中考圆有关的动点几何压轴题

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中考圆有关的动点几何压轴题

北辰教育学科老师辅导讲义 学员姓名: 年级:初三 辅导科目:数学 学科教师:陆军 授课日期 授课时段 授课主题 中考25题压轴题之涉及圆问题分析 教学内容 与圆有关的常见辅助线添加方法 辅助线秘诀一 已知直径或作直径,我们要想到两件事:‎ ‎1;直径上有一个隐藏的中点(圆心)‎ ‎2;利用圆周角定理构造直角三角形 辅助线秘诀二 作半径 ‎1;连半径,造等腰三角形 ‎2;作过切点的半径 辅助线秘诀三 涉及弦长,弦心距;可造垂径定理的模型,为勾股定理创造条件 辅助线秘诀四 切线的证明 ‎1;有交点:连半径,证垂直 ‎2;无交点:作垂直,证半径 辅助线秘诀五 已知数圆心角度数,要想到同弧所对圆周角度数,反之亦然。‎ 辅助线秘诀六 出现等弧问题时,我们要想到 ‎1;在同圆或等圆中相等的弧所对的弦相等,弦心距也相等。‎ ‎2;在同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角,圆周角也相等。‎ 辅助线秘诀七 已知三角比或求某个角的三角比,要想到把角放在直角三角形中,没有作垂直。‎ 注意;同角或等角的三角比相同 辅助线秘诀八 圆中出现内接正多边形时;‎ 作边心距,抓住一个直角三角形来解决 辅助线秘诀九 已知两圆相切,常用的辅助线是;‎ ‎1;作公切线,连接过切点的半径得到垂直关系 ‎2;作连心线 辅助线秘诀十 已知两圆相交,常用的辅助线是;‎ ‎1;作两圆公切弦 ‎2;作连心线 例题讲解 定圆结合直角三角形,考察两线段函数关系,三角形面积比值 ‎1(本题满分14分,其中第(1)小题4分,第(2)、(3)小题各5分)‎ 已知:如图,在Rt△中,,,,点在边上,以点为圆心的圆过、两点,点为上一动点.‎ ‎(1)求⊙的半径;‎ ‎(2)联结并延长,交边延长线于点,设,,求关于的函数解析式,并写出定义域;‎ 备用图 第25题图 ‎(3)联结,当点是AB的中点时,求△ABP的面积与△ABD的面积比的值.‎ 定圆结合直角三角形,考察三角形相似,线段与三角形周长的函数关系 ‎2‎ ‎(2010•上海)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D,与边AC相交于点E,连接DE并延长,与线段BC的延长线交于点P.‎ ‎(1)当∠B=30°时,连接AP,若△AEP与△BDP相似,求CE的长;‎ ‎(2)若CE=2,BD=BC,求∠BPD的正切值;‎ ‎(3)若tan∠BPD=,设CE=x,△ABC的周长为y,求y关于x的函数关系式.‎ 定圆结合直角三角形,考察两线段函数关系,圆心距,存在性问题 ‎3.如图,在半径为5的⊙O中,点A、B在⊙O上,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点,AC与OB的延长线相交于点D,设AC=x,BD=y.‎ ‎(1)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;‎ ‎(2)如果⊙O1与⊙O相交于点A、C,且⊙O1与⊙O的圆心距为2,当BD=OB时,求⊙O1的半径;‎ ‎(3)是否存在点C,使得△DCB∽△DOC?如果存在,请证明;如果不存在,请简要说明理由.‎ 定圆中结合平行线,弧中点,考察两线段函数关系,圆相切 ‎4(本题满分14分,第(1)小题6分,第(2)小题2分,第(3)小题6分)‎ 在半径为4的⊙O中,点C是以AB为直径的半圆的中点,OD⊥AC,垂足为D,点E是射线AB上的任意一点,DF//AB,DF与CE相交于点F,设EF=,DF=. ‎ (1) 如图1,当点E在射线OB上时,求关于的函数解析式,并写出函数定义域;‎ (2) 如图2,当点F在⊙O上时,求线段DF的长;‎ (3) 如果以点E为圆心、EF为半径的圆与⊙O相切,求线段DF的长.‎ A B E F C D O ‎(第25题图1)‎ A B E F C D O 动圆结合直角梯形,考察圆相切和相似 ‎5(14分)(2014•金山区二模)如图,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=4,AD=3,sin∠DCB=,P是边CD上一点(点P与点C、D不重合),以PC为半径的⊙P与边BC相交于点C和点Q.‎ ‎(1)如果BP⊥CD,求CP的长;‎ ‎(2)如果PA=PB,试判断以AB为直径的⊙O与⊙P的位置关系;‎ ‎(3)联结PQ,如果△ADP和△BQP相似,求CP的长.‎ 动圆结合内切直角三角形,考察相似,两线段函数关系 ‎ 6. 2005中考(本题满分12分,每小题满分各为4分)‎ 在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E,作EP⊥ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F。‎ (1) 如图8,求证:△ADE∽△AEP;‎ (2) 设OA=x,AP=y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;‎ (1) 当BF=1时,求线段AP的长.‎ 动圆结合定圆,考察两线段函数关系,圆相切 ‎7.(本题满分14分,第(1)小题4分,第(2)小题5分,第(3)小题5分)‎ 如图1,已知的半径长为3,点是上一定点,点为上不同于点的动点。‎ ‎(1)当时,求的长;‎ ‎(2)如果过点、,且点在直线上(如图2),设,,求关于的函数关系式,并写出函数的定义域;‎ ‎(3)在(2)的条件下,当时(如图3),存在与相内切,同时与相外切,且,‎ ‎ 试求的半径的长。‎ 动圆结合定圆,考察两线段函数关系,相似,勾股定理,圆相交和正多边形 ‎8.如图1,已知⊙O的半径长为1,PQ是⊙O的直径,点M是PQ延长线上一点,以点M为圆心作圆,与⊙O交于A、B两点,连接PA并延长,交⊙M于另外一点C.‎ ‎(1)若AB恰好是⊙O的直径,设OM=x,AC=y,试在图2中画出符合要求的大致图形,并求y关于x的函数解析式;‎ ‎(2)连接OA、MA、MC,若OA⊥MA,且△OMA与△PMC相似,求OM的长度和⊙M的半径长;‎ ‎(3)是否存在⊙M,使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边?若存在,试求OM的长度和⊙M的半径长;若不存在,试说明理由.‎ 动圆结合三角形,考察相似,线段比,圆位置关系 ‎9.2006中考25.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分7分,第(3)小题满分3分)‎ 已知点P在线段AB上,点O在线段AB的延长线上。以点O为圆心,OP为半径作圆,点C是圆O上的一点。‎ ‎(1)如图,如果AP=2PB,PB=BO。求证:△CAO∽△BCO;‎ ‎(2)如果AP=m(m是常数,且m>1),BP=1,OP是OA、OB的比例中项。当点C在圆O上运动时,求AC:BC的值(结果用含m的式子表示);‎ ‎(3)在(2)的条件下,讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系,并写出相应m的取值范围。‎ ‎1解:‎ ‎(1)联结OB.‎ 在Rt△中,,‎ ‎,,‎ ‎∴AC=8.………………………………(1分)‎ 设,则.‎ 在Rt△中,,‎ ‎∴.……………………………………………………………(2分)‎ 解得,即⊙的半径为5.………………………………………………(1分)‎ ‎(2)过点O作OH⊥AD于点H.‎ ‎ ∵OH过圆心,且OH⊥AD.‎ ‎∴.………………………(1分)‎ 在Rt△中,可得 即.…………(1分)‎ 在△和△中,‎ ‎,,∴△AOH∽△ADC.……………………(1分)‎ ‎∴.即.‎ 得.………………………………………………………(1分)‎ 定义域为.…………………………………………………………(1分)‎ ‎(3)∵是AB的中点,∴AP=BP.∵AO=BO,∴PO垂直平分AB.‎ 设,可求得,,,‎ ‎,,.‎ ‎∴.‎ ‎∴△ABP∽△ABD.…………………………(1分)‎ ‎∴.………………………(1分)‎ ‎ .‎ 由AP=BP可得.‎ ‎∴.‎ ‎∴,即.…………(1分)‎ 由可得,即.………(1分)‎ ‎.……………………………………(1分)‎ ‎2考点:相似三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;勾股定理;解直角三角形。‎ 专题:几何综合题;压轴题。‎ 分析:(1)当∠B=30°时,∠A=60°,此时△ADE是等边三角形,则∠PEC=∠AED=60°,由此可证得∠P=∠B=30°;若△AEP与△BDP相似,那么∠EAP=∠EPA=∠B=∠P=30°,此时EP=EA=1,即可在Rt△PEC中求得CE的长;‎ ‎(2)若BD=BC,可在Rt△ABC中,由勾股定理求得BD、BC的长;过C作CF∥DP交AB于F,易证得△ADE∽△AFC,根据得到的比例线段可求出DF的长;进而可通过证△BCF∽△BPD,根据相似三角形的对应边成比例求得BP、BC的比例关系,进而求出BP、CP的长;在Rt△CEP中,根据求得的CP的长及已知的CE的长即可得到∠BPD的正切值;‎ ‎(3)过点D作DQ⊥AC于Q,可用未知数表示出QE的长,根据∠BPD(即∠EDQ)的正切值即可求出DQ的长;在Rt△ADQ中,可用QE表示出AQ的长,由勾股定理即可求得EQ、DQ、AQ的长;易证得△ADQ∽△ABC,根据得到的比例线段可求出BD、BC的表达式,进而可根据三角形周长的计算方法得到y、x的函数关系式.‎ 解答:解:(1)∵∠B=30°,∠ACB=90°,‎ ‎∴∠BAC=60°.‎ ‎∵AD=AE,‎ ‎∴∠AED=60°=∠CEP,‎ ‎∴∠EPC=30°.‎ ‎∴△BDP为等腰三角形.‎ ‎∵△AEP与△BDP相似,‎ ‎∴∠EPA=∠DPB=30°,‎ ‎∴AE=EP=1.‎ ‎∴在Rt△ECP中,EC=EP=;‎ ‎(2)设BD=BC=x.‎ 在Rt△ABC中,由勾股定理,得:‎ ‎(x+1)2=x2+(2+1)2,‎ 解之得x=4,即BC=4.‎ 过点C作CF∥DP.‎ ‎∴△ADE与△AFC相似,‎ ‎∴,即AF=AC,即DF=EC=2,‎ ‎∴BF=DF=2.‎ ‎∵△BFC与△BDP相似,‎ ‎∴,即:BC=CP=4.‎ ‎∴tan∠BPD=.‎ ‎(3)过D点作DQ⊥AC于点Q.‎ 则△DQE与△PCE相似,设AQ=a,则QE=1﹣a.‎ ‎∴且,‎ ‎∴DQ=3(1﹣a).‎ ‎∵在Rt△ADQ中,据勾股定理得:AD2=AQ2+DQ2‎ 即:12=a2+[3(1﹣a)]2,‎ 解之得.‎ ‎∵△ADQ与△ABC相似,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴△ABC的周长,‎ 即:y=3+3x,其中x>0.‎ ‎3考点:相似三角形的判定与性质;勾股定理;圆与圆的位置关系。‎ 专题:代数几何综合题;分类讨论。‎ 分析:(1)过⊙O的圆心作OE⊥AC,垂足为E.通过证明△ODE∽△AOE求得,然后将相关线段的长度代入求得y关于x的函数解析式,再由函数的性质求其定义域;‎ ‎(2)当BD=OB时,根据(1)的函数关系式求得y=,x=6.分两种情况来解答O1A的值①当点O1在线段OE上时,O1E=OE﹣OO1=2;②当点O1在线段EO的延长线上时,O1E=OE+OO1=6;‎ ‎(3)当点C为AB的中点时,∠BOC=∠AOC=∠AOB=45°,∠OCA=∠OCB=,然后由三角形的内角和定理求得 ‎∠DCB=45°,由等量代换求得∠DCB=∠BOC.根据相似三角形的判定定理AA证明△DCB∽△DOC.‎ 解答:解:(1)过⊙O的圆心作OE⊥AC,垂足为E,‎ ‎∴AE=,OE=.‎ ‎∵∠DEO=∠AOB=90°,∴∠D=90°﹣∠EOD=∠AOE,∴△ODE∽△AOE.‎ ‎∴,∵OD=y+5,∴.‎ ‎∴y关于x的函数解析式为:.‎ 定义域为:.(1分)‎ ‎(2)当BD=OB时,,.‎ ‎∴x=6.‎ ‎∴AE=,OE=.‎ 当点O1在线段OE上时,O1E=OE﹣OO1=2,.‎ 当点O1在线段EO的延长线上时,O1E=OE+OO1=6,.‎ ‎⊙O1的半径为或.‎ ‎(3)存在,当点C为的中点时,△DCB∽△DOC.‎ 证明如下:∵当点C为的中点时,∠BOC=∠AOC=∠AOB=45°,‎ 又∵OA=OC=OB,∴∠OCA=∠OCB=,‎ ‎∴∠DCB=180°﹣∠OCA﹣∠OCB=45°.‎ ‎∴∠DCB=∠BOC.又∵∠D=∠D,∴△DCB∽△DOC.‎ ‎∴存在点C,使得△DCB∽△DOC.‎ 点评:本题主要考查了圆与圆的位置关系、勾股定理.此题很复杂,解答此题的关键是作出辅助线OE⊥AC,利用相似三角形的判定定理及性质解答,解答(2)时注意分两种情况讨论,不要漏解.‎ ‎4.解:(1)联结OC,∵AC是⊙O的弦,OD⊥AC,∴OD=AD.………………(1分)‎ ‎∵DF//AB,∴CF=EF,∴DF==.…………………(1分)‎ ‎∵点C是以AB为直径的半圆的中点,∴CO⊥AB.………………………(1分)‎ ‎∵EF=,AO=CO=4,∴CE=2,OE=.…(1分)‎ ‎∴. 定义域为.……………(1+1分)‎ ‎(2)当点F在⊙O上时,联结OC、OF,EF=,∴OC=OB=AB=4.(分)‎ ‎∴DF=2+=2+2.………………………………(1分)(3)当⊙E与⊙O外切于点B时,BE=FE.∵,‎ ‎ ∴ ,‎ ‎∴,).……………………………(1分)‎ ‎ ∴DF=.…………………(1分)‎ 当⊙E与⊙O内切于点B时,BE=FE.∵,‎ ‎ ∴ ,‎ ‎∴,).………………………………(1分)‎ ‎∴DF=.……………………(1分)‎ 当⊙E与⊙O内切于点A时,AE=FE.∵,‎ ‎ ∴ ,‎ ‎∴,).……………………………(1分)‎ ‎∴DF=.……………………………………………………………(1分)‎ ‎5.:(1)作DH⊥BC于H,如图1,‎ ‎∵AD∥BC,AB⊥BC,AB=4,AD=3,‎ ‎∴DH=4,BH=3,‎ 在Rt△DHC中,sin∠DCH==,‎ ‎∴DC=5,‎ ‎∴CH==3,‎ ‎∴BC=BH+CH=6,‎ ‎∵BP⊥CD,‎ ‎∴∠BPC=90°,‎ 而∠DCH=∠BCP,‎ ‎∴Rt△DCH∽Rt△BCP,‎ ‎∴=,即=,‎ ‎∴PC=;‎ ‎(2)作PE⊥AB于E,如图2,‎ ‎∵PA=PB,‎ ‎∴AE=BE=AB=2,‎ ‎∵PE∥AD∥BC,‎ ‎∴PE为梯形ABCD的中位线,‎ ‎∴PD=PC,PE=(AD+BC)=(3+6)=,‎ ‎∴PC=BC=,‎ ‎∴EA+PC=PE,‎ ‎∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切;‎ ‎(3)如图1,作PF⊥BC于F,则CF=QF,‎ 设PC=x,则DP=5﹣x,‎ ‎∵PF∥DH,‎ ‎∴△CPF∽△CDH,‎ ‎∴=,即=,解得CF=,‎ ‎∴CQ=2CF=,‎ ‎∴BQ=BC﹣CQ=6﹣,‎ ‎∵PQ=PC,‎ ‎∴∠PQC=∠PCQ,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴∠ADP+∠PCQ=180°,‎ 而∠PQC+∠PQB=180°,‎ ‎∴∠ADP=∠PQB,‎ 当△ADP∽△BQP,‎ ‎∴=,即=,‎ 整理得2x2﹣25x+50=0,解得x1=,x2=10(舍去),‎ 经检验x=是原分式方程的解.‎ ‎∴PC=;‎ 当△ADP∽△PQB,‎ ‎∴=,即=‎ 整理得5x2﹣43x+90=0,解得x1=,x2=5(舍去),‎ 经检验x=是原分式方程的解.‎ ‎∴PC=,‎ ‎∴如果△ADP和△BQP相似,CP的长为或.‎ J 7. ‎8.考点:相似三角形的判定与性质;勾股定理;相交两圆的性质;正多边形和圆。‎ 专题:计算题;证明题。‎ 分析:(1)过点M作MN⊥AC,垂足为N,可得,再根据PM⊥AB,又AB是圆O的直径,可得,在Rt△PNM中,再利用即可求得y关于x的函数解析式;‎ ‎(2)设圆M的半径为r,利用勾股定理求出OM,根据△OMA∽△PMC,可得△PMC是直角三角形.然后可得∠CPM、∠PCM都不可能是直角.又利用∠AOM=2∠P≠∠P,可得即若△OMA与△PMC相似,其对应性只能是点O与点C对应、点M与点P对应、点A与点M对应.从而求得OM,然后即可求得⊙M的半径长.‎ ‎(3)假设存在⊙M,使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边,连接OA、MA、MC、AQ,设公共弦AB与直线OM相交于点G,由正五边形求得∠AMB和∠BAC,再利用AB是公共弦,OM⊥AB,∠AMO=36°,从而求得∠AOM=∠AMO,在求证△MAQ∽△MOA,利用相似三角形对应边成比例即可求得.‎ 解答:解:(1)过点M作MN⊥AC,垂足为N,‎ ‎∴,‎ 由题意得:PM⊥AB,又AB是圆O的直径,‎ ‎∴OA=OP=1,‎ ‎∴∠APO=45°,,‎ ‎∴,‎ 在Rt△PNM中,,‎ 又PM=1+x,∠NPM=45°,‎ ‎∴,‎ ‎∴y关于x的函数解析式为(x>1),‎ ‎(2)设圆M的半径为r,‎ ‎∵OA⊥MA,‎ ‎∴∠OAM=90°,‎ 又∵△OMA∽△PMC,‎ ‎∴△PMC是直角三角形.‎ ‎∵OA=OP,MA=MC,‎ ‎∴∠CPM、∠PCM都不可能是直角.‎ ‎∴∠PMC=90°.‎ 又∵∠AOM=2∠P≠∠P,‎ ‎∴∠AMO=∠P,‎ 即若△OMA与△PMC相似,其对应性只能是点O与点C对应、点M与点P对应、点A与点M对应.‎ ‎∴,即,解得,‎ 从而OM=2,‎ ‎∴OM=2,圆M的半径为.‎ ‎(3)假设存在⊙M,使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边,‎ 连接OA、MA、MC、AQ,设公共弦AB与直线OM相交于点G 由正五边形知,∠BAC=108°,‎ ‎∵AB是公共弦,‎ ‎∴OM⊥AB,∠AMO=36°,‎ 从而∠P=18°,∠AOM=2∠P=36°‎ ‎∴∠AOM=∠AMO ‎∴AM=AO=1,即圆M的半径是1,‎ ‎∵OA=OQ=1,∠AOM=36°‎ ‎∴∠AQO=72°‎ ‎∴∠QAM=∠AQO﹣∠AMO=36°‎ ‎∴△MAQ∽△MOA,‎ ‎∴‎ ‎∵AM=1,MQ=OM﹣1‎ ‎∴,解得:(负值舍去)‎ ‎∴,‎ 所以,存在⊙M,使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边,‎ 此时的,圆M的半径是1.‎ ‎9/.(1)两边一夹角 ‎(2)解:设OP=x,则OB=x-1,OA=x+m,‎ OP=,OB=‎ OA/OC=OC/OB 设圆O与线段AB的延长线相交于点Q,当点c与点P、点Q不重合时,△CAO∽△BCO.‎ AC/BC=OC/OB=OP/OB=m;当点C与点P或点Q重OB合时,可得AC/BC=m,‎ ‎.。.当点C在圆O上运动时,AC:BC=m ‎(3)解:由(2)得,AC>BC,且AC-BC=(m-1)BC(m>1),‎ AC+BC=(m+1)BC,圆B和圆C的圆心距d=BC,‎ 显然BC<(m+1)BC,...圆B和圆C的位置关系只可能相交、内切或内含.‎ 当圆B与圆C相交时,(m-1)BC1,.∴12.‎
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