泰安市中考数学试题及解析

泰安市中考数学试题及解析

2017 年山东省泰安市中考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共 20 小题，每小题 3 分，共 60 分） 1．（2017•泰安）下列四个数：﹣3，﹣ ，﹣π，﹣1，其中最小的数是（　　） A．﹣π B．﹣3 C．﹣1 D．﹣ 【解答】解：∵﹣1＞﹣ ＞﹣3＞﹣π， ∴最小的数为﹣π， 故选 A． 2．（2017•泰安）下列运算正确的是（　　） A．a2•a2=2a2 B．a2+a2=a4 C．（1+2a）2=1+2a+4a2 D．（﹣a+1）（a+1）=1﹣a2 【解答】解：A、a2•a2=a4，此选项错误； B、a2•a2=2a2，此选项错误； C、（1+2a）2=1+4a+4a2，此选项错误； D、（﹣a+1）（a+1）=1﹣a2，此选项正确； 故选：D．　 3．（2017•泰安）下列图案 其中，中心对称图形是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【解答】解：①不是中心对称图形； ②不是中心对称图形； ③是中心对称图形； ④是中心对称图形． 故选：D．　 4．（2017•泰安）“2014 年至 2016 年，中国同‘一带一路’沿线国家贸易总额超过 3 万亿美元”，将数据 3 万亿美元用科学记数法表示为（　　） A．3×1014 美元B．3×1013 美元C．3×1012 美元D．3×10 11 美元 【解答】解：3 万亿=3 0000 0000 0000=3×1012， 故选：C． 5．（2017•泰安）化简（1﹣ ）÷（1﹣ ）的结果为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：原式= ÷ = • = ， 故选 A 6．（2017•泰安）下面四个几何体： 其中，俯视图是四边形的几何体个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：俯视图是四边形的几何体有正方体和三棱柱， 故选：B．　 7．（2017•泰安）一元二次方程 x2﹣6x﹣6=0 配方后化为（　　） A．（x﹣3）2=15 B．（x﹣3）2=3 C．（x+3）2=15 D．（x+3）2=3 【解答】解：方程整理得：x2﹣6x=6， 配方得：x2﹣6x+9=15，即（x﹣3）2=15， 故选 A 8．（2017•泰安）袋内装有标号分别为 1，2，3，4 的 4 个小球，从袋内随机取出 一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小 球，让其标号为这个两位数的个位数字，则组成的两位数是 3 的倍数的概率为 （　　） A． B． C． D． 【解答】解：画树状图为： 共有 16 种等可能的结果数，其中所成的两位数是 3 的倍数的结果数为 5， 所以成的两位数是 3 的倍数的概率= ． 故选 B． 9．（2017•泰安）不等式组 的解集为 x＜2，则 k 的取值范围为（　　） A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1D．k≤1 【解答】解：解不等式组 ，得 ． ∵不等式组 的解集为 x＜2， ∴k+1≥2， 解得 k≥1． 故选：C． 10．（2017•泰安）某服装店用 10000 元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售 完；该店又用 14700 元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多 40%，每件 衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多 10 元，求第一批购进多少件衬衫？设第 一批购进 x 件衬衫，则所列方程为（　　） A． ﹣10= B． +10= C． ﹣10= D． +10= 【解答】解：设第一批购进 x 件衬衫，则所列方程为： +10= ． 故选：B． 11．（2017•泰安）为了解中考体育科目训练情况，某校从九年级学生中随机抽取 部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为 A，B，C，D 四个等 级），并将测试结果绘制成了如图所示的两幅不完整统计图，根据统计图中提供 的信息，结论错误的是（　　） A．本次抽样测试的学生人数是 40 B．在图 1 中，∠α 的度数是 126° C．该校九年级有学生 500 名，估计 D 级的人数为 80 D．从被测学生中随机抽取一位，则这位学生的成绩是 A 级的概率为 0.2． 【解答】解：A、本次抽样测试的学生人数是：12÷30%=40（人），正确，不合 题意； B、∵ ×360°=126°，∠α 的度数是 126°，故此选项正确，不合题意； C、该校九年级有学生 500 名，估计 D 级的人数为：500× =100（人），故此选 项错误，符合题意； D、从被测学生中随机抽取一位，则这位学生的成绩是 A 级的概率为： =0.2， 正确，不合题意； 故选：C． 12．（2017•泰安）如图，△ABC 内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC 等于（　　） A．180°﹣2α B．2α C．90°+α D．90°﹣α 【解答】解：∵连接 OC， ∵△ABC 内接于⊙O，∠A=α， ∴∠BOC=2∠A=2α， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB= =90°﹣α． 故选 D． 　 13．（2017•泰安）已知一次函数 y=kx﹣m﹣2x 的图象与 y 轴的负半轴相交，且函 数值 y 随自变量 x 的增大而减小，则下列结论正确的是（　　） A．k＜2，m＞0 B．k＜2，m＜0 C．k＞2，m＞0 D．k＜0，m＜0 【解答】解：∵一次函数 y=kx﹣m﹣2x 的图象与 y 轴的负半轴相交，且函数值 y 随自变量 x 的增大而减小， ∴k﹣2＜0，﹣m＜0， ∴k＜2，m＞0． 故选 A．　 14．（2017•泰安）如图，正方形 ABCD 中，M 为 BC 上一点，ME⊥AM，ME 交 AD 的延长线于点 E．若 AB=12，BM=5，则 DE 的长为（　　） A．18 B． C． D． 【分析】先根据题意得出△ABM∽△MCG，故可得出 CG 的长，再求出 DG 的长， 根据△MCG∽△EDG 即可得出结论． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是正方形，AB=12，BM=5， ∴MC=12﹣5=7． ∵ME⊥AM， ∴∠AME=90°， ∴∠AMB+∠CMG=90°． ∵∠AMB+∠BAM=90°， ∴∠BAM=∠CMG，∠B=∠C=90°， ∴△ABM∽△MCG， ∴ = ，即 = ，解得 CG= ， ∴DG=12﹣ = ． ∵AE∥BC， ∴∠E=CMG，∠EDG=∠C， ∴△MCG∽△EDG， ∴ = ，即 = ，解得 DE= ． 故选 B． 　 15．（2017•泰安）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如下表： x ﹣1 0 1 3 y ﹣3 1 3 1 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为 x=1；③当 x＜1 时，函 数值 y 随 x 的增大而增大；④方程 ax2+bx+c=0 有一个根大于 4，其中正确的结论 有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【解答】解：由表格可知， 二次函数 y=ax2+bx+c 有最大值，当 x= = 时，取得最大值， ∴抛物线的开口向下，故①正确， 其图象的对称轴是直线 x= ，故②错误， 当 x＜ 时，y 随 x 的增大而增大，故③正确， 方程 ax2+bx+c=0 的一个根大于﹣1，小于 0，则方程的另一个根大于 =3，小 于 3+1=4，故④错误， 故选 B． 16．（2017•泰安）某班学生积极参加献爱心活动，该班 50 名学生的捐款统计情 况如下表： 金额/元 5 10 20 50 100 人数 4 16 15 9 6 则他们捐款金额的中位数和平均数分别是（　　） A．10，20.6 B．20，20.6 C．10，30.6 D．20，30.6 【分析】根据中位数的定义求解即可，中位数是将一组数据从小到大重新排列后， 找出最中间两个数的平均数；根据平均数公式求出平均数即可． 【解答】解：共有 50 个数， ∴中位数是第 25、26 个数的平均数， ∴中位数是（20+20）÷2=20； 平均数= （5×4+10×16+20×15+50×9+100×6）=30.6； 故选：D． 17．（2017•泰安）如图，圆内接四边形 ABCD 的边 AB 过圆心 O，过点 C 的切线 与边 AD 所在直线垂直于点 M，若∠ABC=55°，则∠ACD 等于（　　） A．20° B．35° C．40° D．55° 【解答】解：∵圆内接四边形 ABCD 的边 AB 过圆心 O， ∴∠ADC+∠ABC=180°，∠ACB=90°， ∴∠ADC=180°﹣∠ABC=125°，∠BAC=90°﹣∠ABC=35°， ∵过点 C 的切线与边 AD 所在直线垂直于点 M， ∴∠MCA=∠ABC=55°，∠AMC=90°， ∵∠ADC=∠AMC+∠DCM， ∴∠DCM=∠ADC﹣∠AMC=35°， ∴∠ACD=∠MCA﹣∠DCM=55°﹣35°=20°； 故选：A．　 18．（2017•泰安）如图，在正方形网格中，线段 A′B′是线段 AB 绕某点逆时针旋 转角 α 得到的，点 A′与 A 对应，则角 α 的大小为（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 【分析】根据题意确定旋转中心后即可确定旋转角的大小． 【解答】解：如图： 显然，旋转角为 90°， 故选 C． 19．（2017•泰安）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 是边 CD 上一点，且 BC=EC，CF⊥BE 交 AB 于点 F，P 是 EB 延长线上一点，下列结论： ①BE 平分∠CBF；②CF 平分∠DCB；③BC=FB；④PF=PC， 其中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的 性质分别判断得出答案． 【解答】证明：∵BC=EC， ∴∠CEB=∠CBE， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠CEB=∠EBF， ∴∠CBE=∠EBF， ∴①BE 平分∠CBF，正确； ∵BC=EC，CF⊥BE， ∴∠ECF=∠BCF， ∴②CF 平分∠DCB，正确； ∵DC∥AB， ∴∠DCF=∠CFB， ∵∠ECF=∠BCF， ∴∠CFB=∠BCF， ∴BF=BC， ∴③正确； ∵FB=BC，CF⊥BE， ∴B 点一定在 FC 的垂直平分线上，即 PB 垂直平分 FC， ∴PF=PC，故④正确． 故选：D． 　 20．（2017•泰安）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点 P 从点 A 沿 AC 向点 C 以 1cm/s 的速度运动，同时点 Q 从点 C 沿 CB 向点 B 以 2cm/s 的速 度运动（点 Q 运动到点 B 停止），在运动过程中，四边形 PABQ 的面积最小值为 （　　） A．19cm2 B．16cm2 C．15cm2 D．12cm2 【解答】解：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm， ∴AC= =6cm． 设运动时间为 t（0≤t≤4），则 PC=（6﹣t）cm，CQ=2tcm， ∴ S 四 边 形 PABQ=S △ ABC﹣S △ CPQ= AC•BC﹣ PC•CQ= × 6 × 8﹣ （ 6﹣t ） × 2t=t2﹣6t+24=（t﹣3）2+15， ∴当 t=3 时，四边形 PABQ 的面积取最小值，最小值为 15． 故选 C． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 21．（2017•泰安）分式 与 的和为 4，则 x 的值为　3　． 【解答】解：∵分式 与 的和为 4， ∴ + =4， 去分母，可得：7﹣x=4x﹣8 解得：x=3 经检验 x=3 是原方程的解， ∴x 的值为 3． 故答案为：3． 22．（2017•泰安）关于 x 的一元二次方程 x2+（2k﹣1）x+（k2﹣1）=0 无实数根， 则 k 的取值范围为　k＞ 　． 【解答】解：根据题意得△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＜0， 解得 k＞ ． 故答案为 k＞ ． 23．（2017•泰安）工人师傅用一张半径为 24cm，圆心角为 150°的扇形铁皮做成 一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为　2 cm　． 【解答】解：由题意可得圆锥的母线长为：24cm， 设圆锥底面圆的半径为：r，则 2πr= ， 解得：r=10， 故这个圆锥的高为： =2 （cm）． 故答案为：2 （cm）． 24．（2017•泰安）如图，∠BAC=30°，M 为 AC 上一点，AM=2，点 P 是 AB 上的 一动点，PQ⊥AC，垂足为点 Q，则 PM+PQ 的最小值为　 　． 【分析】本题作点 M 关于 AB 的对称点 N，根据轴对称性找出点 P 的位置，如图， 根据三角函数求出 MN，∠N，再根据三角函数求出结论． 【解答】解：作点 M 关于 AB 的对称点 N，过 N 作 NQ⊥AC 于 Q 交 AB 于 P， 则 NQ 的长即为 PM+PQ 的最小值， 连接 MN 交 AB 于 D，则 MD⊥AB，DM=DN， ∵∠NPB=∠APQ， ∴∠N=∠BAC=30°， ∵∠BAC=30°，AM=2， ∴MD= AM=1， ∴MN=2， ∴NQ=MN•cos∠N=2× = ， 故答案为： ． 　 三、解答题（本大题共 5 小题，共 48 分） 25．（8 分）（2017•泰安）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB 的斜边 OA 在 x 轴的正半轴上，∠OBA=90°，且 tan∠AOB= ，OB=2 ，反比例函数 y= 的图象 经过点 B． （1）求反比例函数的表达式； （2）若△AMB 与△AOB 关于直线 AB 对称，一次函数 y=mx+n 的图象过点 M、 A，求一次函数的表达式． 【解答】解：（1）过点 B 作 BD⊥OA 于点 D， 设 BD=a， ∵tan∠AOB= = ， ∴OD=2BD． ∵∠ODB=90°，OB=2 ， ∴a2+（2a）2=（2 ）2， 解得 a=±2（舍去﹣2）， ∴a=2． ∴OD=4， ∴B（4，2）， ∴k=4×2=8， ∴反比例函数表达式为：y= ； （2）∵tan∠AOB= ，OB=2 ， ∴AB= OB= ， ∴OA= = =5， ∴A（5，0）． 又△AMB 与△AOB 关于直线 AB 对称，B（4，2）， ∴OM=2OB， ∴M（8，4）． 把点 M、A 的坐标分别代入 y=mx+n，得 ， 解得 ， 故一次函数表达式为：y= x﹣ ． 26．（8 分）（2017•泰安）某水果商从批发市场用 8000 元购进了大樱桃和小樱桃 各 200 千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多 20 元，大樱桃售价为每千 克 40 元，小樱桃售价为每千克 16 元． （1）大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了 多少元钱？ （2）该水果商第二次仍用 8000 元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各 200 千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了 20%．若小樱桃的售价不变，要 想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的 90%，大樱桃的售价最少应为多少？ 【解答】解：（1）设小樱桃的进价为每千克 x 元，大樱桃的进价为每千克 y 元， 根据题意可得： ， 解得： ， 小樱桃的进价为每千克 10 元，大樱桃的进价为每千克 30 元， 200×[（40﹣30）+（16﹣10）]=3200（元）， ∴销售完后，该水果商共赚了 3200 元； （2）设大樱桃的售价为 a 元/千克， （1﹣20%）×200×16+200a﹣8000≥3200×90%， 解得：a≥41.6， 答：大樱桃的售价最少应为 41.6 元/千克． 27．（10 分）（2017•泰安）如图，四边形 ABCD 中，AB=AC=AD，AC 平分∠BAD， 点 P 是 AC 延长线上一点，且 PD⊥AD． （1）证明：∠BDC=∠PDC； （2）若 AC 与 BD 相交于点 E，AB=1，CE：CP=2：3，求 AE 的长． 【分析】（1）直接利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出∠BDC=∠PDC； （2）首先过点 C 作 CM⊥PD 于点 M，进而得出△CPM∽△APD，求出 EC 的长即 可得出答案． 【解答】（1）证明：∵AB=AD，AC 平分∠BAD， ∴AC⊥BD， ∴∠ACD+∠BDC=90°， ∵AC=AD， ∴∠ACD=∠ADC， ∴∠ADC+∠BDC=90°， ∴∠BDC=∠PDC； （2）解：过点 C 作 CM⊥PD 于点 M， ∵∠BDC=∠PDC， ∴CE=CM， ∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P， ∴△CPM∽△APD， ∴ = ， 设 CM=CE=x， ∵CE：CP=2：3， ∴PC= x， ∵AB=AD=AC=1， ∴ = ， 解得：x= ， 故 AE=1﹣ = ． 　 28．（11 分）（2017•泰安）如图，是将抛物线 y=﹣x2 平移后得到的抛物线，其对 称轴为直线 x=1，与 x 轴的一个交点为 A（﹣1，0），另一个交点为 B，与 y 轴的 交点为 C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点 N 为抛物线上一点，且 BC⊥NC，求点 N 的坐标； （3）点 P 是抛物线上一点，点 Q 是一次函数 y= x+ 的图象上一点，若四边形 OAPQ 为平行四边形，这样的点 P、Q 是否存在？若存在，分别求出点 P，Q 的坐 标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函 数解析式； （2）首先求得 B 和 C 的坐标，易证△OBC 是等腰直角三角形，过点 N 作 NH⊥y 轴，垂足是 H，设点 N 纵坐标是（a，﹣a2+2a+3），根据 CH=NH 即可列方程求解； （3）四边形 OAPQ 是平行四边形，则 PQ=OA=1，且 PQ∥OA，设 P（t， ﹣t2+2t+3），代入 y= x+ ，即可求解． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式是 y=﹣（x﹣1）2+k． 把（﹣1，0）代入得 0=﹣（﹣1﹣1）2+k， 解得 k=4， 则抛物线的解析式是 y=﹣（x﹣1）2+4，即 y=﹣x2+2x+3； （2）在 y=﹣x2+2x+3 中令 x=0，则 y=3，即 C 的坐标是（0，3），OC=3． ∵B 的坐标是（3，0）， ∴OB=3， ∴OC=OB，则△OBC 是等腰直角三角形． ∴∠OCB=45°， 过点 N 作 NH⊥y 轴，垂足是 H． ∵∠NCB=90°， ∴∠NCH=45°， ∴NH=CH， ∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH， 设点 N 纵坐标是（a，﹣a2+2a+3）． ∴a+3=﹣a2+2a+3， 解得 a=0（舍去）或 a=1， ∴N 的坐标是（1，4）； （3）∵四边形 OAPQ 是平行四边形，则 PQ=OA=1，且 PQ∥OA， 设 P（t，﹣t2+2t+3），代入 y= x+ ，则﹣t2+2t+3= （t+1）+ ， 整理，得 2t2﹣t=0， 解得 t=0 或 ． ∴﹣t2+2t+3 的值为 3 或 ． ∴P、Q 的坐标是（0，3），（1，3）或（ ， ）、（ ， ）． 29．（11 分）（2017•泰安）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AD=AC，AD⊥ AC，E 是 AB 的中点，F 是 AC 延长线上一点． （1）若 ED⊥EF，求证：ED=EF； （2）在（1）的条件下，若 DC 的延长线与 FB 交于点 P，试判定四边形 ACPE 是 否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）； （3）若 ED=EF，ED 与 EF 垂直吗？若垂直给出证明． 【分析】（1）根据平行四边形的想知道的 AD=AC，AD⊥AC，连接 CE，根据全等 三角形的判定和性质即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到 CF=AD，等量代换得到 AC=CF，于是得到 CP= AB=AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形 ACPE 为平行四边形； （3）过 E 作 EM⊥DA 交 DA 的延长线于 M，过 E 作 EN⊥FC 交 FC 的延长线于 N， 证得△AME≌△CNE，△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：在▱ABCD 中， ∵AD=AC，AD⊥AC， ∴AC=BC，AC⊥BC， 连接 CE， ∵E 是 AB 的中点， ∴AE=EC，CE⊥AB， ∴∠ACE=∠BCE=45°， ∴∠ECF=∠EAD=135°， ∵ED⊥EF， ∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED， 在△CEF 和△AED 中， ， ∴△CEF≌△AED， ∴ED=EF； （2）解：由（1）知△CEF≌△AED，CF=AD， ∵AD=AC， ∴AC=CF， ∵DP∥AB， ∴FP=PB， ∴CP= AB=AE， ∴四边形 ACPE 为平行四边形； （3）解：垂直， 理由：过 E 作 EM⊥DA 交 DA 的延长线于 M，过 E 作 EN⊥FC 交 FC 的延长线于 N， 在△AME 与△CNE 中， ， ∴△AME≌△CNE， ∴∠ADE=∠CFE， 在△ADE 与△CFE 中， ， ∴△ADE≌△CFE， ∴∠DEA=∠FEC， ∵∠DEA+∠DEC=90°， ∴∠CEF+∠DEC=90°， ∴∠DEF=90°， ∴ED⊥EF． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰 直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．