2010中考数学试题分类汇编45 压轴题02及答案

2010中考数学试题分类汇编45 压轴题02及答案

‎2010年部分省市中考数学试题分类汇编 压轴题(二)‎ B F A P E O x y ‎(第24题图)‎ ‎ 24. (金华卷)如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和(0，3）.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的面四民﹒数学兴趣小组对捐款情况进行了抽样调查，速度分别为1，，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以 (长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．‎ ‎ 请解答下列问题：‎ ‎ （1）过A，B两点的直线解析式是 ▲ ；‎ ‎（2）当t﹦4时，点P的坐标为 ▲ ；当t ﹦ ▲ ，点P与点E重合； ‎ ‎ （3）① 作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？‎ ‎② 当t﹦2时，是否存在着点Q，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ 解：（1）；………4分 （2）（0,），；……4分（各2分）‎B F A P E O x y G P′‎ P′‎ ‎(图1)‎ ‎ （3）①当点在线段上时，过作⊥轴，为垂足（如图1）‎ ‎ ∵,,∠∠90°‎ ‎ ∴△≌△，∴﹒‎ 又∵,∠60°,∴‎ B F A P E O x y M P′‎ H ‎（图2)‎ ‎ 而，∴,‎ ‎ 由得 ；…………………1分 ‎ 当点P在线段上时，形成的是三角形，不存在菱形；‎ ‎ 当点P在线段上时，‎ 过P作⊥，⊥，、分别为垂足（如图2）‎ ‎ ∵,∴,∴‎ ‎ ∴， 又∵‎ ‎ 在Rt△中，‎ ‎ 即，解得．…………………………………………………1分 B F A P E O x Q′‎ B′‎ Q C C1‎ D1‎ ‎(图3)‎ y ‎②存在﹒理由如下：‎ ‎ ∵，∴,，‎ 将△绕点顺时针方向旋转90°，得到 ‎△（如图3）‎ ‎ ∵⊥，∴点在直线上，‎ ‎ C点坐标为（，－1）‎ ‎ 过作∥，交于点Q,‎ 则△∽△‎ ‎ 由，可得Q的坐标为（－，）………………………1分 根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点（－，）也符合条件．……1分 ‎24.( 绍兴市)如图,设抛物线C1:, C2:,C1与C2的交点为A, B,点A的坐标是,点B的横坐标是－2.‎ 第24题图 ‎ （1）求的值及点B的坐标； ‎ ‎（2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,‎ 在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点Ｍ的 直线为,且与x轴交于点N.‎ ‎① 若过△DHG的顶点G,点D的坐标为 ‎(1, 2)，求点N的横坐标；‎ ‎② 若与△DHG的边DG相交,求点N的横 坐标的取值范围.‎ 解：（1）∵ 点A在抛物线C1上，∴ 把点A坐标代入得 =1. ‎ ‎∴ 抛物线C1的解析式为,‎ ‎ 设B(－2,b)， ∴ b＝－4, ∴ B(－2,－4) . ‎ ‎（2）①如图1，‎ ‎∵ M(1, 5)，D(1, 2), 且DH⊥x轴，∴ 点M在DH上，MH=5. ‎ 过点G作GE⊥DH,垂足为E,‎ 由△DHG是正三角形,可得EG=, EH=1，‎ 第24题图1‎ ‎∴ ME＝4. ‎ 设N ( x, 0 ), 则 NH＝x－1,‎ 由△MEG∽△MHN,得 ,‎ ‎∴ , ∴ ,‎ ‎∴ 点N的横坐标为． ‎ 第24题图2‎ ‎② 当点Ｄ移到与点A重合时,如图2，‎ 直线与DG交于点G,此时点Ｎ的横坐标最大．‎ 过点Ｇ,Ｍ作x轴的垂线,垂足分别为点Ｑ,F,‎ 设Ｎ（x，0），‎ ‎∵ A (2, 4), ∴ G (, 2),‎ ‎∴ NQ=，ＮF =, GQ=2, MF =5.‎ ‎∵ △NGQ∽△NMF，‎ ‎∴ ,‎ 第24题图3‎ 图4‎ ‎∴ ,‎ ‎∴ . ‎ 当点D移到与点B重合时,如图3，‎ 直线与DG交于点D,即点B, ‎ 此时点N的横坐标最小.‎ ‎ ∵ B(－2, －4), ∴ H(－2, 0), D(－2, －4),‎ 设N（x，0）， ‎ ‎∵ △BHN∽△MFN， ∴ ，‎ ‎∴ , ∴ . ‎ ‎∴ 点N横坐标的范围为 ≤x≤. ‎ ‎24. (丽水市卷)△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．‎ O y x C B A ‎(第24题)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎(1)　当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；‎ ‎(2)　如果抛物线(a≠0)的对称轴经过点C，请你探究：‎ ‎①　当，，时，A，B两点是否都 在这条抛物线上？并说明理由；‎ ‎②　设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不 可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；‎ 若不存在，请说明理由．‎ 解：‎ O y x C B A ‎(甲)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎． ……1分 由此，可求得点C的坐标为(，)， ……1分 点A的坐标为(，)，‎ ‎∵　A，B两点关于原点对称，‎ O y x C B A ‎(乙)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎∴　点B的坐标为(，)．‎ 将点A的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点A的纵坐标；‎ 将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点B的纵坐标．‎ ‎∴　在这种情况下，A，B两点都在抛物线上． 　……2分 情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为(，-)，‎ 点A的坐标为(，)，点B的坐标为(，)．‎ 经计算，A，B两点都不在这条抛物线上． 　 　……1分 ‎(情况2另解：经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A，B两点不可能都在这条抛物线上)‎ ‎②　存在．m的值是1或-1． 　……2分 ‎(，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)‎ ‎20.（益阳市）如图9，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（－2，0），B（6，0），C（0，3）.‎ ‎(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；‎ ‎(2)过Ｃ点作CD平行于轴交抛物线于点D，写出D点的坐标，并求AD、BC的交点E的坐标；‎ ‎(3)若抛物线的顶点为Ｐ，连结ＰC、ＰD，判断四边形CEDP的形状，并说明理由.‎ 解：⑴ 由于抛物线经过点，可设抛物线的解析式为，则，　　　　　　　　　‎ ‎　解得 ‎∴抛物线的解析式为　　　……………………………4分 ‎⑵ 的坐标为 ……………………………5分 直线的解析式为 直线的解析式为 ‎　由 ‎　求得交点的坐标为　　　　　　　 ……………………………8分 ‎⑶　连结交于，的坐标为 又∵，‎ ‎　　∴，且 ‎　　　　∴四边形是菱形　　　　　　　　　　……………………………12分 ‎26．(丹东市)如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．‎ ‎（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；‎ ‎（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式； ‎ ‎（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；‎ ‎ （4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．‎ 解：（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC． 1分 ‎∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，‎ ‎∴A（0，4），B（6，4），C（8，0） 3分 ‎（写错一个点的坐标扣1分）‎ O M N H A C E F D B ‎↑‎ ‎→‎ ‎－8‎ ‎(－6，－4)‎ x y ‎（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为，‎ ‎∵抛物线过点A（0，4）， ‎ ‎∴．则抛物线关系式为． 4分 将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得 ‎ 5分 ‎ 解得 6分 所求抛物线关系式为：． 7分 ‎（3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m． 8分 ‎ ∴ ‎ ‎ OA（AB+OC）AF·AGOE·OFCE·OA ‎ ‎ ‎ （ 0＜＜4） 10分 ‎∵． ∴当时，S的取最小值．‎ 又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值． 12分 ‎（4）当时，GB=GF，当时，BE=BG． 14分 ‎25.（威海市12分） ‎ ‎（1）探究新知：‎ ‎①如图，已知AD∥BC，AD＝BC，点M，N是直线CD上任意两点．‎ A B D C M N 图 ①‎ 求证：△ABM与△ABN的面积相等． ‎ ‎②如图，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点．试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由． ‎ C 图 ②‎ A B D M F E G ‎（2）结论应用： ‎ 如图③，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D．试探究在抛物线上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？ 若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由． ‎ ‎﹙友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用“探究新知”中的结论．﹚ ‎ A 图 ③‎ C D B O x y 解：﹙1﹚①证明：分别过点M，N作 ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为点E，F． ‎ A B D C M N 图 ①‎ E F ‎∵ AD∥BC，AD＝BC， ‎ ‎∴ 四边形ABCD为平行四边形． ‎ ‎∴ AB∥CD． ‎ ‎∴ ME= NF． ‎ ‎∵S△ABM＝，S△ABN＝， ‎ ‎∴ S△ABM＝ S△ABN． ……………………………………………………………………1分 ‎②相等．理由如下：分别过点D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分别为H，K．‎ H C 图 ②‎ A B D M F E G K 则∠DHA=∠EKB=90°． ‎ ‎∵ AD∥BE， ‎ ‎∴ ∠DAH=∠EBK． ‎ ‎∵ AD＝BE， ‎ ‎∴ △DAH≌△EBK． ‎ ‎∴ DH=EK． ……………………………2分 ‎ ‎∵ CD∥AB∥EF， ‎ ‎∴S△ABM＝，S△ABG＝， ‎ ‎∴ S△ABM＝ S△ABG. …………………………………………………………………3分 ‎﹙2﹚答：存在． …………………………………………………………………………4分 解：因为抛物线的顶点坐标是C(1，4)，所以，可设抛物线的表达式为.‎ 又因为抛物线经过点A(3，0)，将其坐标代入上式，得，解得.‎ ‎∴ 该抛物线的表达式为，即． ………………………5分 ‎∴ D点坐标为（0，3）．‎ 设直线AD的表达式为，代入点A的坐标，得，解得.‎ ‎∴ 直线AD的表达式为． ‎ 过C点作CG⊥x轴，垂足为G，交AD于点H．则H点的纵坐标为． ‎ ‎∴ CH＝CG－HG＝4－2＝2． …………………………………………………………6分 设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为． ‎ 过E点作EF⊥x轴，垂足为F，交AD于点P，则点P的纵坐标为，EF∥CG．‎ A 图 ③-1‎ C D B O x y H P G F P E 由﹙1﹚可知：若EP＝CH，则△ADE与△ADC的面积相等． ‎ ‎①若E点在直线AD的上方﹙如图③-1﹚，‎ 则PF=，EF＝． ‎ ‎∴ EP＝EF－PF＝=． ‎ ‎∴ ． ‎ 解得，． ……………………………7分 ‎ 当时，PF=3－2＝1，EF=1+2＝3． ‎ ‎∴ E点坐标为（2，3）． ‎ 同理 当m=1时，E点坐标为（1，4），与C点重合． ………………………………8分 ‎②若E点在直线AD的下方﹙如图③－2,③－3﹚， ‎ 则． ……………………………………………9分 ‎∴．解得，． ………………………………10分 当时，E点的纵坐标为； ‎ 当时，E点的纵坐标为． ‎ ‎∴ 在抛物线上存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等，E点的坐标为E1（2，3）；；． ………………12分 ‎﹙其他解法可酌情处理﹚ ‎ A 图③－3‎ C D B O x y H P G F P E A 图③－2‎ C D B O x y H P G F P E ‎ ‎ ‎24．(荆门市本题满分12分)已知：如图一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1，0)‎ ‎(1)求二次函数的解析式；‎ ‎(2)求四边形BDEC的面积S；‎ ‎(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．‎ 第24题图 解：(1)将B(0，1)，D(1，0)的坐标代入y＝x2＋bx＋c得 得解析式y＝x2－x＋1……………………………………………………3分 ‎(2)设C(x0，y0)，则有 解得∴C(4，3)．……………………………………………6分 由图可知：S＝S△ACE－S△ABD．又由对称轴为x＝可知E(2，0)．‎ ‎∴S＝AE·y0－AD×OB＝×4×3－×3×1＝…………………………………8分 第24题图 当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F．‎ ‎∵Rt△BOP∽Rt△PFC，∴．即．‎ 整理得a2－‎4a＋3＝0．解得a＝1或a＝3‎ ‎∴所求的点P的坐标为(1，0)或(3，0)‎ 综上所述：满足条件的点P共有二个………………………………………………………12分 ‎(3)设符合条件的点P存在，令P(a，0)：‎ ‎23．（济宁市10分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）.‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；‎ ‎(第23题)‎ ‎（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.‎ 解：（1）设抛物线为.‎ ‎∵抛物线经过点（0，3），∴.∴.‎ ‎∴抛物线为. ……………………………3分 ‎ (2) 答：与⊙相交. …………………………………………………………………4分 证明：当时，，.‎ ‎ ∴为（2，0），为（6，0）.∴.‎ 设⊙与相切于点，连接，则.‎ ‎∵，∴.‎ 又∵，∴.∴∽.‎ ‎∴.∴.∴.…………………………6分 ‎∵抛物线的对称轴为，∴点到的距离为2.‎ ‎∴抛物线的对称轴与⊙相交. ……………………………………………7分 ‎(第23题)‎ ‎(3) 解：如图，过点作平行于轴的直线交于点.‎ 可求出的解析式为.…………………………………………8分 设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∵,‎ ‎ ∴当时，的面积最大为.‎ ‎ 此时，点的坐标为（3，）. …………………………………………10分 ‎22．（中山市）如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PWQ．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：‎ ‎（1）说明△FMN∽△QWP；‎ ‎（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PWQ为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？‎ ‎（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．‎ 第22题图（2）‎ A B C D F 第22题图（1）‎ A B M C F D N W P Q M N W P Q ‎24．（青岛市本小题满分12分）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = ‎8 cm，BC = ‎6 cm，EF = ‎9 cm．‎ 如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以‎1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以‎2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？‎ ‎（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．‎ A D B C F ‎（‎ E ‎）‎ 图（1）‎ A D B C F E 图（2）‎ P Q ‎（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）‎ A B C 图（3）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，‎ ‎∴AP = AQ.‎ ‎ ∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，‎ ‎∴∠EQC = 45°.‎ 图（2）‎ Q A D B C F E P M ‎ ∴∠DEF =∠EQC.‎ ‎ ∴CE = CQ. ‎ ‎ 由题意知：CE = t，BP =2 t， ‎ ‎ ∴CQ = t.‎ ‎ ∴AQ = 8－t.‎ ‎ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB = ‎10 cm .‎ ‎ 则AP = 10－2 t.‎ ‎ ∴10－2 t = 8－t.‎ ‎ 解得：t = 2.‎ ‎ 答：当t = 2 s时，点A在线段PQ的垂直平分线上. 4分 ‎ （2）过P作，交BE于M，‎ ‎∴.‎ 在Rt△ABC和Rt△BPM中，，‎ ‎ ∴ . ∴PM = .‎ ‎ ∵BC = ‎6 cm，CE = t， ∴ BE = 6－t.‎ ‎ ∴y = S△ABC－S△BPE =－= －‎ ‎= = .‎ ‎∵，∴抛物线开口向上.‎ ‎∴当t = 3时，y最小=.‎ 答：当t = 3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2. 8分 ‎ （3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.‎ 过P作，交AC于N，‎ C E A D B F 图（3）‎ P Q N ‎∴.‎ ‎∵，∴△PAN ∽△BAC.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴，.‎ ‎∵NQ = AQ－AN，‎ ‎∴NQ = 8－t－() = ．‎ ‎∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一条直线上，‎ ‎∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.‎ ‎∵∠FQC = ∠PQN，‎ ‎∴△QCF∽△QNP .‎ ‎∴ . ∴ . ‎ ‎∵ ∴‎ 解得：t = 1.‎ 答：当t = 1s，点P、Q、F三点在同一条直线上. 12分 ‎22、（南充市）已知抛物线上有不同的两点E和F．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）如图，抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式．‎ ‎（3）当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F．‎ B A M C D O P Q x y 解：（1）抛物线的对称轴为．　……..（1分） ∵　抛物线上不同两个点E和F的纵坐标相同， ∴　点E和点F关于抛物线对称轴对称，则　，且k≠－2． ∴　抛物线的解析式为．　　　　　　　　　　　　……..（2分） （2）抛物线与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4）， ∴　AB＝，AM＝BM＝．　　　　　　　　　　　　　　　　……..（3分） 在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，∠MBC＝∠DAM＝∠PMQ＝45°， 在△BCM中，∠BMC＋∠BCM＋∠MBC＝180°，即∠BMC＋∠BCM＝135°， 在直线AB上，∠BMC＋∠PMQ＋∠AMD＝180°，即∠BMC＋∠AMD＝135°． ∴　∠BCM＝∠AMD． 故　△BCM∽△AMD．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……..（4分） ‎ ‎ ∴　，即　，． 故n和m之间的函数关系式为（m＞0）．　　　　　　　　　　……..（5分） （3）∵　F在上， 　　 ∴　，‎ ‎　　化简得，，∴　k1＝1，k2＝3．　　　　 　　即F1（－2，0）或F2（－4，－8）．　　　　　　　　　　　　　……..（6分） 　　①MF过M（2，2）和F1（－2，0），设MF为， 　　则　　　解得，　∴　直线MF的解析式为． 　　直线MF与x轴交点为（－2，0），与y轴交点为（0，1）． 　　若MP过点F（－2，0），则n＝4－1＝3，m＝； 　　若MQ过点F（－2，0），则m＝4－（－2）＝6，n＝．　　　……..（7分） 　　②MF过M（2，2）和F1（－4，－8），设MF为， 　　则　　解得，　∴　直线MF的解析式为． 　　直线MF与x轴交点为（，0），与y轴交点为（0，）． 　　若MP过点F（－4，－8），则n＝4－（）＝，m＝； 　　若MQ过点F（－4，－8），则m＝4－＝，n＝．　　……..（8分） 　故当　　或时，∠PMQ的边过点F．‎ ‎24. (（衢州卷）本题12分)‎ O y x C B A ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．‎ ‎(1)　当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；‎ ‎(2)　如果抛物线(a≠0)的对称轴经过点C，请你探究：‎ ‎①　当，，时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；‎ ‎②　设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．‎ O y x C B A ‎(甲)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎． ……1分 由此，可求得点C的坐标为(，)， ……1分 点A的坐标为(，)，‎ ‎∵　A，B两点关于原点对称，‎ O y x C B A ‎(乙)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎∴　点B的坐标为(，)．‎ 将点A的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点A的纵坐标；‎ 将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点B的纵坐标．‎ ‎∴　在这种情况下，A，B两点都在抛物线上． 　……2分 情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为(，-)，‎ 解：(1)　 ∵　点O是AB的中点，　∴　． ……1分 设点B的横坐标是x(x>0)，则， ……1分 解得　，(舍去)． ‎ ‎∴　点B的横坐标是． ……2分 ‎(2)　①　当，，时，得　　……(＊)‎ ‎． ……1分 以下分两种情况讨论．‎ 情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C的横坐标为，‎ 点A的坐标为(，)，点B的坐标为(，)．‎ 经计算，A，B两点都不在这条抛物线上． 　 　……1分 ‎(情况2另解：经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A，B两点不可能都在这条抛物线上)‎ ‎②　存在．m的值是1或-1． 　……2分 ‎(，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)‎ ‎24.（莱芜市本题满分12分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点.‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）若此抛物线的对称轴与直线交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；‎ ‎（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.‎ ‎（第24题图）‎ x y O A C B D E F 解：（1）∵抛物线经过点，，．‎ ‎∴， 解得.‎ ‎∴抛物线的解析式为：. …………………………3分 ‎（2）易知抛物线的对称轴是.把x=4代入y=2x得y=8，∴点D的坐标为（4,8）．‎ ‎∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8． …………………………4分 连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M．‎ 在Rt△MFD中，FD=8，MD=4．∴cos∠MDF=．‎ ‎∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°． …………………………6分 ‎∴劣弧EF的长为：． …………………………7分 ‎（3）设直线AC的解析式为y=kx+b. ∵直线AC经过点.‎ ‎∴，解得.∴直线AC的解析式为：. ………8分 设点，PG交直线AC于N，‎ 则点N坐标为.∵.‎ x y O A C B D E F P G N M ‎∴①若PN︰GN=1︰2，则PG︰GN=3︰2，PG=GN.‎ 即=.‎ 解得：m1=－3， m2=2（舍去）.‎ 当m=－3时，=.‎ ‎∴此时点P的坐标为. …………………………10分 ‎②若PN︰GN=2︰1，则PG︰GN=3︰1， PG=3GN.‎ 即=.‎ 解得：，（舍去）.当时，=.‎ ‎∴此时点P的坐标为.‎ 综上所述，当点P坐标为或时，△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分． …………………12分 ‎24. （舟山卷 本题12分)△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．‎ ‎(1)　当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；‎ ‎(2)　如果抛物线(a≠0)的对称轴经过点C，请你探究：‎ ‎①　当，，时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；‎ ‎②　设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．‎ O y x C B A ‎(第24题)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ 解：(1)　 ∵　点O是AB的中点，　∴　． ……1分 设点B的横坐标是x(x>0)，则， ……1分 解得　，(舍去)． ‎ ‎∴　点B的横坐标是． ……2分 ‎(2)　①　当，，时，得　　……(＊)‎ ‎． ……1分 以下分两种情况讨论．‎ 情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C的横坐标为，‎ O y x C B A ‎(甲)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎． ……1分 由此，可求得点C的坐标为(，)， ……1分 点A的坐标为(，)，‎ ‎∵　A，B两点关于原点对称，‎ O y x C B A ‎(乙)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎∴　点B的坐标为(，)．‎ 将点A的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点A的纵坐标；‎ 将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点B的纵坐标．‎ ‎∴　在这种情况下，A，B两点都在抛物线上． 　……2分 情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为(，-)，‎ 点A的坐标为(，)，点B的坐标为(，)．‎ 经计算，A，B两点都不在这条抛物线上． 　 　……1分 ‎(情况2另解：经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A，B两点不可能都在这条抛物线上)‎ ‎②　存在．m的值是1或-1． 　……2分 ‎(，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)‎ ‎25．(2010．十堰)（本小题满分10分）已知关于x的方程mx2-(‎3m－1)x+‎2m－2=0‎ ‎（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根.‎ ‎（2）若关于x的二次函数y= mx2-(‎3m－1)x+‎2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式.‎ ‎（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围.‎ 解：（1）分两种情况讨论：‎ ‎①当m=0 时，方程为x－2=0，∴x=2 方程有实数根 ‎②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式 ‎△=[－（‎3m－1）]2－‎4m（‎2m－2）=m2+‎2m+1=（m+1）2≥0‎ 不论m为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根 综合①②，可知m取任何实数，方程mx2-(‎3m－1)x+‎2m－2=0恒有实数根.‎ ‎（2）设x1，x2为抛物线y= mx2-(‎3m－1)x+‎2m－2与x轴交点的横坐标.‎ 则有x1+x2=，x1·x2=‎ 由| x1－x2|====，‎ 由| x1－x2|=2得=2，∴=2或=－2‎ ‎∴m=1或m=‎ ‎∴所求抛物线的解析式为：y1=x2－2x或y2=x2+2x－ 即y1= x（x－2）或y2=（x－2）（x－4）其图象如右图所示.‎ ‎（3）在（2）的条件下，直线y=x+b与抛物线y1，y2组成的图象只有两个交点，结合图象，求b的取值范围.‎ ‎，当y1=y时，得x2－3x－b=0，△=9+4b=0，解得b=－；‎ 同理，可得△=9－4（8+3b）=0，得b=－.‎ 观察函数图象可知当b<－或b>－时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.‎ 由 当y1=y2时，有x=2或x=1‎ 当x=1时，y=－1‎ 所以过两抛物线交点（1，－1），（2，0）的直线y=x－2，‎ 综上所述可知：当b<－或b>－或b=－2时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.‎