中考数学一轮复习专题图形折叠问题综合复习

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中考数学一轮复习专题图形折叠问题综合复习

‎2017年中考数学 一轮复习专题 图形折叠问题 综合复习 一 选择题:‎ ‎1.如图,E是矩形ABCD中BC边的中点,将△ABE沿AE折叠到△AFE,F在矩形ABCD内部,延长AF交DC于G点,若∠AEB=55°,则∠DAF=(  )‎ ‎  A.40°         B.35°    C.20°         D.15°‎ ‎  ‎ ‎2.如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′等于(  )‎ ‎ A.50° B.55° C.60° D.65°‎ ‎3.如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B′处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是(  )‎ ‎ A.12      B.24      C.12       D.16‎ ‎4.如图,已知矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于E,AD=8,AB=4,则DE长为(  )‎ ‎ A.3    B.4     C.5    D.6‎ ‎5.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,得到菱形AECF.若AB=3,则BC的长为(  )‎ ‎ A.1         B.2 C.       D.‎ ‎6.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,则重叠部分△AFC的面积为(  )‎ ‎ A.12          B.10 C.8          D.6‎ ‎7.如图,矩形ABCD中,点E在边AB上,将矩形ABCD沿直线DE折叠,点A恰好落在边BC的点F处.若AE=5,BF=3,则CD的长是(  )‎ ‎     A.7     B.8       C.9       D. 10‎ ‎8.如图,菱形纸片ABCD中,∠A=60°,折叠菱形纸片ABCD,使点C落在DP(P为AB中点)所在的直线上,得到经过点D的折痕DE.则∠DEC的大小为(  )‎ ‎ A.78°    B.75°    C.60°   D.45°‎ ‎9.如图,将边长为12cm的正方形ABCD折叠,使得点A落在CD边上的点E处,折痕为MN.若CE的长为7cm,则MN的长为(  )‎ ‎   A. 10        B. 13        C. 15          D. 12   ‎ ‎10.如图,将矩形纸片ABCD的四个角向内翻折,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,若EH=12厘米,EF=16厘米,则边AD的长是 (    )‎ ‎ A.12厘米            B.16厘米        C.20厘米        D.28厘米 ‎11.如图,在矩形 OABC 中,OA=8,OC=4,沿对角线 OB 折叠后,点 A 与点 D 重合,OD 与 BC 交于点 E,则点 D 的坐标是(     )‎ ‎ A.(4,8)  B.(5,8)  C.(,)    D.(,)‎ ‎12.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,AE、EF为折痕,∠BAE=30°,,折叠后,点C落在AD边上的C1处,并且点B落在EC1边上的B1处.则BC的长为(   )‎ ‎ A.            B. 2          C. 3         D.‎ ‎13.如图,矩形纸片ABCD中,AD=3cm,点E在BC上,将纸片沿AE折叠,使点B落在AC上的点F处,且∠AEF=∠CEF,则AB的长是(  )‎ ‎ A.1 cm      B.cm      C.2 cm     D. cm  ‎ ‎14.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=7,点E是AD上一个动点,把△BAE沿BE向矩形内部折叠,当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时,CA1的长为(  )  ‎ ‎ A.3或4  B.4或3 C.3或4 D.3或4‎ ‎15.如图,在矩形ABCD中,点E、F分别在边AB,BC上,且AE=AB.将矩形沿直线EF折叠,点B恰好落在AD边上的点P处,连接BP交EF于点Q.对于下列结论:①EF=2BE,②PF=2PE;③FQ=4EQ;④△PBF是等边三角形.其中正确的是( )‎ ‎ A.①②         B.②③           C.①③          D.①④‎ ‎16.如图,点M、N分别在矩形ABCD边AD、BC上,将矩形ABCD沿MN翻折后点C恰好与点A重合,若 此时=,则△AMD′ 的面积与△AMN的面积的比为( )‎ ‎ ‎ ‎ A.1:3            B.1:4      C.1:6        D.1: 9‎ ‎17.图,矩形ABCD中,点E是AD的中点,将△ABE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于点F,若CF=1,FD=2,则BC的长为(     )‎ ‎  A.3          B.2         C.2          D.2‎ ‎18.如图,矩形ABCD边AD沿拆痕AE折叠,使点D落在BC上的F处,已知AB=6,△ABF的面积是24,则FC等于(   ).‎ ‎ A.2        B.3        C.4         D.5 ‎ ‎  ‎ ‎19.如图,在菱形纸片ABCD中,∠A=60°,将纸片折叠,点A、D分别落在点A′、D′处,且A′D′经过点B,EF为折痕,当D′F⊥CD时,的值为(  )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎20.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=5.折叠纸片,使点A落在BC边上的A′处,折痕为PQ,当点A′在BC边上移动时,折痕的端点P,Q也随之移动。若限定点P,Q分别在AB,AD边上移动,则点A′在BC边上可移动的最大距离为(   )‎ ‎ A.2         B.4    C.       D.‎ 二 填空题:‎ ‎21.如图,矩形ABCD 的边长AB=8,AD=4,若将△DCB沿BD所在直线翻折,点C落在点F处,DF与AB交于点E. 则cos∠ADE =          .‎ ‎22.如图,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6,将纸片折叠,使得AD边落在AB边上,折痕为AE,再将△AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,则△CEF的面积为__________.‎ ‎23.将矩形ABCD沿折线EF折叠后点B恰好落在CD边上的点H处,且∠CHE=40°,则∠EFB=    .‎ ‎24.在菱形ABCD中,AB=5,AC=8,点P是AC上的一个动点,过点P作EF垂直于AC交AD于点E,交AB于点F,将△AEF沿EF折叠,使点A落在点A'处,当△A'CD是直角三角形时,AP的长为        .‎ ‎25.如图,四边形ABCD是一张矩形纸片,AD=2AB,若沿过点D的折痕DE将A角翻折,使点A落在BC上的A1处,则∠EA1B=______°。‎ ‎26.如图,将矩形纸片ABC(D)折叠,使点(D)与点B重合,点C落在点处,折痕为EF,若,那么的度数为     度。‎ ‎27.如图,正方形纸片ABCD的边长为1,M、N分别是AD、BC边上的点,且,将纸片的一角沿过点B的直线折叠,使A落在MN上,落点记为A′,折痕交AD于点E,若M是AD、BC边的上距DC最近的n等分点(n≥2,且n为整数),则A′N=      (用含有n的式子表示).‎ ‎28.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是BC边上一点,将△ABE沿AE折叠,‎ 使点B落在点B′处.‎ ‎(1)矩形ABCD的面积=      ;‎ ‎(2)当△CEB′为直角三角形时,BE=           .  ‎ ‎29.如图,矩形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为       .  ‎ ‎30.如图,在矩形ABCD中,点E是边CD的中点,将△ADE沿AE折叠后得到△AFE,且点F在矩形ABCD内部.将AF延长交边BC于点G.若=,则=      用含k的代数式表示).‎ ‎31.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=6,点E是AD上一点,把△BAE沿BE向矩形内部折叠,当点A的对应点A1恰落在∠ADC的平分线上时,DA1=      .‎ ‎32.小明尝试着将矩形纸片ABCD(如图①,AD>CD)沿过A点的直线折叠,使得B点落在AD边上的点F处,折痕为AE(如图②);再沿过D点的直线折叠,使得C点落在DA边上的点N处,E点落在AE边上的点M处,折痕为DG(如图③).如果第二次折叠后,M点正好在∠NDG的平分线上,那么矩形ABCD长与宽的比值为       .‎ ‎33.如图,在矩形ABCD中,AD=5,AB=8,点E为DC边上的一个动点,把△ADE沿AE折叠,当点D的对应点刚好D落在矩形ABCD的对称轴上时,则DE的长为      .‎ ‎34.如图,矩形纸片ABCD中,AB=6cm,AD=10cm,点E、F在矩形ABCD的边AB、AD上运动,将△AEF沿EF折叠,使点A′在BC边上,当折痕EF移动时,点A′在BC边上也随之移动.则A′C的取值范围为      .‎ 三 简答题:‎ ‎35、长为1,宽为a的矩形纸片(<a<1),如图那样折一下,剪下一个边长等于矩形宽度的正方形(称为第一次操作);再把剩下的矩形如图那样折一下,剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形(称为第二次操作);如此反复操作下去,若在第n次操作后,剩下的矩形为正方形,则操作终止.‎ ‎(I)第二次操作时,剪下的正方形的边长为   ;‎ ‎(Ⅱ)当n=3时,a的值为  .(用含a的式子表示)‎ ‎36.问题情境:如图将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠,使点B恰好落在AD边的中点F处,折痕EG分别交AB、CD于点E、G,FN与DC交于点M,连接BF交EG于点P.‎ 独立思考:‎ ‎(1)AE=_______cm,△FDM的周长为_____cm ‎(2)猜想EG与BF之间的位置关系与数量关系,‎ 并证明你的结论.‎ 拓展延伸:‎ 如图2,若点F不是AD的中点,且不与点A、D重合:‎ ‎ ①△FDM的周长是否发生变化,并证明你的结论.‎ ‎②判断(2)中的结论是否仍然成立,若不成立请直接写出新的结论(不需证明).  ‎ ‎37.长方形ABCD中,AD=10,AB=8,将长方形ABCD折叠,折痕为EF ‎(1)当A′与B重合时(如图1),EF=        ;‎ ‎(2)当直线EF过点D时(如图2),点A的对应点A′落在线段BC上,求线段EF的长;‎ ‎(3)如图3,点A的对应点A′落在线段BC上,E点在线段AB上,同时F点也在线段AD上,则A′在BC上的运动距离是      ; ‎ ‎ ‎ ‎38.感知:如图①,在矩形ABCD中,点E是边BC的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形ABCD内部的点F处,延长AF交CD于点G,连结FC,易证∠GCF=∠GFC.         ‎ 探究:将图①中的矩形ABCD改为平行四边形,其他条件不变,如图②,判断∠GCF=∠GFC是否仍然相等,并说明理由.           ‎ 应用:如图②,若AB=5,BC=6,则△ADG的周长为 16 .            ‎ ‎            ‎ ‎39.(1)观察与发现:小明将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展开纸片(如图①);在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片,使点A和点D重合,折痕为EF,展平纸片后得到△AEF(如图②).小明认为△AEF是等腰三角形,你同意吗?请说明理由.‎ ‎(2)实践与运用:将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A落在BC边上的点F处,折痕为BE(如图③);再沿过点E的直线折叠,使点D落在BE上的点D′处,折痕为EG(如图④);再展平纸片(如图⑤).求图⑤中∠α的大小.                                                                            ‎ ‎                    ‎ ‎                 ‎ 参考答案 ‎1、C  2、A 3、D 4、C 5、D 6、B  7、C 8、B 9、13 10、C 11、C 12、C; ‎ ‎13、B 14、D 15、D 16、A 17、B  18、A 19、A 20、A  21、  22、 2 ‎ ‎23、25° .24、2或 25、60°.26、125º 27、 28、 (1)48 (2) 3,6‎ ‎29、6    30、 31、:2. 32、 33、或 . 34、 4cm≤A′C≤8cm .‎ ‎35、1﹣a 或【考点】翻折变换(折叠问题).‎ ‎【解答】解:由题意,可知当<a<1时,第一次操作后剩下的矩形的长为a,宽为1﹣a,所以第二次操作时正方形的边长为1﹣a,第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为1﹣a,2a﹣1.‎ 故答案为:1﹣a;此时,分两种情况:‎ ‎①如果1﹣a>2a﹣1,即a<,那么第三次操作时正方形的边长为2a﹣1.‎ ‎∵经过第三次操作后所得的矩形是正方形,∴矩形的宽等于1﹣a,‎ 即2a﹣1=(1﹣a)﹣(2a﹣1),解得a=;‎ ‎②如果1﹣a<2a﹣1,即a>,那么第三次操作时正方形的边长为1﹣a.‎ 则1﹣a=(2a﹣1)﹣(1﹣a),解得a=.故答案为:或.‎ ‎36、(1)3,16‎ ‎(2)EG⊥BF, EG=BF则∠EGH+∠GEB=90°‎ 由折叠知,点B、F关于直线GE所在直线对称∴∠FBE=∠EGH ‎∵ABCD是正方形∴AB=BC    ∠C=∠ABC=90°四边形GHBC是矩形,∴GH=BC=AB ‎∴△AFB全等△HEG∴BF=EG ‎(3)①△FDM的周长不发生变化由折叠知∠EFM=∠ABC=90°∴∠DFM+∠AFE=90°‎ ‎∵四边形ABCD为正方形,∠A=∠D=90°∴∠DFM+∠DMF=90°‎ ‎∴∠AFE=∠DMF∴△AEF∽△DFM∴‎ 设AF为x,FD=8-x∴ ∴ ‎ FMD的周长=∴△FMD的周长不变②(2)中结论成立 ‎37、1)EF=10 (2)5   (3)4 ‎ ‎38、【解答】解:探究:∠GCF=∠GFC,理由如下:           ‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠B+∠ECG=180°,         ‎ 又∵△AFE是由△ABE翻折得到,∴∠AFE=∠B,EF=BE,            ‎ 又∵∠AFE+∠EFG=180°,∴∠ECG=∠EFG,         ‎ 又∵点E是边BC的中点,∴EC=BE,           ‎ ‎∵EF=BE,∴EC=EF,∴∠ECF=∠EFC,∴∠ECG﹣∠ECF=∠EFG﹣∠EFC,∴∠GCF=∠GFC;         ‎ 应用:∵△AFE是由△ABE翻折得到,∴AF=AB=5,         ‎ 由(1)知∠GCF=∠GFC,∴GF=GC,‎ ‎∴△ADG的周长AD+AF+GF+GD=AD+AB+GC+GD=AD+AB+CD=6+5+5=16,           ‎ 故答案为:应用、16.            ‎ ‎39、【解答】解:(1)同意.如图,设AD与EF交于点G.由折叠知,AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD.‎ 又由折叠知,∠AGE=∠DGE,∠AGE+∠DGE=180°,所以∠AGE=∠AGF=90°,所以∠AEF=∠AFE.所以AE=AF,‎ 即△AEF为等腰三角形.     ‎ ‎(2)由折叠知,四边形ABFE是正方形,∠AEB=45°,所以∠BED=135度.‎ 又由折叠知,∠BEG=∠DEG,所以∠DEG=67.5度.从而∠α=67.5°﹣45°=22.5°.  ‎ ‎            ‎
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