(1)过点作,垂足为.则,‎ 当运动到被垂直平分时,四边形是矩形,即时,‎ C P Q B A M N 四边形是矩形,秒时,四边形是矩形.‎ ‎,‎ C P Q B A M N ‎(2)当时, ‎ 当时, ‎ 当时,‎ ‎ 点评:此题关键也是对P、Q两点的不同位置进行分类。‎ 图(3)‎ Cc Dc Ac Bc Qc Pc Ec 例6:(2009四川乐山).如图(15),在梯形中,厘米,厘米,的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动,动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动,两个动点同时出发,当其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止.设动点运动的时间为秒.‎ ‎(1)求边的长;‎ ‎(2)当为何值时,与相互平分;‎ ‎(3)连结设的面积为探求与的函数关系式,求为何值时,有最大值?最大值是多少?‎ ‎6. 解:(1)作于点,如图(3)所示,则四边形为矩形.‎ 又 2分 在中,由勾股定理得:‎ ‎(2)假设与相互平分.由则是平行四边形(此时在上). ‎ 即解得即秒时,与相互平分.‎ ‎(3)①当在上,即时,作于,则 ‎ 6 / 6‎ 即= ‎ 当秒时,有最大值为 ‎②当在上,即时,=‎ 易知随的增大而减小.故当秒时,有最大值为 综上,当时,有最大值为 二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质(或所求图形面积)直接转化为函数或方程。‎ A Q C D B P ‎ 例7:(包头)如图,已知中,厘米,厘米,点为的中点.‎ ‎(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.‎ ‎①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,与是否全等,请说明理由;‎ ‎②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使与全等?‎ ‎(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇?‎ 解:(1)①∵秒,∴厘米,‎ ‎∵厘米,点为的中点,∴厘米.‎ 又∵厘米,∴厘米,∴.‎ 又∵,∴,∴.‎ ‎②∵, ∴,‎ 又∵,,则,‎ ‎∴点,点运动的时间秒,∴厘米/秒.‎ ‎(2)设经过秒后点与点第一次相遇,由题意,得,解得秒.‎ ‎ 6 / 6‎ ‎∴点共运动了厘米.‎ ‎∵,∴点、点在边上相遇,∴经过秒点与点第一次在边上相遇.‎ 例8:(09济南)如图,在梯形中,动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动;动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动.设运动的时间为秒.‎ ‎(1)求的长. (2)当时,求的值.(3)试探究:为何值时,为等腰三角形.‎ 解:(1)如图①,过、分别作于,于,则四边形是矩形 ‎∴在中,‎ 在,中,由勾股定理得,‎ ‎(图①)‎ A D C B K H ‎(图②)‎ A D C B G M N ‎∴‎ ‎(2)如图②,过作交于点,则四边形是平行四边形 ‎∵∴∴∴‎ 由题意知,当、运动到秒时,‎ ‎∵∴又 ‎∴∴即解得,‎ A D C B M N ‎(图③)‎ ‎(图④)‎ A D C B M N H E ‎(3)分三种情况讨论:①当时,如图③,即∴‎ ‎②当时,如图④,过作于 解法一:由等腰三角形三线合一性质得 在中,又在中,∴解得 ‎ 6 / 6‎ ‎∵∴∴即∴ ‎ ‎③当时,如图⑤,过作于点.‎ ‎(图⑤)‎ A D C B H N M F 解法一:(方法同②中解法一)‎ 解得 解法二:‎ ‎∵∴‎ ‎∴即∴‎ 综上所述,当、或时,为等腰三角形 A B O C D P Q 例9:(呼和浩特)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90º,AB=12cm,AD=8cm,BC=22cm,AB为⊙O的直径,动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动,P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端 点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t(s).‎ ‎(1)当t为何值时,四边形PQCD为平行四边形?‎ ‎(2)当t为何值时,PQ与⊙O相切?‎ 解:(1)∵直角梯形 当时,四边形为平行四边形.‎ O A P D B Q C 由题意可知:‎ ‎,,‎ O A P D B Q C H E 当时,四边形为平行四边形. ‎ ‎(2)解:设与相切于点过点作垂足为 直角梯形 由题意可知:‎ 为的直径,为的切线 ‎ ‎ ‎ 6 / 6‎ 在中,即:‎ ‎, 7分 因为在边运动的时间为秒,而(舍去)‎ A B D C P Q M N 当秒时,与相切.‎ 例10.如图,在矩形ABCD中,BC=20cm,P,Q,M,N分别从A,B,C,D出发沿AD,BC,CB,DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止.已知在相同时间内,若BQ=xcm(),则AP=2xcm,CM=3xcm,DN=x2cm.‎ ‎(1)当x为何值时,以PQ,MN为两边,以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形;‎ ‎(2)当x 为何值时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形;‎ ‎(3)以P,Q,M,N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能,求x的值;如果不能,请说明理由.‎ 解:‎ ‎(1)当点P与点N重合或点Q与点M重合时,以PQ,MN为两边,以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边可能构成一个三角形.‎ ‎①当点P与点N重合时,‎ ‎(舍去).因为BQ+CM=,此时点Q与点M不重合.所以符合题意.‎ ‎②当点Q与点M重合时,‎ ‎.此时,不符合题意.故点Q与点M不能重合.‎ 所以所求x的值为. ‎ ‎(2)由(1)知,点Q 只能在点M的左侧,‎ ‎①当点P在点N的左侧时,由,解得.‎ 当x=2时四边形PQMN是平行四边形.‎ ‎②当点P在点N的右侧时,由, 解得.‎ 当x=4时四边形NQMP是平行四边形.所以当时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形. ‎ ‎(3)过点Q,M分别作AD的垂线,垂足分别为点E,F.由于2x>x,所以点E一定在点P的左侧.‎ 若以P,Q,M,N为顶点的四边形是等腰梯形, 则点F一定在点N的右侧,且PE=NF,‎ 即.解得.‎ 由于当x=4时, 以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形,所以,以P,Q,M,N为顶点的四边形不能为等腰梯形. ‎ ‎ 6 / 6‎
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