高中四大名校自主招生考试试卷附答案中考理科数学竞赛必备

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文档介绍

高中四大名校自主招生考试试卷附答案中考理科数学竞赛必备

长郡中学2008年高一实验班选拔考试试卷 注意:‎ ‎(1) 试卷共有三大题16小题,满分120分,考试时间80分钟.‎ ‎(2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效.‎ 一、 选择题(本题有6小题,每小题5分,共30分)下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.‎ ‎1.在直角坐标系中,若一点的横坐标与纵坐标互为相反数,则该点一定不在( )‎ ‎ (A) 直线y = –x上 (B) 抛物线 y =上 ‎ (C) 直线y = x上 (D) 双曲线xy = 1上 ‎2.以等速度行驶的城际列车,若将速度提高25%,则相同距离的行车时间可节省k%,那么k的值是 ( )‎ ‎(A) 35 (B) 30 (C) 25 (D) 20‎ ‎3.若-1<<0,则一定是 ( )‎ 第4题 ‎(A) 最小,最大 (B) 最小,最大 ‎ ‎ (C) 最小,a最大 (D) 最小, 最大 ‎ ‎4.如图,将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°,得△ABF,连结EF交AB于H,则下列结论错误的是( )‎ ‎(A) AE⊥AF (B)EF:AF =:1‎ ‎(C) AF2 = FH·FE (D)FB :FC = HB :EC ‎ ‎5.在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且CD与BE相交于点F,已知△BDF的面积为10,△BCF的面积为20,△CEF的面积为16,则四边形区域ADFE的面积等于( )‎ ‎ (A) 22 (B) 24 (D) 36 (D)44‎ ‎6.某医院内科病房有护士15人,每2人一班,轮流值班,每8小时换班一次,某两人同值一班后,到下次两人再同班,最长需要的天数是( ) ‎ ‎ (A)30 (B)35 (C)56 (D) 448 ‎ 二、填空题(本题有6个小题,每小题5分,共30分)‎ ‎7.若4sin‎2A – 4sinAcosA + cos‎2A = 0, 则tanA = ___ ___ .‎ ‎(第9题)‎ ‎8.在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后,A船以每小时12海浬的速度往南航行,B船则以每小时3海浬的速度向北漂流. 则经过 小时后,观测站及A、B两船恰成一个直角三角形.‎ ‎9.如右图,在坐标平面上,沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形,其长、宽分别为4、2,则通过A,B,C三点的拋物线对应的函数关系式是 .‎ ‎(第11题)‎ ‎10.桌面上有大小两颗球,相互靠在一起。已知大球的半径为‎20cm,小球半径‎5cm, 则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 ‎ cm.‎ ‎11.物质A与物质B分别由点A(2,0)同时出发,沿正方形BCDE的周界做环绕运动,物质A按逆时针方向以l单位/秒等速运动,物质B按顺时针方向,以2单位/秒等速运动,则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是 .‎ 第12题 ‎12.设… … 为一群圆, 其作法如下:是半径为a的圆, 在的圆内作四个相等的圆(如图), 每个圆和圆都内切, 且相邻的两个圆均外切, 再在每一个圆中, 用同样的方法作四个相等的圆, 依此类推作出…… , 则 ‎(1) 圆的半径长等于 (用a表示);‎ ‎(2) 圆的半径为 ( k为正整数,用a表示,不必证明) ‎ 三、解答题(本题有4个小题,共60分)解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤。‎ 第13题 ‎13.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD内接于圆O,且AD是圆O的直径,DC与AB的延长线相交于E点,OC∥AB.‎ ‎(1) 求证AD = AE;‎ ‎(2) 若OC=AB = 4,求△BCE的面积.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎14.(本题满分14分)已知抛物线y = x2 + 2px + 2p –2的顶点为M,‎ ‎(1) 求证抛物线与x 轴必有两个不同交点;‎ ‎(2) 设抛物线与x 轴的交点分别为A,B,求实数p的值使△ABM面积达到最小.‎ ‎15 (本小题满分16分)某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表:‎ 胜一场 平一场 负一场 积分 ‎3‎ ‎1‎ ‎0‎ 奖励(元/每人)‎ ‎1500‎ ‎700‎ ‎0‎ 当比赛进行到12轮结束(每队均要比赛12场)时,A队共积19分。‎ ‎(1) 试判断A队胜、平、负各几场?‎ ‎(2) 若每一场每名参赛队员均得出场费500元,设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W(元),试求W的最大值.‎ ‎ ‎ ‎(第16题)‎ ‎16(本小题满分18分)已知:矩形ABCD,(字母顺序如图)的边长AB=3,AD=2,将此矩形放在平面直角坐标系xOy中,使AB在x轴正半轴上,而矩形的其它两个顶点在第一象限,且直线y =x-1经过这两个顶点中的一个.‎ ‎(1)求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标;‎ ‎(2)以AB为直径作⊙M,经过A、B两点的抛物线,y = ax2+bx+c的顶点是P点.‎ ‎① 若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部,求a的取值范围;‎ ‎② 过点C作⊙M的切线交AD于F点,当PF∥AB时,试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y =x-1的上方?还是下方?还是正好落在此直线上?并说明理由. ‎ ‎2008年高一实验班选拔考试数学卷评分标准 一、 选择题(本题有6小题,每小题5分,共30分)‎ ‎1.D 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B ‎ 二、填空题(本题有6个小题,每小题5分,共30分)‎ ‎7.. 8.2. 9. y = –x2 –x +. 10.20. 11.( –,–2). ‎ ‎12.(1) 圆的半径 ; (2)圆的半径 ( –1 )n – ‎1 a .‎ 三、解答题 ‎13.(本小题满分12分)‎ ‎(1)证1.∵AD是圆O的直径,点C在圆O上,‎ ‎ ∴∠ACD = 90°,即AC⊥DE.‎ ‎ 又∵OC∥AE,O为AD中点,‎ ‎ ∴AD = AE. 4分 证2 ∵O为AD中点,OC∥AE,‎ ‎ ∴2OC = AE, ‎ ‎ 又∵AD是圆O的直径,‎ ‎∴ 2OC = AD,‎ ‎ ∴AD = AE. 4分 ‎ ‎ (2)由条件得ABCO是平行四边形,‎ ‎∴BC∥AD,‎ 又C为中点,∴AB =BE = 4,‎ ‎∵AD = AE,‎ ‎∴BC = BE = 4, 4分 连接BD,∵点B在圆O上,‎ ‎∴∠DBE= 90°,‎ ‎∴CE = BC= 4,‎ 即BE = BC = CE= 4,‎ ‎ ∴ 所求面积为4. 4分 ‎14.(本题满分14分)‎ 解:(1) ∵⊿ = 4p2 – 8p + 8 = 4 ( p –1)2 + 4 >0 ,‎ ‎ ∴抛物线与x 轴必有两个不同交点. 4分 ‎ (2) 设A (x1, 0 ), B( x2, 0),‎ 则|AB|2 = |x2 – x1|2 = [ (x1 + x2)2 – 4x1x2]2 = [4p2 – 8p + 8 ]2 = [4 ( p –1)2 + 4]2,‎ ‎∴|AB| = 2. 5分 又设顶点M ( a , b ), 由y = ( x – p)2 – ( p – 1 )2 – 1 .‎ 得b = – ( p – 1 )2 – 1 .‎ 当p =1时,|b|及|AB|均取最小,此时S△ABM = |AB||b|取最小值1 . 5分 ‎15 (本小题满分16分)‎ 解:(1)设A队胜x场,平y场,负z场,‎ 得,可得: 4分 依题意,知x≥0,y≥0,z≥0,且x、y、z均为整数,‎ ‎∴ 解得:≤x≤ ,∴ x可取4、5、6 4分 ‎∴ A队胜、平、负的场数有三种情况: ‎ 当x=4时, y=7,z=1; ‎ 当x=5时,y= 4,z = 3 ; ‎ 当x=6时,y=1,z= 5. 4分 ‎(2)∵W=(1500+500)x + (700+500)y +500z= – 600x+19300‎ 当x = 4时,W最大,W最大值= – 60×4+19300=16900(元) ‎ 答略. 4分 ‎16(本小题满分18分)‎ 解:(1)如图,建立平面直有坐标系,‎ ‎∵矩形ABCD中,AB= 3,AD =2,‎ 设A(m 0)( m > 0 ), 则有B(m+3 0);C(m+3 2), D(m 2);‎ 若C点过y =x-1;则2=(m+3)-1, ‎ m = -1与m>0不合;‎ ‎∴C点不过y=x-1;‎ 若点D过y=x-1,则2=m-1, m=2, ‎ ‎∴A (2, 0), B(5,0),C(5,2 ), D(2,2); 5分 ‎(2)①∵⊙M以AB为直径,∴M(3.5 0),‎ 由于y = ax2+bx+c过A(2, 0)和B(5 ,0)两点,‎ ‎∴ ∴ 2分 ‎∴y = ax2-7ax+‎‎10a ‎( 也可得:y= a(x-2)(x-5)= a(x2-7x+10) = ax2-7ax+‎10a ) ‎ ‎∴y = a(x-)2-a; ‎ ‎∴抛物线顶点P(, -a) 2分 ‎∵顶点同时在⊙M内和在矩形ABCD内部,‎ ‎∴ <-a < 2,∴-<a<–. 3分 ‎② 设切线CF与⊙M相切于Q,交AD于F,设AF = n, n>0;‎ ‎ ∵AD、BC、CF均为⊙M切线,∴CF=n+2, DF=2-n; 在RtDDCF中,‎ ‎∵DF2+DC2=CF2;‎ ‎∴32+(2-n)2=(n+2)2, ∴n=, ∴F(2, )‎ ‎∴当PF∥AB时,P点纵坐标为;∴-a =,∴a = -; ‎ ‎∴抛物线的解析式为:y= -x2+x-5 3分 抛物线与y轴的交点为Q(0,-5),‎ 又直线y =x-1与y轴交点( 0,-1);‎ ‎∴Q在直线y=x-1下方. 3分 ‎2009年长郡中学高一招生数学试题(B)‎ 时间60分钟 满分100分 一.选择题:(本题有8小题,每小题5分,共40分。每小题只有一个符合题意的答案)‎ ‎1. 下列四个图形中,每个小正方形都标上了颜色。若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样,那么不可能是这一个正方体的展开图的是( )‎ 黄 红 黄 红 绿 绿 黄 红 绿 红 绿 黄 绿 红 红 绿 黄 黄 绿 红 黄 红 黄 绿 A. B. C. D.‎ ‎2.某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%,第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%,则第三季度的产值比第一季度的产值增长了 ( )‎ A.2x% B. 1+2x% C.(1+x%)x% D.(2+x%)x%‎ ‎3.甲从一个鱼摊上买了三条鱼,平均每条a元,又从另—个鱼摊上买了两条鱼,平均每条b元,后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙,结果发现赔了钱,原因是( )‎ A.a>b B.a
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