中考中实验操作研究性学习问题集

中考中实验操作研究性学习问题集

中考中实验、操作、研究性学习问题集 ‎1、阅读下面短文：如图1，△ABC是直角三角形，∠C=900，现将△ABC补成矩形，使得△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在这一边的对边上，那么符合要求的巨型可以画两个：矩形ACBD和矩形AEFB（如图2）。‎ 解答问题：‎ ① 设图2中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别记作m、n，则比较m＿＿n（填入“＞”、“＝”、“＜”）；‎ ‎②如图3，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求补成矩形，那么符合要求的矩形可以画（ ）个，在图3上画出；‎ ‎③如图4，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，则符合要求的矩形可以画出（ ）个，在图4上画出；‎ ‎④在③中画出的矩形中，哪一个矩形的周长最小？为什么？（2002，陕西）‎ ‎ A A D ‎ A ‎ E ‎ ‎ C B C B A B B ‎ C C ‎ F ‎2、用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD。把一个含600 角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的600角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合。将三角尺绕点A逆时针方向旋转。‎ ‎（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时（如图①），通过观察和测量BE、CF的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论；‎ ‎（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时（如图②），你在①中得到的结论还成立吗？说明理由。（2004，河北课改实验区）‎ ‎ A D F ‎ F ‎ A D ‎ B E C ‎ ‎ B C E ‎3、据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦是五。后人概括为“勾三、股四、弦五”。‎ （1） 观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过。计算，并根据你发现的规律，分别写出7，24，25的股和弦的算式；‎ （2） 根据（1）的规律，用n（n为奇数且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合理猜想它们之间两种相等关系并对其中一种猜想加以证明；‎ （3） 继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；……，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数且 m＞4）的代数式来表示它们的股和弦。（2004，福建三明）‎ ‎4、如图，在平行四边形ABCD中，点Ｅ、F在对角线AC上，且AE=CF，请你以F为一端点和图中以标明字母的某点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可） A D （1） 连结＿＿＿＿；‎ ‎（2）猜想＿＿＿＿=＿＿＿＿； ‎ ‎（3）证明：＿＿＿＿＿。 B C （2003，北京）‎ ‎5、已知：如图①，E、F、G、H按照AE=CG，BF=DH，BF=nAE（n是正整数）的关系，分别在两邻边长a、na的矩形ABCD各边上运动。设AE=x，四边形EFGH的面积为S。‎ （1） 当n=1、2时如图②、③，观察运动情况，写出四边形EFGH各顶点运动到何位置，使S=S矩形ABCD？‎ （2） 当n=3时，如图④，求S与x之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围），探索S随x增大而变化的规律；猜想四边形EFGH各顶点运动到何位置，使S=S矩形ABCD；‎ （3） 当n=k（k≥1）时，你所得到的规律与猜想是否成立？请说明理由。‎ A na H D A H D ‎ a a ‎ E G E G ‎ B F C B F C ‎ 如图①　　　　　　　　　　如图②‎ ‎ A H ‎2a D A H ‎3a D ‎ a ‎ E G E G ‎ B C B C ‎ F F ‎ 如图③ 如图④ （2003，福建三明）‎ ‎ 6、有一张矩形纸片ABCD，E、F分别是BC、AD上的点（但不与顶点重合），若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB=a，AD=b，BE=x。‎ （1） 求证：AF=EC；‎ （2） 用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作EE’B’C。‎ ‎①当x：b为何值时，直线E’E经过原矩形的一个顶点？‎ ‎②在直线E’E经过原矩形的一个顶点的情形下，连结BE’，直线 BE’与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，试探究当a与b有何种关系，它们就垂直？（2003，江西）‎ ‎ A F D A D ‎ B C B C ‎ E （备用图）‎ ‎7、如图，已知△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB=√3，BC=1，连结BF，分别脚AC、DC、DE于点P、、Q、R。‎ （1） 求证：△BFG∽△FEG，并求出BF的长。‎ （2） 观察图形，请你提出一个与动点P相关的问题，并进行解答。（2004，南昌）‎ A D F ‎ Q R ‎ P ‎ B G ‎ C E ‎8、如图①，分别以直角三角形ABC三边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1= S2+ S3。‎ （1） 如图②，分别以直角三角形ABC三边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系？（不必证明）‎ （2） 如图③，分别以直角三角形ABC三边向外作三个正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，请你确定S1，S2，S3之间关系并加以证明；‎ （3） 若分别以直角三角形ABC三边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；‎ （4） 类比（1）、（2）、（3）的结论，请你总结出一个更具有一般意义的结论。‎ ‎ （2004，四川资阳）‎ ‎9、四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质。只要善于观察，乐于探索，我们还会发现更多的结论。‎ （1） 四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形（如图①），其中相对的两对三角形的面积之积相等。你能证明这个结论吗？试试看。已知：在四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点（如图①）。‎ 求证：S△OBC·S△OAD=S△OAB·S△OCD。‎ （2） 在三角形中（如图②），你能能否归纳类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证明；若不能，说明理由。（2004，青岛）‎ ‎ A B ‎ D O ‎ O ‎ A D C ‎ B C ‎ ‎ ‎ ‎10、在数学活动课上，老师要求同学们先做下面的“循环分割操作”。然后再探索规律：图（1）是一等腰梯形纸片，其腰长与上底相等，且底角分别是600和1200，按要求开始操作（每次分割，纸片均不得留有剩余）。‎ ‎ 1200‎ ‎ 600‎ ‎ 图（1） 图（2）‎ 第一次分割：先将原等腰梯形纸片分割成3个全等的正三角形，然后将分割出的一个正三角形分割成3个全等的等腰梯形；‎ 第二次分割：先将上次分割出的3个等腰梯形中的一个分割成3个全等的正三角形，然后将刚分割出的一个正三角形分割成3个全等的等腰梯形，以后按第2次分割的方法进行下去……‎ ‎（1）请你在图（2）中画出一次分割的方案图；‎ ‎（2）若原等腰梯形的面积为a，请你通过操作、观察，将第2次、第3次分割后所得的一个最小等腰梯形面积分别填入下表：‎ 分割次数（ n）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎……‎ 一个最小等腰梯形面积（S）‎ ‎（3）请你猜想，分割所得的一个最小梯形的面积S与分割次数n有何关系？‎ ‎（2004，湖北三市一企）‎ ‎11、正方形通过剪切可以拼成三角形，方法如下：‎ ‎ ②‎ ‎　　　　　　　　①　　　　　　　　　①　②‎ ‎　　 图（1） 如图（2） 如图（3）‎ 仿上用图示的方法，解答下列问题：‎ ‎（1）如图（2），对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形。‎ ‎（2）如图（3），对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形。 （2004，安徽）‎ ‎12、数学课上，老师出示如图和下面框中条件：‎ 如图，在直角坐标平面内，O为坐标原点，A点坐标为（1，0），点B在x轴上且在点A的右侧，AB=OA。过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y=x2的图象于点C和D。直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H。记点C、D的横坐标分别为xC、xD，点H的纵坐标为yH。‎ 同学发现两个结论：①S△CMD：S梯形ABMC=2：3；②数值相等关系：xC·xD=-yH。‎ ‎（1）请你验证结论①和结论②成立；‎ ‎（2）请你研究：如果将上述框中的条件“A点坐标为（1，0）”改为“A点坐标为（t，0），（t>0）”，其它条件不变，结论①是否仍然成立？（说明理由）‎ ‎ （3）进一步研究：如果将上述框中的条件“A点坐标为（1，0）”改为“A点坐标为（t，0），（t>0）”，又将条件“y=x‎2”‎改为“y=ax2(a>0)”，其它条件不变，那么xC、xD和yH有怎样的数值关系？（写出结果并说明理由）（2004，上海）‎ ‎ y ‎ ‎ ‎ D ‎ M ‎ C ‎ O A B x ‎ H ‎13、阅读材料，解答问题。‎ ‎ 材料：“小聪设计的一个电子游戏是：一电子跳蚤从P1（-3，9）开始，按点的横坐标依次增加1的规律，在抛物线y=x2上向右跳动，得到点P2、P3、P4、P5……（如图1所示）。过P1、P2、P3分别作P1H1、P2H2、P3H3垂直于x轴，垂足分别为H1、H2、H3，则S△P1P2P3=S梯形P1H1H2P2-S梯形P2H2H3P3=，即△P1P2P3的面积为1。”问题：‎ （1） 求四边形P1P2P3P4和四边形P2P3P4P5的面积（要求：写出其中一个四边形面积的求解过程，另一个直接写出答案）；‎ （2） 猜想四边形Pn-1PnPn+1Pn+2的面积，并说明理由（利用图2）；‎ （3） 若将抛物线y=x2改为抛物线y=x2+bx+c，其他条件不变，猜想四边形Pn-1PnPn+1Pn+2的面积（直接写出答案）。 （2004，大连）‎ ‎ P1 y P7 y ‎ Pn+2‎ ‎ P2 P6 Pn+1‎ ‎ Pn ‎ P3 P5 Pn-1‎ ‎ X y ‎ -3 –2 –1 0(P4) O ‎ 图1 图2‎ ‎14、如图，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合），点Q在半圆O 上运动，且保持PQ=PO，过点Q作◎O的切线交BA的延长线于点C。‎ ‎（1）当∠QPA=600时，请你对△QCP的形状做出猜想，并给予证明；‎ ‎（2）当QP⊥AB时，△QCP的形状是＿＿＿＿＿＿三角形；‎ ‎（3）由（1）、（2）得出的结论，请你进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时，△QCP一定是＿＿＿＿＿＿三角形。（2003，吉林）‎ ‎ Q ‎ C A P M B ‎15、如图，已知AB是圆O的直径，AP为过点A的切线。在弧AB上任取一点C（点C与A、B不重合），过点C作圆的切线CD交AP于点D；过点C作CE⊥AB，垂足为E。连结BD，交CE于点F。‎ ‎ （1）当点C为弧AB中点时（如图1），求证：CF=EF；‎ ‎ （2）当点C不是弧AB的中点（如图2），试判断CF与EF的相等关系是否保持不变，并证明你的结论。（2001，苏州）‎ ‎ P ‎ D C P ‎ C ‎ F D F ‎ A O（E） B A E O B ‎ 图1 图2‎ ‎16、问题：要将一块直径为‎2cm 的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面。‎ 操作：方案一：在图甲中，设计一个使得圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：画示意图）；‎ ‎ 方案二：在图乙中，设计一个使得圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：画示意图）。‎ 探究：（1）求方案一中圆锥底面的半径；‎ ‎ （2）求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径；‎ ‎ （3）设方案二中半圆圆心为O，圆柱两个底面的圆心为O1，O2，圆锥底面的圆心为O3，试判断以O1 、O2、O3、O为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明。‎ ‎（2003，大连）‎ ‎ A O B A O B ‎ 图甲 图乙 ‎17、如图a，⊙O1、⊙O2内切于点P，C是⊙O1上任一点（与点P不重合）。‎ ‎ 实验操作：将直角三角板的直角顶点放在点C上，一条直角边经过点O1，另一条直角边所在直线交⊙O2于点A、B，直线PA、PB分别交⊙O1于点E、F，连结CE（图b是实验操作备用图）。‎ ‎ 探究：（1）你发现弧CE、弧CF有什么关系？用你学过的数学知识证明你的发现；‎ ‎ （2）你发现线段CE、PE、BF有怎样的比例关系？证明你的发现。‎ ‎（2004，大连）‎ ‎ P ‎ ‎ P ‎ O1 ‎ ‎ O1 ‎ ‎ O1 P O2‎ ‎ O2 O2‎ ‎ 图c ‎ 图a 图b ‎ ‎18、将正方形ABCD折叠，使得顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）。‎ ‎（1）如果M为CD中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5；‎ ‎（2）如果M为CD边上任意一点，设AB=‎2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关系？若有关，请把△CNG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由。‎ ‎（2004，无锡）‎ ‎ D M C ‎ E G ‎ H ‎ F ‎ A B ‎19、如图，⊙O与⊙O1外切于点T，PT为其内公切线，AB为其公切线，且A、B为切点，AB与PT相交于点P，根据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个正确结论，并加以证明。 （2001，杭州）‎ ‎ A P ‎ B ‎ O T O1‎ ‎20、如图，有一块塑料矩形模料ABCD，长为‎10cm，宽为‎4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P。‎ ‎ （1）能否使你的三角板两直角边分别通过点B、C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，说明理由。‎ ‎ （2）再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=‎2cm？若能，请求出这时AP的长；若不能，说明理由。 （2004，重庆北碚）‎ ‎ A P D ‎ B C ‎ F ‎ H ‎21、如图，∠BAC=900，AB=AC。直线l与以AB为直径的圆切于B。点E是圆上异于A、B的任意一点。直线AE与l相交于点D。‎ ‎ （1）如果AD=10，BD=6，求DE的长；‎ ‎ （2）连结CE，过点E作CE的垂线交直线AB于点F，当点E在什么位置时，相应的F位于线段AB上、线段AB的延长线上（写出结果，不要求证明）？无论点E如何变化，总有BD=BF。请你就上述三种情况任选一种说明理由。 （2004，河北）‎ ‎ l ‎ C ‎ D ‎ E ‎ A F O B ‎22、如图，⊙O的直径DF与弦AB交于点E，C为⊙O外一点，CB⊥AB，G是直线CD上一点，∠ADG=∠ABD。求证：AD·CE=DE·DF 说明：（1）如果你经过反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路过程写出来（要求至少写3步）‎ ‎ （2）在你经过说明（1）的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。①∠CDB=∠CEB；②AD∥EC；③∠DEC=∠ADF且∠CDF=900。‎ ‎（2004，大连）‎ ‎ C ‎ D ‎ G A E B ‎ O ‎ F ‎23、操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。‎ ‎ 探究：设A、P两点间的距离为x ‎（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；‎ ‎ ‎ ‎ （2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的关系式，并写出x的取值范围；‎ ‎ （3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的Q的位置，并求出相应的x值；如果不可能，试说明理由（图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2、图3备用）‎ ‎（2002，上海）‎ ‎ A D A D A D ‎ B C B C B C ‎24、取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：‎ ‎ B C E C E C A B E C ‎ M N M B’ N B’ N M B’ N ‎ 1 2‎ ‎ A D A D F D A F D ‎ 图1 图2 图3 图4‎ 第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1；‎ 第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B’，得到Rt△AB’E，如图2；‎ 第三步：沿EB’线折叠得到折痕EF，如图3。‎ 利用展开图4探究：‎ ‎ （1）△AEF是什么三角形？证明你的结论；‎ ‎ （2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由。（2003，陕西）‎ ‎25、已知：AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，设切点为C。‎ ‎ （1）当点P在AB的延长线上的位置如图1所示时，连结AC，作∠APC的平分线，交AC于点D，请你测量出∠CDP的度数；‎ ‎ （2）当点P在AB的延长线上的位置如图2、如图3所示时，连结AC，请你分别在这两个图中用尺规作∠APC的平分线（不写作法，保留作图痕迹），设此角平分线交AC于点D，然后在着两个图中分别测量出∠CDP的度数；‎ ‎ 猜想：∠CDP的度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化？请对你的猜想加以证明。‎ ‎ C C C ‎ D ‎ ‎ A O B P A O B P A O B P ‎ 图1 图2 图3‎ ‎26、已知正方形ABCD的边长AB=k（k是整数），正△PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且AE=1，将△PAE在正方形内按图①中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、……连续地翻转n 次，使顶点P第一次回到原来起始位置。‎ ‎ D C ‎ P P P ‎ …‎ ‎ A E C A E A E ‎ ‎ 图① 图②‎ ‎（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一条直线上，那么这一翻转过程可以看作是△PAE在直线上作连续翻转运动。图②是k=1时，△PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图，请你探索：若k=1时，则△PAE沿正方形的边连续翻转的次数n=＿＿＿＿时，顶点P第一次回到原来的起始位置。‎ ‎ （2）若k=2，则n=＿＿＿＿时，顶点P第一次回到原来起始位置；若k=3时，则n=＿＿＿时，顶点P第一次回到原来的起始位置。‎ ‎ （3）请你猜测：使顶点P第一次回到原来起始位置的n值与k之间的关系（请用含k 的代数式表示n）。 （2005，无锡）‎ ‎26、某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；‎ 乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形。如图1，△ABC是正三角形，AD=BE=CF，可以证明六边形ADBECF的各内角相等，但未必是正多边形；‎ 丙同学：我能证明边数是5时，它是正多边形。我猜想，边数是7时，它可能是正多边形。……‎ ‎ （1）请你说明乙同学构造的六边形的各内角相等；‎ ‎ （2）请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG（如图2）是正七边形。‎ ‎ （3）根据以上的探索过程，提出你的猜想（不必证明） （2002，安徽）‎ ‎ A A ‎ D B G ‎ F C ‎ B C D F ‎ E E ‎ 图1 图2‎ ‎27、已知抛物线y=-(x-m)2+1与x轴的交点为A、B（B在A的右边），与y轴的交点为C。‎ ‎ （1）写出m=1时与抛物线有关的三个正确结论；‎ ‎ （2）当点B在原点的右边，点C在原点的下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。‎ ‎ （3）请你提出一个对任意的m值都能成立的正确命题。（2005，江西）‎ ‎28、如图，在边长为2个单位长度的正方形ABCD中，点O、E分别是AD、AB的中点，点F是以点O为圆心、OE的长为半径的圆弧与DC的交点，点P是弧EF上的动点，连结OP，并延长交直线BC于点K。‎ ‎ （1）当点P从点E沿弧EF到点F时，点K运动了多少个单位长度？‎ ‎ （2）过点P 作弧EF所在圆的切线，当该切线不与BC平行时，设它与射线AB、直线BC分别交于点M、G。‎ ① 当K与B重合时，BG：BM的值是多少？‎ ‎②在点P运动的过程中，是否存在BG：BM=3的情况？你若认为存在，请求出BK的值；你若认为不存在，试说明理由。‎ ‎ （3）一般地，是否存在BG：BM=n（n为正整数）的情况？试提出你的猜想（不要求证明） （2005，江西）‎ ‎ A Q D A Q D A Q D ‎ E F E F E F ‎ ‎ B C B C B C ‎29、两人要去某风景区游玩，每天某一时间段开往该风景区有三辆汽车（票价相同），但是他们不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序。两人采用了不同的乘车方案；‎ 甲无论如何总是上开来的第一辆车，而乙则是先观察后上车，当第一辆车开来，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况。如果第二辆车的状况比第一辆好，他就上第二辆车；如果第二辆不比第一辆好，他就上第三辆车。‎ 如果把三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题：‎ ‎（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同可能？‎ ‎（2）你认为甲、乙两人采用的方案，哪一种方案能使自己乘坐上等车的可能性？为什么？‎ ‎（2005，安徽）‎ ‎30、如图，已知平行四边形ABCD及四边形外一直线l，四个顶点A、B、C、D到直线l的距离分别是a、b、c、d。‎ ‎ （1）观察图形，猜想得出a、b、c、d满足怎样的关系式？证明你的结论。‎ ‎ （2）现将l向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请你分情况写出你的结论。‎ ‎（2005，潍坊）‎ ‎ D C ‎ A B ‎ C1‎ ‎ A1 D1 B1‎ ‎31、如图①，平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6），D是BC边上的动点（与点B、C不重合），现将△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，将△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG、DF重合。‎ ‎ （1）如图②，若翻折后点F落在OA边上，求直线DE的函数关系式；‎ ‎ （2）设D（a，6），E（10，b），求b关于a的函数关系式，并求b的最小值；‎ ‎ （3）一般地，请你猜想直线DE与抛物线的公共点的个数，在图②的情形下通过计算验证你的猜想；如果直线DE与抛物线始终有公共点，请在图①中作出这样的公共点。 （2005，南京）‎ ‎ C D B C D B ‎ E E ‎ F G ‎ ‎ O G A x O F A ‎32、图①是边长分别为4√3和3的两个等边三角形纸片ABC和C’D’E’叠放在一起（C与C’重合）。‎ ‎ （1）操作：固定△ABC，将△C’D’E’绕点C顺时针旋转300得到△CDE，连结AD、BE、CE的延长线交AB于F（图①）；‎ ‎ 探究：在图②中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论。‎ ‎ （2）操作：将图②中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图③）；‎ ‎ 探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△AFC重叠部分的面积为y，求y与x之间的解析式，并写出函数自变量x的取值范围。‎ ‎（3）操作：图①中△C’D’E’固定，将△ABC移动，使顶点C落在C’E’的中点，边BC交D’E’于点M，边AC交D’C’于点N，设∠ACC’=α（300＜α＜900＝（图④）；‎ ‎ 探究：在图④中，线段C’N·E’M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请求出C’N·E’M的值；如果有变化，请说明理由。 （2005，泰州）‎ ‎ A A A A ‎ R ‎ D’ F D F B D’ N ‎ E P Q M ‎ B E’ C(C’) B C(C’) B C E’ C C’‎ ‎33、若一个矩形的短边与长边的比值为（黄金数）我们把这样的矩形叫做黄金矩形。‎ ‎ （1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB>AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD；‎ ‎ （2）探究：在（1）中的四边形是不是黄金矩形？若是，请予证明；若不是，请说明理由；‎ ‎（3）归纳：通过上述操作与探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）。‎ ‎（2005，扬州）‎ ‎ A B ‎ D C ‎34、操作示例：‎ 对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图1所示的方式摆放，再沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图2中的四边形BNED。‎ 从拼接的过程容易得到结论：①四边形BNED是正方形；②S正方形ABCD+S正方形EFGH=S正方形BNED。‎ ‎ 实践与探究：（1）对于边长为a、b(a>b)的两个正方形ABCD和EFGH，按图2所示的方式摆放，连结DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N。‎ ‎①证明四边形MNED是正方形，并用含a、b的代数式表示正方形MNED的面积；‎ ‎②在图2中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED。请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）。‎ ‎（2）对于n（n是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接为一个正方形？请简要说明理由。（2005，河北）‎ ‎ A D（G） F ‎ 1 4‎ ‎ A D ‎ 2 3‎ ‎ M G F ‎ B ‎5 C（H） 6 E B C E ‎ N ‎ N 图2‎ ‎ 图1 ‎ ‎35、已知矩形ABCD和点P，当点P在图1中的位置时，则有结论：S△PBC=S△PAC+S△PCD。‎ 理由：过点P作EF垂直BC，分别交AD、BC于E、F两点。‎ ‎∵S△PBC+S△PAD=。‎ 又∵S△PAC+S△PCD+S△PAD=，∴S△PBC+S△PAD= S△PAC+S△PCD+S△PAD。‎ ‎∴S△PBC=S△PAC+S△PCD。‎ 请你参考上述信息，当点P分别在图2，图3中的位置时，S△PBC、S△PAC、S△PCD又有怎样的数量关系？请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明。‎ P （2005，黑龙江）‎ ‎ ‎ ‎ A E D A D A D ‎ P ‎ B F C B C B C ‎ P ‎36、请将四个全等直角体型（如图）拼成一个平行四边形，并画出两种不同的拼法示意图（拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法）。 （2005，浙江）‎ ‎37、如图甲，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC，由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形。‎ ‎ （1）求四边形ABCD四个内角的度数；‎ ‎ （2）试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；‎ ‎ （3）现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出大致示意图。（2005，山东）‎ ‎ 图甲 图乙 ‎38、已知：直线a∥b，P、Q是直线a上的两点，M、N是直线b上的两点。‎ ‎ （1）如图1，线段PM、QN夹在平行直线a和b之间，四边形PMNQ为等腰三角形，其两腰PM=QN。请你参考图1，在图2画出异于图1的一种图形，使夹在平行直线a和b之间的两条线段相等；‎ ‎ （2）我们继续探究，发现用两条平行直线a、b去截一些我们学过的图形，会有两条“曲线段相等”（曲线上两点和它们之间的部分叫做“曲线段”，把经过全等变换后能重合的两条曲线段叫做“曲线段相等”）。请你在兔中画出一种图形，使夹在平行直线a和b之间的两条曲线段相等；‎ ‎ （3）如图4，若梯形PMNQ是一块绿化地，梯形的上底PQ=m，下底MN=n，且m

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