南京市中考数学试题解析

南京市中考数学试题解析

南京市2010年初中数学毕业生学业考试 数 学 注意事项：‎ ‎1．本试卷共6页．满分120分．考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡，答在本试卷上无效．‎ ‎2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．‎ ‎3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡对应的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置一律无效．‎ ‎4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．‎ 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．（2010江苏南京，1，2分）-3的倒数是（ ）‎ A．-3 B．‎3 ‎ C． D．‎ ‎【分析】由实数a（a≠0）的倒数是得-3的倒数是，化简得．‎ ‎【答案】C ‎ 【涉及知识点】实数 ‎【点评】本题属于基础题，主要考查学生对概念的掌握是否全面，考查知识点单一，有利于提高本题的信度．‎ ‎【推荐指数】★‎ ‎2．（2010江苏南京，2，2分）计算a3·a4的结果是（ ）‎ A．a5 B．a7 C．a8 D．a12‎ ‎【分析】计算同底数的乘法时，需将底数保持不变，指数相加．a3·a4= a3+4=a7．‎ ‎【答案】B ‎ 【涉及知识点】幂的运算 ‎【点评】本题属于基础题，考查知识点单一，同学们解题常见错误一是粗心，如误选A或C；二是混淆了同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，从而误选D．‎ ‎【推荐指数】★★★‎ ‎3．（2010江苏南京，3，2分）如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是（ ）‎ A．4的算术平方根 B．4的立方根 C．8的算术平方根 D．8的立方根 ‎【分析】观察数轴发现：点A在2与3之间，因此可排除选项A和D；再由4的立方根小于2再排除选项B．所以本题答案选C．‎ ‎【答案】C ‎ 【涉及知识点】实数的估算 ‎【点评】本题考查学生估算的能力，问题不难，解决此类问题通常运用排除法．‎ ‎【推荐指数】★★‎ ‎4．（2010江苏南京，4，2分）甲种蔬菜保鲜适宜的温度是1℃~5℃，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是3℃~8℃，将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是（ ）‎ A．1℃~3℃ B．3℃~5℃ ‎ C．5℃~8℃ D．1℃~8℃‎ ‎【分析】可将问题转化求不等式组的解集，如图可得解集为3≤x≤5；也可将问题理解为：适宜两种蔬菜放在一起同时保鲜的温度是指同时满足“1℃~5℃”与“3℃~8℃”，因此需要取这两部分温度的共同部分（即两个集合的交集）．‎ ‎【答案】B ‎ 【涉及知识点】不等式组的解集 ‎【点评】本题考查不等式组的解集的确定，结合数轴是确定不等式组的常用方法．‎ ‎【推荐指数】★★★‎ ‎5．（2010江苏南京，5，2分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点C的坐标是（3，4），则顶点A、B的坐标分别是（ ）‎ A．（4，0）（7，4） B．（4，0）（8，4）‎ C．（5，0）（7，4） D．（5，0）（8，4）‎ ‎【分析】由点C的坐标为（3，4）易知OC=5，结合象限得点A的坐标为（5，0），排除选项A、B；进而再由BC=OA=OC=5得点B的坐标为（8，4），从而选D．‎ ‎【答案】D ‎ 【涉及知识点】平面直角坐标系、菱形的性质等 ‎【点评】本题综合考查平面直角坐标系、菱形的性质等知识，难度比前面的几题稍大．解决此类问题通常抓住菱形的性质入手，再结合平面直角坐标系的相关求解．‎ ‎【推荐指数】★★★‎ ‎6．（2010江苏南京，6，2分）如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间的函数关系的图象大致为（ ）‎ ‎【分析】由生活经验知：当小亮走到路灯的正下方时，此时影长为0，因此可排除选项C、D；在确定答案是选项A或B上感觉不好下手．设小亮身高为a，路灯C到路面的距离为h，点A到路灯正下方的距离为b，如图，由中心投影得，整理得，因此答案为A．‎ ‎【答案】A ‎ 【涉及知识点】函数的图象、中心投影 ‎【点评】本题考查函数的图象函数的图象、中心投影，解决此类问题的关键是抓住横轴与纵轴的意义．由于此类问题抽象性较强，因此经常出现在各地中考试卷选择题的最后一题，具有一定的区分度．‎ ‎【推荐指数】★★★★‎ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）‎ ‎7．（2010江苏南京，7，2分）-2的绝对值的结果是_____．‎ ‎【分析】由一个负数的绝对值是它的相反数得：-2的绝对值是-（-2）=2．本题也可根据“-2的绝对值表示-2的点到原点的距离为2”来求解．‎ ‎【答案】2‎ ‎ 【涉及知识点】实数的绝对值 ‎【点评】本题属于基础题，主要考查学生对绝对值概念的掌握，常见的此类考点还有相反数、正数与负数的意义等．‎ ‎【推荐指数】★★‎ ‎8．（2010江苏南京，8，2分）函数中，自变量x的取值范围是_____．‎ ‎【分析】由函数的意义得x-1≠0，解得x≠1．‎ ‎【答案】x≠1‎ ‎ 【涉及知识点】函数的定义域 ‎【点评】本题考查学生对函数定义域的理解，此类问题通常结合二次根式、不等式等知识点进行考查，难度一般不大．‎ ‎【推荐指数】★★★‎ ‎9．（2010江苏南京，9，2分）南京地铁2号线（含东延线）、3号线南延线开通后，南京地铁总里程约为85000m，将85000用科学记数法表示为_____．‎ ‎【分析】85000=8.5×10000=8.5×104．．‎ ‎【答案】8.5×104‎ ‎ 【涉及知识点】科学记数法 ‎【点评】本题考查用科学记数法表示较大的数，科学记数法的形式为a×10n（1≤|a|＜10），因此解决此类问题的关键找到a与n．这一类问题通常结合最新的时事进行考查，难度不大．‎ ‎【推荐指数】★★★‎ ‎10．（2010江苏南京，10，2分）如图，O是直线l上一点，∠AOB=100°，则∠1+∠2=_____°．‎ ‎【分析】观察图形得∠1+∠2+∠AOB=180°，所以∠1+∠2=180°-∠AOB=180°-100°=80°．‎ ‎【答案】80‎ ‎ 【涉及知识点】相交线，平角 ‎【点评】本题属于基础题，主要考查学生对平角概念的掌握，考查知识点单一，有利于提高本题的信度．‎ ‎【推荐指数】★★‎ ‎11．（2010江苏南京，11，2分）计算（a≥0）的结果是_____．‎ ‎【分析】根据二次根式的乘法法则得=4·|a|‎ ‎=4a．‎ ‎【答案】4a ‎ 【涉及知识点】二次根式 ‎【点评】本题考查二次根式的乘法法则，问题难度不大，绝大部分学生按照法则进行计算都能得出正确结果．‎ ‎【推荐指数】★★‎ ‎12．（2010江苏南京，12，2分）若反比例函数的图象经过点（-2，-1），则这个函数的图象位于第_____象限．‎ ‎【分析】设该反比例函数的关系式为，根据题意得，所以k=-1×（-2）=2＞0， 因此该反比例函数位于第一、三象限．‎ ‎【答案】一、三 ‎ 【涉及知识点】反比例函数 ‎【点评】本题考查反比例函数，近年来反比例函数考点多为反比例函数的意义、图象和应用等，难度为中等．‎ ‎【推荐指数】★★★★‎ ‎13．（2010江苏南京，13，2分）甲、乙两人5次射击命中的环数如下： ‎ 甲 7 9 8 6 10‎ 乙 7 8 9 8 8 ‎ 则这两人5次射击命中的环数的平均数==8，方差_____．（填“＞”、“＜”或“=”）‎ ‎【分析】通过观察甲、乙两组数据发现：乙组数据为3个8，1个7、1个9；甲组数据为6、7、8、9、10各1个．因此甲组数据与平均数8离散程度较大，乙组数据与平均数8离散程度较小，所以方差＞．本题也可通过计算方差进行比较，但是计算较繁，容易出错．‎ ‎【答案】＞‎ ‎ 【涉及知识点】方差 ‎【点评】本题考查统计中的方差知识点，方差反映数据的离散程度，可根据公式进行求解，由于本题是客观题，所以也可根据意义进行判断．‎ ‎【推荐指数】★★‎ ‎14．（2010江苏南京，1，2分）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点．若两圆的半径分别为3cm和5cm，则AB的长为_____cm．‎ ‎【分析】连接OA、OC，由切线的意义知△OAC为直角三角形，再由勾股定理得OA2=OC2+AC2，即52=32+AC2，所以AC=4，再由垂径定理得AB=2AC=8．‎ ‎【答案】8‎ ‎ 【涉及知识点】圆的切线的性质、勾股定理、垂径定理 ‎【点评】本题综合考查圆的切线的性质、勾股定理、垂径定理等知识点，解决此类问题的关键是连接半径建立直角三角形，运用勾股定理模型建立方程．‎ ‎【推荐指数】★★★‎ ‎15．（2010江苏南京，1，2分）如图，点C在⊙O上，将圆心角∠AOB绕点O按逆时针方向旋转到∠A/OB/，旋转角为α（0°＜α＜180°）．若∠AOB=30°，∠BCA/=40°，则∠α=_____°．‎ ‎【分析】根据圆心角的意义得∠BOA/=2∠BCA/=80°，所以∠α=∠AOB+∠BOA/=30°+80°‎ ‎=110°．‎ ‎【答案】110‎ ‎ 【涉及知识点】圆心角 ‎【点评】本题难度中等偏下，主要考查学生对圆心角意义的理解，解决问题要紧紧抓住“在同圆或等圆中，同弧所对圆周角的度数是圆心角度数的一半”．‎ ‎【推荐指数】★★★‎ ‎16．（2010江苏南京，16，2分）如图，AB⊥BC，AB=BC=‎2 cm，与关于点O中心对称，则AB、BC、、所围成的图形的面积是_____ cm2．‎ ‎【分析】连接AC，根据中心对称的意义，将“AB、BC、、所围成的图形的面积”转化为求直角三角形ABC的面积，由AB=BC=2 cm得S△ABC=2 cm2．‎ ‎【答案】2‎ ‎ 【涉及知识点】中心对称、等腰直角三角形 ‎【点评】本题考查学生中心对称、等腰直角三角形等知识点，由于问题求解需要对图形进行转化，所以本题有一定的区分度．‎ ‎【推荐指数】★★★‎ 三、解答题（本大题共12小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（2010江苏南京，17，6分）解方程组 ‎【答案】解法一：②×2，得2x+4y=10．③‎ ‎③-①，得3y=6．‎ 解这个方程得y=2．‎ 将y=2代入①，得x=1．‎ 所以原方程组的解为．‎ 解法二：由①，得y=4-2x．③‎ 将③代入②，得x+2(4-2x)=4，‎ 解这个方程得x=1．‎ 将x=1代入③，得y=2．‎ 所以原方程组的解为．‎ ‎【点评】对二元一次方程组的考查主要突出“消元”思想，题目一般不难，系数比较简单，主要考查方法（加减消元法和代入消元法）的掌握．‎ ‎【推荐指数】★★★★‎ ‎18．（2010江苏南京，18，6分）计算．‎ ‎【答案】==‎ ‎==．‎ ‎【点评】本题考查分式的化简，该知识点是各地中考必考之一，常见考查形式为化简或化简求值，解决此类问题时要注意熟练运用通分与约分的技巧．‎ ‎【推荐指数】★★★★‎ ‎19．（2010江苏南京，19，6分）为了估计西瓜、苹果和香蕉三种水果一个月的销售量，某水果店对这三种水果7天的销售量进行了统计，统计结果如图所示．‎ ‎（1）若西瓜、苹果和香蕉的售价分别为6元/千克、8元/千克和3元/千克，则这7天销售额最大的水果品种是（ ）；‎ A．西瓜 B．苹果 C．香蕉 ‎（2）估计一个月（按30天计算）该水果店可销售苹果多少千克？‎ ‎【分析】（1）由“销售额=售价×数量”得西瓜的销售额为250×6=1500元，苹果的销售额为140×8=1120元，西瓜的销售额为400×3=1200元，因此西瓜的销售最大；（2）观察图形知该水果店7天销售的苹果为140千克，平均每天为20千克，因此一个月可销售苹果大约为20×30=600千克．‎ ‎【答案】（1）A；‎ ‎（2）140÷7×30=600（千克）．‎ 答：估计一个月该水果店可销售苹果600千克．‎ ‎【点评】统计图表是近年来各地中考必考知识点之一，考查学生统计意识和统计技能．问题（1）中求解中部分学生常因审题不清，出现误选C的情况．‎ ‎【推荐指数】★★★★‎ ‎20．（2010江苏南京，20，7分）如图，小明欲利用测角仪测量树的高度．已知他离树的水平距离BC为10m，测角仪的高度CD为1.5m，测得树顶A的仰角为33°．求树的高度AB．‎ ‎（参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）‎ ‎【分析】观察图形发现可过点D作DE⊥AB，构造直角三角形ADE，由tan∠ADE=得AE=DE·tan∠ADE≈10×0.65=6.5，因此AB=AE+BE=AE+CD=6.5+1.5=8m．‎ ‎【答案】如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E．‎ 在Rt△ADE中，DE=BC=10，∠ADE=33°，tan∠ADE=，‎ ‎∴AE=DE·tan∠ADE≈10×0.65=6.5，‎ ‎∴AB=AE+BE=AE+CD=6.5+1.5=8（m）．‎ 答：树的高度AB约为8 m．‎ ‎【点评】解直角三角形是每年中考的必考知识点之一，主要考查直角三角形的边角关系及其应用，此类问题的一般解法是通过添加辅导线构造直角三角形进行求解，问题难度一般不大．‎ ‎【推荐指数】★★★★‎ ‎21．（2010江苏南京，21，7分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABC≌△BAD．求证：（1）OA=OB；（2）AB∥CD．‎ ‎ 【分析】（1）欲证OA=OB，观察图形发现OA、OB在△OAB中，因此若能得到∠OAB=∠‎ OBA，则问题得证，而∠OAB=∠OBA可由△ABC≌△BAD得到；（2）观察图形知问题AB∥CD可由∠OAB=∠OCD得到，又∠OAB=∠OBA，若∠OCD=∠ODC，再由∠COD=∠AOB结合三角形内角和是180°得到．而由条件△ABC≌△BAD可得BD=AC，又因为OA=OB，所以OC=OD，所以∠OCD=∠ODC，问题获证．‎ ‎【答案】（1）∵△ABC≌△BAD，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB．‎ ‎（2）∵△ABC≌△BAD，∴AC=BD．‎ 又∵OA=OB，∴∠OCD=∠ODC．‎ ‎∵∠AOB=∠COD，∠CAB=，∠ACD=，‎ ‎∴∠CAB=∠ACD，‎ ‎∴AB∥CD．‎ ‎【点评】本题考查全等三角形、等腰三角形、三角形内角和以及平行线的判定等知识点，中考试卷由于题量限制，考查空间与图形时多综合考查相关知识点，此类问题通常难度不大，但考查的知识点较多，学生解决此类问题时要注意熟练运用相关的知识．‎ ‎【推荐指数】★★★‎ ‎22．（2010江苏南京，22，7分）已知点A（1，1）在二次函数y=x2-2ax+b的图象上．‎ ‎（1）用含a的代数式表示b；‎ ‎（2）如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．‎ ‎【分析】（1）根据题意得1=1-2a+b，所以b=2a；（2）由题意知方程x2-2ax+b=0有两个相等的实数根，所以所以4a2-4b=0，由（1）b=2a得4a2-8a=0，解得a=0，或a=2．进而分类可求得该二次函数的图象的顶点坐标．‎ ‎【答案】（1）因为点A（1，1）在二次函数y=x2-2ax+b的图象上，所以1=1-2a+b，可得b=2a．‎ ‎（2）根据题意，方程x2-2ax+b=0有两个相等的实数根，所以4a2-4b=4a2-8a=0，解得a=0，或a=2．‎ 当a=0时，y=x2，这个二次函数的顶点坐标为（0，0）；‎ 当a=2时，y=x2-4x+4，这个二次函数的顶点坐标为（2，0）．‎ 所以，这个二次函数的顶点坐标为（0，0）或（2，0）．‎ ‎【点评】近年来，各地中考试卷考查二次函数问题的难度比以前有较大幅度的降低，问题考查有基础性和综合性的趋势．‎ ‎【推荐指数】★★★★‎ ‎23．（2010江苏南京，23，9分）某厂为新型号电视机上市举办促销活动，顾客每购买一台该型号电视机，可获得一次抽奖机会，该项厂拟按10%设大奖，其余90%为小奖．‎ 厂家设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入10黄球和90个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黄球的顾客获得大奖，摸到白球的顾客获得小奖．‎ ‎（1）厂家请教了一位数学老师，他设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入2黄球和3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出2个球，摸到的2个球都是黄球的顾客获得大奖，其余的顾客获得小奖．该抽奖方案符合厂家的设奖要求吗？请说明理由；‎ ‎（2）下图是一个可以自由转动的转盘，请你交转盘分为2个扇形区域，分别涂上黄、白两种颜色，并设计抽奖方案，使其符合厂家的设奖要求．（友情提醒：1‎ ‎．在用文字说明和扇形的圆心角的度数．2．结合转盘简述获奖方式，不需说明理由．）‎ ‎【分析】（1）是否符合要求是指该数学老师设计的方案能否体现“10%得大奖，90%得小奖”的厂家意图，因此可将数学老师的方案用排列法或画树状图的方法得到概率．如用黄1、黄2、白1、白2、白3表示这5个球．从中任意摸出2个球，可能出现的结果有：（黄1，黄2）、（黄1，白1）、（黄1，白2）、（黄1，白3）、（黄2，白1）、（黄2，白2）、（黄2，白3）、（白1，白2）、（白1，白3）、（白2，白3），共有10种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足摸到2个球都是黄球（记为事件A）的结果有1种，即（黄1，黄2），所以P（A）=．即顾客获得大奖的概率为10%，获得小奖的概率为90%．数学老师设计的方案符合要求；（2）本题求解方法不唯一，画图时只需将该转盘（圆）平均分为10份，某种颜色占1份，另一种颜色占9分．顾客购买该型号电视机时获得一次转动转盘的机会，指向1份颜色获得大奖，指向9份颜色获得小奖即可．‎ ‎【答案】（1）该抽奖方案符合厂家的设奖要求．‎ 分别用黄1、黄2、白1、白2、白3表示这5个球．从中任意摸出2个球，可能出现的结果有：（黄1，黄2）、（黄1，白1）、（黄1，白2）、（黄1，白3）、（黄2，白1）、（黄2，白2）、（黄2，白3）、（白1，白2）、（白1，白3）、（白2，白3），共有10种，它们出现的可能性相同．‎ 所有的结果中，满足摸到2个球都是黄球（记为事件A）的结果有1种，即（黄1，黄2），所以P（A）=．即顾客获得大奖的概率为10%，获得小奖的概率为90%．‎ ‎（2）本题答案不唯一，下列解法供参考．‎ 如图，将转盘中圆心角为36°的扇形区域涂上黄色，其余的区域涂上白色．顾客每购买一台该型号电视机，可获得一次转动转盘的机会，任意转动这个转盘，当转盘停止时，指针指向黄色区域获得大奖，指向白色区域获得小奖．‎ ‎【点评】概率与统计是新课程新增知识点，近年来各地中考命题的分值约占总分的15%．考查概率知识点通常有三种事件、画树状图（或列表格）求等可能事件的概率，问题难度不大，注重基础性，体现综合性（概率与统计综合，概率与代数知识综合，概率与几何图形知识综合等）．‎ ‎【推荐指数】★★★★‎ ‎24．（2010江苏南京，24，8分）甲车从A地出发以60km/h的速度沿公路匀速行驶，0.5h后，乙车也从A地出发，以80km/h 的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶，求乙车出发几小时追上甲车．‎ ‎ 请建立一次函数关系解决上述问题．‎ ‎【分析】乙车出发几小时追上甲车是指两车行驶路程相等或在平面直角坐标系两条直线交点的意义，因此设乙车出发xh后，甲、乙两车离A地的路程分别是y1km、y2km，得y1=60x+30，y2=80x．当乙车追上甲车时，y1= y2，即60x+30=80x．解得x=1.5h．‎ ‎【答案】本题答案不唯一，下列解法供参考．‎ 设乙车出发xh后，甲、乙两车离A地的路程分别是y1km、y2km．‎ 根据题意，得y1=60（x+0.5）=60x+30，y2=80x．‎ 当乙车追上甲车时，y1= y2，即60x+30=80x．‎ 解这个方程得x=1.5（h）．‎ 答：乙车出发1.5h追上甲车．‎ ‎【点评】近年来，南京市中考数学试卷加大了对一次函数知识点的考查，09省统考除外，06、07、08年各命制一道解答题（其中08年命制一道压轴题），通过分析可以看出该知识点考查的内容主要是函数关系的建立、函数图象与函数的应用，难度在中等或中等稍难以上．解决此类问题的一般方法是根据问题建立函数关系式，进而运用图象或根据实际意义求解．‎ ‎【推荐指数】★★★★★‎ ‎25．（2010江苏南京，25，8分）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，BC∥AD，CD∥AB．‎ ‎（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．‎ ‎【分析】（1）欲判断直线CD与⊙O的位置关系，由图形可猜想其结论为相切，由条件∠DAB=45°，CD∥AB知∠ADC=135°，再连接OD得∠ADO=45°，因此∠ODC=90°，猜想得证；（2）观察图形发现阴影部分可在梯形ODCB中求解或在平行四边形ABCD中求解，如 ‎【答案】（1）直线CD与⊙O相切．如图，连接OD．‎ ‎∵OA=OD，∠DAB=45°，∴∠ODA=45°，∴∠AOD=90°．‎ ‎∵CD∥AB，∴∠ODC=∠AOD=90°，即OD⊥CD．‎ 又∵点D在⊙O上，直线CD与⊙O相切．‎ ‎（2）∵BC∥AD，CD∥AB，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴CD=AB=2．∴S梯形OBCD=，‎ ‎∴图中阴影部分的面积为S梯形OBCD -S扇形OBD= ．‎ ‎【点评】圆这部分难度在新课标中有较大幅度的减小，考查的知识点集中在圆心角与圆周角、垂径定理、圆与直线、圆与圆的位置关系以及的有关圆的计算等方面，考查难度中等．本题考查圆与直线的位置、圆的计算等知识点，解决与切线相关的问题时，连接圆心与切点的半径是常用的辅导线．‎ ‎【推荐指数】★★★‎ ‎26．（2010江苏南京，26，8分）学习《图形的相似》后，我们可以探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件．‎ ‎（1）“对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到“满足_____，或_____，两个直角三角形相似”；‎ ‎（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到满足_____两个直角三角形相似”．请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程．‎ 已知：如图，_____．‎ 试说明Rt△ABC∽Rt△A/B/C/．‎ ‎【分析】（1）我们知道：两个三角形只要满足两个角对应相等，则这两个三角形相似．由于两个直角三角形的中的直角相等是问题的隐含条件，因此只需再有一个锐角对应相等即可判定它们相似．类比“两直角边对应相等，两个直角三角形全等”可知“两直角对应成比例时” 两个直角三角形相似；（2）HL是判定两个直角三角形全等的特殊方法，类比全等可得：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．说理时可从全等是相似的特例入手，利用参数法，设两个直角三角形对应边的比值为k，进而转化为三角形相似的判定条件获解．‎ ‎【答案】（1）一个锐角对应相等，两直角对应成比例；‎ ‎ （2）斜边和一条直角边对应成比例．‎ 在Rt△ABC和Rt△A/B/C/中，∠C=∠C/=90°，．‎ 解法一：设=k，则AB= k A/B/，AC= k A/C/．‎ 在Rt△ABC和Rt△A/B/C/中，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴Rt△ABC∽Rt△A/B/C/．‎ 解法二：如图，假设AB＞A/B/，在AB上截取AB//= A/B/，过点B//作B//C//⊥AC，垂足为C//．‎ ‎∵∠C=∠AC//B//，∴BC∥B//C//，∴Rt△ABC∽Rt△A/B//C//，．‎ ‎∵AB//= A/B/，∴．‎ 又∵，∴，∴AC//=A/C/．‎ ‎∵AB//= A/B/，∠C=∠AC//B//=90°，‎ ‎∴Rt△AB//C//≌Rt△A/B/C/，∴Rt△ABC∽Rt△A/B/C/．‎ ‎【点评】本题从教材中的直角三角形全等为背景，利用全等是相似的特例进行类比构造问题，根在教材，根在课堂，考在思想，考在方法，是一首难得的好题．解决此类问题通常需要认真阅读问题，在此基础上运用类比思想，结合相关知识进行求解．‎ ‎【推荐指数】★★★★‎ ‎27．（2010江苏南京，27，8分）某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单位应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．‎ ‎（1）填表（不需要化简）‎ ‎（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？‎ ‎【分析】（1）由“第二个月单价降低x元”知第二个月的单价为（80-x），销售量为（200+10 x）件，清仓时为总数量分别减去前面两个月的剩余量，即800-200-（200+10x）；（2‎ ‎）我们销售额-成本=利润，由“获利9000元”建立方程得80×200+（80-x）（200+10x）+40[800-200-（200+10x）] -50×800=9000，化简后求解．‎ ‎【答案】（1）80-x，200+10x，800-200-（200+10x）；‎ ‎（2）根据题意，得 ‎80×200+（80-x）（200+10x）+40[800-200-（200+10x）] -50×800=9000．‎ 整理，得x2-20x+100=0，解这个方程得x1= x2=10，‎ 当x=10时，80-x=70＞50．‎ 答：第二个月的单价应是70元．‎ ‎【点评】一元二次方程是中考中的高频考点，特别是各地命题组结合地方特色或时事或现实生活背景命制一大批新颖的试题，本题就是一道现实生活背景应用题．由于本题要分析的数量较多，因此难度明显增大，有较强的区分度．‎ ‎【推荐指数】★★★★‎ ‎28．（2010江苏南京，28，8分）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点．点E从点A出发，沿AB运动到点B停止．连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．‎ ‎（1）设AE=x时，△EGF的面积为y．求y关于x的函数关系式，并填写自变量x的取值范围；‎ ‎（2）P是MG的中点，请直接写出点P运动路线的长．‎ ‎【分析】（1）欲求y关于x的函数关系式，即△EGF的面积，观察图形发现S△EGF= EF·MG，由条件AM=DM及正方形的性质可得△AME≌△DMF，所以EF=2EM，因此求出面积的关键是求出MG．结合图形发现过点M作MN⊥BC，垂足为N可得Rt△AME∽Rt△NMG，进而运用相似三角形的性质得到MG的长，问题获解；（2）如图，P1P2（P1是P起始位置，P2是P终止位置．）是点P运动的路线，由Rt△ABM∽Rt△P1P2M，AB=2AM，得P1P2=2MP1=2．‎ ‎【答案】（1）当点E与点A重合时，x=0，y=×2×2=2；‎ 当点E与点A不重合时，0＜x≤2．‎ 在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，‎ ‎∴∠MDF=90°，∴∠A=∠MDF．‎ ‎∵AM=DM，∠AMF=∠DMF，∴△AME≌△DMF，∴ME=MF．‎ 在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME=．∴EF=2MF=2．‎ 过点M作MN⊥BC，垂足为N（如图）．则∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM．‎ ‎∴∠AME+∠EMN=90°．‎ ‎∵∠EMG=90°，∴∠GMN+∠EMN=90°，∴∠AME=∠GMN，‎ ‎∴Rt△AME∽Rt△NMG，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴MG=2ME=2，‎ ‎∴y=EF·MG=×2×2=2x2+2，‎ ‎∴y =2x2+2，其中0≤x≤2．‎ ‎（2）点P运动路线的长为2．‎ ‎【点评】本题是一道以动点为背景求函数关系式的面积问题，添加恰当的辅导线构造相似三角形求MG的长是问题（1）的求解关键．由于此类问题综合多个知识点进行考查，再加学生对运动性问题的分析往往是难以“动中求静”，因此，近年来各地多以运动问题作为中考数学试卷的压轴题．‎ ‎【推荐指数】★★★★★‎