中考数学探索规律题练习

中考数学探索规律题练习

中考数学真题系列 ‎——猜想、规律与探索 一 、选择题 ‎1.如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”， 图A3比图A2多出4个“树枝”， 图A4比图A3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”（ ）‎ ‎ A.28 B‎.56 C.60 D. 124‎ ‎ ‎ ‎2.如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第（是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ．‎ ‎ ‎ ‎3．下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是…………………………………………（ ）‎ A）495 B）‎497 C）501 D）503‎ ‎ ‎ ‎4．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B‎1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B‎2C2C1…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为 ‎ O A B C D A1‎ B1‎ C1‎ A2‎ C2‎ B2‎ x y A． B． C． D．‎ ‎ 5．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如： ‎ 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ‎（A）15 （B）25 （C）55 （D）1225‎ ‎ ‎ ‎6．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图6-1．在图6-2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图6-1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是 图6-1‎ 图6-2‎ 向右翻滚90°‎ 逆时针旋转90°‎ A．6 B．‎5 ‎ C．3 D．2‎ ‎7．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用…表示为，则顶点的坐标为（ ）‎ A B C P0‎ P3‎ P2‎ P1‎ 第8题 A、（13，13） B、（－13，－13） C、（14，14） D、（－14，－14）‎ ‎8．电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB=6，AC=7，BC=8．如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0=2．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第一次落点)处，且CP1=CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第一次落点)‎ 处，且AP2=AP1；第三步从P2跳到BC边的P3（第三次落点)处，且BP3=BP2；……；跳蚤按上述规则一致跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点P2007与P2010之间的距离为（ ）‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎9．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2010次输出的结果为 输出 输入x x＋3‎ x为偶数 x为奇数 ‎(第11题)‎ ‎（A）6　　　　　　　（B）3　　 （C）　　　　　　（D）‎ ‎10．如图，小红作出了边长为1的第1个正△A1B‎1C1，算出了正△A1B‎1C1的面积，然后分别取△A1B‎1C1三边的中点A2，B2，C2，作出了第2个正△A2B‎2C2，算出了正△A2B‎2C2的面积，用同样的方法，作出了第3个正△A3B‎3C3，算出了正△A3B‎3C3的面积……，由此可得，第8个正△A8B‎8C8的面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．对于每个非零自然数n，抛物线与x轴交于An、Bn两点，以表示这两点间的距离，则的值是 A． B． C． D． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎1．如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到的第五个图中，共有________个正三角形．‎ ‎……‎ ‎ ‎ ‎2．直线上有2010个点,我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点,经过3次这样的操作后,直线上共有 ▲ 个点.‎ ‎3．已知a≠0，，，，…，，则　　　　　　(用含a的代数式表示)．‎ ‎ 4.如图，直线y＝x，点A1坐标为(1，0)，过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A5的坐标为(_______，_______)．‎ ‎ ‎第17题 AD BAD CFEBAD A1‎ A2‎ A3‎ B1‎ B2‎ B3‎ ‎5．如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为，再分别取A‎1C、B‎1C的中点A2、B2，A‎2C、B‎2C的中点A3、B3，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出＋＋＋…＋＝________． ‎ ‎6．已知：，，，…，‎ 观察上面的计算过程，寻找规律并计算 ．‎ ‎7．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：‎ ‎（1）f（1）=0，f(2) = 1，f（3）=2，f（4）= 3，……‎ ‎（2）……‎ 利用以上规律计算： ‎ ‎8．已知是正整数，是反比例函数图象上的一列点，其中．记，，若（是非零常数），则A1·A2·…·An的值是________________________（用含和的代数式表示）．‎ ‎9．如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B‎1C1D1；把正方形A1B‎1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B‎2C2D2（如图（2））；以此下去···，则正方形A4B‎4C4D4的面积为__________‎ 第9题图（1）‎ A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ A B C D D2‎ A2‎ B2‎ C2‎ D1‎ C1‎ B1‎ A1‎ A B C D 图（2）‎ ‎10．在反比例函数的图象上,有一系列点、、…、、，若的横坐标为2,且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2. 现分别过点、、…、、作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图8所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为、、、，则________________,+++…+_________________.(用n的代数式表示)‎ ‎ ‎ ‎ 11．右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D．请你按图中箭头所指方向(即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是 ；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是 （用含n的代数式表示）．‎ ‎12．如图，n+1个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P‎1M1N1N2面积为S1，四边形P‎2M2‎N2N3的面积为S2，……，四边形PnMnNnNn+1的面积记为Sn，通过逐一计算S1，S2，…，可得Sn= .‎ ‎（第12题）‎ A N1‎ N2‎ N3‎ N4‎ N5‎ P4‎ P1‎ P2‎ P3‎ M1‎ M2‎ M3‎ M4‎ ‎…‎ ‎ ‎ ‎13．两个反比例子函数y＝，y＝在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3，……，P2010在反比例函数y＝图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，……，x2010，纵坐标分别是1，3，5，……，共2010‎ 个连续奇数，过点P1，P2，P3，……，P2010分别作y轴的平行线，与y＝的图象交点依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），……，Q2010（x2010，y2010），则y2010＝_______________。‎ 第14题 D1‎ D5‎ D2‎ D3‎ D4‎ D0‎ ‎14．如图，△ABC是一个边长为2的等边三角形，AD0⊥BC，垂足为点D0．过点D0作D0D1⊥AB，垂足为点D1；再过点D1作D1D2⊥AD0，垂足为点D2；又过点D2作D2D3⊥AB，垂足为点D3；……；这样一直作下去，得到一组线段：D0D1，D1D2，D2D3，……，则线段Dn-1Dn的长为_ ▲ _（n为正整数）． ‎ ‎15．小敏将一张直角边为l的等腰直角三角形纸片(如图1)，沿它的对称轴折叠1次后得 到一个等腰直角三角形(如图2)，再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得 到一个等腰直角三角形(如图3)，则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为 ；同上操作，若小敏连续将图1的等腰直角三角形折叠n次后所得到 的等腰直角三角形(如图n+1)的一条腰长为 ．‎ ‎ ‎ ‎16．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B‎1C的对角线 A‎1C和OB1交于点M1；以M‎1A1为对角线作第二个正方形A‎2A1B‎2M1，对角线A‎1M1和A2B2交于点M2；以M‎2A1为对角线作第三个正方形A‎3A1B‎3M2‎，对角线A‎1M2‎和A3B3交于点M3；……依此类推，这样作的第n 个正方形对角线交点Mn的坐标为 .‎ P1‎ P3‎ P2‎ O 图7‎ Y X ‎17．如图7，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2010次，依次得到点P,P,P…P ‎．则点P的坐标是 ．‎ ‎18．把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止。那么2007，2008，2009，2010这四个数中______________可能是剪出的纸片数 ‎19．如图所示，直线y＝x＋1与y轴相交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B‎1C1，记作第一个正方形；然后延长C1B1与直线y＝x＋1相交于点A2，再以C‎1A2为边作正方形C‎1A2B‎2C2，记作第二个正方形；同样延长C2B2与直线y＝x＋1相交于点A3，再以C‎2A3为边作正方形C‎2A3B‎3C3，记作第三个正方形；…依此类推，则第n个正方形的边长为________________．‎ ‎ ‎图1‎ ‎20．如图1，已知Rt△ABC中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A‎1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C‎1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A‎2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A‎1C1，，…，则CA1= ， ‎ ‎21．如图，在△ABC中，∠A＝．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2； ……；∠A2008BC与∠A2008CD的平分线相交于点A2009，得∠A2009 ．则∠A2009＝ ．‎ B A C D ‎21题图 A1‎ A2‎ ‎…‎ ‎① ② ③ ④ ‎ ‎ 22、如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n(n≥3) 块纸板的周长为Pn，则Pn-Pn-1= ▲ .‎ ‎23、 如图，已知，是斜边的中点，过作于，连结交于；过作于，连结交于；过作于，…，如此继续，可以依次得到点，…，，分别记…，的面积为，….则=________（用含的代数式表示）.‎ B C A E1‎ E2‎ E3‎ D4‎ D1‎ D2‎ D3‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎24．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 __________块，第个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含的代数式表示）．‎ ‎25．如图所示，已知：点，，在内依次作等边三角形，使一边在轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…，则第个等边三角形的边长等于 ． ‎ O y x ‎(A)‎ A1‎ C ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ B A2‎ A3‎ B3‎ B2‎ B1‎ ‎25题图 ‎ ‎ 三 解答题 ‎1. （数学课堂上，徐老师出示了一道试题：‎ 如图（十）所示，在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B，C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点，若∠AMN=60°，求证：AM=MN。‎ ‎（1）经过思考，小明展示了一种正确的证明过程，请你将证明过程补充完整。‎ 证明：在AB上截取EA=MC，连结EM，得△AEM。‎ ‎∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB -∠B，∠AMN=∠B=60°，∴∠1=∠2.‎ 又∵CN、平分∠ACP，∴∠4=∠ACP=60°。∴∠MCN=∠3+∠4=120°。………………①‎ 又∵BA=BC，EA=MC，∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM。∴△BEM为等边三角形，∴∠6=60°。‎ ‎∴∠5=10°-∠6=120°。………………②由①②得∠MCN=∠5.在△AEM和△MCN中，‎ ‎∵__________,____________,___________,∴△AEM≌△MCN（ASA）。∴AM=MN.‎ ‎(2)若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A1B‎1C1D‎1”‎(如图)，N1是∠D‎1C1P1的平分线上一点，则当∠A‎1M1N1=90°时，结论A‎1M1=M1N1是否还成立？（直接给出答案，不需要证明）‎ ‎（3）若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形AnBnCnDn…Xn”，请你猜想：当∠AnMnNn=______°时，结论AnMn=MnNn仍然成立？（直接写出答案，不需要证 ‎ ‎ 2．如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个的顶点与点P重合，第二个的顶点是与PQ的交点，…，最后一个的顶点、在圆上．‎ ‎（第23题）‎ ‎（第23题 图1）‎ ‎（第23题 图2）‎ ‎（1）如图1，当时，求正三角形的边长；‎ ‎（2）如图2，当时，求正三角形的边长； 全品中考网 ‎（3）如题图，求正三角形的边长（用含n的代数式表示）．‎ ‎3．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式. 请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：‎ 四面体 长方体 正八面体 正十二面体 ‎ 多面体 顶点数(V)‎ 面数(F)‎ 棱数(E)‎ 四面体 ‎4‎ ‎4‎ ‎▲‎ 长方体 ‎8‎ ‎6‎ ‎12‎ 正八面体 ‎▲‎ ‎8‎ ‎12‎ 正十二面体 ‎20‎ ‎12‎ ‎30‎ (1) 根据上面多面体模型，完成表格中的空格：‎ 你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是 ▲ ；‎ ‎(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ▲ ；‎ ‎ (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱. 设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值.‎ ‎ ‎ ‎4．已知点P的坐标为（m，0），在x轴上存在点Q（不与P点重合），以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在反比例函数y = 的图像上.小明对上述问题进行了探究，发现不论m取何值，符合上述条件的正方形只有两个，且一个正方形的顶点M在第四象限，另一个正方形的顶点M1在第二象限.‎ y P Q M N O x ‎1‎ ‎2‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-3‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎(第23题图)‎ ‎（1）如图所示，若反比例函数解析式为y= ，P点坐标为（1， 0），图中已画出一符合条件的一个正方形PQMN，请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ‎1M1N1，并写出点M1的坐标； M1的坐标是 ▲ ‎ ‎（2） 请你通过改变P点坐标，对直线M‎1 M的解析式y﹦kx＋b进行探究可得 k﹦ ▲ ， 若点P的坐标为（m，0）时，则b﹦ ▲ ；‎ ‎ （3） 依据(2)的规律，如果点P的坐标为（6，0），请你求出点M1和点M的坐标．‎ ‎ ‎ ‎5．小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD＝‎8cm，AB＝‎6cm．现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着与AB边夹角为45°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当点P碰到BC边，沿着与BC边夹角为45°的方向作直线运动，当点P碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45°的方向作直线运动，…，如图1所示．问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路径的总长是多少．‎ 小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形A1B1CD．由轴对称的知识，发现P2P3＝P2E，P‎1A＝P1E．‎ 图1 图2‎ 请你参考小贝的思路解决下列问题：‎ ‎（1）P点第一次与D点重合前与边相碰______次；P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是________cm；‎ ‎（2）进一步探究：改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足AD＞AB．动点P从A点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上．若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则AB∶AD的值为________．‎ ‎（图12）‎ ‎6．如图12，在直角坐标系中，已知点的坐标为（1,0），将线段绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到，使得，得到线段；又将线段绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到，使得，得到线段，如此下去，得到线段，，…，．‎ ‎（1）写出点M5的坐标；（4分）‎ ‎（2）求的周长；（4分）‎ ‎（3）我们规定：把点（0,1,2,3…）‎ 的横坐标，纵坐标都取绝对值后得到的新坐标称之为点的“绝对坐标”．根据图中点 的分布规律，请你猜想点的“绝对坐标”，并写出来． ‎ ‎7．如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM＝BD，EN＝CE，得到图③，请解答下列问题：(1)若AB＝AC，请探究下列数量关系：‎ ‎①在图②中，BD与CE的数量关系是________________；‎ ‎②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；‎ ‎(2)若AB＝k·AC(k＞1)，按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．‎ ‎8．如图，AD是⊙O的直径．‎ ‎(1)　如图①，垂直于AD的两条弦B‎1C1，B‎2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是　　　　　　，∠B2的度数是　　　　　　；‎ ‎(2)　如图②，垂直于AD的三条弦B‎1C1，B‎2C2，B‎3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；‎ ‎(3)　如图③，垂直于AD的n条弦B‎1C1，B‎2C2，B‎3 C3，…，BnCn把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠Bn的度数(只需直接写出答案)．‎ A O D B1‎ B2‎ C1‎ C2‎ 图①‎ O D A B1‎ C1‎ B2‎ C2‎ C3‎ B3‎ 图②‎ D Bn A O B1‎ Bn-2‎ C1‎ B2‎ C2‎ B3‎ C3‎ Cn-2‎ Bn-1‎ Cn-1‎ Cn ‎……‎ 图③‎ ‎9．学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm，如图所示．已知每个菱形图案的边长cm，其一个内角为60°．‎ ‎60°‎ ‎……‎ d L ‎（1）若d＝26，则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L；‎ ‎（2）当d＝20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？‎