2017年度高考数学快速命中考点20

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2017年度高考数学快速命中考点20

‎2014高考数学快速命中考点20‎ 一、选择题 ‎1.若双曲线-=1(a>0,b>0)与直线y=x无交点,则离心率e的取值范围是(  )‎ A.(1,2)          B.(1,2]‎ C.(1,) D.(1,]‎ ‎【解析】 因为双曲线的渐近线为y=±x,要使直线y=x与双曲线无交点,则直线y=x应在两渐近线之间,所以有≤,即b≤a,所以b2≤‎3a2,‎ ‎∴c2-a2≤‎3a2,则c2≤‎4a2,1<e≤2.‎ ‎【答案】 B ‎2.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为(  )‎ A. B.2 C.4 D.8‎ ‎【解析】 设C:-=1.‎ ‎∵抛物线y2=16x的准线为x=-4,联立-=1和x=-4得A(-4,),B(-4,-),‎ ‎∴|AB|=2=4,‎ ‎∴a=2,∴‎2a=4.‎ ‎∴C的实轴长为4.‎ ‎【答案】 C ‎3.从椭圆+=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是(  )‎ A. B. C. D. ‎【解析】 设P(-c,y0)代入椭圆方程求得y0,从而求得kOP,‎ 由kOP=kAB及e=可得离心率e.‎ ‎ 由题意设P(-c,y0),将P(-c,y0)代入+=1,得+=1,则y=b2=b2·=.‎ ‎∴y0=或y0=-(舍去),‎ ‎∴P,∴kOP=-.‎ ‎∵A(a,0),B(0,b),∴kAB==-.‎ 又∵AB∥OP,∴kAB=kOP,‎ ‎∴-=-,∴b=c.‎ ‎∴e====.故选C.‎ ‎【答案】 C ‎4.过点M(-2,0)的直线l与椭圆x2+2y2=2交于P1,P2,线段P1P2的中点为P.设直线l的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1k2等于(  )‎ A.- B.-2‎ C. D.2‎ ‎【解析】 设直线l的方程为y=k1(x+2),代入x2+2y2=2,‎ 得(1+2k)x2+8kx+8k-2=0,‎ 所以x1+x2=-,‎ 而y1+y2=k1(x1+x2+4)=,‎ 所以OP的斜率k2==-,所以k1k2=-.‎ ‎【答案】 A ‎5.已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为(  )‎ A.x2=y B.x2=y C.x2=8y D.x2=16y ‎【解析】 ∵双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,‎ ‎∴==2,∴b=a,‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为x±y=0,‎ ‎∴抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点(0,)到双曲线的渐近线的距离为=2,‎ ‎∴p=8.∴所求的抛物线方程为x2=16y.‎ ‎【答案】 D 二、填空题 ‎6.椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B,左、右焦点分别是F1、F2.若|AF1|,|F‎1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为______.‎ ‎【解析】 由题意知|AF1|=a-c,|F‎1F2|=‎2c,|F1B|=a+c,且三者成等比数列,则|F‎1F2|2=|AF1|·|F1B|,即‎4c2=a2-c2,a2=‎5c2,所以e2=,所以e=.‎ ‎【答案】  ‎7.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点.若|FQ|=2,则直线l的斜率等于________.‎ ‎【解析】 设直线l的方程为y=k(x+1),A(x1,y1)、B(x2,y2)、Q(x0,y0).‎ 解方程组 化简得:k2x2+(2k2-4)x+k2=0且Δ=(2k2-4)2-4k4>0,‎ ‎∴x1+x2=,‎ y1+y2=k(x1+x2+2)=且k2<1.‎ ‎∴x0=,y0=.‎ 由=2得:2+2=12.‎ 解得k=±,满足k2<1即Δ>0,∴k=±.‎ ‎【答案】 ± ‎8.设F1是椭圆+y2=1的左焦点,O为坐标原点,点P在椭圆上,则·的最大值为________.‎ ‎【解析】 设P(x0,y0),依题意可得:F1(-,0),‎ 则·=x+y+x0=x+1-+x0‎ ‎=+x0+1=2.‎ 又-2≤x0≤2,所以当x0=2时,‎ ‎∴·取得最大值4+2.‎ ‎【答案】 4+2 三、解答题 ‎9.已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点,若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.‎ 图5-3-3‎ ‎【解】 (1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+1.‎ 由消去y,整理得x2-4kx-4=0,‎ 所以x1+x2=4k,x1x2=-4.‎ 从而|x1-x2|=4.‎ 由 解得点M的横坐标xM===.‎ 同理,点N的横坐标xN=.‎ 所以|MN|=|xM-xN|= ‎=8=.‎ 令4k-3=t,t≠0,则k=.‎ 当t>0时,|MN|=2 >2.‎ 当t<0时,|MN|=2 ≥.‎ 综上所述,当t=-,即k=-时,|MN|的最小值是.‎ ‎10. 如图5-3-4,点P(0,-1)是椭圆C1:+=1(a>b>0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D.‎ 图5-3-4‎ ‎ (1)求椭圆C1的方程;‎ ‎(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.‎ ‎【解】 (1)由题意得 所以椭圆C的方程为+y2=1.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,则直线l1的方程为y=kx-1.‎ 又圆C2:x2+y2=4,故点O到直线l1的距离d=,‎ 所以|AB|=2=2.‎ 又l2⊥l1,故直线l2的方程为x+ky+k=0.‎ 由消去y,整理得(4+k2)x2+8kx=0,‎ 故x0=-,所以|PD|=.‎ 设△ABD的面积为S,则S=|AB|·|PD|=,‎ 所以S=≤=,当且仅当k=±时取等号.‎ 所以所求直线l1的方程为y=±x-1. ‎ ‎11.如图5-3-5,椭圆的中心为原点O,离心率e=,一条准线的方程是x=2.‎ 图5-3-5‎ ‎ (1)求该椭圆的标准方程;‎ ‎(2)设动点P满足:=+2,其中M,N是椭圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为-,问:是否存在定点F,使得|PF|与点P到直线l:x=2的距离之比为定值?若存在,求F的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎【解】 (1)由e==,=2,‎ 解得a=2,c=,b2=a2-c2=2,‎ 故椭圆的标准方程为+=1.‎ ‎(2)设P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),则由=+2,得(x,y)=(x1,y1)+2(x2,y2)=(x1+2x2,y1+2y2),‎ 即x=x1+2x2,y=y1+2y2.‎ 因为点M,N在椭圆x2+2y2=4上,‎ 所以x+2y=4,x+2y=4,‎ 故x2+2y2=(x+4x+4x1x2)+2(y+4y+4y1y2)‎ ‎=(x+2y)+4(x+2y)+4(x1x2+2y1y2)‎ ‎=20+4(x1x2+2y1y2).‎ 设kOM,kON分别为直线OM,ON的斜率,由题设条件知 kOM·kON==-,因此x1x2+2y1y2=0,‎ 所以x2+2y2=20.‎ 所以P点是椭圆+=1上的点,该椭圆的右焦点为F(,0),离心率e=,直线l:x=2是该椭圆的右准线,故根据椭圆的第二定义,存在定点F(,0),使得|PF|与点P到直线l的距离之比为定值. ‎
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