中考复习之——胡不归问题

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中考复习之——胡不归问题

中考复习之——胡不归问题 A D B C 沙 砾 地 带 ‎ 从前,有一个小伙子在外地学徒,当他获悉在家的老父亲病危的消息后,便立即启程赶路。由于思乡心切,他只考虑了两点之间线段最短的原理,所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B(如图所示),而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况,当他气喘吁吁地赶到家时,老人刚刚咽了气,小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说,老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?…”。这个古老的传说,引起了人们的思索,小伙子能否提前到家?倘若可以,他应该选择一条怎样的路线呢?这就是风靡千百年的“胡不归问题”。‎ 例1.(2012崇安模拟),如图,在平面直角坐标系中,AB=AC,A(0,),C(1,0),D为射线AO上一点,一动点P从A出发,运动路径为A→D→C,点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍,要使整个过程运动时间最少,则点D的坐标应为-------------------------------------------------( )‎ A. B. C. D. ‎ 例2.(2016徐州)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A(-1,0),B(0,-)、C(2,0),其中对称轴与x轴交于点D。‎ (1) 求二次函数的表达式及其顶点坐标;‎ (2) 若P为y轴上的一个动点,连接PD,则的最小值为 。‎ (3) M(s,t)为抛物线对称轴上的一个动点。‎ ①  若平面内存在点N,使得A、B、M、N为顶点的四边形为菱形,则这样的点N共有 个;‎ ②  连接MA、MB,若∠AMB不小于60°,求t的取值范围。‎ 练习巩固:‎ ‎1.(2015无锡二模)如图,菱形ABCD的对角线AC上有一动点P,BC=6,ABC=150°,则PA+PB+PD的最小值为 。‎ ‎2.(2015内江)如图,在中,CA=CE,CAE=30°,⊙O经过点C,且圆的直径AB在线段AE上。‎ (1) 试说明CE是⊙O的切线。‎ (2) 若中AE边上的高为h,试用含 h的代数式表示⊙O的直径AB;‎ (3) 设点D是线段AC上任意一点(不含端点),连接OD,当CD+OD的最小值为6时,求⊙O的AB的长。 ‎ ‎3.(2015日照)如图,抛物线与直线交于A、B两点,交x轴于D、C两点,连接AC、BC,已知A(0,3),C(3,0)。‎ ‎(1)抛物线的函数关系式为 ,tan∠BAC= 。‎ ‎(2)P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q,问:是否存在点P使以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出所有符合条件的P点坐标,若不存在,请说明理由。‎ ‎(3)设E为线段AC上一点(不含端点),连接DE,一动点M从点D出发,沿线段DE以每秒一个单位的速度运动到E点,再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到点A后停止,当点E的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?‎ ‎4.(2014成都)如图,已知抛物线与x轴从左至右依次交于点A、B,与y轴交于点C,经过点B的直线与抛物线的另一个交点为D。‎ ‎(1)若点D的横坐标为-5,求抛物线的函数关系式。‎ ‎(2)在(1)的条件下,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止,当点F的坐标为多少时,点M在整个运动过程中用时最少?‎ ‎(3)若在第一象限内的抛物线上有点P,使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似,求k的值。‎ ‎5.(2017徐州二模)二次函数图象与x轴交于A、C两点,点C(3,0),与y轴交于点B(0,-3)。‎ ‎(1) , ;‎ x y x y M ‎(2)如图①,P是x轴上一动点,点D(0,1)在y轴上,连接PD,求的最小值。‎ ‎(3)如图②,点M在抛物线上,若,求点M的坐标。‎ ‎6.(2016随州)已知抛物线,与x轴从左至右依次相交于A、B两点,与y轴交于点C,经过点A的直线与抛物线的另一个交点为D。‎ ‎(1)若点D的横坐标为2,则抛物线的函数关系式为 。‎ ‎(2)若在第三象限内的抛物线上有一点P,使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似,求点P的坐标。‎ ‎(3)在(1)的条件下,设点E是线段AD上一点(不含端点),连接BE,一动点Q从点B出发,沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E,再沿线段ED以每秒个单位运动到点D停止,问当点E的坐标为多少时,点Q运动的时间最少?‎
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