北京市丰台区中考二模数学试题

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丰台区2016年初三统一练习（二）‎ 数学试卷 ‎ 2016. 06‎ 考生须知 ‎1. 本试卷共8页，共三道大题，29道小题，满分120分。考试时间120分钟。‎ ‎2. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和考试号。‎ ‎3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。‎ ‎4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。‎ ‎5. 考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。‎ 一、选择题（本题共30分，每小题3分）‎ 下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．‎ ‎1. 截止到2015年底，我国已实现31个省市志愿服务组织区域全覆盖，志愿者总数已超110 000 000人. 将110 000 000用科学记数法表示应为 A. B. C. D. ‎ ‎2. 如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示绝对值相等的两个实数的点是 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-3‎ ‎-4‎ ‎6‎ ‎0‎ B A D C A. 点A与点D B. 点B 与点D C. 点B与点C D. 点C与点D ‎ ‎3. 一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字大于4的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎4. 京剧是我国的国粹，是介绍、传播中国传统艺术文化的重要媒介. 在下面的四个京剧脸谱中，不是轴对称图形的是 ‎ A B C D ‎5. 将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于 ‎ A. 90° B. 75° ‎ C. 60° D. 45°‎ ‎6. 如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡角是30°，堤高BC=‎5m，‎ 则坡面AB的长度是 A. ‎10m B. ‎10‎m C. ‎15m D. ‎5‎m ‎7. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.6环，方差分别是=0.96，=1.12，=0.56，=1.58. 在本次射击测试中，成绩最稳定的是 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 A B ‎8. 如图，经过刨平的木板上的A，B两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 ‎ A. 两点确定一条直线 ‎ B. 两点之间线段最短 C. 垂线段最短 ‎ D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ‎9. 商户小李以每件6元的价格购进某商品若干件到市场去销 售，销售金额y（元）与销售量（件）的函数关系的图象 ‎ 如图所示，则降价后每件商品销售的价格为 A. 元 B. 元 ‎ C. 元 D. 元 ‎10. 一个观察员要到如图1所示的A，B，C，D四个观测点进行观测，行进路线由在同一平面上的AB，BC，CD，DA，AC，BD组成. 为记录观察员的行进路线，在AB的中点M处放置了一台定位仪器，设观察员行进的路程为x，观察员与定位仪器之间的距离为y，若观察员匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则观察员的行进路线可能为 图2‎ ‎ ‎ 图1‎ A. A→D→C →B B. A→B→C→D C. A→C→B→D D. A→C→D→B 二、填空题（本题共18分，每小题3分）‎ ‎11. 分解因式： x3－4 x2＋4 x = ．‎ ‎12. 已知射线OM. 以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交 于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，‎ 画射线OB，如图所示，则∠AOB= °.‎ ‎13. 关于x的不等式ax＜b的解集为x＞-1，写出一组满足条件的 实数a，b的值：a =______，b =______．‎ ‎14. 我国明代数学家程大位的名著《直指算法统宗》 ‎ 里有一道著名算题： ‎ 一百馒头一百僧，大僧三个更无争，‎ 小僧三人分一个，大小和尚各几丁？‎ 如果译成白话文，其意思是：有100个和尚分100个馒头，‎ 正好分完. 如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？设大和尚x人，小和尚y人，可列方程组为 .‎ ‎15. 北京市2010-2015年机动车保有量统计如图所示. ‎ 根据统计图中提供的信息，预估2016年北京市 机动车的保有量约________万辆，‎ 你的预估理由是______________．‎ ‎16. 如图，在棋盘中建立直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置分别是（-1，1），‎ ‎（0，0）和（1，0）．如果在其他格点位置添加一颗棋子C，使A，O，B，C四颗棋 A B 子成为一个轴对称图形，请写出所有满足条件的 棋子C的位置的坐标：‎ ‎ ．‎ 三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，‎ 第29题8分）‎ ‎17. 计算：．‎ D C A E B ‎18. 已知，求代数式的值．‎ ‎19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）若为负整数，求此时方程的根．‎ ‎20. 如图，△ABC是等边三角形，于 点D，E为BC的中点，连接DE．‎ 求证：DE =DC．‎ ‎21. ‎2016年5月29日，北京园博园迎来了“挑战100，一起跑”百公里接力路跑赛事，活动里程共100公里，采用10人×10公里的方式展开接力竞赛．王刚是一名长跑爱好者，原来每天从家匀速跑步到单位，共12公里．为参加此次活动，王刚计划加强训练，速度提高到原来的1.2倍，结果提前10分钟到单位．问王刚原来每小时跑多少公里？‎O E D C B A ‎22. 如图，菱形ABCD的对角线交于O点，‎ DE∥AC，CE∥BD.‎ ‎（1）求证：四边形OCED是矩形；‎ ‎（2）若AD =5，BD =8，计算tan∠DCE的值．‎ ‎23. 已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（－1，6）．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）过点A作直线AC与函数y＝的图象交于点B，与x轴交于点C，‎ 且AB＝2BC，求点B的坐标．‎ G O F D C B A E ‎24. 如图，AB是⊙O的直径，BD交⊙O于点C，E为 的中点，连接AE交BD于点F，作，垂足为G，连接AD，且． ‎ ‎（1）求证：AD为⊙O的切线；‎ ‎（2）若cosD =，AD = 6，求FG的长．‎ ‎25. 阅读下列材料：‎ 日前，微信发布《2016微信春节大数据报告》显示，2016年除夕当日，利用微信传递春节祝福的音视频通话时长达4.2亿分钟，是2015年除夕的4倍，“红包不要停”成为春节期间最热门微信表情，其作者共获得124508元的“赞赏”.‎ 报告显示，除夕当日，微信红包的参与者达4.2亿人，收发总量达80.8亿个，是2015年除夕的8倍. 除了通常的定额红包、拼手气红包，除夕到初一期间，微信还推出可以添加照片的拜年红包、引爆朋友圈的红包照片，以及和诸多品牌商家联合推出的摇一摇红包. 其中，在除夕当日拼手气红包的收发量约为微信红包收发总量的20%.‎ 作为一款“国民社交平台”，微信在春节通过红包激活了用户的使用热情，用音视频通话、朋友圈、微信群等串联起了五湖四海的情感，实现了科技与人文的交汇，成为“过好春节”的标配.‎ 根据以上材料回答下列问题：‎ ‎（1）2016年除夕当日，拼手气红包收发量约为 亿个；‎ ‎（2）选择统计表或统计图将2015年和2016年除夕当日微信红包收发总量和音视频的通话时长表示出来．‎ ‎26. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质. ‎ 小宏根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究. ‎ 下面是小宏的探究过程，请补充完整：‎ ‎（1）函数的自变量x的取值范围是___________；‎ ‎（2）下表是y与x的几组对应值. ‎ x ‎…‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎0‎ m ‎0‎ n ‎…‎ 求m，n的值；‎ ‎（3）如下图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点. ‎ 根据描出的点，画出该函数的图象；‎ x y ‎1‎ ‎1‎ O ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎-51‎ ‎-42‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎-51‎ ‎-42‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎（4）结合函数的图象，写出该函数的性质（一条即可）：________________.‎ ‎27. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点，且点A的坐标为（3，0）．‎ ‎（1）求点B的坐标及m的值；‎ ‎（2）当时，结合函数图象直接写出y的取值范围；‎ x y ‎1‎ ‎1‎ O ‎（3）将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若与图象M在直线左侧的部分只有一个公共点，结合图象求k的取值范围． ‎ ‎28. 在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°. 点D为AC的中点．将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF，CF．过点F作，交直线AB于点H．‎ ‎（1）若点E在线段DC上，如图1， ‎ ‎ ①依题意补全图1；‎ ‎②判断FH与FC的数量关系并加以证明．‎ ‎（2）若E为线段DC的延长线上一点，如图2，且CE=∠CFE=12°，请写出求△FCH的面积的思路.（可以不写出计算结果）‎ F 图 ‎ ‎2‎ 图 ‎ ‎1‎ F E B C D A E D B C A 图 ‎ ‎2‎ 图 ‎ ‎1‎ E B C E B C 图 ‎ ‎2‎ 图 ‎ ‎1‎ E B C E B C ‎29. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，－1）. 点是平面内任意一点，直线，与直线分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆恰好经过点C（2，0），则称此时的点为理想点．‎ ‎（1）请判断P1（－4，0），P2（3，0）是否为理想点；‎ ‎（2）若直线上存在理想点，求理想点的纵坐标；‎ ‎（3）若动直线上存在理想点，直接写出的取值范围.‎ F 图 ‎ ‎2‎ 图 ‎ ‎1‎ F E B C D A E D B C A 丰台区2016年初三统一练习（二）‎ 数学参考答案 一、选择题（本题共30分，每小题3分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 C C ‎ B A B A C A B D 二、填空题（本题共18分，每小题3分）‎ ‎11. x (x-2)2. 12. 60. 13. （答案不唯一）. 14. ‎ ‎15.预估理由需包含统计图提供的信息，且支撑预估的数据.‎ ‎16.‎ 三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）‎ ‎17．解：原式 -------- 4分 ‎. -------- 5分 ‎18. 解：原式 ‎ -------- 3分 ‎∵，∴.‎ ‎∴原式=0. -------- 5分 ‎19. 解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根,‎ ‎∴，即. -------- 3分 ‎（2）∵为负整数，∴.‎ ‎∴方程为，即.‎ 解得. -------- 5分 ‎ 20．证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°. -------- 1分 ‎∵于点D，‎ ‎∴∠BDC＝90°.‎ ‎∵E是BC中点，‎ ‎∴ -------- 3分 ‎∴△DEC是等边三角形. -------- 4分 ‎∴ -------- 5分 ‎ ‎ ‎ ‎21. 解：设王刚原来每小时跑公里，‎ 则现在每小时跑1.2公里. -------- 1分 由题意，得 -------- 2分 解得 . -------- 3分 经检验，是所列方程的解，并且符合实际意义. -------- 4分 答：王刚原来每小时跑12公里. -------- 5分 ‎22.（1）∵DE∥AC，CE∥BD O E D C B A ‎∴四边形是平行四边形. -------- 1分 ‎∵四边形是菱形, ∴ .‎ ‎∴.‎ ‎∴平行四边形是矩形. -------- 2分 ‎（2） ∵四边形是菱形，BD=8,‎ ‎∴，CD=AD=5. -------- 3分 ‎∴. ‎ ‎  ∵四边形是矩形,‎ ‎∴DE=OC=3，CE=OD=4. -------- 4分 ‎∵,‎ x y ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎–1‎ ‎–2‎ ‎–3‎ ‎–4‎ ‎–5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎–1‎ ‎–2‎ ‎–3‎ ‎–4‎ ‎–5‎ ‎–6‎ ‎–7‎ B C O A F E ‎∴在Rt△中，. -------- 5分 ‎23.解：（1）由题意，得解得 -------- 1分 ‎（2）①当点B在第二象限时，如图1.‎ ‎ 过点A作AE⊥x轴于E, 过点B作BF⊥x轴于F.‎ ‎ ∴AE∥BF.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∵AB＝2BC, ‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∵AE＝6,‎ ‎∴BF＝2.‎ 图1‎ 当y=2时，‎ x y ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎–1‎ ‎–2‎ ‎–3‎ ‎–4‎ ‎–5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎–1‎ ‎–2‎ ‎–3‎ ‎–4‎ ‎–5‎ ‎–6‎ ‎–7‎ B C O A F E 解得x=-3.‎ ‎∴B(-3，2). -------- 3分 ‎②当点B在第四象限时，如图2，同①可求点B(1，-6). ‎ 综上所述，点B的坐标为(-3，2)或(1，-6). ‎ ‎ -------- 5分 ‎24.证明：连接.‎ ‎ ∵是的直径 ‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴. ‎ ‎ ∵E为的中点,‎ ‎∴.‎ ‎ ∴. ‎ ‎ ∵, ‎ ‎ ∴. ------- 1分 ‎ ∴. ‎ ‎∴.即.‎ ‎ 又∵是直径, ‎ G O F D C B A E ‎∴是的切线. ------- 2分 ‎（2）∵在Rt△中,‎ ‎，,‎ ‎ ------- 3分 ‎∵在Rt△中,‎ ‎，,‎ ‎∴.‎ ‎∵,,，‎ ‎∴. ------- 4分 设.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵.‎ ‎∴.‎ 解得.∴. ------- 5分 ‎25. 解：（1）16.16； ------- 1分 ‎ （2）统计表如下：‎ ‎ 2015年和2016年除夕当日微信红包收发总量 和音视频的通话时长统计表 微信红包收发总量 音视频通话时长 ‎2015年 ‎10.1亿个 ‎1.05亿分钟 ‎2016年 ‎80.8亿个 ‎ 4.2亿分钟 ‎ ------- 5分 ‎26. 解：（1）. ------- 1分 ‎（2）. ------- 3分 ‎（3）该函数的图象如下图所示. ------- 4分 x y ‎1‎ ‎1‎ O ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎-51‎ ‎-42‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎-42‎ ‎-3‎ ‎-2‎ x y ‎1‎ ‎1‎ O ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎-51‎ ‎-42‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎-51‎ ‎-42‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎（4）该函数的性质：‎ ‎①当x <0时，y随x的增大而增大；当x >0时，y随x的增大而增大；‎ ‎②函数的图象与y轴无交点,图象由两部分组成.‎ ‎③关于原点成中心对称.‎ ‎……‎ x y O ‎（写出一条即可） ------- 5分 ‎ ‎ ‎27．（1）将代入，得． -------1分 ‎∴抛物线的表达式为． ‎ ‎∴点的坐标． -------2分 ‎（2）的取值范围是． -------5分 ‎（3） 当x=时，y=. ‎ ‎ 代入得 .‎ ‎ 当x=-1时，y=0,代入得k=1.‎ ‎ 结合图象可得， k的取值范围是或. ‎ ‎ -------7分 ‎ ‎28．解：（1）①补全图形，如图1所示. ----1分 ‎ ②FH与FC的数量关系是：．----2分 图1‎ 证明：延长交于点G.‎ ‎∵中，AC=BC，，‎ ‎∴∠A=∠B=45°.‎ ‎∵∠FDE=90°,‎ ‎∴∠A=∠AGD=45°.‎ ‎∴AD=DG.‎ ‎∵点D为AC的中点，‎ ‎∴AD=DC.‎ 图2‎ ‎∴DC=DG.‎ ‎∵DE=DF,‎ ‎∴DC- DE =DG- DF，即EC =FG．‎ ‎∵∠EDF =90°，，‎ ‎∴∠1+∠CFD =90°，∠2+∠CFD=90°．‎ ‎∴∠1 =∠2． ‎ ‎ ∵等腰直角三角形，‎ 图3‎ A F C E P D H B G ‎∴∠DEF =∠DFE = 45°．‎ ‎∴∠CEF =∠FGH = 135°． ‎ ‎∴△CEF ≌△FGH． ‎ ‎∴ CF=FH． ----5分 ‎ (2)求解思路如下：‎ a.画出图形，如图3所示.‎ b.与②同理，可证△CEF ≌△FGH，可得CF=FH；‎ 从而得出是等腰直角三角形；‎ c. 作，由可得CP的长； ‎ d.在Rt△CPF中，由,可求CF的长,进而求出的面积. ----7分 ‎29．（1）是理想点,不是理想点. ----2分 ‎（2）解法1:‎ 设与轴交于点，设理想点的纵坐标为，则.‎ ‎∵，∴.‎ 令，得，即.‎ 同理.‎ ‎∵设是的中点，∴.，.‎ 在Rt中，，‎ ‎∴.解得，即理想点的纵坐标为.----6分 解法2:连接并延长交于点.‎ ‎∵∥轴，‎ ‎∴，，‎ 即.‎ ‎∵，∴，即点是的中点.‎ 设直线与x轴交于E, 与轴交于点.‎ ‎∵，，‎ ‎∴,即.‎ ‎∴.‎ ‎∴.在Rt△CFG中，CF=2,由勾股定理得.∵，∴.∴理想点的纵坐标为. ‎ ‎ (3) . ----8分