数与式中考复习建议剖析

数与式中考复习建议剖析

‎ “数与式”专题中考复习几点建议 数与式在义务教育阶段的数学课程中占有重要地位，有着重要的教育价值．“数与式”主要包括数与式的有关概念和运算，以及用数或式表示各种情境中的数量关系，它们是初中数学中最为基础的内容．从知识角度来看，这部分内容极为突出地体现着其基础性与核心性；从技能角度看，这部分内容体现着其结果的确定性和操作的灵活性；从其功能的角度看，这部分知识有着极为广泛的应用性和工具性．因此是中考命题的热点问题，纵观这几年的中考题，年年都考，在中考试卷中也大都以容易题和中档题的形式出现。‎ 一．内容特点分析 ‎1．自身的结构特点 这部分知识的自身结构特点概括地说有以下三个方面：‎ ‎“数”和“式”的本质意义都是用来表示数量和数量关系的；‎ 教材中，“数”是沿着由“算术数”到有理数再到实数这样的系列扩展的，相应地，“式”是沿着由整式到有理式（引入分式）再到根式这样的系列扩展的．而两个系列之间，由于“用字母表示数”的生成过程是由“特殊”向“一般”发展，这便使两个系列之间具有良好的类比关系；‎ 数和式的有关运算构成了这部分知识的核心内容．由于数和式是两个逐步扩张的知识系列，所以相关概念就比较多，其间的转化关系也比较多．其层层递进并形成新知识的逻辑思维过程也大量蕴涵其中，对培养能力有重要的价值．‎ ‎2．在初中数学中的地位 ‎“数与式”在初中数学中的地位主要体现在它的基础性和广泛的应用性上：‎ 从内容构成来看，“数与式”不仅是方程（组）、不等式（组）、函数等知识表达和运算的基础，而且也是许多图形问题中有关数量表达与计算的基础；‎ 从数学思想方法的角度来看，这部分知识所蕴含的思想方法对后继知识的学习具有十分重要的作用，如，转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想、类比思想等对方程、不等式、函数的研究，以及几何和概率等内容的学习具有重要的指导意义．此外，“数与式”这部分内容中所渗透的“数感”和“符号感”也是理解方程和函数意义的本质及进行相关运用的基础．‎ 二．“数与式”的中考内容要求．‎ 中考复习的依据：新课程标准；考试说明．兼顾教材．‎ 特别是考试说明依据新课标又从全面复习的角度，重新解读了新课标和教材．考试说明中将《数与式》的内容从基本要求、略高要求、较高要求三个层面上进行了知识和技能，过程和方法，情感价值观三个维度的具体目标的解读．‎ 三．“数与式”的考点题型分析．‎ 随着对《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》——新课标理解的进一步深入，2012年各地中考试卷关于“数与式”的考法更加注意体现这部分内容的结构特点，具体可归结为如下的几个方面：‎ ‎1．考查对数与式基本概念的理解 例1（2011陕西）的相反数是（ ）A． B． C． D． ‎ 例2（2012贵州）数字，，，，，，中是无理数的有（ ）个．‎ ‎　 A． 1 B． 2 C．3 D．4‎ 例3（2012湖北）若与互为相反数，则 的值为（ ）‎ A． 3 B． 9 C． 12 D． 27‎ 例4(2012北京)首届中国（北京）国际服务贸易交易会（京交会）于2012年6月1日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元，将60 110 000 000用科学记数法表示应为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 例1考查是否真正理解了相反数的概念；例2考查无理数的概念，特殊角的三角函数值；‎ 例3考查了“绝对值”和“平方数”的非负性质，以及绝对值的意义和“相反数”的意义．‎ 例4考查了科学记数法.四道题目均有助于提高试卷的效度和可推广性．‎ 考法评析：突现所考知识的“基础性”及其基本的认知要求，是四道题目的共同特点.‎ ‎2．考查对数与式有关性质的掌握 ‎ 例1（2012湖南）实数，在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（ ） ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 例2（2012贵州）若分式无意义，则的值为　 　．‎ 例3（2012湖北）已知，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 例1考查实数与数轴，不等式的性质，绝对值；例2考查分式在什么情况下无意义以及绝对值的意义；例3考查平方根的意义和性质．‎ 考法评析：三道题目都围绕着基本性质，构题简明，目标明确，具有较好的效度．‎ ‎3．考查对数与式运算法则的掌握 例1（2012福州）下列计算正确的是（ ）‎ ‎ A． B．· C． D． ‎ 例2（2012湛江）下列运算中，正确的是（　　）‎ A． B． C．· D．‎ 例3（2012杭州）下列计算正确的是（　　）‎ A． 　B．‎ C． D．‎ 考法评析：数、式的运算法则是极为重要的基础知识，有必要进行针对性的考查．本例的三道题目以不同的方式考查了掌握运算法则和运算性质的情况，同底数幂的乘法和除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方.这样的题目有着较好的效度．‎ ‎4．考查数与式的运算及变形的技能 例1（2012南昌）已知，，则（　　）‎ ‎　 A． 10 B． 6 C．5 D．3‎ 例2（2012北京）分解因式： ．‎ 例3（2012广东）已知，，求代数式的值．‎ 例4（2010常州）若实数满足，则 _______ .‎ 例1考查乘法公式的变形拓广应用；‎ 例2考查会用提公因式法和公式法对代数式进行变形后因式分解； ‎ 例3考查用因式分解法将分式运算化简变形后再代入求值． ‎ 例4考查对代数式进行变形，再用整体代入思想简化运算，求出代数式的值.‎ 考法评析：掌握数与式的运算及变形技能，是学习数与式的重要目的之一，也是提高运算能力的重要基础．这样的题目既有对运算规范的要求，也有对运算灵活运用的要求，具有较好的效度和可推广性． ‎ ‎5．考查数与式基本的列式能力 例1（2012宜昌）根据《国家中长期教育改革和发展规划纲要》，教育经费投入应占当年GDP的4%．若设2012年GDP的总值为n亿元，则2012年教育经费投入可表示（　　）亿元．‎ A． B． C． D．‎ 例2：（2012安徽）某企业今年3月份产值为万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是（　　）万元 A． B．‎ C． D． ‎ 例1和2体现了代数式的抽象性（在某种程度上也是数学抽象性的表现），这样的试题针对性强，突出了列代数式的重要性，试题有较好的效度和可推广性．‎ 考法评析：列出代数式表达各种情景中的数量及数量关系，是学习“数与式”极为重要的目的．以上两题所考查的就是这个目的所对应的列式能力，‎ ‎6．借助图形，考查数与式数形结合的能力 例 1（2011芜湖）从边长为cm的正方形纸片中剪去一个边长为cm的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ 例2（2012柳州）如图，给出了正方形ABCD的面积的四个表达式，其中错误的是（ ）‎ A． 　 　　B． ‎ ‎ C． 　　D．‎ ‎ 考法评析：像这样的试题，以式的建立和表达为基础，把图形直观和其中蕴含的数量关系与式的表达有机地结合起来，考查考生运用代数与几何的相关知识解决问题．因此，这样的题目，既突出了对数形结合思想的考查，又突出了对分析问题与解决问题能力的考查．‎ ‎7．借助数与式发现规律，考查归纳的能力 例1（2012重庆）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（　　）A．50 B．64 C．68 D．72 ‎ 分析：先根据题意求找出其中的规律，即可求出第⑥个图形中五角星的个数．‎ 解答：第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有：2+（3×2）=8个五角星，‎ 第③个图形一共有8+（5×2）=18个五角星，…‎ 第n个图形一共有：1×2+3×2+5×2+7×2+…+2（2n－1）=2[1+3+5+…+（2n－1）]‎ 则第（6）个图形一共有：2×62=72个五角星；‎ 考法评析：考查了图形变化规律的问题，把五角星分成三部分进行考虑，并找出第个图形五角星的个数的表达式是解题的关键．‎ 例（2012盐城）已知整数满足下列条件：，，‎ ‎，，…，依次类推，则的值为（　　）‎ A．－1005 B．－1006 C．－1007 D．－2012‎ 分析：根据条件求出前几个数的值，再分是奇数时，结果等于，‎ 是偶数时，结果等于，然后把的值代入进行计算即可得解．‎ 考法评析：本题是对数字变化规律的考查，根据所求出的数，观察出n为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键．‎ 四．“数与式”考点的再思考 ‎1．准确与灵活是“运算”之本；‎ 灵活运用运算法则，运算律和运算性质，对以下几道中考试题，我们给出新的解法，请同学们感悟“灵活”的意义和作用。‎ 例1.化简：‎ ‎ 解：原式 ‎ ‎ 先把除法转换成乘法，再用分配律 例2.计算：‎ ‎ 解：原式 ‎ ‎ 先从括号内提出“公因式”而后约分 以上两题是中考题，也都是较容易的题，从每一道题的解法可以看出：越是能适时而恰当运用“运算律”，“公式”“性质”等，则越可使运算步骤减少，过程简化。所以，越是善于将算法、算律、公式、性质联合运用，越能提高运算的准确性和过程的简约性.‎ ‎2.深入把握“数”、“式”的性质 用活数的构成和表示 例1.计算： 归纳各计算结果中的 个位数字规律，猜测的个位数是 （ ）‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ 分析：考查的个位数的出现规律 用活“数”、“式”的大小关系 例2.若，则之间的大小关系 .‎ 分析：方法一（做差法）‎ ‎ 当时，‎ 方法二（特数值法）令 考点评析：由本题可以看出，数与式的大小问题，都是以实数的大小关系为基础的，所以，掌握实数的大小关系，是非常重要的。‎ ‎3．数与式的新题型 例1.计算的结果估计在 （ ）‎ A．6至7之间 B．7至8之间 C．8至9之间 D．9至10之间 ‎ 分析：先对二次根式化简为，再估计的大小，寻找最接近的两个整数3和4 ，再利用这两个证书确定范围.‎ 例2.已知，（为任意实数），则的大小关系？‎ 分析：‎ 例3．若，则M的值一定是( ).‎ A．正数 B. 负数 C. 零 D.整数 分析：因为 ‎ ‎ 显然不能同时成立，所以，.‎ 例4.在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有3棵树，相邻的树与树，树与灯间的距离是10cm，如图，第一棵树左边5cm处有一个路牌，则从此路牌起向右510m～550m之间树与灯的排列顺序是（　　）‎ ‎ A． B． C．D．‎ 分析：第一个灯的里程数为10米，第二个灯的里程数为50，第三个灯的里程数为90米…第n个灯为40n－30米，从而知530米处的里程数是灯，故应该是树、树、灯、树，‎ ‎4．综合问题中的数与式 数与式是基本数学知识，常作为综合问题中的辅助背景出现.‎ 例1.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，为实数，求的取值范围.‎ 分析：本题中的二次根式是隐含条件，不要忽略.‎ 解：由题意 例2.如图，为线段上一动点，分别过点作，‎ ‎，连接．已知，，，设．‎ A B C D E ‎⑴用含的代数式表示的长；‎ ‎⑵请问点满足什么条件时，的值最小？‎ ‎⑶根据⑵中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值．‎ 分析：（1）‎ ‎ （2）两点间线段最短 ‎ （3）作，做 ‎ 即为代数式的最小值 ‎ ‎ 分析：以式的建立和表达为基础，把图形直观和其中蕴含的数量关系与式的表达有机地结合起来，考查考生运用代数与几何的相关知识解决问题．（1）考查的都是列式的能力；（2）要借助“两点的所有连线中线段最短”来求得相应的最小值（3）则是依据给出的代数式构造出类似于满足（2）的那样的几何图形借以求出原式的最小值．此题既突出了对数形结合思想的考查，又突出了对分析问题与解决问题能力的考查．‎ 对2013年数与式复习建议：‎ ‎1．加强对《考点手册》的研究与应用.‎ ‎2．重视学生学习方法的指导，树立自主学习的意识.‎ ‎3．注重近几年中考试题的研究，精选习题。抓住本质，讲清概念，落实双基.‎ ‎4．要学生注意理解体会，归纳题目中的数学方法和数学思想.‎ ‎5．针对不同学习层次的学生进行分类指导，分层推进.注重过程，发展能力；全面复习，扎实推进.‎ 总之，数与式是初中数学的核心之一，是各省市中考中的必考内容，希望能够在此类问题学生不要丢分. ‎